高 橋 和 雄 ぺ 樗 木

斜支承を有する一方向連続長方形板の自由振動

高 橋 和 雄 ぺ 樗 木 武 林

F r e e  V i b r a t i o n s  o f  One‑way C o n t i n u o u s  R e c t a n g u l a r   P l a t e s  w i t h  I n t e r m e d i a t e  O b l i q u e  S u p p o r t s  

by 

Kazuo T  AKAHASHI 

(Department o f   C i v i l  Engineering) and 

T a k e s h i  CHISHAKI 

(Department o f   Civ i 1   Engineering ，  F a c u l t y  o f  . E n g i n e e r i n g ，  Kyushu U n i v e r s i t y )  

The a n a l y t i c a l  i n v e s t i g a t i o n  on t h e  t r a n s v e r s e  f r e e  v i b r a t i o n s  o f   t h e  r e c t a n g u l a r  p l a t e  suppo

r t e d   a t   t h e   p e r i p h e r y   and a t   ob 1 i que  edges  i n s i d e   t h e   i n t e r i o r   o f   t h e   p l a t e  i s   r e p o r t e d  i n  t h i s   p a p e r .  

The e f f e c t s   o f   t h e   edges  i n s i d e   t h e   i n t e r i o r  o f  t h e  p l a t e  on t h e  f r e e  v i b r a t i o n s  o f  t h e  p l a t e   i s   taken  i n t o   a c c o u n t   by r e p l a c i n g   t h e   edges with  rows o f   t h e   p o i n t   s u p p o r t s

which produce  r e s t r a i n i n g   f o r c e s   a c t i n g   on t h e   p l a t e   s o   t h a t   t h e   p l a t e   de f 1 e c t i o n   i s   z e r o   a t   t h e   each  p o i n t   s u p p o r t ，  and t h i s   problem o f  v i b r a t i o n s  o f  t h e  p l a t e  i s   s t r i c t 1 y s o l v e d  based on t h a  fundamental  d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n   o f   t h e   p l a t e .   The r e s u l t i n g   c o m p a t i b l i t y   e q u a t i o n   provides  t h e  . d e s i r e d   n a t u r a l  frequency e q u a t i o n .  

As examples ，  simply supported  r e c t a n g u l a r   p l a t e s   wi t h   a i n t e r i o r   edge  a r e   i l l u s t r a t e d .   Comparisons with r e s u l t s   o b t a i n d   by t h e   energy method and experiment ，  e f f e c t s  o f   t h e  s u p p o r ‑ t i n g   angle  on t h e   n a t u r a l   f r e q u e n c i e s ，  and t h e   v i b r a t i o n   mode shape a r e  p r e s e n t e d .   Fina l 1 y ，  a  t r o u b l e  o f  t h i s  method i s   examined. 

1.緒

平板が中間で剛支承あるいは弾性ばりにて補強され る連続板の固有振動数や振動モードを予測することは，

振動体や移動荷重を支える床組の設計に際して極めて 重要なことである.連続板の振動問題に関してこれま で幾多の理論的・実験的研究がなされてきたが，その 多くは中間支承が板の辺に平行に配列された連続板を 対象としたものである. このような連続板の振動問題 は厳密な取り扱いが可能で，携角一読度法1)や階差方 程式を用いる方法

，衝撃関数を用いる方法

， 

*土木工学科

料九州大学工学部土木工学科

環元法

，たわみ角一端モーメント関係式による方法

7

九 応 力 法

，

などの諸解法が見受けられる.

一方，補剛材を板の辺に配置することは必ずしも有 効な補剛形式とは限らないために，現実に見受けられ る連続板においては，補剛材が板の辺に斜め配列され る場合がある.上述の連続板の諸解法はいずれも直交 座標系を用いるため必然的に斜め補剛材を有する連続 板への適用は無理で.厳密な取り扱いは不可能である.

