ア
ダ
ム
・
ス
ミ
ス
に
お
け
る
v
+
m
の
ド
グ
マ
︱
そ
の
数
学
的
証
明
︱
遠
藤
潔
本稿は風ニ ス．キスによるⅤ＋m聖究換価値の分解Wの数学的検討がそ の 計 町 で あ る 。 ． マル・クスによれば凧各個の商品＝⋮・の価格または交換価値︵e書評ロg？ a b 訂 雇 l u 且 は 三 つ の 構 成 部 分 ︵ 0 0 m 習 ロ e 已 p a r 且 か ら 成 る と か 、 或 い は 労 働 質 銀 、 利 潤 、 地 代 に 分 解 さ れ る ︵ r e 邑 d 窮 甘 e ︼ f i ロ t O ︶ と い う ア ダ ム ・ 1ドダマ千
㌧
．
．
ス
町
所
説
は
商
品
価
値
は
Ⅴ
＋
m
忙
等
し
い
、
す
な
わ
ち
、
前
貸
可
変
資
本
の
価
値
プラ見剰余価値に等しい、ということに約元・され得るW。すなわち、スミ
ス旺甘れば凧第四の部分が⋮⋮借地農業者の資本を補填するために、また
は櫨の役畜及びその他の農具の磨損を補填するために、必要に見えるかも
しれない。しかし、何らかの農具の価格、たとえば役馬の価格は、それ自
体やはり前記聖二つの部分から、すなわち、馬が飼われる土地の地代と、
周着の労働と、この土地の地代及びこの労働の賃銀の両方聖削賃する借地
由業者甲利潤土から構成される、と・いうこ上が考慮に入れ有れねばならな
そ
れ
ゆ
え
、
・
穀
物
の
価
格
は
、
眉
の
価
格
及
び
維
持
費
を
捕
囁
す
る
で
・
ほ
あ
ろ
う
し
か
し
全
価
格
は
平
時
り
直
接
虹
・
か
、
ま
た
は
結
局
に
お
山
て
、
・
同
じ
三
．
つ
・
の
部分に、地代﹁労働⋮･･･及び利潤に分解される甲であるすなわちマ
ル グ ． ． ヌ 忙 よ れ ば 凧 彼 ． 。 ハ ス ㌣ 、 ス ︶は、穀物の価格畔Ⅴ十mから成るの革では
なく、穀物生産において消費された生産手段の価格から重、したがって、
借地農業者が労働力に投じたのではない盟本価値からも成る、いうこと
を認めている。しかし∵彼は言う。すべでのこれらの生産手段自体の価格
も、穀物の価格と同じに、Ⅴ＋mに分れる、と。ただスミスは次のように
言い足す田を忘れている。更に、なおそれらの生産手段自体の生産におい
て消費された生産手段の価格革分れる、．と。・櫨は、一つの生産部門から他
の生産部門へ、そこから更に堅この生産部門に転ずることを命ずる。商品
の
金
価
格
が
﹃
直
嘩
虹
﹄
か
ま
た
は
﹃
結
局
に
お
い
て
﹄
︵
u
−
t
i
m
a
t
e
百
︶
か
Ⅴ
．
＋
血
に分解きれるということは、祝のことが論証された場合にのみ、空虚な遁
辞でなくなるであろう。すなわち、その価格が直接にC ︵消費された生産
手段の価格︶＋Ⅴ十mに分解される商品生産物は、結局は﹁かの．﹃消費さ
れた生産手偏﹄をその全範囲にわたり・て補填し、しかもそれ自体は単なる
可変資本投下、すなわち労．働力に投ぜられる資本の投下によって生産され
る
商
品
生
産
物
に
よ
っ
て
、
．
感
嘆
さ
れ
為
と
い
う
こ
と
が
論
．
証
さ
れ
七
場
合
で
あ
る
．
。
．その場合には、後の方由商品生産物の価格は直接に甘・十mに等しいであろ
う。したがって﹂前の方の商品生産物の価格C・＋Ⅴ＋m﹂ここではCは不
慧芸骨昔して現われるつ車．恕局峠Ⅴ＋坤に分解され得るであろうW
