はりの非線形振動に関する基本的考察
高橋和雄＊，樗木 武＊＊
Basic Investigation on Nonlinear Vibration of Beam
by
Kazuo TAKAHASHI
（Civil Engineering）
and
Takeshi CHISRAKI
（Faculty of Engineering， Kyushu University， Fukuoka）
Abstract
The nonlinear free vibrations of beams and nonlinear responses to pulse excitations are discussed by using finite difference method in this paper． The nonlinearity is attributed to the axial tensile force due to lateral deflection． The explicit formula of finite difference method is applied to solve approximately：the governing nonlinear partial differential equations． At first， nonlinear free vibrati・
ons of beams whose ends are binged or clamped are analyzed and compared with previous solutions．
Finally， nonlinear responseo to pulse exitations such as exponentially decaying pulse and step function are presented and compared with other solution which is obtained by using a single mode approxi・
mations．
1．緒 言
既往研究より明らかなように，スパンが固定される はりの振動問題においては振幅に依存する軸方向力が 生ずるために，その運動方程式には非線形項が含まれ ることになる．このため時間関数と座標関数とに変数 を分離することや，自由振動の項と強制振動の項とを 重ね合わせる方法などのいわゆる線形振動解析に用い られている通常の解析法を適用することが困難である．
そこで，本題に関する既往研究では座標関数や時間関 数もしくはその両老を適当に仮定してGalerkin法や Ritz・GaIerkin法などによる近似解を求める方法1）一4）
が用いられてきた．あるいは，非線形過渡振動5）につ いては，著者らが提案するように，自由振動や定常強 制振動の解析と同様の方法でえられた時間関数を斉次 化して，摂動法を用いて解析的に解くか， もしくは
＊土木工学科
＊＊九州大学工学部 福岡市東区箱崎町
Runge・Kutta・Gi11法を用いて数値的に解くことがで
きる．
しかしながら，上述の非線形振動解析法はいずれも はりなどの連続体を極端な一自由度系に仮定したもの であり，このため仮定した座標あるいは時間関数の適 切をいかんによっては実際の振動状態を正確に説明し ているとはいいがたく，またその理論的根拠を求める ことがはなはだ困難である．今日まで，非線形振動に 関する厳密な現象把握が十分行なわれた≒はいいがた く，単に個々の解析結果がその妥当性や精度の十分な 吟味もなくられつされているに過ぎない実情である．
そこで，本論文は既往の方法がどの程度正しいもの であるかについて一応の検討を加えるために，まずは 空間や時間に関して何らの仮定をも設ける必要のない 差分法による非線形振動問題の解法を改めて提案のう え，これを用いて，はりの非線形自由振動および非線 形過渡振動の数値解析を行ない，従来の方法の妥当性 や精度を考察検討せんとするものである．
2．差分法による非線形振動問題の解法
細長比の大きなはりの低次振動を対象とすれば，回 転慣i生，せん断変形，および有限変形の影響を無視す ることができ，本題の運動方程式が次のように与えら
れる．
