機械設計工学

歯車とは

① 減速・増速運動は機械の最

も重要な運動の一つ

② 歯車は機械の減速・増速を

実現させる重要な機械要素

の一つ

③ 歯車性能（振動・騒音・効率

・伝達精度など）と寿命（強

度）は機械装置の性能と寿

命に直接に影響を与えてい

る

④ 歯車の設計・製造技術は機

械産業の基盤となり、極め

て重要な技術の一つである

大歯車

小歯車

伝達装置（歯車装置）

http://www.youtube.com/watch?v=N9wL7OGrGO8

１．歯車の役割

http://www.youtube.com/watch?v=vBm-SzO3ggE

デフギア機構のYoutube映像

車の後輪駆動用デファレンシャルギア

（１）車における歯車の役割

出典:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E5%8B%95%E8%A3%85%E7%BD%AE

（２）風力発電装置における歯車の役割

歯車増速機

発電機

増速機

発電機

回転翼

10～15rpm

増速比100

1000～

1500rpm

（３）新幹線における歯車の役割

歯車減速機

車

輪

車

輪

モータ

新幹線車両の台車

出典：図解・鉄道の科学 宮本昌幸著 講談社

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

（４）航空機における歯車の役割

三菱重工㈱様 開発中のMRJ飛行機用遊星歯車装置

エンジン

平歯車

傘歯車

主回転翼

尾部回転翼

軸

傘歯車

出典：公開特許公報、改良型ヘリコプター用トランスミッション、特開2007-10144、日本国特許庁

（５）ヘリコプターの動力伝達システム歯車の役割

平歯車

内歯車

はすば歯車

やまば歯車

傘歯車

フェースギヤ

まがりば傘歯車

ねじ歯車

ハイプイドギヤ

ウォームギヤ

ラック

食い違い軸の歯車

交差軸の歯車

平行軸の歯車

はすばラック

２．歯車の種類及び分類

𝜔

₁

_,

𝜔

₂

：角速度

𝑟

₁

, 𝑟

₂

：半径（

ピッチ円半径

）

●

P

r

₂

r

₁

一対の円板による摩擦伝達：

P

：ピッチ点

歯車伝達：

P

：ピッチ点（接触点）

速比：

接触円

速比：

大きな力を伝達できない

大きな力を伝達できる

𝑖 =

𝜔

1

𝜔

₂

=

𝑟

₂

𝑟

₁

𝑖 =

𝜔

₁

𝜔

₂

=

𝑟

₂

𝑟

₁

=

𝑧

₁

𝑧

₂

𝜔

₁

_,

𝜔

₂

：角速度

𝑟

₁

, 𝑟

₂

：

ピッチ円の半径

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

ピッチ円、歯数とモジュールの関係：

𝑑

₁

，𝑑

₂

：歯車１と２のピッチ円直径；

𝑧

₁

、 𝑧

₂

：歯車１と２の歯数

モジュールの定義：

and

（１）

（２）

一対の歯車のかみあう条件：

歯車１と２のモジュールが等

しくならなければならない。

モジュールはJIS規格の標準値を使用：

第１系列

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1 1.25 1.5 2 2.5 3

4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50

第２系列

0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.7 0.75 0.9 1.75 2.25

2.75 3.5 4.5 5.5 7 9 11 14 18 22 28 36 45

第３系列

0.65 3.25 3.75 6.5

𝑚 =

𝑑

1

𝑧

₁

𝑚 =

𝑑

₂

𝑧

₂

𝑑

₁

= 𝑚 × 𝑧

₁

𝑑

₂

= 𝑚 × 𝑧

₂

４．歯車の歯数とモジュール

Adden

dum

Dedend

um

km

km

c m

k

歯底円直径=ピッチ円直径－2 ×歯元のたけ=mz-2(1.25m)=(z-2×1.25)m

歯先円直径=ピッチ円直径＋2×歯末のたけ=mz+2m=(z+2)m

歯元のたけ=m+0.25m=1.25m

歯末のたけ=m

全歯たけ=(m+m+0.25m)=2.25m

頂げき：c=0.25m

有効歯たけ：h

_e

=m+m=2m

標準歯車の場合（K=1）

頂げきC

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

歯先円直径

歯末のたけ

歯元のたけ

５．歯車の歯の構成（歯先円、歯元円、歯たけ）

低歯

歯たけ係数𝐾 < 1

歯末のたけ＜m

（ m=モジュール ）

並歯：

歯たけ係数𝐾 = 1

歯末のたけ=m

高歯：

歯たけ係数𝐾 > 1

歯末のたけ>m

（スプライン締結）

（最も一般的に使用されているもの）

（航空機に使用）

６．並歯・低歯・高歯歯車の定義

インボリュート曲線とは：

図１のように巻き付けた糸をたわませずに巻きほこしていった時、糸の先端が描く

曲線a

₀

, a

₁

, a

₂

…, a

_n

である。この基となる円を

基礎円

と呼ぶ。

図１ インボリュート曲線の発生

_{図２ インボリュート曲線を用いた歯車の歯形}

インボリュート曲線

歯車の歯

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

図１ インボリュート曲線

特徴：

1. インボリュート曲線上の点の垂線

は基礎円と接し、その点から接点

までの長さ＝曲率半径

2.