ではいかにしても﹃直接に﹄はv＋mに等しい価格の後の方の商品生産物 を見出しえない前の方の商品生産物の価格は﹃結局において﹄︵巳江日巴匹匂︶ v＋mに分解されえないであろうか？ このことの数学的検討が本稿の目
㈲
的である。ところで︽各個の商品︾についていえることは︽したがってま m た社会の年生産物を構成する一切の商品を合せ︾たものについてもいえ る。 遥 − 酬 H昌臼誘け蔓﹂ ．甘昔ω言笥ト◎ 甘臼誘胃ペロ ↑巴8弓 冒巴↑巴8吟 甘合ωけ昌ピ 甘合留蔓N：・⋮⋮甘合ω［昌昌 3戸書
“ピ ☆巳 ☆㍍：．・：．：．：．：☆＝ ☆ぱ・．：：．：．：．．．☆ご ⇔こ．．．．．．・：・：・：亀s； ⇔言：．：．⋮．：．：⇔三 ﹀三 ︾θ柏⋮：：：⋮・：P°治 ︽ニ スミスによるv＋mへの交換価値の分解︾を数学的に扱えるよう な簡単な解釈におきかえるとつぎのようになる。︽各個の商晶の価格また ㈲ ∼ は交換価値︾をW、Gを不変資本、▽を可変資本mを剰余価値、添字の．2 が小さいほど前の方の商品生産物とすれぽ、笥‖＜°十日゜＋o°‖＜°十日゜＋＜H 十日戸十♪‖く゜十くμ＋5十日゜＋日声＋日N十〇柏‖⋮⋮という形になる。ところで、 ㈲ ︽各個の商品Vにとって︽後の方の商品生産物︾は二種類つつ順次に現わ れるものではなく：数種類つつが同時に現われ多岐に亘るものである。且 つ、そうしたものの連鎖である。そこで第一表を作成する。亀こは甘合留蔓 、部門の生産物一ミ驚さ亀ミ§謙を生産するに要する5●5叶還﹂部門の生 産物量を示す。⇔巳は冒口5［蔓、部門の生産物一曽［窪息巴旨＃を生産する に要するマルクスのいわゆる︽生ぎた労働V︵ピoぴo昆戯o︾吟ぴ05を表わ し、その対象化したものが、v＋mになる。したがって、︽ニ スミスに ょるv＋mへの交換価値の分解︾は︽生きた労働︾に分解することである。 跨こは甘匹口ω☆ぺ＼部門の生産物戸ミ篭さ息ミ↑§告に含まれている総労働 を表わし、マルクスのいわゆる︽生産物価値︾︵㊥﹃8口宣oづ≦o詳︶を示し ている。’ここにミ篭さミミ§ミというのは、各部門の生産物一単位を生 産するに要する諸要素が、つぎの条件を満足するように、同じ大いさです べての要素を除した結果︵例えばQで除したのならー＼Q単位︶が一§、㌻ さ災ミs§告である。そこで第一表の諸要素の条件は、 魯こWO ︵﹀＼11じN・三“︶ ︵↑︶ M言こく一︵︹＼11戸ふ“・三S︶ ︵N︶ S11一 そこで第一表を用いてH昆易☆ペ一部門の生産物戸ミ註さ亀ミ§告の価格または交換価値を入v三へ：盆Wしξ・まず・最初の分解では・
︵これを担で表わし、．2回目の分解は担で示す︶烈の欄のようになる。 不変資本部分 凡 砺砺⋮⋮⋮吐 αv＋m部分11生きた労働
妬
一 2 一 川川 姐 認ユ⋮⋮⋮綱匂吻 砺
匂パ
陶
oo馬
㍗㍗ ㍗
02 O2@ 02
侮晦 碗
侮翫 侮
侮ら 刷
⋮ ⋮㍗
02輪
伽
妬
㍉ 以下つぎつぎと分解が行なわれ︵悟となる︶ その結果、分解されつくした結果としてのv＋mすなわち︽生きた労働︾ の総和は、つぎの式で表わされる。尚、凡以降の分解については、附表 ωを参照されたい。総和を︾さで示せば、 ︵、‖ゲN・⋮三s︶ が得られる。そこで、まずこの﹀ごを求めて、そこからつぎの︾三とを、 最後に比較しよう。第一表から、諸要素の経済的意味、すなわち、︽各個 の商品︾の︽価格または交換価値︾つまり︽各個の商品︾に含まれている 総労働﹀°＼はぽ8、に含まれている労働と⇔言との和に等しい。 、11︼ さて、③から卵ミを求めることにしよう。 ︾ ‖ 、 切こ‖ 弓ム かは、Aの固有値である。 一︾ー﹀国一‖O を求めれば、一︾ー﹀国一‖Oから ︵︾ー﹀団︶×110 で0でないベクトルXがあるから、 ﹀×11＞× よって ロ﹀き‖︼ぶミ＼