したがって，かかる連続板の固有値および振動モード

を算定するにはエネルギー法や有限要素法，差分法な

どの近似解法によらざるをえないことになる.現在の

ところわずかに，林・川井によるエネノレギー法による

研究10）が見受けられるのみで，斜支承を有する連続 板の力学的特性が十分解明されているとはいいがたい．

すなわち，林・川井は板の周辺および中間支承におけ る幾何学的境界条件を満足する関数と板のたわみ形の 一般匪を保証するための任意の関数の積の形に板のた わみを仮定してエネルギー法による近似解を算定して いる．エネルギー法は，微分方程式を直接解く方法に 比較して板の境界条件や形状に関する制約がはるかに 少なく，手早く固有値や振動モードを求めるのに有効 な方法あることは周知のとおりである．しかしながら，

固有値の計算精度がはっきりしない点や動的な外力が 作用する場合の応答を求める強制振動問題への応用が 困難である．これらに対して，著者らが先に平板が中 間で点支持および柱支持される無梁板の自由振動問題 解析に用いた基本系法11）を応用すれぽ斜支承を有す る連続板の自由振動問題を解明することができる．本 論文は，斜支承を有する連続板の解析の第一報として 中間支承が剛支承の場合を報告したものである．すな わち，板が振動すれば，各中間支承には線状分布をな す垂直反力を生ずるが，これらを有限個の集中反力に 置換する方法により近似的な固有値および振動モード の算定可能ならしめたものである．また，本法によれ ぽ振動数方程式を求めるための基本連立方程式が簡単 かつ直視的で，強制振動への応用が可能であるなどの 利点をもつ．ここでは，著者らの提案による解析法を 述べ，つづいて2，3の連続網構造について数値計算 を行なうことにより既往のエネルギー法ならびに実験 結果と比較・対照および本法の問題点を検討したもの である．

2．解

^法

 長方形板ACDBにおいて， Fig．1に示すような 直交座標系（x，y，z）を導入する．板は周辺の他に中

雪

b

K

C D

A

s−1

］

2 1 θ．

S

K

B

0  1 21一ミr−11「a鐙

早 三 塁  霧 丁幽

§

ξI」a一一一H section K−K

 z

Fig．1 Co・ordinate and geometry of a rec・

    tangular plate

間において任意の角度で配置された剛な支承で支持さ れているものとし，各支承にはそれぞれ1，2，…，i，

…rからなる支承番号を付す．

 長方形板が振動すれば，各支扱には当然ながら，垂 直反力を生ずるが，これを直接取り扱うことは数学的 に困難であるから分布反力の代わりに有限個の集中反 力に置き換えるものとすれば，線支承は有限個の点支 持の集合とみなすことができ，これらに番号1，2…，

j…，Sを付す．支点ijの座標値を（ξia，ηjb）とする．

各支点に生ずる集中反力は長方形板の振動変位を拘束 する一種の強制力とみなすことができ，一般に中間支 点の座標（x．y）と時間tの関数q（xy，t）で与えら れる．このとき，本題の連続板の自由振動は，長方形 板に強制力q（X，y，t）が作用する強制振動とみなすこ

とができ，その微分方程式は次式で与えられる11）．

        ∂2W

      ＝q（x，y，t）        （1）

  D▽4w十ρh        ∂t2

 ここに，D＝Eh3／｛12（1一ク2）｝：板碑度， E：板の

  い一（∂2  ∂2∂X2十∂y2）2

式（1）の一般解はその斉次方程式からえられる余関数 W1と特殊解WOとの和で与えられるが， W1として

次式を仮定する．

  w1篇Wlsin（ωt十ε）

   ＝（Xsin Nπη十Y sin Mπξ）sin（ωt十ε）

       （2）

 ここに，ω：固有円振動数，ε：初期位相角，M， N

＝・1，2，…，X：ξのみの関数， Y：ηのみの関数，ξ＝

X／a，η＝y／b

式（2）を式（1）の右辺を零とおいた斉次方程式に代入 すれば，次の2式をうる．

  悪一2（Nπμ）2肇＋｛（半）4

   ヘ 一λ4｝ X＝O

        d2Y

d4Y        十｛（μMπ）4一   一2（μMπ）2

        dη2^dη4  λ4｝・Y＝0

（3）

 ここに，μ＝b／a（辺長比），λ＝a声ρhω2／D（固有値）

 式（3）の各式からλの下値に応じて一般解X，Yが それぞれ3種類求められるが，本題の連続板は周辺で 支持されるうえに，中間でも点支持されるから，単に 周辺のみで単純支持される長方形板のそれよりも構造 的に剛であり，したがって，その固有値λの初期値は 単純支持長方形のそれより大きいか等しいかのいずれ

