立方体の2等分割から形成される形態

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(1)Title. 立方体の2等分割から形成される形態. Author(s). 岩下, 碩通. Citation. 北海道教育大学紀要. 第一部. C, 教育科学編, 47(1): 317-325. Issue Date. 1996-08. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/2130. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 平成８年８月. 北海道教育大学紀要（第１部Ｃ）第４７巻第１号ｆＥｄｕｃａＳｅｉｌｏｆＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｉｉｉＩｔｔｔ）ＶＯＪｏｕｒｎａｒｃｏｎ１Ｃｖｅｓｏｎ（ｙｏ．４７．１，Ｎｏ. Ａｕｔｓきり１，１９９６. 立方体の２等分割から形成される形態. 岩. 下. 碩. 通. 北海道教育大学岩見沢校美術研究室. はじめに彫刻を見るあるいはつくるという体験は絵画のそれとは異なりラ三次元の空間においていわゆる現実的具，. 体的に視・触知可能な事物や事象としての表われを現われとすることであるのは自明のようにも思える．絵画は平面という二次元にいかに立体感や奥行きを，つまり擬似的三次元性をいかに再現するかという仮構の歴史をもっている‐ しかし彫刻はもともと，三次元の空間において，土木石金属といった物質を素，，，. 材として物体化し，そこにあるいはそこで何かを表象しようとして来た立体であり，そしてそれが彫刻であった‐ 護符，偶像，モニュマン，オブジェそして環境と時代によって彫刻の意味やありかたは変化し続けて. きたように見えるけれども，ここでは彫刻がそれとして成立する空間のあらわれを考えるための予備的かつ初等的手続きとして，三次元の空間構造の単位としての立方体という抽象的，数学的形態を前提としたい‐ もとより，造形美術が対象とする形態は科学の分野で対象とする形態と一卵性双生児のようによく似ている場合があるけれども，そのかたちの意味するものはまったく異なった独自のあらわれである．それはわれ，われが日常接している「いくつかの自由な運動の許される点的な場所とそれらの線的なつながりへと封じ，. １）ための可能態こめられ，抽象化され，拡がりを閉め出された空間の規制から三次元そのものを解き放つ」（である‐ いうまでもなくそのような空間はけっして人間に対して中立な，つねに同じものとして存続する媒体ではないし，人間から独立して単純にそこにあるのではないが，ここで考察しようとする形態は抽象的数学的空間と造形美術における空間形式との間にあると思われる連関をさぐる遊戯的試行とでもいうべきものである．われわれが日常生活のなかで現実的，具体的に接している空間は用途や機能や目的によって測定され，分割され，配置された高度に抽象的空間であることをあらためて確認しそしてその後において〈体験，２）としての彫刻は探求されるであろうしたがされている空間〉（って彫刻の決定的な属性である物質性，物 ‐ 体性については，ここでは除外される．. ー空間と立方体われわれは科学者の思考する抽象空間と具体的に体験されている生活空間とを区別するしかし日常生活．，のレベルで「空間」という場合，思いのほか数学的空間を考えている‐ つまり抽象的な数学的空間と人間的生活空間は漠然とではあるが合致しているかのよう思っているそこでひとまずわれわれは一般的に知ら．，. れている数学的空間について再確認してみる．空間の語源は空き間すなわち「すき間」「余地」を意味しこれが拡大されてわれわれの住んでいる宇宙，，，すなわち三次元の空間をさすようになった‐ 要するに空間とは点の集合でその構成の条件としていろいろ，３１７.