、11︼ で、爪ミミぎ一とすれば 戸心Sトs ま＝二き一爪M⇔こぎ一く、
、H︼ よって、⊥S一丙．zをとれば一三く一である。ここで附言しておくが②の式 でミSミミミ§謙を作ったが、②で、M言こく一にすることができる。 ベロら そこで、Aの固有値をさ︵へ‖子N：：三切︶とすれば、下一︿﹂である。 ㈲を求めるために、 、ぎ︵﹀︶11﹂十﹀十㌔＋⋮⋮十﹀さ とおく。 一 3 一ヨ 白﹀・‖、．︵︾︶ ヤロむ ぐ コ ‖、§︵弓切弓←︶ ° 11弓、§︵Ud︶弓よ ⑤は、つぎのようにして証明される。Aが甘a①ロ標準形に変換され、 その小行列鱒ロニとすれば、 この切二について、・ 蜴㌔11 ︵ミS神︶ ー§︵§ー戸︶⋮⋮︵§ー㌔十ピ︶ ビNー：・● 、︵﹀︶ ‖一十㍉十㌔十：・⋮十ヤ 、︵切＝︶11国十切こ十切こ泣十⋮十ロこ㌔ ・ こζでロニ§の代りにロこsの右辺を、︵bd二︶に代入すれば、︵切二︶の第・z 行、方︵．2十s︶の要素列は、つぎのようになる。
@泌§︵§lP︶⋮・三︵§ー切 ゲN⋮⋮切︶・・−−三泄三切、・、︶︵ご よって⑤が証明された。 そこで、十分大きい勿に対して切二、の各要素の大いさを求めよう。他
ならぬ︼露︵︸．．．．薩︵§甘＞i︵こを求める，・とであ・。
まず＼ミ︵“︵︶から求めていこう。 、§︵、︵︶‖一十き十⋮ー十、恥ミ ぽ ところで、ば日、s・︵さ︶11図鳶§が収束なら、 項別に微分可能で、 昌ピ←♪u §110 原級数と同一の収敏半径を有するから、誇鼻、、ぎ・︶−叶働・︵・⊥︶︾。−。
詣︵斗︶㌫言−．・︵ご−︵礼三粋盲⊥︶三ぎ＋Nぎ．−・＋、
は収束でパ@㍗さ．−μ−︵ H↑ーさ︶。 一 4 一
@︵一§ーH︶㍍−声：⊥︶⋮・・︵︹ミN︶、・・．ー−乳司
亙く﹂ これは、絶対収敏なる級数のコーシーの乗積級数は絶対収敏で、上述のご とくなる。 かくて、 ば日、暑︵ロこ︶ §⊥▼8 ⑤のSs︵切二︶は勿←8のとき ド ↑ ︵声 [さ︶臆︵戸ー至︶。。 声 一 戸ーさ ︵一−予︶柏⋮⋮ 声 一ーさ 一 ：：．．︵﹂ーさ︶＾巷←∨ ↑ ︵﹂ー︹︶︵sl恒︶ 声 一 ︵戸 [さ︶治 ﹂ ︵一 Pさ︶︵s−じ ﹂ ヨのかくて⑤のM由．は日←8のとき、
・11︹． まコ ど ば日 M一︾・‖M︸﹀・11弓 日←8●110 ﹂HO ︵ドー、s︶︵〒㏄︶︵﹂ー、°︶︵包←︶ 目←♂ ㈲を③に代入すれば、 が得られる。 ご 弓陪［［こ］弓⊥を冒こ］とおけば、︾ミは㈹の計算から、つぎのようになるo ﹁ ． ⋮’
十・：：：・：：・：
@ ⊥ポ把日恒泌自．さ。9弍、順誹礼．二☆、⊥ポ泌古恒泌
⇔言計︵蕊←＋oミ︵連1り＋㌔︶三こ ︵一ー︾︶→u{−−計泌±︶舟泌☆．雪い⋮扉葉、−⋮・−︵曵︶
ところで、ここではば目、さ︵切＝︶はZ次、以下、出日﹀︵じd＾袖︶も夫々、正 ロ ぎ ヨ ソど 方小行列で、﹄澤、謹︵切：︶はs次の小行列である・以上︾言の計算におい ては、いくつかの重要な数学上の仮定が、前提されているがそれに触れる 前に、④の︾・・．を求めてお．﹂づ○④はつぎのようであった。 一 5 一［︾°μ⋮︾°二︵歩ー国︶ー［︾° ⋮︾°二↓︵切ー国︶呼⊥ ［﹄三ー﹀°㌔↓︵切ー国︶‖ー冒゜戸⋮烏θ二呼 ［﹄自：・︾°∼］弓11ー［⇔° ⋮烏三］弓︵切ー国︶己 ［﹀°μ⋮︾°s］11ー冒゜声⋮⇔°こ］弓︵ロー国︶⊥吋⊥⋮⋮︵°。︶ そこで﹀巳を求めれば、つぎのようになる。 Tは口こ︺．弓−︼は︹ミこ︺とする。 ⋮． 十団‖］］W弓﹂ー団 ‖弓］W弓⊥1山㏄国］りー一