かとなることが容易に推察できる．この事実から物理 的意義をもつ余関数w1が次の1式のみで表わされる

ことになる．

  w1＝｛（Ax sin死1ξ＋Bx cos死1ξ＋Cx sinhl尾1ξ    十Dx cosh：尾1ξ）sin Nπη十（Ay sin死2η＋By    cos死2η十Cy sinhX2η十Dy coshX2η）sinM

   πξ｝●sin（ωt十ε）      （4）

 こごに

  死、＝ハ2一（N・／μ）2，X・＝ハ2＋（Nπ／μ）2・

  死2＝μγ／λ2一（Mπ）2，X2＝μ〆λ2十（Mπ）2  次に特殊解Woを次のように誘導する．すなわち，

支点ijの垂直反力をV ijとすれば，これらは一般に tの関数であるが，板の変位がその全領域にわたって 零である場合には当然ながら全ての支点反力も零でな ければならないから，次のように変位wと同じ時間t の周期関数を仮定することができる．

  V ij＝Vijsin（ωt十ε）       （5）

式の（5）のVijは垂直反力の最大値であり，これを二 重正弦フーリエ級数に展開すれば次のように算定され る

      り

  ｛V・j｝一。会・mヨ、説・j・i・m・ξ・s ・・…

   sin rnπξsin nπη      （6）

 式（1）の右辺のp（x，y，t）は板に作用する全強制力 で，本題の連続板では支点反力の総和で与えられ，次

式のように表わされる．

・（・，…）一一 秩Ai茎、i茎、舳

   mπξiSinnπηjSinmπξSinnπηSin（ωt十ε）

       （7）

 他方，特殊解Woとして次式を仮定する．

  Wo＝Wosin（ωt十ε）

         こン 

  ＝Σ  Σ  G皿nsin mπξsin nπηsin（ωt十ε）

   m＝1n＝1

       （8）

 ここに，Gmn：任意定数

式（7）および式（8）を式（1）に代入すれば，任意定数 Gmnが求められ，式（4）および式（8）とを加え合わ せれば，式（1）の一般解wしたがって連続板の規準関 数W＝W1＋Woが次のように求められることになる．

  W漏（Ax cos死1ξ＋Bx sin死1ξ＋Cx coshX1ξ

   sin Mπξ＋Σ Σ Σ Σ』Vij rij（m，n）

       m・＝1n＝1 i＝1j＝1

   ・sin mπξsin nπη

 ここに，rij（m，n）・＝Sin mπξi Sin nπηj／｛（m2十 n2／μ2）2一λ，4／π4｝，Vij＝一4a2Vij／π4μD

 （2）振動方程式

 本法は任意の一対辺が単純支持され，他対辺が単純 麦持または固定の境界条件を有する一方向連続板につ いて適用可能であるが，本文では紙面の都合上周辺が 単純支持される場合のみ取り扱うこととする．本四の 境界条件を次のように書き表わすことができる．