EI｛嘉＋P｛肇＋・A纂一pf（・） （1）
孟≒訣一口∫z（∂y∂X）、 （2）
0
ここに，x：はりの軸方向に沿う座標， t：時 間，y：はりのたわみ， z：スパン， E：弾性係 数 1：断面2次モーメント，A：断面積，ρ：
密度，P：軸力， Po：初期軸力， f（t）：外力の時 間関数，p ：荷重強度
式（1）および（2）を無次元化すれば，次のように 書き改められる．
讃＋寅9聯＋｛器一器f（λ2工 ω）（3）
N−2毒註∫1（ll）2d・ （4）
ここ呼÷・一÷，遅論・，N一番
・喉｝・一／竪・・断面2次半径，
％・オイラ燵屈腫・華響，ω
＝固有円振動数
いま，Fig．1（a）に示すように，はりを等間隔M 個（ただしMは偶数とする）に分割し，分割長さ を△ηとし，時間ぎざみを△7とすれば，任意の
の ブ 2 ノ 珂一7河
（のD贈π好糎嫌
時刻7kにおけるはりの分割点jにおける式（3）
および式（4）に含まれる導関数が次のように差 分法の陽公式を用いて表われる．
（∂鞭∂丁2）諏y嗣一剣yj詞・（5）
（∂y∂η）、π触1云磐 （6）
（1；翫y」＋ 齢y鉢 （7）
劇、πy蹴4y」加齢一4yj髄
＋y」一2・・ （8）
また，式（4）の右辺には定積分の項が含まれるため に，Simpsonの第一公式を用いて代数式になおせば 次のとおりである．
∫1（∂y∂η）擁学｛（列，・一ジ・蝋箋，4
M−1
（yn，k−yn＿2，k）2十2Σ σn，k−yn−2，k）2十 n＝3，5
σM・1・・一夕M−1，・）・｝
0 ぞ
＿羽＿イ／冤1
一⊥」＿4一一嬢
l l倣）1
＼一↓＿＿L＿→一一7薪1
1 1 1 1 1（わ） 1
夢P郷帳晦イ孜伽奴↑呂砺
Fig．1 7迄，7夷ナ7
（9）
式（4）を式（3）に代入のうえ，式（5）〜（9）を 用いれば，次の結果をうる．
夕・一一2y・，・一y一（△τ△η2）㌔ 一
4y∫＋1，k十6yj，k−4yj−1，k十yj−2，k）一（△η）2
（△7湿巨）2（y・一一2y・，・融）〔恥蜘
一一
ｯ右｛（y1，k一y−1，k）・＋縄、（％・・一
M−1
yn−2，k）2十2Σ（yn，k：一yn−2，k）2十（yM＋1，k n；3，5
一yM一・の・｝〕一（△・）・書餐f（警△の（1・）
式（10）から明らかなように，（k＋1）段階の時刻 における未知変位yj，k＋1がその前段階までの変位か ら決定されるため，本題の非線形振動の問題が線形振 動の問題と同じように取り扱うことが可能で，数値計 算が容易になることが才つかる．
一方，はりの曲げに対する境界条件を両端ヒンジば りおよび固定ばりの両者について示せば，それぞれ次 のように与えられる．
両端ヒソンジの場合
yo，k＝0，y1，k＝一y−1，k（0，点）
yM，k＝0，yM＋1，k＝一yM＿1，k（M点）
両端固定の場合
yo，k＝0，y1，k＝y−1，k（0点）
yM，k＝0，yM＋ユ，k＝yM−1，k（M点）
また，運動の初期条件を ∂y（η，0）
y（η，0）＝＝f（η），
＝9（η）
∂τ
（11）
（12）
（13）
とすれば，任意点jにおける初期条件は次のように表 わされる．
yj，o＝f（j△η） ，yj，1＝yj，一1＋△7・9（j△η） （14）
結局，はりの非線形振動問題は，式（14）の初期件 条のもとに式（10）の差分式と式（11），（12）に示す 境界条件を用いて，各時刻段階毎に解かれるヒとにな
る．
なお，線形振動の場合には，差分法の陽公式におけ る時間間隔△τとスパン方向の分割間隔△ηとの決 定に際して，安定な解をうるためには△τ／△η2〈琉 の条件を満足する必要があることが数学的に確認され ている．このことは，式（10）の解を求めるにあたっ て検討せねばならないが，その数学的証明は極めて困 難であるから，本研究では数値的に吟味のうえ後述す
ることにする．
3．非線形自由振動
（a）両端ヒンジばり
細長比が大きくしたがってはりのたわみの傾斜角が 小さい場合の運動方程式は式（1），（2）のように与 えられているが，両端ヒンジばりでは曲げの項EI∂4y
／∂x4が無視できる弦の振動波形，軸力が座屈荷重に 達したときの座屈波形，および任意の軸力を受けるは りの振動波形がいずれも同じ正弦波で表わされること
