x，未知の関数 y = y(x)

I

微分方程式

第 1 章 微分方程式

§1 微分方程式

独立変数

x，未知の関数 y = y(x)

y′, y", ⋯

（a）

dy

dx + 3y + 2 = 0

d

y dx

+ 3 dy

dx + 5y = x

（c）

d

y

dx

+ 2  ^{d dx}

^y



^{+ dx dy + 3y}

^{= cos x}

などはその例である．未知の関数

y = y(x)

2

x, y

z = z(x, y)

（d）

∂z

∂x + ∂z

∂y + z = 0

∂

z

∂x

+ ∂

z

∂y

= 0

がその例である．上の（d），（e）のような微分方程式を偏微分方程式という．

これに対して，（a），（b），（c）のような微分方程式を常微分方程式という．この 本では，主として常微分方程式だけを扱うので，単に微分方程式といったら，

常微分方程式を意味するとする．

さて，微分方程式（a），（b），（c）をそれぞれ1階，2階，3階微分方程式とい う．つまり，微分方程式の中に現れる未知関数の導関数のうちで，n階導関数

y

微分方程式の発生源は，数学の各分野はもちろん物理学，化学等の自然科学 や工学などに止まらず社会科学の各分野にも広く分布している．まず，平面上 の曲線の集まり，つまり曲線群と微分方程式の関係について述べる．

平面上で，x軸上に中心をもち，半径が一定の長さ

r

（I-

1

A(c, 0)

I - 1 図

X φ

O T Q

Y

P(x,y)

A(c,0)

r r

−r

θ

y=−r y=r

（1）

(x − c)

+ y

= r

である．ここで，定数

c

c

c

そのために，（1）の両辺を

x

（2）

(x − c) + yy′ = 0

が得られる．そこで，（1）と（2）から文字

c

（3）

y

 ^{dy dx} 

^{+ y}

^{= r}

が得られる．これが求めている共通性質であって，これは

1

I

1

A(c, 0)

P(x, y)

P

PT

PQ

+ AQ

= AP

= r

である．ところが，PAと

PT

1

2

PQ = y, AQ = PQ cot φ = −PQ tan θ = −yy′  ^{∵ φ = θ + π 2} 

である．これを上式に代入すれば，上の微分方程式（3）が得られる．したがっ て，微分方程式（3）はこの円群（1）に属するすべての円が共通にもっている 性質であることが，幾何学的に確かめられた．

一般に，座標

(x, y)

c

（4）

F (x, y, c) = 0

は平面上で曲線の集まり，つまり曲線群を表す．上の（4）で

c

1

x

x

y(x)

x

（5）

F

(x, y, c) + F

(x, y, c)y′ = 0

が得られる．そこで，（4）と（5）から文字

c

y, y′

（6）

f (x, y, y′) = 0

が得られるはずである．これは

1

（4）で与えられた曲線群の微分方程式という．まとめて

1

1

例題 1 次の曲線群が導く微分方程式を求めよ．

y

= 4cx

【解答】与えられた方程式

y^= 4cx と，その両辺をxで微分して得られる

yy′ = 2c から文字cを消去すれば，求める1階微分方程式

2xy′ −y= 0

が得られる． ■

§1 微分方程式 3

例題 2

2

A, B

y = Ae

+ Be

【解答】与えられた方程式

y=Ae^+Be^ の両辺をxで2回微分して

y′ = 2Ae^+Be^, y" = 4Ae^+Be^ この2つの方程式からAe^とBe^を求めれば

Ae^= 1

2 (y" −y'), Be^= −y" + 2y' これを最初の方程式に代入すれば，AとBが消去されて

y" − 3y' + 2y= 0

これが求める微分方程式である． ■

例題

2

2

2

さらに一般に，次のことが推察される．

n

n

問 1 次の曲線群が導く微分方程式を求めよ．ただし，A,B,cは任意定数である．

（1） y=ce^ （2） x^+y^− 2cx= 0

（3） y=x^+Ax+B （4） x^+y^+ 2Ax+ 2By= 0

注意 任意定数A,Bを含む方程式y=Ae^は，これを書き換えて，y=Ce^と することができる．ここで，C=Ae^である．このy=Ce^は1つの任意定数Cし か含まない．すなわち，y=Ae^には見かけ上は，2つの任意定数A,Bがあるが，