(3) . 岩下碩通. な方法が考えられ，それによって種々の空間に分類される‐. ここで対象とする数学的空間の特質は，その等質性，等方向性である．つまり ①どの点も他の点に対して優越しない．この空間は自然的な座標原点をもたず，むしろ目的につごうよいという理由で，簡単な座標移動によって任意に選んだ点をどれでも座標原点とすることができる． ②また，どのような線も他の線に対して優越しない．簡単な回転によって空間のなかの任意に選んだ線をどれでも座標軸とすることができる‐ 空間はそれ自身においては内的文節にわけられていず完全に均質でありまた，このようにしてすべての方向に向かって無限にひろがっているとする三次元のユークリッド空間における直交座標軸に基礎をおく．つま. り，三次元の空間は任意の点を通る３本の直線が直交し，かつ無数の直交しあう３方向の直線で構成されていて，それを一定の規則のもとに秩序だててゆくと，三次元の空間は立方格子からなると考えることができる‐ 立方格子は６個の合同な正方形面をつくりそれは立方体を形成する‐ したがって立方体は三次元の空間，いわゆる立体の概念をもっとも簡略なかたちで視覚化している基本形態の一つであるとすることができる‐. （図１）. 一. ／. 無限に増大可能. 一. 無限に分割可能. 圏Ｉ. Ｄ立方体の二等分割立方体は，５種の正多面体のうちの一つであり，６個の合同な正方形面，１２本の等稜線，８個の頂点を持つ．それ自体としては閉じられ，固定的で完結した形態である立方体に同形・同大（合同）に等分割するという操作を加えることによって，立方体は単なる空間図形という立場から脱して，さまざまにその外形を変え，空間との緊張関係をもって変貌のきざしを見せはじめる．等分割にあたってはいろいろな方法が考えられるが，ここでは立方体の８個の頂点，１２本の稜線の中点，６３１８.

(4) 立方体の２等分割から形成される形態. 個の面の中心（対角線の交点），１個の重心点（空間対角線の交点）を使い，それぞれの組み合わせによって連結し，分割するという条件を設ける‐ さらに分割された形に正方形面を少なくとも１個残すという条件を付け加える．このような枠組みを取り払うことで，数多くのさまざまな等分割があらわれてくるがここでの展開にとっ，てさしあたり必要としないので省略する‐ 以上の条件にそった基本的な立方体の２等分割の例（図２）を以下に示す．ａ（）４個の頂点連結による分割，断面は長方形. ｂ（）４個の中点連結による分割，断面は正方形（）２個の頂点と２個の中点連結による分割断面は平行四辺形ｃ，（ｄ）６個の中点連結による分割，断面は正６角形）重心点と６個の頂点連結による分割，断面は６個の合同な２等辺３角形（ｅ（ｆ）重心点と６個の頂点連結による分割，断面は４個の合同な２等辺３角形. （ａ）. （ｄ）. （ｂ）. （ｅ）. （ｃ）. （ｆ）. 図２. ３１９.

(5) . 岩下碩通. ｍ立方体の２等分割から立方体の空間図形としての特質にそいながら，２等分割というきわめて簡単な操作を加えることによって，立方体はその内部にさまざまな面をもつ多様な形として表われはじめる．空間図形に特有の空間対角線を使いさらに３等分割，４等分割，６等分割等を試みると興味深い展開が期待ａ）を）できるが，ここではロで示した２等分割のうち，４個の頂点連結（２本の対角線）による分割（図２（基本とし，形の変化によってもたらされる三次元空間の抽象的なあらわれについて検討してみたい．２Ｃ）１／１）立方体Ｃを２個の対角線によって２等分割（図３・Ｃ．）し，稜線（イ）（口）を軸に分割された片側（（を回転移動し，正方形面どうしを接合させると平行６面体（図３・Ｃ２）が得られる．さらにＣ２の２個の平行四辺形の対角線によって２等分割し，同じように回転移動を接合させると面角と平行四辺形の辺の長さの異なる平行６面体（図３・Ｃ３）が得られる．したがって同じ操作によりＣｎが得られる‐ （ロ）. （ニ）（ハ）. イ. Ｃ３. Ｃ２. Ｃ２. ＣＩ. 図３. ）（図４）とし，ａとｃ）（次に，２等分割されたＣ１ｅａｃ，，ｆ，ｄ，ｂ）（，Ｃｎの三角柱をそれぞれ（，Ｃ２，Ｃ３. ）と（ｂ）のような形が得られる‐ （図５－１）（）（ｂ＋ｄａ＋ｃｂとｄの直角２等辺３角形面を接合すると，（ａ＋ｃ）は同十ｄ、形・同大である‐. ａ. ｅ. ｃ. ｂＣＩ. ｄＣ３. Ｃ２. 図４. ）（図５ー１）が形成される‐ 同）＋（ｂ＋ｄこれを回転移動し直角２等辺３角形の稜線を接合すると（ａ十ｃ）（図５）（図５－２）あるいは（）＋（ｆ十ｄ），（）＋（じ手順で（ｂ十ｆａ＋Ｃ十ｅ）＋（ｂ＋ｄ＋ｆｃ十ｅａ十ｅ. －３）が形成される．これらはいずれも相対する内側の面に隙間をもつ‐ ２又は３個の立方体の分割から形成された形態である‐. ３２０.