11弓︵Udー国︶弓⊥
11ー［亀O一．．．亀O吉］ ロ． ．一
、° あるいは同じことであるがロー国の小行列 、 そこで︵bdー国︶⊥を求めよう。 結果を示せば、つぎのようである。 ︵ローロ﹀工11 一 ︵＾31戸︶へ己︵＞1ご︵1国
へ当
匂さ ジ 戸 ︵Pー一︶・−﹂⋮：．．．．⋮⋮：H ．．◆° ͡ 戸 ︵予lH︶．← 、sー一 ︵、’r一︶匂工 ． あるいは同じことであるが︵ロー同︶⊥の小行列︵OO＝ー国二︶坪ご次と すれば、 そこで︵切ー団︶⊥の右辺を⑧に代入して︾三を求めれば、 一 6 一︵、蕊§︷鴇ゴご＋−＋㎜麺烏言。ミ．帥藻詑＋．．、＋ ⋮：⋮⋮⋮⋮⋮・︵o。w︶ 以上のことから、Aのすべての要素および自ミ︵＼1ーピN・三∨s︶が分れば ︵そして分りうる、すなわち測定しうのであるが︶上述したように、︽ニ
スミスによるv＋mへの交換価値の分解Vによって得られる︵3 の﹀巳
と、︽各個の商品︾に含まれている総労働を未知数としていきなり﹀ミと おいて得られる︵o。−︶の跨巳との比較の問題が残っている。実は、経済学 的にはこの︵べ、︶の︾°、と︵°b、︶の︾ごとの大小の比較が重要なのである。 マルクスによれば︽ニ スミスによるv＋mへの交換価値の分解︾が︽空oo
虚な遁辞でなくなる︾のは︽その価格が︵どこかで⋮筆者︶直接にc︵消費 された生産手段の価格︶＋v＋mに分解される商品生産物は、結局は、か ロ の﹃消費された生産手段﹄’をその全範囲にわたって補填し、しかもそれ自 ゆ コ コ ロ 体は単なる可変資本すなわち、労働力に投ぜられる資本の投下によって生 02 産される商品生産物によって、補填されるということが論証された場合︾ のみである。いいかえれば、マルクスの考えでは、その価格が﹃直接に﹄か または﹃結局において﹄v＋mに分解されうるのは、その商品生産物の生産⑬
に消費された︽後の方︾の商品生産物が、︽後の方︾へのこうした消費さ れた生産手段たる商品生産物の連鎖のどこかで、そこから先はもはや︽後 の方︾の商品生産物、つまり生産手段として消費された︽後の方︾の商品 生産物が現われなくなる。つまり︽後の方︾への遡及的な生産手段を追う 旅はそこで業わり、その連鎖が途切れるところでは、︽後の方︾の一番最後 にくる生産手段として、生産手段を全く用いずに労働だけで生産された商 品生産物が現われる。マルクスによれば、こうした場合にだけ商品生産物 はv＋mに分解されうる、というのである。ということは、いいかえれば こうした都合のいい商品生産物が現われない場合、すなわち、その商品生 産物の生産に消費された︽後の方︾の生産手段が、どこまでいっても、現わ れてくる場合、単純には≦ー︵く゜−†く戸⋮三︵＋︵日゜＋日戸＋⋮︶がどこまで もつづく場合は、︽商品の全価格が﹃直接に﹄かまたは﹃結局において﹄ ⑭ かv＋mに分解されるということは⋮⋮完全な遁辞︾にすぎない。マルク スによれば、そうした都合のよい商品生産物に︵︽後の方Vで、それも辛 抱のできる有限回の遡及で︶出喰わすことのない商品生産物の価格または交換価値をv＋mに分解することは、︽空虚な遁辞Vであって、︽商品価
09 値から資本の不変的価値部分を追出そうとする︾ものであり、社会の︽年 ⑯ 生産物の不変的価値部分を追出す︾ものである。いいかえれば、︽このこ ⑰ とは、それ以前の諸年から受継がれた労働手段及び労働対象の助力︾を追09