       ∂2W   ξ＝0，1でW＝0，

      ＝・0

       ∂ξ2       （10）

       ∂2W       ＝O

  FO，1でW＝0，

       ∂η2

式（9）を式（10）に代入すれば次の連立方程式をうる．

  （（Klo））（（0））

  （（0））（（K20））

 Dy｝T＝（（0）＞8

ここに

（（Kδ））44＝

  0   0  sin死1

 1 一層

｛AxBx CxDx AyByCy

一X釜sin死1 一死…cOS死1

＼

（（K＆））44＝

  0       1

（11）

 0       1

 0    畷

sinhX 1    ，coshりζ1 X釜sinhX1 ）ζ釜cosh）ζ1

 0

sinhX2 X豊sinhX2

轟〕

（（Ol）44：4行4例の零行列，（（0））8：8行の零ベク

 次に中間点支持される座標では板のたわみが零でな ければならないことから，次に示す一連の変形条件を

うる．

  W（ξka，η1b）＝0       （12）

 ここに， k＝1，2……，r， 1＝＝1，2，……，s

式（9）を式（11）に代入すれば，次のような連立方程式 がえられる．

〔（（Kl＞）・…（（Kl＞）・…（（H・j））…r・〕・X一（（・）廊

       （13）

 ここに，X＝｛AxB耳CxDxAyBYCyDy

Vll V12…Vls…Vij…Vrs｝T

（（K1．））＝

 ユ」

（《H j））＝

衷ｺ

sin死1ξ1 sin Nπη1 sin死1ξ1 sin Nπη2 sin死iξi sinNπηj sin死rξr sin Nπηs sin Mπξ1 sin死2η1 sin Mπξ1 sin死2η2 sinMπξi sin死2ηj sinMπξr sin死2ηs

H：1釜

H￥、

H猛

cos死1ξ1 sin Nπη1 cOS死1ξ1 sin Nπη2 cos死iξi sin Nπηj COS死rξr sin Nπηs sin Mπξ1 cos死2η1 sin Mπξ1 cos死2η2

sinMπξi cos72ηj sinMπξrcos死2ηs H琵……H島1……H｛㌧1

H｝舞……H｝〜……Hl〜

H￥2……Hll……Hll

H践……Hぎ夢……H霊雪  ここに（（0》）。S：rs行の零ベクトル

   ξ・一ξ・・＋j響 …一，辛Pξ…i翻

 の支承がX軸を切る座標，θi：i番目の支承がX軸

 と交わる角度，踏｝瓢Σ Σ rij（m，n）sinm          l」m＝1n＝1

 πξksinnπη1

式（11）および式（13）が未知数Ax〜Dx， Ay〜Dyおよ び垂直反力Vk1を求めるため基本連立方程式の全構成 内容であるが，定数項はいずれも零である．したがっ て，解が存在するためには上述の連立一次方程式の係 数行列式の値が零でなければならないことからいわゆ る振動数方程式が次のようにえられる．

   （（Kδ））44 （（0））44 （（0））4rs        ＝0

   （（0））44   （（K＆））44   （（0））4rs

   （（K｝」）沁，4（（K籍》廊、（（H・j）廊。，（14）

なお，式（14）の演算にあたって，これを直接解く代わ りに次の3つに分けて解くことが実用上好都合である．

1（（K志））441一・・（（K若））441一・ （・5）

  1（（H・j）帰一・       （16）

 ここで，式（15）の解は周辺単純支持長方形板の固有 値で，式（14）の必要条件であるが十分条件ではなく，

これよりえられる固有値群の中には本題の固有値とし て不要なものも含まれているので注意を要する．式

（16）の解は全て式（14）の固有値であり，本四の固有値

3．計算例

 辺長比μ＝・0．5の周辺単純支持長方形板が1本の剛 支承にて麦えられら2スパン連続板について固有値お

sinh）ζ1ξ1 sin Nπη1 sinh X1ξ1 sin Nπη2 sinhl尾iξi sinNπηj sinh l尾rξr sirNπηs sin Mπξ1 sinh）ζ2η1 sin Mπξ1 sinh X2η2

sinMπξi sinhX2ηj

…hX・ξ・si・Nπ・・／

・・sh X・ξ・si・Nπη2 i cosh Xiξi sin Nπηj cosh：尾rξr sin Nπηs sin Mπξ1 cosh X2η1 sin Mπξ1 cosh X2η2 sinMπξi cosh X2ηj

sinMπξr coshX2ηs

よび振動モードを求めれば次のとおりである．なお，

支承の配列角度は任意とし，支承の中央が板の中央に 合致するものとする．また，剛支承を置換する点支持 の個数については収束計算を行なった．すなわち，点 支持の個数を順次増加させていき，えられた固有値の 小数点3回目の変化量が1以下になる値を本題の固有 値とみなす計算方法に従った．支承の配列角度が90。，

