次式で割った  余りを求めなさい。

名前 (       ）

例題

剰余の定理

(1) (2)

解

 を次の

次式で割った  余りを求めなさい。

P(x) = x

+ 2x

− 2 x + 6

(1)

(2)

剰余の定理

例

   の整式   を   の

次式   で割った余り   は，  に数 (      )を代入した値   に等しい。

x P(x) x 1 x −k R

x P(k)

割られる式 = 割る式   商   余り

P(x) = (x − k)Q(x) + R x + 1 x − 2

(3) x + 3 ⁽⁴⁾ x − 4

(3)

(4)

 を   で割った余りを  求める

P(x) = x³ + 2x² −x + 2 x −1

 に   を代入すると，

x k

P(k) = (k − k)Q(k) + R P(k) = R

0  ^になる

P(1) = 1³+ 2 ⋅ 1² − 1 + 2 = 4

P(−1) = (−1)³ + 2 ⋅ (−1)² − 2 ⋅(−1) + 6

= 9

P(2) = 2³ + 2 ⋅2²− 2⋅ 2 + 6

= 18

P(−3) = (−3)³+ 2 ⋅ (−3)²− 2⋅ (−3) + 6

= 3

P(4) = 4³ + 2 ⋅4²− 2⋅ 4 + 6

= 94

k

解

2

練習問題１ 練習問題２

(1) (2)

 を次の

次式で割った  余りを求めなさい。

P(x) = x

− 5x

+ 3x − 4

(1)

(2)

x + 3 x − 3

(3) x + 4 ⁽⁴⁾ x − 4

(3)

(4)

P(−3) = (−3)³ − 5 ⋅ (−3)² + 3 ⋅(−3) − 4

= − 85

P(3) = 3³− 5⋅ 3²+ 3 ⋅ 3− 4

= − 13

P(−4) = (−4)³ − 5 ⋅ (−4)² + 3 ⋅(−4) − 4

= − 160

P(4) = 4³− 5⋅ 4² + 3 ⋅ 4− 4

= − 8

解

(1) (2)

 を次の

次式で割った  余りを求めなさい。

P(x) = x

+ 3x

− x + 7

(1)

(2)

x + 1 x − 1

(3) x + 2 ⁽⁴⁾ x − 2

(3)

(4)

P(−1) = (−1)³ + 3 ⋅(−1)² − (−1) + 7

= 10

P(1) = 1³ + 3 ⋅1² − 1 + 7

= 10

P(−2) = (−2)³ + 3 ⋅(−2)²− (−2) + 7

= 13

P(2) = 2³ + 3 ⋅ 2² − 2 + 7

= 25

名前 (       ）

剰余の定理

例題２

剰余の定理 (応用ver.)

解

整式   を  ，  で割った余りがそれぞれ   ，  で あるとき，  を   で割った余りを求めなさい。

P(x) x + 1 x −2 −5 1

P(x) (x + 1)(x − 2)

P(x) = (x + 1)(x − 2)Q(x) +ax +b

例題１

解

整式   を   で割った余りが 

 であるとき，定数   の値を求めなさい。

P(x) = x³+ ax² + 5x −3a x + 3

12 a

(−3)³ + a ⋅ (−3)² + 5 ⋅(−3) − 3a = 18

剰余の定理により P(− 3) = 18  であるから

6a = 60 a = 10

 を   で割った余りを   とおいて，

商を   とすると，次の等式が成り立つ

P(x) (x + 1)(x − 2) ax +b Q(x)

 で割った余りが   であるから

x + 1 −5 P(−1) = − 5

 で割った余りが   であるから

x −2 1 ^{P(2) = 1}

この等式より，P(−1) = −a+ b, P(2) = 2a +b

よって −a +b = −5, 2a +b = 1

求める余りは 2x − 3 P(x) = (x − k)Q(x) + R

 に   を代入すると

x k P(k) = (k − k)Q(k) + R

0  になる

P(k) = R

 を   次式   で割った余りは 

 次式 (       )になる!!