………

基礎円

インボリュート曲線

糸

糸

糸

糸

糸

_糸

糸

糸の先端

歯車の歯形はなぜインボ

リュート曲線であるか？

𝑎

₃

𝑏

₃

= 𝑎

₀

𝑏

₃

𝑎

₁

𝑏

₁

= 𝑎

₀

𝑏

₁

𝑎

₂

𝑏

₂

= 𝑎

₀

𝑏

₂

８．インボリュート曲線の特徴

図２ インボリュート関数の導き

図２において、点Pにおける曲率半径を

ρとすれば、下記の式が得られる。

また、次のような式が得がれる。

ただし、

𝛼

＝圧力角度；

𝑟

_𝑔

＝基礎円半径(mm)

この

𝜽

を

インボリュート関数

と呼ぶ。式（５）のように表現する。

直角三角形

OIP

において、次（３）が得がれる。

（１）

（２）

（３）

（２）と（３）を（１）に代入し、式（４）が得がれる。

（４）

（５）

インボリュート

曲線

𝜽 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 − 𝜶

𝒊𝒏𝒗𝜶 = 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 − 𝜶

𝜌 = 𝐼𝑃 = 𝐼𝐴

𝐼𝐴 = (𝛼 + 𝜃)𝑟

_𝑔

𝐼𝑃 = 𝑟

_𝑔

tan 𝛼 = 𝜌

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１０．ラックによる歯車の歯の加工（創成運動）

ラック

創成された

歯車の歯形

ラックの直線運動

円板の回転運動

𝑽 = 𝝎 × 𝒓

𝝎

𝒓

歯車

ラックによる歯の創成運動（動画）

m

m

one pitch

0.5πm

0.5πm

20°

Pitch Line

0.25m

0.25m

(πｍ)

0.375m

１１．ラック上の点と加工された歯形上の点の対応関係

ラックの歯形

歯車の歯形

ピッチ点

ピッチ点

台形の傾斜角度

ピッチ点における圧力角度（標準の場合＝20度）

歯先（C

_k

部）

頂げき部

歯末のたけ（C

_k

部を除く）

歯元のたけ（頂げき部を除く）

歯元のたけ（m）

歯末のたけ(m)

基準ピッチ線

ピッチ円

ピッチ

t

₀





m

円周ピッチ

歯の歯末部分を加工

歯の歯元部分を加工

歯の頂げき部分を加工

基準ピッチ線

基準ピッチ点

ラックの構造設計

法線ピッチ𝑡

_𝑒

＝法線方向に沿って測ったピッチ

円周ピッチ𝑡 ＝円周上に沿って測ったピッチ

円周ピッチの計算式：

法線ピッチの計算式：

法線ピッチと円周ピッチの関係：

𝒓＝ピッチ円半径

𝒓

_𝒈

＝基礎円半径

（１）

（２）

（４）

（３）

𝑡

_𝑒

= 𝑡 cos 𝛼 = 𝜋𝑚 cos 𝛼

𝑡 =

2𝜋𝑟

𝑧

𝑡

_𝑒

=

2𝜋𝑟

𝑔

𝑧

𝑟

_𝑔

= 𝑟 cos 𝛼

１２．歯の法線ピッチと円周ピッチ

1.

ピッチ点Pを通った基礎円の接線＝

作用線

2.

作用線の傾き角度

＝ピッチ点Pの

圧力角度

3.