60。，450および26。34 （対角線〉の4ケースについて 5次までの固有値を示せばTable 1の（a）欄の結果 をうる．Table 1において右肩に＊を付した固有値 は式（15）からえられたことを明らかにし，また＊印の ない固有値は式（16）からえられたヒとを示すものであ る．なお，〔〕内の数値は収束に要した支点の数で ある．θ＝90。の場合には既往の方法により厳密解8）

をうることができ，Table 1の（b）欄に示すとおり である．また，90。60。および45。の場合にはエネル ギー法による結果および実験値10）が報告されている が，比較・対照のために，これらを併記すれば，Ta−

ble 1の（c2および（d）欄のとおりである． （c），

（d）欄における（）内の数値は本法に対する差の百

分率（％）を示す．

 Fig．2は，各次の固有値と支承の配列角度との関 係をプロットしたものである．図より明らかなように 支承の配列角度が減少するにつれて，3次の固有値を 除いていずれも増加することがわかる．3次の固有値 は60。付近において最小値をもつが，その変化の割合 は小さいといえる．したがって，本中のような板構造 では中間支承を斜めに配置する方が直角の場合よりも 振動に対しては有利であることが予想される．

 固有値が明らかとなれぽ振動モードが算出可能とな る．各ケースの振動モードを示せばFig．3のとおり である．θ＝90。の場合の1次，3次および4次の固

Table 1 Variation of eigenvalue of first five mode of a rectangular plate with supPort angle

θ order 1st 2nd 3rd 4th 5th

90。

60。

45。

（a）

（b）

（c）

（d）

（a）

（c）

（d）

（a）

（c）

（d）

8．8857 8．8857

9．28（4．4）

9．36〔12〕

9．46（1．2）

9．76（4．4）

10．01〔17〕

10．15（1．4）

10．50（4。9）

9．726〔8〕

9．7255

10．32（6．1）

9．97〔12〕

10．07（1．0）

10．52（5．5）

10．49〔19〕

10．62（1．2）

11．09（5．7）

14．0496

14．0996

14．26（1．5）

13．75〔9〕

13．99（1。7）

13．72（一〇．2）

13．82〔19〕

14．07（1．8）

14．22（2．9）

14．0496 14．0496

14．38（2．3）

14．26〔13〕

14．54（2．0）

14．94（4．8）

14．66〔22〕

15．20（3．7）

15．32（4．5）

14．378〔8〕

14．3770

15．73（9．4）

15．11〔15〕

15．36（1．7）

15．97（5．7）

15．91〔13〕

16．37（2。9）

16．7ユ（5．0）

26．34

P

18

・1

16

14

12

10

8

5t11

4th Rrd

2nd

撃唐

90。      60。       30。一一こ」一θ

Fig．2 Plots of eigenvalues vs． support

有値は中問麦承の垂直反力を生じない逆対称振動に対 応するもので周辺単純支持長方形板の固有値のうち，

中間支承において節を生ずるような固有値と同じもの である．2次および5次の固有値は中間支承に垂直反 力を生ずる対称振動に対応し，本例では中間支承の位 置で固定された正方形の固有値と同じものである．配 列角度θがgoo以外の固有値はいずれも中間支承に垂 直反力を生ずる振動モードを持ち，90。の場合に比較

して複雑な波形をもつことがわかる．

 Table 1よりθ＝90。の直角配列の場合には本法に よる結果が厳密解ときわめて良い精度で合致しており，

o」ご 90。 60。 45δ 26。34ノ

2nd

3rd

4th

5tl

二

匿甕薩覇

Fig．3 Normal modes of a rectangular plate

本法が直角配列の連続板の固有値の算定に有効である ことが立証される．また，θ＝gooの場合のエネルギ ー法による結果には4次および5次振動において約2

％の誤差が見受けられる程度で，厳密解と良好な：一・致 を示している．

 次に配列角度が90。からはなれてくると，本法とエ ネルギー法の差が増加し，次数が高くなるほど顕著と なるが，その割合は高々4％程度で，斜支承の場合で も両者が十分な精度で合致している．また，各ケース について本法と実験値を比較してみると，両者の差異 は90。の場合と同じで配列角度の大きさの変動の影響 を受けないことがわかる．．したがって，本法を斜支承 を有する連続板の固有値の算定に適用することが可能

