関数 y=a x^2

第3 学年 数学科学習指導案 １ 単元名 関数 y =a𝑥2 ２ 指導観 ○ 日常生活では，観察や実験などによって取り出した二つの数量について，事象を理想化し単純化すること によって，それらの関係をy =a𝑥2_{とみなし，説明することができる事象がある。例えば，車のスピードと制} 動距離の関係を考察する際には，観察や実験によるデータの点がグラフで放物線上にあることから見当を付 け，制動距離が車の時速の2乗に比例するとみなして，表，式，グラフを適切に用いて与えられた速度の停 止距離を予測することができる。 本単元では，具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して関 数y =a𝑥2_{について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を伸ばすことがねらいである。} 学習内容は，いろいろな事象の中に，関数関係があることを理解すること，関数y =a𝑥2_{を手際よく式や} グラフなどに表すことができること，事象を関数 y =a𝑥2を用いて捉え説明する活動を通して，考察し表 現する力を養うことが目標である。関数y =a𝑥2_{の関係を見いだし，その関係や性質を使って問題を解決} しようとする本単元の学習は大変意義深いと考えられる。 ○ 生徒はこれまで，小学校から簡単な比例・反比例について学習し，中学校1年では比例・反比例，2年では 一次関数を表・式・グラフを関連付けながら学習してきた。 本学級の生徒は，男子20名，女子20名の40名の学級である。4月に行われた標準学力分析検査の結果では， 「関数」の領域の得点率は48％で，「方程式」や「図形」が60％以上の得点率があることと比べると学習の 定着が低いといえる。また，数学的な技能や数量や図形などについての知識・理解で評価Aを取った生徒の 割合が50％以上あったのと比べて，数学的な見方や考え方でA評価を取った生徒の割合が29％と低い結果に なっている。これらのことから，数学的活動を通して，思考力・判断力・表現力を高めていく必要があると 考える。関数関係の確認と既習の関数の特徴を丁寧に振り返らせ，話合いをする場面では，自分の考えを数 学的な表現を用いて分かりやすく，根拠を明確にして人に伝えられるように指導する。 ○ 本単元の指導にあたっては，表，式，グラフを相互に関連付けながら，比例，反比例，一次関数以外の 代表的なものとして関数y =a𝑥2_{を取り扱い，変化の割合やグラフの特徴など関数の理解を一層深める。そ} こで，既習の関数関係を振り返らせて，比例，反比例，一次関数との共通点や相違点を確認しながら進め る。そのためにまず，関数y =a𝑥2_{についてｙは𝓍の２乗に比例することの意味や既習の関数では表せない} 関数があることを理解させる。ここでは，具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や 対応を調べることを通して，既習と違う関数関係の存在に気づかせ，それがy =a𝑥2_{という式で表されるこ} とを見いださせる。次に，関数y =a𝑥2について，表，式，グラフを相互に関連付けて理解させる。ここで は，表において関数の変化の様子をつかみ，グラフによって関数の変化や対応の特徴をとらえさせる。さ らに，関数y =a𝑥2_{では，変化の割合が一定ではないので，表やグラフによって既習の関数と比べることに} よってそのことの理解を深める。最後に，身のまわりの事象を関数y =a𝑥2としてとらえ，変化の様子を説 明することを通して，関数関係を見いだし表現し考察する能力を伸ばす。また日常の事象や社会の事象に は既習の関数では捉えられない関数関係があることを学習することにより，関数の概念の広がりを実感で きるようにし，中学校における関数についての学習内容を一層豊かにするとともに，後の学習の素地とな るようにする。 ３ 目標 ○ 関数 y =

a

y =

a𝑥

y =

a𝑥

４ 指導計画【全１５時間】 関：関心・意欲・態度 考：見方や考え方 技：技能 知：知識・理解 配時 学習活動・内容 指導上の留意点 評価規準・方法 2 １ 関数 y = a𝑥2 _{○ ボールが斜面をころがる実験などから，事象の} 中にはy = a𝑥2_{で表される関数関係があることを} 知り，その特徴を理解させる。 関：関数y = a𝑥2_{のとる値の変化や対} 応のようすを，表をつくって調べ その特徴を2乗に比例する関数と してとらえようとしている。 3

２ 関数y = a𝑥2_{のグラフ ○ 関数y = a𝑥}2_{のグラフとその特徴を既習学習内}

容と比較する活動を通して，関数y = a𝑥2_のグラ フをかけるようにする。 ○ ペアでの活動や班での交流をすることで，前時 との違いを確認しながら理解させる。 技：関数y = a𝑥2_{のグラフを的確に} かくことができる。 知：放物線，放物線の軸，放物線 の頂点の意味と関数y = a𝑥2_のグ ラフの特徴を，既習の関数と関 連付けて理解している。 2 ３ 関数y = a𝑥 2_{の値の増減と変域 ○ グラフを使って，関数y = a𝑥}2_{の y の増減を調} べ，x の変域から y の変域を求めさせる。 技：関数 y = a𝑥2_{について，xの変} 域が与えられたとき，yの変域を 手際よく求めることができる。 3

