名前 ( ）
例題
1
剰余の定理
(1) (2)
解
を次の
次式で割った 余りを求めなさい。
P(x) = x
3+ 2x
2− 2 x + 6
1剰余の定理
例
の整式 を の
次式 で割った余り は， に数 ( )を代入した値 に等しい。
x P(x) x 1 x −k R
x P(k)
割られる式 = 割る式 商 余り
× +P(x) = (x − k)Q(x) + R x + 1 x − 2
(3) x + 3 (4) x − 4
を で割った余りを 求める
P(x) = x3 + 2x2 −x + 2 x −1
に を代入すると，
x k
P(k) = (k − k)Q(k) + R P(k) = R
0 になる
P(1) = 13+ 2 ⋅ 12 − 1 + 2 = 4
解
練習問題１ 練習問題２
(1) (2)
を次の
次式で割った 余りを求めなさい。
P(x) = x
3− 5x
2+ 3x − 4
1x + 3 x − 3
(3) x + 4 (4) x − 4
解
(1) (2)
を次の
次式で割った 余りを求めなさい。
P(x) = x
3+ 3x
2− x + 7
1x + 1 x − 1
(3) x + 2 (4) x − 2
名前 ( ）
剰余の定理
例題２
3
剰余の定理 (応用ver.)
解
整式 を ， で割った余りがそれぞれ ， で あるとき， を で割った余りを求めなさい。
P(x) x + 1 x −2 −5 1
P(x) (x + 1)(x − 2)
例題１
解
整式 を で割った余りが
であるとき，定数 の値を求めなさい。
P(x) = x3+ ax2 + 5x −3a x + 3
12 a
P(x) = (x − k)Q(x) + R
に を代入すると
x k P(k) = (k − k)Q(k) + R
0 になる
P(k) = R
を 次式 で割った余りは
次式 ( )になる!!
P(x) 2 (x + 1)(x − 2) 1
名前 ( ）
剰余の定理
の整式 を の 次式 で割った余り は，
に数 ( )を代入した値 に等しい。
x P(x) x 1 x −k R
x P(k)
解
練習問題１ 練習問題２
解
整式 を で割った余りが
であるとき，定数 の値を求めなさい。
P(x) = x3−3ax2 +x + 5a x −2
−4 a
名前 ( ）
剰余の定理 (応用ver.)
整式 を ， で割った余りがそれぞれ ， で あるとき， を で割った余りを求めなさい。
P(x) x − 3 x + 4 −6 15 P(x) (x −3)(x + 4)
5
因数定理
例題
因数定理
の整式 が の
次式 を因数にもつとき，
に数 を代入した値 は ( ) になる。
x P(x) x 1 x − k
x k P(k)
なので，
P(k) = 0 ⟹ R = 0
例
(1) (2)
次の
次式のうち，整式 の因数で あるものはどれか。
1
P(x) = x
3− 7x + 6
P(1) = 13 − 7⋅ 1 + 6 = 0
よって， P(x) = x3 − 7x + 6 の因数であるものは
P(−2) = (−2)3 − 7 ⋅(−2) + 6 = 12
x − 1 x + 2
(1) (2)
(1)
次の 次式のうち，整式 の
因数であるものはどれか答えなさい。
1 P(x) = x3− x2− 10x − 8
(1) (2)
解
x + 1 x − 2
(3) x + 3 (4) x − 4
名前 ( ）
P(x) = (x − k)Q(x)
P(x) = (x −k)Q(x) +R
0
練習問題１ 練習問題２
名前 ( ）
因数定理
次の 次式のうち，整式
の因数であるものはどれか答えなさい。
1 P(x) = x3+ 3x2 − 16x − 48
(1) (2)
解
x + 3 x − 3
(3) x + 4 (4) x − 4
次の 次式のうち，整式
の因数であるものはどれか答えなさい。
1 P(x) = x3 + 2x2− 13x + 10
(1) (2)
解
x + 1 x − 1
(3) x + 2 (4) x − 2