で，精度の高い解析法であるといえる．

 Fig．4は2次および5次の固有値について収束を 要した支点の数rと配列角度θとの関係をプロットし

24

・1

20

16

12

8

4 90。

Fig．4

5th

2nd

     600         

Plots of number of point supPorts vS． SupPort angleS

たものである．図より明らかなようにθ＝90。の場合 が最も少ない支点の数で収束するが，θが減少して 90。から離れてくるに従って多くの支点を必要とし，

θ＝45。の場合には，90。の場合の倍以上の支点を必 要とする。配列角度が対角線に合致すると支点の教が 逆に少なくなる．また当然ながら次数の高い方が多く

の支点の数を必要とすることがわかる．支承の角度が 小さいほど支承の長さが長いことや，次数の高いほど 反力分布の形状が複雑となることから推察すれば角度 が小さく，次数：が高いほど支点の数を多くとる必要が あるものと考えられるが，対角線配列の方が45。付近 よりも収束が早いことについては後述する．Fig．5 および6は2次および5次振動の固有値の収束状況を 支承の配列角度を支承の配列角度をパラメーター一にプ

ロットしたものである．図より明らかなようにエネル ギー法と同程度の精度をうるには支点の数を3〜5個 とれば十分であることがわかり，本法が実用的である といえる．支承の数が3〜5個程度の分割数の小さい 領域では角度が90。からはなれ、小さくなるほど精度 が落ちるようである．支点の数が増加するに従って，

当然ながら各次の固有値は増大し一定値に収束してい

くが，90。の場合が最も早く，次いで60。，26。34ノ，

45。の順に収束することになり，対角線の方が45。の 場合よりも早く収束する結果となる．次に固有値の収 束状況について若干の検討すれば次のとおりである．

周辺単純支持長方形板に分布外力q・sinπξsinπη が作用する場合の板のせん断力QxおよびQyは次式

100．0

％｛

99．5

99．0

98．5

go。 60。    26。34！    45。

 ！

^

〆ノ ！

ノ

！

！

1

1

i

「

3

Fig．5

100．0

％／

99．5

99．0

98．5

7111519＿＿二＝踊．23

      r

Convergence ratios of 2nd order

30。 60。    26。34■     45。

／

！ ^，一 一

 ノm

， 

／

 ／

I

37111519＿＿＿＿｝23

Fig．6 Convergence ratios of 5tll order 、

    eigenvalues 

のように与えられる12）．

     qoa   COSπξsinπη，

  Qx＝

    π（1＋μ2）

  Q・一。器・）・i・・ξ・…η  （17）

座標変換の公式を用いて，板に配列された剛支承に沿 う断面のせん断力Qθは次のように表わされる．

  Qθ＝一Qx sinθ＋Qy cosθ        （18）

したがって式（17）および式（18）から，y＝0の辺に沿 うせん断力Qθが次のように求められる．

     qoa   sinπξcosθ      （19）

  Qo＝

    π（1＋μ2）

上式から板のせん断力Qθは板の辺に沿って板の偶中 で零，かつ中央点で最大となる正弦波形で分布する．

 また，COSθが零となる板の辺に直角な方向のせん

断力は零である．

 本題の振動問題では，板面全領域に作用する慣性力 と支点反力からなる力が作用するために本例と同様な 議論が成立することが推察される．したがって，板が 振動する際中間には垂直反力を生ずるが，長方形板の 支持辺に式（19）で表わされるようなせん断力の存在す るため，支承の端部の反力が有限で，θニgooと26。