出すことによって︽各国民の年労働︾が︽国民が一年中に消費する⋮⋮す ⑲ べての生活手段を各国民に本源的に給与する基本である︾ことを︽不可 能︾ならしめることである。いいかえれば、 ﹃結局において﹄マルクスの いうように、都合のよい商品生産物に遭遇することなく、︽後の方Vへの コ 無限の遡及の旅をした場合に得られる結果である。 ︵﹃．︶の︾θ、は、そう ではない︵G。、︶の﹀°sよりも小さいであろうか？ つまり、︾忘く︾9炉、‖︾°ご︾ミ︿卵三
のいずれであろうか、ということである。若しも、﹀°、︿柵゜、であれば、 マルクスの主張が正しく、スミスの︽v＋mへの交換価値の分解︾の主張 ︸ 7 一は︽空虚な遁辞︾に終るだろう。ただ、跨三と︾ミの比較にあたって☆こ ‖O︵へ1ーピN⋮⋮、さ︶であるような列、すなわち、労働以外にいかな る生産手段をも消費しない生産物はない。ところでパ︵ぺ、︶の︾°、と︵◎。、︶ O︾巳は、相互に比較しあえる形になっており、適当な制限を加えれば、 両者の大小が明かとなろう。だが、この︵べ。︶の︾三と︵°。、︶の︾この比 較には、まだ、いくつかの障碍がある。本稿では、むしろ︾巳と︾3が相 の コ 互に比較可能な形︵︵べ、︶什︵c。、︶のように︶に変形しうるかが、まず、最初 の目標であった。この目標は、その限りで達せられた。この目標を達成す
る限りでは、Aを冒a昌標準型に変換することで十分であった。が、
︾ミ︿＞Sを検討するには、固有値を実数にすることが必要であり、実数 行列Aは実数の範囲内のみで、つぎの形に変形できるから、 ＝国ー︾悼一11P ＞11“＋S これを用いて、︾°ご︾言を求めて、 ぎの機会に譲る。 、 、 比較すればよい。かかる比較は、つ 遡及を有限回に限って考えるマルクスからみれば︽空虚な遁辞︾にみえ コ ゐス・ベスの︽v＋m︾への︽交換価値の分解︾も、これを極限の考えから みれば、決して︽空虚の遁辞︾ではない。マルクスの有限のものの考え方 の の に対して、スミスが極限の考え方によって、同じ対象を捉えたということ コ である。同一対象の異なる把握、すなわち、マルクスの有限的な把握に対 コ コ しスミスが極限の把握をしたということである。 若しも、マルクスのいうように、﹃結局において﹄、︽v＋mへの交換価 カ サオ コ ロ ほ 値の分解︾が不可能だとしたら、︽価値実体︾を︽抽象的人間労働︾に ㈱ 、 ︽還元︾することは、いかにして可能なのであろうか？ コ とにかく、スミスの極限の考え方とマルクスの有限の考え方の差異に注 目すべきである。同一対象の把え方の差異に注目すべきである。 尚、いうまでもないことであるが、経済学的解釈を数学的形式に移して 検討することは、経済学を一層精密なものにしてくれる。 註ω 註ω 註③ 註ω 註㈲ 註㈲ 註ω 註㈲ 註ω 註oo 註oo 註⑫ 註⑬ 註⑭ 註⑮ 註⑯ 註⑰ 註09 註09 註⑳ ︽資本論∀ 岩波文庫版 第二巻、第三分冊 三八頁 上掲書 三八頁 A諸国民の富∀ 岩波文庫版 第一分冊 一〇五−六頁 筆者註 ︽資本論V 岩波文庫版 第二巻 第三分冊 四五頁 上掲書三八頁 上掲書三八頁 上掲書 三八頁 上掲書囚五頁 上掲書 三八頁 上掲書四五頁 上掲書四五頁 上掲書 四五頁 上掲書 四五頁 上掲書 四三頁 上掲書五〇頁 上掲書五一頁 ︽諸国民の富V 岩波文庫版 第一分冊 一一頁 上掲書 二頁︽資本論V岩波文庫版第二巻第三分冊五一頁
一 8 一ω