から，はりの振動波形は軸力の大きさに無関係な正弦 波で表わされることになる．したがって，この正弦波 形を用いかつ系を一自由度系と仮定すれば，運動方程 式を時間関数のみで表わすことができ，振動数の厳密 解を得ることが可能である．そこで，本項にはこの厳 密解が推察できる両端ヒンジばりを対象に，本文に提 案する差分法を適用のうえ，その精度を吟味せんとす るものである．すなわち，はりの運動の初期条件を
y＝sinπη ，∂y／∂τ＝0 （15）
のように仮定して，初期軸力Noが作用しない両端ヒ ンジばりの非線形自由振動数について差分法の精度を 吟味するとともに非線形振動特性を求め，その結果に ついて考察すれば次のとおりである．
Table 1ははりのスパン方向の分割数Mと振動数比 n＊／no（n＊：非線形自由振動数no：線形振動数）と の関係を求めたものである．非線形振動数比は，振幅 比yと時間τとの関係をプロットしたものから，振 幅が零となる時刻τを求め， これをn＊／no＝2π／（τ λ2）なる関係に代入し算定したものである．なお，演 算にあたっては，△τ／△η2＝1／2．2とし計算誤差の 累積を少なくするために倍精度演算を行なった．また 忌中に示した誤差は，座標関数を仮定してGa】erkin 法を適用する既往の方法により解析した結果を比較対 照のうえ，差分法による結果の精度を明らかにしたも のである．すなわち，式（1）および式（2）の解y を未知の時間関数T（t）と線形振動の規準関数X（x）
の積の形に仮定し，X（x）＝sinπηを用いれば時間関 数T（t）に関するDuffing形の微分方程式（T＋αT＋
2βT3＝0）が誘導される．そこで，式（15）と同じ初
期条件を意味するT（0）＝1，T（0）＝0のもとに2回 積分すればJacobiの楕円関数cnがえられ，これよ
り加数力…一ノα＋2β／4K（ここセこ，K一∫客／2
12 26 50 76 98 驛ﾈに庇〃しε4改（ズ
れ％。 εr％ 仮％。 石r％ π％。 石r％ れ㌦。 石r％ 冗ラ冤。 る％ 仮％。
0．0 0．9943 一〇．57 0．9985 一〇．15 0．9998 一〇．02 0．9マ99 一〇．0プ 0．9999 一〇．01 ブ．0000 1．0 ア．0816 一〇。70 ノ，0875 一〇．18 1．0887 一〇．04 ／．0890 一ρ・02 1．0890 一〇．02 ア．0892
20 1．3056 一〇．93 1．3152 一〇．20 1．3172 一α05ρ 1．3175 一〇，02 λ3177 一〇．01 1．3178
3．0 ／．608ア イ08 孟6219 一〇、23 ア．6246 一〇．06 1．6252 一〇．03 ス6254 一〇．02 ア．6257 4．0 ／．9526 一〃8 1．9710 一〇．25 1．9746 一〇〇7 1．9754 一〇．03 ブ．9757 一〇，02 ア．9760 5．0 2．3208 一λ25 2．3438 一〇27 2．3485 一〇。07 2．3494 一〇．03 2．34．96 一〇．02 2．3501
6．0 2．7033 一λ28 27309 一〇．28 27369 一〇．06 27376 一〇．03 2．7380 一〇，02 2．7385
T・bl・ユ鈎吻彫磁〃イ伽舛一魚藤壷鰍
dθ／》、一1／（2＋α／β）、i。・θ㌧第一種完全楕円積分）
で与えられることがわかるから，この結果とnoより 振動数比を求め，これと前述の差分法による結果とを 比較したものである．表より分割数が増加すれば，差 分法の解は楕円積分による解に収束することがわかり，
分割数Mが26程度でも十分に解析解に合致しており，
さらに50程度になればいずれのケースも0，1％以下の 誤差で解析解と完全に一致すると言っても過言ではな い．また，振幅比yと誤差との関係は，分割数の少 ない場合はやや増大する傾向にあるといえるが，その 値はさほど大きいものではなく，従って非線形項が大
きくなっても差分法の精度が保障され，数値積分の精 度が良好なことが分かる．
なお，上述の正弦波形で仮定される解析解が厳密解 であるならば，当然ながら関数に関する何らの仮定を も含まない差分法の解もまたこの正弦波形上に常にあ る筈である．このことを明らかにする意味で，各振幅 比yに対する変位の絶対値が最大となるとき波形お