実は本質的には，1つの任意定数C（=Ae^）しか含まない．今後は，方程式に含まれ ている任意定数は本質的であるものだけを考える．

例題 3 曲線

y = y(x)

y(x)

【解答】 流通座標を(X,Y)とすれば，この曲線上の任意の点(x,y)における法線 の方程式は

I- 第1章 微分方程式 4

Y−y= 1

y′ (X−x)

この法線が原点(0, 0)を通るから，上式にX=Y=0を代入すれば，求める微分方程 式が次のように得られる．

yy′ +x= 0 ■

例題 4

1

m

x

f (x)

t

x = x(t )

x(t)

【解答】ニュートン（Newton）の運動方程式

(質量) × (加速度) = (外力) を利用する．さて，この質点の加速度は d^x

dt^ であるから，上の運動方程式から，求め る微分方程式が次のように得られる．

md^x

dt^ =f(x) ■

§2 微分方程式の解 まず，1階微分方程式

（1）

y dy

dx + x = 0

を満足する関数

y = y(x)

2y dy

dx + 2x = 0 ∴ d

dx (y

+ x

) = 0

これは

x

+y

+y

c

（2）

x

+ y

= c

x

+ y

− c

= 0

が得られる．ここで，

c

1

y = y(x)

y = y(x)

y = ±  c

− x

§2 微分方程式の解 5

I - 2 図 O

(x0,c)

F(x,y,c)=0 Y

x=x0 X となる．

このように，微分方程式を満足する関数

y = y(x)

y = y(x)

F (x, y) = 0

上で述べたように，

1

1

c

F (x, y, c) = 0

y = y(x, c)

1

定理 1

1

（3）

y′ = f (x, y)

の右辺の関数

f (x, y)

(x

, y

)

f

(x, y), f

(x, y)

条件

y(x

) = y

y = y(x)

x = x

1

1

1

f (x, y)

1

(x

, y

)

(x

, c)

x

xy

x = x

c

y

(x

, c)

1

y(x

) = c

1

F (x, y, c) = 0

このように，1階微分方程式は

1

1

F (x, y, c) = 0

c

c

, c

, ⋯

F (x, y, c

) = 0，

F (x, y, c

) = 0, ⋯

1

さて，§1の（3）（p. 2）で得られた微分方程式 I- 第1章 微分方程式 6

となる．ここで，右辺の極限は，曲面

S

例題 3 原点を中心とし，任意の半径の球面を考え，これを

S

r

= xi + yj + z, r = 



S

S

∫

^r

^∙

^{dS = 4π}

【解答】球面Sの半径をaとする．球面上の任意の点Pの位置ベクトルをrとすれ ば，この点Pでn= r

a である．また，r= r =aである．ゆえに

∫

∫

a dS=

∫

= 1

a^

∫

§14 発散定理

発散定理とよばれる基本定理を証明するために，まず準備をする．空間で定 義された関数

f = f (x, y, z)

V

V

S

S

S

(cos α, cos β, cos γ)

x

y

α, β, γ

= cos α

+ cos β

+ cos γ

（1）

∫∫∫

^∂f ∂x dxdydz = ∫

^{f cos α dS}

∫∫∫

^{∂f ∂y dxdydz =} ∫

^{f cos β dS}

∫∫∫

^{∂f ∂z dxdydz =} ∫

^{f cos γ dS}

［証明］まず，第

3

V

II

34

S

2

V

xy

D

S

z

S

II- 第4章 スカラー場・ベクトル場 120

II - 34 図 n²

O

X

ΔS¹

Y Z

V S

D S¹ S²

ΔxΔD ΔyP

γ¹ ΔS²

γ²

n¹

明るく，下半分

S

D

x

y

1

ΔD

この長方形

ΔD

2

II

34

Δy

長方形

ΔD

S

および

S

ΔS

ΔS

また，長方形

ΔD

P

P

z

ΔS

ΔS

P

P

ΔS

ΔS

z

ΔV

P

(x, y, 0)