34 の対角線の場合にのみ零となることが予想される．

各ケースについて中間支承の反力分布を求めれば，

Fig．7の結果をうる．図よりθ＝・go。の場合には中

匪

Fig．7

1経⊥∴∵翌『

      i7∠＼rri▽ムワ…

Vertical reaction distributions of the interior edge

間支承の反力は正弦波状の分布をし，θ＝26。34 （対 角線）の場合は支承の端部で零となる冷めらかなカー

ブで表われる．一方，60。および45Qの場合において は支承の端部における垂直反力の大きさが最大となり，

端から2番目の反力が3番目のそれよりも小さくなる 傾向がある．このような傾向は90。および対角線配列 の場合には全く見受けられないものである．なお，本 題の連続板の反力分布は支承の中央に対して対称もし

くは逆対称となるが，対称性あるいは逆対称性の計算 精度には固有値の小数点4桁目までの有効数学が必要 であるが，反力分布に関するこのような傾向は固有値 の計算精度や連立1次方程式の解法には全く無関係な

ことは数：値的に確認している．

 Fig．8はθ・＝60。の1次振動について，各種の支点

1・＝3，λ＝9。2825 r＝5，λ＝9．3267

r＝7，λ＝9．3407 r＝9，λ冨9．3471

r＝11λ＝9．3506   ，

r＝13，λ＝9．3528

Fig．8 Vertical reaction distributions of     the support withθ＝・60。 for various     numbers of point supports〔1st order〕

の数に対する反力分布をプロットしたものである．支 点の数が増加するに従って，端部の反力の値が中間部 のそれらに比較して大きくなり，端から2番目の反力 が逆に小さくなる傾向を示す．これらを除く内部の支 点の分布形状は変化は少ないようである．さらに Fig．9はθ＝60。の1次の固有値について支承の分割 点を支承の端部で多く，中央部で粗く取った場合（○，

●および△印）と等分割の場合（□印）とを比較した ものである．端部の反力の大きさは支点の位置および 数によって大きく変化するが，支承の内部の反力分布 形状は端部の影響をほとんど受けないことおよび固有 値に及ぼす影響ときわめて小さいことがわかる．固有 値は内部の支承反力分布によって決まるようである．

 Fig．10は1次および2次振動について，支点の数 rが9の場合の配列角度の変化にともなう反力分布の 変動を示したものである．図より明らかなように支承 の反力分布は配列の角度の変動に伴なって連続的に変 化する．

，0

一1

0．1 0。2 0．3 0．4

0  i 。i

＿一＿＿＿一一＿＿一L＿一．一一一．L＿＿＿．

1F

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一「鉱 u｝

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 Fig．9      the

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」

1ヨlillii｝・1仙

ロー一一λ一9．3548  h〔IIIu

「一

Vertical reaction distributions of

 Fig．3においてθ＝60。および45。の場合の固有 値の収束が遅くなるのは，反力分布のもつ上記述の特 性によるものと考えられる．

 以上の考察から斜支承を有する連続板の振動問題に おいて，支承の配列角度が90。および対角線を除く任 意の場合には支承の反力分布が端部付近で複雑な形と なる．明確な理由は現在のところ不明であるが，これ は支承反力が端部で零にならない場合の線麦承を点麦 持に置換することに起因するものと考えられる．しか しながら端部における反力は中央部における反力分布 や固有値の演算結果にはほとんど影響を及ぼさない．

したがって，本法を用いて斜支承を有する連続板の固 有値：および振動モードを求めるについては何らさしつ

かえないこととなる．

4．結 ^語

θ 1）rder

90。

87．5。

85。

80。

70。

60。

45。

1st

 1

30．

P

26。34ノ

211d

）〜

Fig．10

Vertical reaction distributions for

 本論文は，斜麦承を有する連続板の固有値算定法を 提案するとともに，2，3の連続板の数値解析を行な

ったものであるが，えられた結果を要約すると，

 1）斜支承を有する連続板の振動問題を線支承を有 限個の点支承に置換する方法を提案することにより，

数：学的取り扱いを容易にした．

 2）支承の配列角度が直角の場合には少ない分割数：

で厳密解と合致する解がえられた．また，既往のエネ ルギー法による結果も厳密解ときわめて良い精度で合 致していることがおかった．

 3）斜支承を有する連続板の固有値はエネルギー法 による結果と高々4％の差異が認められるのみである。

また，実験値と比較すると，支承の配列角度に無関係 に直角配列の場合と同程度の差異で合致していること がわかり，本法が連続板の固有値および振動モードを 十分な精度で予測するものと期待される．