よび変位が零となるときの時刻τを，差分法によって
求めればTable2のとおりである．表より明らかなよ うに各振幅比に対して振動波形は与えた初期条件と同 じ正弦波で振動し，しかも周期も変化しないことがわ かり，このことから，振幅比が増大しても，正弦波が 本題の両端ヒンジばりの厳密な振動波形であるといえ
また，他の調波成分の影響が入っていないことが明ら かになる．
本論文では差分法の陽公式を採用しているために，
2の最後に述べるように，時間間隔△τ と分割間隔
△ηを独立に決定することは無理で線形の場合には
△τ／△η2＝％を境界にして△τ／△η2＜％ならば計 算の丸め誤差による累積誤差が時刻方向のステップを 無限に踏んで行くとき，成長せず差分式は安定で，
△τ／△η2＞渥ならば逆に成長していき，オーバーフ ローとなり，不安定であることが既往研究により明ら かにされている．非線形振動の場合にも解析的な差分 法の安定，不安定に関する詳細な検討が必要であるが，
ここでは数値的に検討するため，分割数M＝50，振 幅比y＝5．0とし，△τ／△η2の種々の値について，
0．1 0．2 0．3 o．4 0．5 7
η
V ④ 0．3090 0．5878 0．8090 0．9517 ブ，000
⑤ 一〇．3090 一〇，5878 一〇．8090 一〇．9511 一ア000 0．ア5979 0 ◎ 0．3090 0．5878 0．8090 α951ア 1，000 0．15ρ1守 3 ⑤ 一〇．3090 一〇、5878 一〇，8090 一〇9511 一1．000 0，097％
◎ 0．3090 05878 0．8090 095刀 託000 α097％
5 ⑤ 一〇，3090 一〇5θ7θ 一〇。8090 一〇．95〃 一ZOOO 0．06777
◎ 0．3090 0．5β7β 0．8090 0．9517 託000 0．06777
④ 地幽麟τ自。 ⑤ 漉μ躍粗漏ん幽幽
◎ 地爾 〃乙㎡〃陀碑 庭
Table 2・ 漉通解イ薇μ一伽μ雌鍛・
4τ ？
￨o．1 0．06777＠ 2．033で⑤
0．2 0．06777 2．033ノ
0．3 0．06777 2．033ア
0．4 0．06777 2．0331 0．49 0．06777 2．033r
05 0．06777 μ〃κ鰻
05ア 卿碗 幅磁
④磁卿μ厩
Table 3
⑤旧記μ露
s観四則伽房・嘱麟一罪臨伽乱騰∠
差分法の解を求めればTable 3に示すとおりである．
表より明らかなように△τ／△η2〈％ならば，得られ た解には周期の変化がなく，安定な解が得られ，しか も△τ／△η2の大きさが解の精度に無関係であるとい える．これに対し，△τ／△η2≧％の場合には解は不 安定となり，ある時刻で急激に振幅が増大して発散す
る．これより，非線形振動の場合にも線形振動と△τ
／△η2に関する同じ議論がなりたつことが数値的に確 認され，したがって数値計算のうえでいえば△τ／△
η2＜％となるように選ばねばならないといえる．
（b） 両端固定ばり
初期条件を既往研究と同様に，両端固定ばりの線形 振動の規準関数に仮定すれば次のとおりである．
・一凵iま5）｛M（…h・ξ一・…ξ）一N（・i・hトξ一
・i・・ξ）腰一・・M一。。、h。芒、。颪一，N一
1
（16）
sinhλ，一sin）し
λ，＝＝4．730040744863
上記初期条件のもとに，各種の振幅比yについて 差分法により解き，はりの中央点（η＝1／2）における 変位が極大となる時刻のはりのたわみ変位および中央 点の周期を求めればTable 4に示すとおりである．
0．1 0．2 0．3 0．4 0．5
花
ｲ ④ 0、〃91 0．3900 0．6901 0．9165 1．0000 ？
⑤ 一〇，〃44 一〇．3ク02 一ク6903 一〇，9164 一〇，ρ997 0．07031 0 ◎ 0、／〃8 03907 0．6905幽 0．9165 〃．ク944 0．07〃32
⑳ 一〇、〃97 一〇。3908 一〇、6％5 一〇、9160 一〇．クク95 〃．07033
⑤ 一〇、〃98 一〇、3906 一〇。6905 「0．9162 一〇、ダタ91 0，06878，
1