P(x) 2 (x + 1)(x − 2) 1

名前 (       ）

剰余の定理

 の整式   を   の 次式   で割った余り   は，

 に数 (      )を代入した値   に等しい。

x P(x) x 1 x −k R

x

k

ax +b

これを解いて，a = 2, b = − 3

解

4

練習問題１ 練習問題２

解

整式   を   で割った余りが 

 であるとき，定数   の値を求めなさい。

P(x) = x³−3ax² +x + 5a x −2

−4 a

2³ − 3a⋅ 2² + 2 + 5a = − 4

剰余の定理により P(2) = − 4  であるから

−7a = − 14 a = 2

名前 (       ）

剰余の定理 (応用ver.)

整式   を  ，  で割った余りがそれぞれ   ， で あるとき，  を   で割った余りを求めなさい。

P(x) x − 3 x + 4 −6 15 P(x) (x −3)(x + 4)

P(x) = (x −3)(x + 4)Q(x) +ax +b

 を   で割った余りを   とおいて，

商を   とすると，次の等式が成り立つ

P(x) (x − 3)(x + 4) ax + b Q(x)

 で割った余りが   であるから

x −3 −6

 で割った余りが   であるから

x + 4 15

この等式より，P(3) = 3a +b, P(−4) = −4a +b

よって 3a + b = −6, −4a +b = 15

求める余りは −3x + 3

これを解いて，a = −3, b = 3

P(3) = −6 P(−4) = 15

よって，

 の因数であるものは

因数定理 

例題

因数定理

 の整式   が   の

次式   を因数にもつとき， 

 に数   を代入した値   は (      ) になる。

x P(x) x ¹ x − k

x k P(k)

 なので，

P(k) = 0 ⟹ R = 0

例

(1) (2)

次の

次式のうち，整式   の因数で  あるものはどれか。

1

P(x) = x

− 7x + 6

P(1) = 1³ − 7⋅ 1 + 6 = 0

よって， P(x) = x

− 7x + 6  の因数であるものは

P(−2) = (−2)³ − 7 ⋅(−2) + 6 = 12

x − 1 x + 2

(1) (2)

(1)

次の  次式のうち，整式   の

因数であるものはどれか答えなさい。

1 P(x) = x³− x²− 10x − 8

(1) (2)

解

(1) (2)

x + 1 x − 2

(3) x + 3 ⁽⁴⁾ x − 4

(3) (4)

P(−1) = (−1)³ − 1⋅ (−1)² − 10 ⋅ (−1) − 8 = 0 P(2) = 2³ − 1 ⋅ 2² − 10⋅ 2 − 8 = − 24

P(−3) = (−3)³− 1 ⋅ (−3)² − 10 ⋅ (−3) − 8 = − 14 P(4) = 4³ − 1⋅ 4² − 10⋅ 4− 8 = 0

(1) (4)

名前 (       ）

0

P(x) = (x − k)Q(x)

P(x) = (x −k)Q(x) +R

0

6

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

因数定理 

よって，

 の因数であるものは

次の  次式のうち，整式   

の因数であるものはどれか答えなさい。

1 P(x) = x³+ 3x² − 16x − 48

(1) (2)

解

(1) (2)

x + 3 x − 3

(3) x + 4 ⁽⁴⁾ x − 4

(3) (4)

P(−3) = (−3)³ + 3⋅ (−3)² − 16 ⋅ (−3) − 48 = 0 P(3) = 3³ + 3 ⋅ 3² − 16⋅ 3 − 48 = − 42

P(−4) = (−4)³+ 3 ⋅ (−4)² − 16 ⋅ (−4) − 48 = 0 P(4) = 4³ + 3⋅ 4² − 16⋅ 4− 48 = 0

(1) (3) (4)

よって，

 の因数であるものは

次の  次式のうち，整式   

の因数であるものはどれか答えなさい。

1 P(x) = x³ + 2x²− 13x + 10

(1) (2)

解

(1) (2)

x + 1 x − 1

(3) x + 2 ⁽⁴⁾ x − 2

(3) (4)

P(−1) = (−1)³ + 2⋅ (−1)² − 13⋅ (−1) + 10 = 24 P(3) = 1³+ 2 ⋅ 1²− 13 ⋅1 + 10 = 0

P(−4) = (−2)³+ 2 ⋅ (−2)²− 13 ⋅ (−2) + 10 = 36 P(4) = 2³ + 2 ⋅2² − 13⋅ 2 + 10 = 0

(2) (4)