４ 関数y = a𝑥2_{の変化の割合 ○ 関数 y = a𝑥}2_{のとる値の変化の割合について調}

べ，一次関数との違いを明らかにさせる。 考：関数y =a𝑥2_{の変化のようす} を表やグラフを使って一次関 数と比較し，変化の割合が一 定でないことを導くことがで きる。 ４ ( 本 時 ３ ／ ４₎ ５ いろいろな事象と関数 ・関数y =a𝑥2の利用 ・いろいろな関数 ○ 身のまわりに関数y = a𝑥2_{と関わりの深い事象} があることを知り，y = a𝑥2_{の関係を利用して，} 問題を解決することができることを実感させ る。 ○ 身のまわりの事象の中には，既習の関数では とらえられない関数関係があることを理解さ せ，それらを表やグラフを用いて考察させる。 考：身のまわりの事象の中から 関数y = a𝑥2_{の関係を見いだしそ} の関係や性質を利用して問題を 解決することができる。 知：身のまわりの事象の中には，既 習の関数ではとらえられない関 数関係があるが，表やグラフを 用いて変化や対応のようすが調 べられることを理解している。 １ ６ 基本のたしかめと単元テスト _{○ 単元テストを実施し内容の定着を図る。} 考・表・知：単元確認テスト ５ 本 時 平成３０年１０月１８日（木） 第５校時 計画 １３／１５ (2) 主 眼 ○電車と自動車の時間と進む距離との関係を表したグラフから変化の様子を読み取り，電車が自動車に追 いつくまでにかかる時間を求める方法を説明できる。（見方や考え方） (3) 学習過程 段階 _{学習活動・内容 ○教師の支援 ◆評価} 配時 導 入 １．問題場面を把握し，本時のめあてを確認する。 (1) 問題場面を把握する。 (2) 見通しをもち，めあてをつかむ。 【必要な情報】 ・電車，自動車のそれぞれの速さが必要。 ・式や表，グラフを作ればよい。 ・関数y =a𝑥2_になる。 ・比例する。 〇 学習意欲を高めさせるために，実 際に撮影した電車の動画を見せる。 〇 解決の見通しをもたせるために， 「必要な情報は何か」を問う。 10 めあて 問題場面とグラフの変化を関連させて、 撮影時間を求めよう。 電車が大好きな太郎君は駅が見える高台からいろんな電車と自動車の動画を撮っています。ある電 車は駅を出発したのと同時に，一定の速度で走っている自動車に追い越されましたが，しばらくして その自動車に追いつきました。この電車が自動車に追い越されてから追いつくまでの様子を撮影する ことにしました。撮影時間はどれくらい必要でしょうか。 Ａ Ｂ

展 開 2. グラフから変化の様子を読み取る。 (1) 個人でグラフの変化を読み取る。 ・自動車のグラフはどちらですか。・・・A ・原点は何を表すか。・・・スタート地点 ・グラフ①の傾きは何を表すか。・・・イ ア：駅からの距離 イ：一定の速さ ウ：駅を出発してからの時間 ・グラフの交点は何を表すか。・・・追いついた時間 (2) (1)についてグループで確認し合う。 ・考えの付加修正 3．撮影時間を求める。 ・比例定数の求め方 ・交点の座標の求め方 ･2つの式を連立させて解く。 4．撮影時間を求める方法を説明する。 (1) 個人で記述する。 ・撮影時間を求める方法 (2) (1)についてグループで確認し合う。 ・考えの付加修正 ○ 生徒が答えやすいようにするため に，選択式や短答式で問う。 〇 グラフの変化を正確に読み取らせ るために，机間指導で生徒の反応を 把握して，全体で確認する。 〇 撮影時間を求めさせるために，以 下の①～④の追加情報を与える。 ① 60秒までは2乗に比例 ② 60秒後にスタート地点から 900ｍ進む ③ その後 一定 ④ 自動車 毎秒10ｍ 〇 考えを付加修正する視点として， 以下の①～④を提示する。 ① A の式の求め方 ② B の式の求め方 ③ 2 つの式をどうするのか ④ 何が撮影時間なのか 10 10 10 ま と め 5．本時のまとめを行う。 （２）自己評価を記入する。 ○まとめを書くために，「まず，次に， 最後に」の接続詞を提示する。 ◆グラフから変化の様子を読み取り， 電車が自動車に追いつくまでにかか る時間を求める方法を説明できる。 （B 評価） 10 まとめ まず、 それぞれの速さからグラフの a（比例定数、傾き）を求める。 次に、 ２つのグラフの式を作る 最後に、２つの式を連立させて解き 交点の𝓍座標が撮影時間となる。 【模範解答】 ① B の式は、２乗に比例するので、y =a𝑥2_に(60， 90)を代入し、a=1/4 を求め、y=１/4𝑥2_となる。 ② A の式は、速さが一定で毎秒 10ｍなので y＝ 10 𝓍。 ③ 2 つの式を連立させて求めた解の𝓍座標が撮影時 間となる。