◎ 0．／206 0．3922 0．69ア4 0．9152 4ク975 0．06887 2 ⑤ 一〇、1270 一〇．3906 一〇、6∂θ∂ 一〇、9162 一∠00／3 no6481
◎ 0．／206 夙3902 夙6896 0．9164 ノ．0061 ao64：90 3 ⑤ 一〇、／222 一〇β9／7 一〇、6873 一〇，9733 一〇、クク88 0．059ヲ2
＠ 0．1276 o．4006 0．6ク02 0．9063 ク9タ08 405ク85
⑤ 一〇、／294 一〃．4059 一〇．6952 一・O，ヂ028 一∂、ク749 0．05577
4 ◎ 0，！：475 04361 0．7068 0．8900 0．955フ ・0．05439
④ 一〇．／239 一〇3％0 一〇，6915 一〇、ク103 一α9922 久05357
⑤ 一〇、1524 一〇，4344 一〇、6962 一〃、3762 一ク93タ3 0．05073
5 ◎ 0．／289 夙3942 0．6787 0．ク057 4クヲ5 3 0．04841
④ 一〇，1280 一〇、3943 一〇16799 一〇、8944 一〇，9766 0．05000
⑤ 一〇，15〜5陽 一〇、4330 一久6804 一〇、8447 一〇．9047 o．04674 6 ◎ 0．1217 0．3882 068％ 0．9143 0、9ク66 404357
④．一〇4407 一〇、4075 一〇6652 一〇、8549 一〇、9302 σ04647
＠
＠
艦。
ψ伽雇？・o
聯 十七一計卿託
Table 4
⑤紬縞ん曜 聯 ④漏斗κ伽プ卿ん騨
〃醜説桝》伽μ∠一ぬ牌κ虎轍
託06 ﾐ05 ﾚ04 ﾚ03 ズ02 ﾚ01 ﾚ00
％，
一ズ0 0 ズ0 2．0 3．O
F｛縁2 舷血忌畷。綴駈．（野0）
表に示すように，振幅比yが3以下の小さい場合 には式（16）で与えられた規準関数とあまり変りない 波形で振動することがわかる．しかし，振幅比y が4以上，したがって非線形項の影響が大きくなれば 与えた初期条件のままで自由振動は行なわれず，他の 調波の成分が影響し変化することがわかる．すなわ ち，既往研究に示される解析法のように振幅の大きさ のいかんにかかわらず固定ばりの振動波形を線形振動 の規準関数または座屈波形に固定して考えることは無 理である．
他方，著者らは先に周辺固定く形板の非線形自由振
艦。
凶23 凱22 121
∠20
〃9
〃8 ％．
−10 0 孟0 2、0 3，0〃7
Fig 3四四槻伽臓。場外，㈱）
艦。
A50 A49
λ48
政47 云46 1．45
μ4
Fi縁4R4誠侃鰍彿。伽〆肱（彦・5）
動数7）を算定するにあたって，任意の軸力を受けるは りの線形自由振動の規準関数を用い，各振幅比に対す る軸力をパラメーターに振動数と振幅との関係を求 め．これから最小振動数を算定して題意の解とする方 法を提案した（以下最小振動数比法と称する。）．この 手法により本題の両端固定ばりの非線形自由振動数比 を算定すればFig．2〜4およびTable 5＠の通りで ある．またTable 5⑤および◎はそれぞれはりの規 準振動および座屈波形を用いた解析結果を比較対照し たものである．これらの結果より振幅比が増大するに つれて，はりの振動波形を固定して考える方法と（a）
の数値との差異が増大していくことがわかる．
5 ④ ◎ ◎
0 1，000 1，000 え0／9
〆 1，022 ノ．022 ノ．〃42
2 1，086 1，086 Z〃0
3噛 託／82 ／，／83 ／，2／3
4 ／．302 ノ，306 ／，342
5 1，440 1，449 λ492
6 1，5？0 ∠605 ／，656
④一二・プー畝伽耀砺〆
⑤ 晦〃り榊解〃乙激殖触〆
④ 門門牙伽鹿渤κ
T・bl・5ん卿・髪一九晦4誕岬・〆一ぬ履餌戎疏
次に，両端ヒンジと同様に本題のはりに関して非線 形振動時の波形が存在するか否かについて検討を加え れば次のとおりである．すなわち式（16）の第一式に 換えて任意の軸力の作用を受けるはりの規準関数で表 わされるごとき初期条件のもとに，差分法を適用す
る．このとき，最初g仮定にもとずく波形と計算結果 にもとずく振動波形に差異がないような振動形態が確 認できれば，その時の波形が非線形振動時の波形とみ