P

P

(x, y, z

)

(x, y, z

)

z

(x, y)

S

S

z = z

(x, y)

z = z

(x, y)

さて，細長い柱体

ΔV

（2）

∫∫∫

^{∂f ∂z dxdydz}

∫

^{∂f ∂z dx ΔxΔy =}  ^{f (x, y, z)} 

^ΔxΔy

= (f (x, y, z

) − f (x, y, z

)) ΔxΔy

= (f (P

) − f (P

)) ΔxΔy

次に，微小面分

ΔS

ΔS

ΔS

ΔS

これらの面積ベクトルはそれぞれ

ΔS

ΔS

とnはそれぞれ

P

P

S

微小面分

ΔS

ΔS

xy

ΔD

§14 発散定理 121

ところが，底面

ΔD

ΔxΔy

ゆえに，II，第

1

（3）

ΔxΔy = −(ΔS

) ∙

= −ΔS

∙

ΔxΔy = (ΔS

) ∙

= ΔS

∙

= −cos γ

ΔS

, = cos γ

ΔS

ここで

n^

= cos α

+ cos β

+ cos γ

= cos α

+ cos β

+ cos γ

> 0, ΔS

> 0

II

34

cos γ

≦ 0

2

（4）

∫∫∫

^{∂f ∂z dxdydz}

^{f (P}

^{) cos γ}

^ΔS

^{+ f (P}

^{) cos γ}

^ΔS

ところが

∫∫∫

^{∂f ∂z dxdydz = ∑} ∫∫∫

^{∂f ∂z dxdydz}

である．ここで，右辺の総和は

xy

D

ΔV

∫∫∫

^{∂f ∂z dxdydz}

^{∑ f (P}

^{) cos γ}

^ΔS

^{+ ∑ f (P}

^{) cos γ}

^ΔS

ゆえに，xy平面上の領域

D

∫∫∫

^{∂f ∂z dxdydz =} ∫

^{f cos γ dS +} ∫

^{f cos γ dS =} ∫

^{f cos γ dS}

が成り立つ．これが証明しようとした，（1）の第

3

V

1，第 2

V

f = f (x, y, z)