(6) . 立方体の２等分割から形成される形態. （ａ＋. （ｂ＋ｄ）. ｃ）. （ａ十ｃ）＋（ｂ＋ｄ）. 図５ーＩ. （ｃ＋. ｅ）. （ｆ＋ｄ）. （ｃ. ＋. ｅ）. ＋（ｆ＋ｄ）. 図５－２. （ａ＋. Ｃ. ＋. ｅ）. （ｂ＋ｄ＋ｆ）. ３２１.

(7) . 岩下碩通. （ａ＋. ｃ. 十. ｅ）. ＋（ｂ＋ｄ＋ｆ）. 図５ー３（２）（１）で得られた平行６面体Ｃ２の長方形を２本の対角線によって２等分割し，同じように稜線ホ）へ）を軸に回転移動，接合させると平行６面体Ｃ３が得られる．さらに，Ｃ３の平行４辺形を２本の対角線によって２等分割し，同じように稜線（ト）（チ）を軸に回転移動し接合させると，面角と平行４辺形及び長方形の辺の長さの異なる平行６面体Ｃ４（図６）が得られる．したがって，同じ操作によりＣｄが得られる．. （チ）. （へ）（ホ）. ＣＩ. Ｃ２. （ト）. Ｃ４. Ｃ３. 図６次に，立方体（Ｃ）及び斜方平行６面体（Ｃ４，Ｃ５）の正方形をそれぞれ２本の対角線により２等分割すると，直角３角柱Ｃ（ａ，ｂ）及び斜方直角３角柱Ｃ４（ｃ，ｄ），Ｃ５（ｅ，ｆ）となる．ａとｃ，ｂとｄの直角２等辺３角形面をそれぞれ接合すると（ａ＋Ｃ），（ｂ＋ｄ）が得られる‐ これらは，同形同大である‐ これを回転移動し接合することによって，（ａ十ｃ）＋（ｂ十ｄ）及び（ａ＋ｅ）＋（ｂ十ｆ）（図７ー３）が形成される‐ これらは，いずれも２個の同形同大の立方体の２等分割からなる隙間をもたない多面体（１２面体）の一種である‐ 尚，（ｃ＋ｅ）＋（ｄ＋ｆ）の場合，隙間を持つ形が形成される．（図７ー３）. ３２２.

(8) . 立方体の２等分割から形成される形態. Ｃ. ｅ. 図７ーＩ. （ａ. ＋ｃ）. （ｂ＋ｄ）. （ａ＋ｅ）. （ｂ＋ｆ）. ３２３.