なすことができる．これは仮定された波形以外の波形 をもつ詩調波成分の影響が小さいことを意味する．そ こで振幅比y＝4の場合について，振幅が最大とな る場合の波形と周期を求めればTab】e 6に示す結果 をうる． Table 6の結果から，初；期条件で与えられ た波形とその後の振動波形が比較的良く一致してお
り，したがって上述のような差分法における仮定波形 が非線形振動時の波形を与えていることが予測され
る．えられた振動数はTable 5◎と良く一致する解 がえられているが，この点に関しては詳細な検討が必 要であり，今後の研究に待ちたい．
（c）非線形強制振動
両端ヒンジばりおよび固定ばりを対象に，指数関数 的減衰パルスおよび矩形ステップパルスを受ける場合 の応答を，分割数M＝50，△τ／△η2＝｝6．2のもと に求めればFig．5およびFig．6に示すようにえら れる．これらの図において実線は非線形応答を示し，
空
V ＠
0．1 0．2 0．3 0．4 0．5
0．1408 0．4270 0．7177 0．9253 1．0000
τ
⑤ 一〇．1395 一〇．4259 一〇．7181 一〇．9257 一1．0001 0．05394
4・
◎ 0．1391 o．4255 0．7183 0．9260 0．9999 0，053％
＠漉羅幽ル説 τ・o ⑤施脅厩碗麟ん吻1励 躍
◎下北ぱ伽一三伽醐
Table 6腋卿叫伽忽4繊塵伽
一5
一4 一3 ピ2 一1
0
ん賀，こご，伽α々
こご，御π緬
〃〃，蜘
1
2 3
4 5
6
ノほのへ ／ ＼、
ノ ／ 、、
！ 、
、
ノ 、
！ ！ 〜
ノ
朋；三野託一伽野尻痴賜
σご；（ノ例配〆一（魚μ〆侠翠 纏Zγ言3000
、
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2 3 4 5
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、
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＼、勿≦∫r・250 ＼、溜髪1r＝ブ250
、
伽〃し 傷磁
ωオ π∠）〃 55 1〜／（（身層 ω託 π∠）珂 Rκ（分珂
0 0．0 0．0 0．0 0 0．0 0．0
ZO 0888 0，886 0，901 7．0 0，884 o，898
2．0 2，772 2，777 2，776 2．0 2，309 2，309
3．0 3，893 3，∂∂7 3，901 211 2，338 2，333
3．14 3，go8 3，906 3，921 3．0 元285 ／，299
40 3，233 3，241 3，242 4．0 0，052 グ068
5．0 ∠407 1，390 ノ，404 50 0，531 0，544
6．0 0，064 0，075 0，078 6．0 2〃5 2，122
7．0 グ479 0，471 0，482 6．34 2，326 2，333 8．0 2，227 2，242 2，246 7．0 Z703 1，7〃4
9．0 3，745 3，737 3，747 aO 0，208 o，2／4
気4．3 3，907 3，906 3．92プ 9．0 0，262 0，267 FDM ：jF勿舵Dガア67・6％6θM6渉乃04 5S：Sθ西θ550Z協づ。％
RκOM：丑z6％86−1κ％〃α・G沼乃∬θ漉04
Table 7 Rθs！）o％5θα吻ρ魏磁θ彦05≠θ夕μ％o≠②o％
点線は線形応答を示す．運動の初期においては線形と 非線形との差異はさほど認められないが，時間の経過 とともに，非線形の場合には振幅に依存する軸方向力 のために，応答振幅は線形の場合よりも小さくなり，
応答周波数が振幅に依存して変化することがわかる．
本志では線形応答が両境界条件について相等しいよう に荷重の強度pZ4／EIrを選んでいるが，ヒンジの方 が固定よりも非線形項が大きく，したがって，応答振 幅も小さく，応答周波数も早いことがわかる．Table 7〜10は各ケースの応答振幅について差分法と前論文 の一自由度系を仮定したGalerkin法による結果とを 比較したものである．これらの表より線形非線形のい ずれの場合にも両者が十分な精度で合致しており，応 答振幅についてはGalerkin法による結果で十分であ るといえる．なお，Table 7には線形振動の場合の級 数解を併記したが，差分法は級数解によく合致してい