 4）エネルギー法と同程度の精度の解をうるには，

支点の数を3〜5個とれば十分であり，きわめて実用

的である．

 5）支承の配列角度が減少するに従って固有値は一 般に増加する．振動に対する板の補強効果は直角より

も斜めの方が有利であることが考えられる．

 6）支承の配列角度が直角からはなれてくるほど，

次数が高くなるほど，固有値の収束が遅くなる．精度 を上げるには支点の数を多く必要とするが，この理由

，として支承反力が端部で有限であるために反力分布が 端部の点で乱れることによるものと考えられる．配列 角度が対角線に合致すると再び収束が早くなる．

 7）中間支承反力は直角および対角線配列の場合に は端部で零となる滑らかなカーブの分布を示すが，そ

の他の場合には端部で最大で，2番目の支点が小さく なる結果となる．固有値や振動モードの算定には内部 の支点の反力分布が関係し，端部のものの影響は少な

いようである．

 剛支承の代わりに弾性ばりにて支えられる連続板に 拡張することは現在考察中である．長方形帯板要素を 用いる有限帯板法を修正して一般の4辺形帯板を用い る方法13）を用いて解析することも可能で，本法によ る結果の検討に有効であると考えられるが，これらに ついては今後の研究にまちたい．

 最後に本研究を行なうにあたり，エネルギー法によ る解析結果および実験結果を提供された航空技術研究 所林洋一氏ならびに有益な助言を頂いた本学部福地信 義助教授に記して謝意を表する次第である，なお，計 算には九州大学の大型計算機FACOM 230−60を使用 したが，便宜をはかって頂いた九州大学大型計算機セ ンター西利協および図書室の方々，計算および図面の 整理に協力頂いた本学土木構造研究室三山幸隆・永田 正美両技官ならびに卒業研究として協力頂いた夏秋i義 広君（現在片山鉄工所）に感謝する．

参考文献

1）栖原：平面板の自由振動に及ぼす防挑材の影響に  ついて，造船協会会報，第78号，昭和22年5月 2）Thein Wah：Vibrations of Stiffened Plates，

 The Aeronautical Quarterly， Vol，15，1964 3）樋口：二二矩形板の自由振動について，造船協会  論文集第88号，昭和25年11月

4）樋口：電子計算機による二丁矩形板の固有振動数

 の計算（基の1），日本造船学会論文集第120号，

 昭和41年11月

5）樋口：電子計算機による防携矩形板の固有振動数  の計算（基の2），日本造船学会論文集．第125号，

 昭和44年5月

6）C．A． Mercer and C． Seavey：Prediction of  Natural Frequencies and Normal Modes of  Skin・Stringer Panel Rows， J． Sound Vib．，

 Vo1．6，1967

7）山崎・樗木・横田：連続等方性矩形板の固有値算  定法，九州大学工学集報第40巻，第5号，昭和42  年9月

8）山崎・樗木・高橋：応力法による一方向連続矩形  板の自由振動，九州大学工学集報．第42巻，第5号，

 昭和44年10月

9）樗木・高橋：応力法による一方向連続矩形振の自  由振動（続報），九州大学工学集報，第44巻，第6  号，昭和46年12月

10）林・川井：連続板の振動について，第ユ5回構造強  度に関する講演会講演集．昭和48年7月

11）高橋・樗木：周辺単純支持直交異方性板構造の自  由振動，長崎大学工学部研究報告．第2号，昭和46  年12月

12）S．Timoshenko and S． Woinowsky・Krieger

  Theory of Plates and Shells，2nd． Edition，

 New York MacGraw Hill Book Co．，1955 13）大坪・北野：固有関数を用いた有限要素法による  補強平板の曲げ及び座屈解析，日本造船学会論交集  第134号，昭和48年