cos(x) (3)・指数関数 (p.21)馬 y=ax -2 -1 1 2 x y <注&gt

いろいろな関数

・多項式 y=ax+b a=2，b=3

-2 -1 1 2 x

-2 -1 1 2 3 4 5 6 y

y=x² とy=x⁴

-2 -1 1 2 x

-1 1 2 3 4 y

y=x³ と y=x⁵

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 y

<注> (p.18)_馬 偶関数：f(−x) = f(x) となる関数，例えば x² や x⁴ 。 奇関数：f(−x) =−f(x)となる関数，例えば x³ や x⁵ 。 y=x³−x 3次の多項式

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 y

y=x⁴−x² 4次の多項式

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y

・有理関数 (p.17)_馬 y= 1

x

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 y

y= 1 x²

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

5 10 15 20 y

・三角関数 (p.19)_馬 y= sin(x) とy = cos(x)

-2 -1 1 2 x Pi

-1 -0.5 0.5 1 y

度数法(°) 0 30 45 60 90 180 270 360 弧度法(rad) 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ π ³₂π 2π

sin(x+π/2) = cos(x)

sin(−x) =−sin(x)，cos(−x) = cos(x) sin(x+ 2π) = sin(x)， cos(x+ 2π) = cos(x)

・指数関数 (p.21)_馬 y=a^x

-2 -1 1 2 x

-1 1 2 3 4 5 y

<注> 指数の性質 (p.23)_馬

a⁰ = 1, a^p a^q =a^p+q, (a^p)^q =a^pq a^−p = 1/a^p, aⁿ¹ = ⁿ√

a (n;自然数)

y= 2^x，y=e^x，y= 4^x

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5 1 1.5 2 y

e= lim

t→0(1 +t)^1t = 2.7182· · · (p.29)_寺，(p.21)_馬

<注> e^x を exp(x) と書く場合がある。 exponential

y= 2^x と

(x, y) = (0,1) での接線

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5 1 1.5 2 y

y=e^x と

(x, y) = (0,1)での接線

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5 1 1.5 2 y

y= 4^x と

(x, y) = (0,1)での接線

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5 1 1.5 2 y

・対数関数 (p.22)_馬 y= log_ax

0.5 1 1.5 2 2.5 3 x

-4 -2 2 4 y

log_ax は a^logax =x となる数。

<注>対数の性質 (p.23)_馬

log_a(1) = 0, log_a(x y) = log_ax+ log_ay

log_a(x/y) = log_ax−log_ay , log_ax^p =p log_ax log_ax= log_bx

log_ba

ただしa >0, a6= 1, b >0, b6= 1, x >0, y >0 である。

y= log_ex と(x, y) = (1,0)での接線

0.5 1 1.5 2 x

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 y

<注>

log_exをlogxあるいはlnxと書く場合が多い。

・合成関数

{y=f(u)，u=g(x)} あるいは y=f¡ g(x)¢

で定義される関数。

例えば f(u) = e^−u， g(x) = x² の場合，y = f(g(x)) は y = e^−x2 = exp(−x²) のことを意味 する。

y=e^−x2

-4 -2 2 4 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 y

u=x²

-4 -2 2 4 x

-2 2 4 6 8 10

u y=e^−u

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 y -2

2 4 6 8 10 u

<注> 逆関数(p.22)_馬

任意の x について g(f(x)) =x である場合，g(x) を f(x) の 逆関数 と呼び，f⁻¹(x)と書く。

y=e^x とy= logx

-4 -2 2 4 x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y

例えば a^x と log_a(x) は互いに逆関数である。

y =f(x) のグラフと y =f⁻¹(x) のグラフは直 線 y =x に対して線対称となる。

・関数の変形

・平行移動

y = f(x) +a ； y 軸の正の向きに a だけ平行 移動。

y=e^−x2 + 0.5

-4 -2 2 4 x

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 y

y =f(x−a) ； x 軸の正の向きに a だけ平行 移動。

y=e^−(x−2)2 = exp¡

−(x−2)²¢

-4 -2 2 4 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 y

・スケール変換

y=a f(x)； y 軸方向に a 倍する。

y= 2e^−x2

-4 -2 2 4 x

0.5 1 1.5 2 y

y=f(x/a) ； x 軸方向に a 倍する。

y=e^−(x/2)2 = exp

³

−¡_x

2

¢₂´

-4 -2 2 4 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 y

(参考)オイラー(Euler)の公式

複素数まで考える範囲を広げると三角関数と指数関数には次の関係がある;

exp(iθ) = cos(θ) +isin(θ) (5.1)

これをオイラーの公式と呼ぶ。ここで i は虚数単位で i² =−1 という性質がある。

オイラーの公式より三角関数の加法定理

cos(α+β) = cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β) (5.2) sin(α+β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) (5.3) は指数関数の積の性質

exp(iα) exp(iβ) = exp

³

i(α+β)

´

(5.4) の内容を表すことがわかる。

なぜならオイラーの公式(5.5)より式(5.8)の右辺は

³

cos(α) +i sin(α)´ ³

cos(β) +i sin(β)´

= cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β) +i

³

sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

´

となる。一方式(5.8)の左辺は

cos(α+β) +i sin(α+β)

となる。式(5.8)の両辺の実部が等しいという式がcosの加法定理(5.6) を意味し，虚部が等し いという式がsin の加法定理 (5.7) を意味することがわかる。

複素数

x, y, r, θ は実数,r ≥0.

実/虚部表示 極表示 複素数 z =x+iy =re^iθ 実部 Rez=x =rcosθ 虚部 Imz=y =rsinθ 絶対値 |z| =p

x²+y² =r(≥0) 偏角 argz= θ

(tanθ= ^y_x) 複素共役 z¯ =x−iy =re^−iθ

x=Re z y=Im z

0

z θ

r

-z z iz

x y

複素平面

横軸に実部x, 縦軸に 虚部y を描いたもの