ることがわかり，分割数が50程度で十分な精度がえら
伽〃し 究。箆蝕し
ωオ πZ）〃 πκ含杯 ωオ 戸PM Rノ〈6層
0 o 0 0 0 0
1．0 0，900 0，909 ∠0 0，900 0，9〃8
2．0 2，766 2，800 20 2，637 2，670
3．0 3，θ9∂ 3，ク34 255 3，060 3，079
3／4， 3，93∂ 3，ク54 3．0 2，805 2，808 4．0 3，246 3，269 4．0 ∠アノ9 ZO93
5．0 1，412 ／，4ア6 5．0 一〇．022 00／2
6．0 0，084 0，076 6．0 〃，650 α735
7．0 o，478 o，487 7．0 2．4．34 2．5〃
8．0 2240 2，265 7：66 3，077 3，07ク
9．0 3，745 3，778 8．0 2，979 2，921
942 3，968 3，949 70 1，430 Z287
πP ：厩D卿色〃：廟 Rκ研：肱野一κ漁一〔泌湿襯
T・bl・8脚蝦卿蔽血海ル吻拠彪㈱（〃〃）
触 物伽4ノし
〃ズ πZ） Rκθ阿 〃オ FDM Rκ6｝〈イ
。 0．0 0．0 0．0 0 o
1．0 1，738 1749 1．0 1，684 Z717
2．0 3，827 3，878 ∠619 2，802 2，621
222 3，946 蕊953 2．0 2，ノ96 2，177 3．0 3，075 3，087 3．0 ｝0．788 一〇．772 4．o 一〇．208 一〇．222 3．84 一2．3ア5 2，307 5．0 一3．2ア4 一3．230 4．0 一2223 一a236
5．45 一3．667 一3，687 5．0 o，140 0，170 6．0 一3．255 一3．234 60 2，345 2，334
7．0 一〇．230 一〇．251 6．δ6 2，362 a342
8．0 2，934 2．％7 7．0 0，50ア 一2ゼア36
a58 3，68ア 3，691 aO 一2150 一2，339 久0 3562 3，459 8．27 一2、339 一1．ノ35
ゆ ：！城堺町吻ω〃論託
Rκ＆ ・π〃・許一κ・徽一磁：翔晦
T・bl・9御鰍聯鵡為応酬吻
娩ご吻ク擁（柵）
伽凸し ク〃箆細し
の元 戸DM 声〜κθM ωオ FD珂 Rκ6嗣
0．0 0．0 0．0 0．0 0．0 0．0
∠0 1，783 ／、764 1．o 1，775 孟756
2．0 3，825 3，851 2．0 3，293 3304 228 4，040 3，987 1．ク3 3、29ク1 3，318 3．0 3，057 3，113 3．0 ／．1ア30 ／，065
・4．0 一〇．264 一〇，224 4．0 一2、！92 一2．197 5．0 『3．254 一3、258 4．61 一2，986 一3、018 5．50 一3．713 一3．712 5．0 一2，788 一2、676 8．0 一3．227 一3．26ア 6．0 ク094 0，235
7：0 一〇，216 一〇．252 710 a813 2，888
aO 3，006 2992 726 2，947 3，040
a64 3，662 3，728 aO 2036 入87ア
9．0 3，483 3，489 9．0 一1，183 一11402
πo敵轍P魎（z〃撚庭
Rκ6〃・賑二一継此一磁椀伽〆
T・b1・10 Rμ卿伽碑励あ献酬吻
地・轡クρ疲ぐ・・）
心因吻醜 吻宮 岬 鋸
緬 彿砺〃し ノ蜘ε4あ 一
πD〃 5，919 3，∋2∋ 6，513 3，025 Rκケ月 5，930 3，370 6535一 3，036 πP月 一5、497 一2，8ア8 6，512 3，039 Rκ＆層 一5、52マ 一2、845 6，535 3，036
｝戸D月 6，000 4，286 6，564 4，266
｝πκ6M 5，480 4，422 痂rT『4、265
戸z）〃 一5、592 一3、860 6、614 4、264 貧κ6珂 一5，576 一3．956 6、590 4、265