∫∫∫

^{f dxdydz =} ∫

^{f dV, dV = dxdydz}

II- 第4章 スカラー場・ベクトル場 122

ここで，dV

= dxdydz

定理 3（発散定理） ベクトル場A内にある有界な領域

V

S

S

∫

^∇∙

⁼ ∫

^∙

^dS

［証明］A

= A

+ A

+ A

1，第 2

3

f = A

, f = A

f = A

それぞれ次式が得られる．

∫

^{∂A ∂x dV}

⁼ ∫

^A

^{cos α dS,} ∫

^{∂A ∂y dV}

⁼ ∫

^A

^{cos β dS}

∫

^{∂A ∂z dV}

⁼ ∫

^A

^{cos γ dS}

この

3

∫

 ^{∂A ∂x}

^{+ ∂A ∂y}

^{+ ∂A ∂z}

 ^{dV = ∫}

^(A

^{cos α + A}

^{cos β + A}

^{cos γ)dS}

ところが，n

= cos α

+ cos β

+ cos γ

∙

= A

cos α + A

cos β + A

cos γ

である．ゆえに，上式は証明しようとした等式である． □ 例題 1 r

= xi + yj + z, r = 



V

S

（1） 原点

O

S

∫

^r

^∙

^{dS = 0}

（2） 原点

O

S

∫

r

∙

dS = 4π

【解答】（1） 原点OがSの外部にあれば，Sの内部Vの各点ではr 0である．

ゆえに，§11問題3（p. 113）によって

∇∙  ^r

 ^{= 0}

^{ 0）}

§14 発散定理 123

II - 35 図

n n

n n

n n̅ V

S S′

ここで，発散定理を利用すれば，

∫

∫





^∫

（2） 原点OがSの内部Vにあれば，Oを中 心とした十分小さい半径の球面S'をかけば，球 面S'と そ の 内 部V'はVに 含 ま れ る．Vか ら V'を除去して得られる領域をV"とすれば，原 点OはV"の外部にある．V"の境界面S"はS とS'の2つの部分から成り立っている．さて，

曲面S"の法単位ベクトルnをS"の外側に向く ようにとれば，球面S'上でnはn= −nとなる．

ここで，nは球面S'の法単位ベクトルで，球面 S'の外側に向いている．さて，V"について問

（1）が成り立つから

∫

∴

∫

∫

∫

∫

∫

ところが，§13，例題3（p. 120）によって

∫

∫

（1）スカラー場

f

V

∫

^{f dV = 0}

ならば，f

= 0

（2） 同じ定義域をもつベクトル場Aとスカラー場

σ

V

S

∫

^∙

^{dS =} ∫

^{σ dV}

II- 第4章 スカラー場・ベクトル場 124

ならば，∇∙A

= σ

【解答】（1） 任意に1点Pをとる．Pを中心として微小な半径εの球面とその内部 をVとする．仮定によって

∫

ところが，左辺の積分は近似的に 4π

3 ε^f(P)に等しい．ゆえに 4π3 ε^f(P) +ο(ε^) = 0, lim



ο(ε^) ε^ = 0

ここで，上式の両辺をε^で割って，ε 0とすれば，f(P) = 0となることがわかる．

ゆえに，点Pを任意にとったから，f= 0．

（2） 任意の有界領域Vとその境界面Sについて，仮定によって，発散定理を利用 すれば，次式が得られる．

∫

∫

∫

∫

∫

したがって，領域Vを任意にとれるから，問（1）によって

∇∙A−σ= 0

∴∇∙A=σ ■

上の例題

2

発散定理において，ベクトル場Aが完全流体の定常流の速度ベクトルを表 すとすれば，右辺

∫

^dS

^S

ら外部に流出する流体の体積を表す．したがって，左辺

∫

^∇∙

^dV

るように，Aの発散

∇∙

> 0

< 0

（§11（p. 111）参照）．

§15 ストークスの定理

ストークスの定理とよばれる基本定理を証明するために，まず準備をする．

次のグリーン（Green）の定理が成り立つ．

§15 ストークスの定理 125

II - 36 図 O

Y²(x) Y

a x b X

A

C F

R

E

B

Y¹(x) 定理 4

xy

C

R

M (x, y), N (x, y)

C

R

C

36

∫

^{(M dx + N dy) =} ∫∫

 ^{∂N ∂x − ∂M ∂y}  ^dxdy

［証明］ まず，II-

36

C

多くとも

2

36

C

2

AEB

AFB

y = Y

(x), y = Y

(x)

（a

≦ x ≦ b）

とする．さて

∫∫

^{∂M ∂y dxdy}

= ∫

∫

^{∂M ∂y dydx}

= ∫

 ^{M (x, y)} 

^{dx =} ∫

^{M (x, Y}

^{(x))dx −} ∫

^{M (x, Y}

^(x))dx

また，線積分の定義（p. 115）によって

∫

^{M (x, Y}

^{(x))dx =} ∫

^{M dx}

∫

^{M (x, Y}

^{(x))dx = −} ∫

^{M dx}

であるから，上の式は次のようになる．

− ∫∫

^{∂M ∂y dxdy =} ∫

^{M dx +} ∫

^{M dx =} ∫

^{M dx}

全く同じようにして，次式を証明することができる．

II- 第4章 スカラー場・ベクトル場 126