(9) . 岩下碩通. 図７ー２. （ａ十. ｅ）. ＋（ｂ＋ｆ）. （ｃ十. ｅ）. ＋（ｄ＋ｆ）. 図７ー３. Ｗ立方体の２等分割から造形へを繰り返していき，２皿の（１），（２）から類推されるのは，立方体Ｃを基点とし対角線による２等分割等分割によって生ずる直角３角柱及び斜方直角３角柱の組み合わせから形成される形態のバリエーションは数限りなくあるということである‐ ここに取り上げた例は，実際にその模型制作が容易にできるものに限定されている．. び斜方さて，感覚的，造形的視点から（１），（２）に検討を加えてみると，（１）の場合，直角３角柱及３角柱の接合によってあらわれる一つの面がフラットな同一面のつながりとなり，これを回転，接合させた. 形態は隙間を持つに至るけれども，単にその状態では変化に乏しく，われわれの視線の移動を固定化してしまう・そこで，一つの正方形面を底辺にし，フラットな面を視線に対し正面に据えて固定し立たせる工夫をする３２４.

(10) . 立方体の２等分割から形成される形態. ことで，はじめの等分割面，つまり等分割された直角３角柱の長方形面が見える線（稜）としてのあらわれはないけれども，２本の空間対角線を含んでいて繰り返された形に内包され続け，それが起因となりこの形態の持つ面と隙間に緊張のある空間性を付与しているように思われる．（２）の場合，１２面体が形成され，そのうちの３面が凹状をなし，他の９面が凸状をなし，（１）との比. 較ではそれ自体で変化のある特異な形状を呈し，それを水平面に置くと凸部の平行４辺形面の一つを底面とし，凹部を上部面として安定するが，水平面に対し凸部をなす４面が異なる角度を持って接するために，変化のあるトリッキーな空間性をあらわすのではないかと思われる．さらに，（１）のｃ，ｄ，ｅ，ｆと（２）のｃ，ｄ，ｅ，ｆの組み合わせによって，数多くのバリエーシ. ョンを展開することができるが，それらはいずれもよりトリッキーな錯覚図形的相貌を呈することを指摘しておくことにとどめる．. むすびｍの（１），（２）は３次元の空間構造を呈する単位形としての立方体に対し，直接的には対角線，間接的には空間対角線に着眼し，分割・回転移動・接合という３つの操作の反復により，立方体を柔軟で開かれたかたちとして捉え直そうとしたものである．もとより「かたち」についての何かを明らかにしようとするこ. とが目標でなく，造形への手がかりやヒントを探る方法の一つに過ぎないし，その発想や展開は未だ空間図形の遊戯的試行にとどまっている．しかし，これを解き放たれた３次元の空間への兆しとしてとらえられないだろうか，あるいはその可能性がないとはいえない試行ではないだろうかそのような予見のもとに初等 ‐. 的，予備的段階をへて更に検討をかさね，空間図形からより造形的な形態としての現実性を獲得するために，素材，サイズ及びその設置，配置方法等の諸要素を同時的に考察する作業の後，彫刻として作品化されるであろう．. 注（１）松本透. 「三次元性にっいて」. 注（２）オットー. フリードリッヒ・ポルノウ. －三次元性－ドイツ彫刻の現在展カタログ，１９８４年Ｐ１４～１７大塚恵一他訳「人間と空間」１９７８年せりか書房Ｐ１７～２１. 参考資料及び参考文献１，吉本直貴. 「立方体一正六角形」. １９７５年個展カタログ. ２，Ｒｏｂｅｒｌｌｉｔｗｉａｍｓ「ＮＡＴＵＲＡＬＳＴＲＵＣＴＵＲＥ」１９７２年. ＥｕｄａｅｍｏｎＰｒｅｓｓ. ３，Ｈ，ステインハウス／遠山啓訳「数学スナップショット」１９７６年紀伊国屋書店４，マグナスＪ・ウエニンガー／茂木勇他訳「多面体の模型」１９７９年教育出版５，マーチン・ガードナー／赤摂也他訳「数学ゲームほ（別冊サイエンス）」１９８０年日本経済新聞社６，宮崎興二「多面体と建築」１９７９年彰国社７‐ 岩田至康編「幾洞学大辞典２」１９７４年榎書店. ３２５.

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