戸D ：肝臓㍑に〃獺
Rκ6〃：R鰍彩一κ漁4溜世才
Table 11 πムァ徽，〃耽μ〜勉〃色 咲〃》己∠一ん》κ伽
れることがわかる．Tab】e 11は各ケースについて荷 重強度をさらに増大させた場合の応答の最大値を求め たもので，荷重が増大しても両解析結果の差異は大き
くならないことがわかる．はりの各点についても同様 の考察を行なったところ，固定ばりの場合高調波成分 がはりの端部近くで見受けられるが，その割合は小さ いことが明らかとなった．これより両端ヒンジおよび 固定ばりの動的な応答解析はGalerkin法による解法 で十分であるといえる． 0
4．結 語
本論文ははりの非線形振動の運動方程式を差分法の 陽公式を用いて代数式になおし，はりの非線形自由お よび強制振動について数値計算を行なったものである が，えられた結果をまとめると，
1）差分法の陽公式を用いれば非線形方程式が線形 となり，数値計算が容易となる．
2）両端ヒンジばりの振動波形は正弦波で与えられ，
はりは振幅比に無関係に正弦波で振動し，解は既往の ものと合致する．
3）両端固定ばりの振動波形ははりに生ずる軸力の 大きさに依存して変化し，振幅比が4をこえると線形 振動の規準関数を用いて解を仮定することが無理であ ることが明らかとなった．そこで任意の軸力を加えた はりの振動の規準関数を初期条件として差分法を適用 すれば，非線形振動時の振動波形および振動数をうる
ことが可能であることが予測された．
4）重ね合わせの原理が適用できないために解析的 に解くことが困難な外力を受けるはりの非線形強制振 動を解析したが，はり上に等分布外力が作用する場合 には一自由度系と仮定してえられた解でよく一致し た．しかしながら非対称荷重などが作用する場合には 必ずしも一致しなくなり，従って一自由度系を仮定す ることが困難となるであろう．なお，差分法ではどの 成分の調波を含んでいるかをみいだすのが困難で，え られた数値を調和分析する必要がある．従ってここに えられた数値をもとに，各調波の振幅成分を求め，調 和バランス法を適用してはりを多自由度としてあつか
う場合の資料にせんものとするものである．
本研究は昭和47年度の文部省の科学研究費を受け，
また，研究にあたっては本学土木構造研究室の柿山氏 の熱心な協力をえた。記して謝意を表する次第である。
また， 本論文の数値計算には，九州大学の大型計
算機FACOM230−60および本学の電算機FACOM
270−20を使用したことを付記する．
参 考 文 献
1）Woinowsky Krieger， S．；The Effect of an Axial Force on the Vibration of Hinged Bars，
J，App1． Mech．，Vo1．17，1950， pp 35〜36 2） Eisley， J． G；．Nonlinear Vibration of Beams and Rectangular Plates， ZAMP，Vol，15， No．2 （1964） pp 167〜175
3） Srinivasan， A． V．；Large Amplitude・Free Osillations of Beams and Plates， AIAA J．，Vo1 3，No．10（1965）pp 1951〜1953
4） Evenson， D． A．；Non】inear Vibrations of Beams with Various Boundary Conditions， AI AA J．，Vo1．6， No．2（1968）pp 370〜372 5）佐藤：両端固定はりおよび一・端固定，他端単純支 持ばりの非線形自由振動，日本機械学会論文集第31 巻，第259号（1968）pp 418〜426
6） Chishaki， T． and Takahashi K．；Nonlinear Response of Beams to Pulse Excitations， Th・
eoretical and Applied Mechanics， Vol．21（19 73），pp79〜91
7） 高橋樗木；周辺固定矩形板の非線形振動，第22 回応用力学連合講演会講演論文抄録集，（1972）pp 229〜230。
