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関数 y = f(x) の導関数 y = f

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(1)

微分積分学１ No.9 2005.12.16

3.2 関数の近似 担当：市原

高次導関数

³

関数 y = f(x) の導関数 y = f

0

(x) が, さらに微分可能となっているとき, もとの関 数 y = f (x) は 2 回微分可能であるという.

y = f

0

(x) の導関数を y = f

00

(x) と書き, f (x) の 第 2 次導関数と呼ぶ.

同様にして, 一般の第 n 次導関数も定義し, y = f

(n)

(x) で表す. これらを総称して 高次導関数と呼ぶ.

µ ´

テイラー多項式

³

関数 y = f(x) から得られる多項式

f (a) + f

0

(a)

1! · (x − a) + f

00

(a)

2! · (x − a)

2

+ · · · + f

(n)

(a)

n! · (x − a)

n

を関数 y = f (x) の x = a における n 次テイラー多項式とよぶ.

a

a自然数

m

について

m!

は

m × (m − 1) × (m − 2) × · · · × 3 × 2 × 1

のことで,

m

の階乗とよぶ.

さらに

0! = 1

ときめておく.

µ ´

例題 19 y = x

5

+ x

3

+ x の x = 0 における 3 次テイラー多項式を求めなさい.

定理 11 (n 次テイラーの定理 ) 関数 y = f (x) が (n + 1) 回微分可能であるとする.

このとき, f(x) =

( f (x) の x = a における n 次テイラー多項式

)

+ f

(n+1)

(a + θ(x − a))

(n + 1)! · (x − a)

n+1

となる θ (ただし 0 < θ < 1) が存在する.

12

(2)

ラグランジュ剰余項

³

定理 11 での f

(n+1)

(a + θ(x − a))

(n + 1)! · (x − a)

n+1

を,

関数 y = f(x) の x = a における n 次のラグランジュ剰余項とよぶ.

µ ´

例題 20 y = sin x の x = π における 2 次ラグランジュ剰余項を求めなさい.

テイラー展開・マクローリン展開

³

定理 11 のように, 関数を「n 次テイラー多項式と n 次ラグランジュ剰余項の和」

に表すことを n 次テイラー展開とよぶ.

[x = a における n 次テイラー展開]

f(x) = f(a)+ f

0

(a)

1! · (x − a)+ · · · + f

(n)

(a)

n! · (x − a)

n

+ f

(n+1)

(a + θ(x − a))

(n + 1)! · (x − a)

n+1

ただし 0 < θ < 1

また x = 0 における n 次テイラー展開を, 特に n 次マクローリン展開とよぶ:

[n 次マクローリン展開]

f (x) = f (0) + f

0

(0)

1! · x + f

00

(0)

2! · x

2

+ · · · + + f

(n)

(0)

n! · x

n

+ f

(n+1)

(θx) (n + 1)! · x

n+1

ただし 0 < θ < 1

µ ´

例題 21 y = e

x

の x = 1 における 2 次テイラー展開を求めなさい.

マクローリン展開の例

³

(1) sin x = x − x

3

3! + x

5

5! − x

7

7! + x

9

9! − x

11

11! + · · · (2) cos x = 1 − x

2

2! + x

4

4! − x

6

6! + x

8

8! − x

10

10! + · · · (3) e

x

= 1 + x

1! + x

2

2! + x

3

3! + x

4

4! + x

5

5! + x

6

6! + x

7

7! + · · ·

簡単のため

,

ラグランジュ剰余項は省略している

.

µ ´

13

(3)

微分積分学１ No.9 2005.12.16

3.2 関数の近似 担当：市原

問題 18 次の問いにこたえなさい

(1) y = x

6

− 1 の x = 1 における 3 次テイラー多項式を求めなさい.

(2) y = cos 2x の x = 0 における 2 次ラグランジュ剰余項を求めなさい.

(3) y = log x を x = 1 において 2 次テーラー展開しなさい.

(4) y = e

2x+1

を 3 次マクローリン展開しなさい.

学籍番号 氏名

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