標準歯車の場合には、



𝑟

_𝑔1

, 𝑟

_𝑔2

：歯車１と２の基礎円半径

𝑟

₁

, 𝑟

₂

：歯車１と２のピッチ円半径

𝛼

＝ピッチ点Pにおける圧力角

（１）

（２）

圧力角、ピッチ円、基礎円の関係：

（３）

𝛼

_𝑐

＝ラックの圧力角度

𝑟

_𝑔1

= 𝑟

₁

cos 𝛼

𝑟

_𝑔2

= 𝑟

₂

cos 𝛼

𝛼 = 𝛼

_𝑐

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歯車のかみあい（接触）は

作用線上

に沿って行われている。

即ち、一対の歯のかみあい始めとかみあい終わりのすべての過

程において、歯のかみあい点（接触点）は作用線上に沿って移動

かみあい開始点

かみあい終了点

かみあい途中点

１４．歯のかみあい点と作用線の関係について

1枚歯のかみあい開始点からかみあい終了点までの作用線上の距離をかみあい長さと呼ぶ。

かみあい長さ＝

K

₁

K

₂

（作用線上の距離）

かみあい開始点：

K

₁

かみあい終了点：

K

₂

ピッチ点：

P

K

₁

P

におけるかみあい：近寄りかみあい

PK

₂

におけるかみあい：遠のきかみあい

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（１）かみあい長さLの計算：

𝑟

_𝑔1

：歯車１の基礎円半径；

_𝑟

_𝑘1

：歯車１の歯先円半径；

𝛼：ピッチ点Pにおける圧力角；

（１）

𝑟

_𝑔2

：歯車２の基礎円半径；

𝑟

𝑘2

：歯車２の歯先円半径；

𝑨：歯車１と２の中心距離；

かみあい長さを法線ピッチで除した商をかみ合い率と呼ぶ。

e

t

L

法線ピッチ

かみあい長さ

かみあい率





（２）

（２） 歯のかみあい率の計算：

（３）

𝐿 = 𝐾

₁

𝐾

₂

=

𝑟

_𝑘1

2

− 𝑟

_𝑔1

2

+ 𝑟

_𝑘2

2

− 𝑟

_𝑔2

2

− 𝐴 sin 𝛼

𝜀 =

𝐿

𝑡

_𝑒

=

𝑟

_𝑘1

2

− 𝑟

_𝑔1

2

+ 𝑟

_𝑘2

2

− 𝑟

_𝑔2

2

− 𝐴 sin 𝛼

_𝑏

𝜋𝑚 cos 𝛼

_𝑐

①２対の歯のかみあい始め

②２対の歯のかみあい途中

④１対の歯のかみあい始め

①

②

④

_⑤

_①

⑤１対の歯のかみあい終了

③２対の歯のかみあい終わり

③

①２対の歯のかみあい始め

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歯車１は微小な角度

_{ωで回転した時、歯車１}

の歯形の円孤移動量を

_𝒅

_𝒔𝟏

とし、歯車２の歯

形の円孤移動量を

_𝒅

_𝒔𝟐

とすると、滑り率は下

記の式で定義できる。

歯車１の滑り率：

歯車２の滑り率：

（１）

（２）

（１）滑り率の定義：

（２）滑り率の計算式：

（𝑋: 作用線上の接触

点からピッチ点までの

距離、

（

）

𝛼

_𝑏

：圧力角度）

（𝑑

₁

,𝑑

₂

: ピッチ円直径）

𝜎

₁

=

𝑑

𝑆1

− 𝑑

𝑆2

𝑑

_𝑆1

𝜎

2

=

𝑑

_𝑆1

− 𝑑

_𝑆2

𝑑

_𝑆2

𝜎

₁

= ±

𝑋(1 +

1

𝑖

)

(𝑑

₁

/2) sin 𝛼

_𝑏

∓ 𝑋

𝜎

₂

= ∓

𝑋(1 +

1

𝑖

)

(𝑑

₁

/2) sin 𝛼

_𝑏

± 𝑋

𝑖 =

𝑑

₂

𝑑

₁

１７．歯車の滑り率

1. 歯車１と２のピッチ点に

おける滑り率はゼロで

あり、ピッチ点から歯

先・歯元へ離れていく

と、滑り率はだんだん

大きくなっていく

2. 歯先と歯元の滑り率は

一番大きい

図１ 歯車１と２の滑り率曲線

（３）滑り率の曲線及び特徴

小歯車の歯数は非常に少ない場合には（例えば

Z<17

）、大歯車の歯先円は小歯車のイン

ボリュート曲線の発生円である基礎円の内部に入り、インボリュート曲線は基礎円から始

まり、基礎円の内部には、インボリュート曲線が形成できないので、大歯車の歯先と小歯

車の歯元は干渉が発生し、この干渉で歯車加工時、小歯車の歯元を切下げる現象が発

生する。

切下げると歯の根元はやせ、強度低下することになるとともに、切下げ部の滑り率が非常

に大きいので、切下げる部にかみあう場合には、激しい摩耗が発生する恐れがある。従っ

て、切下げを防がなければならない。

（別名：アンダーカット 英文：undercut）

干渉による切下げ

１８．歯の干渉現象と切下げ

（１）切下げしない最小歯数の計算式：

（２）切下げ防止方法：

1. 圧力角度を大きくする

2. 歯のたけを低くする

3. ラックを転位させて、転位歯車を作る

圧力角度α

14.5°

20°

25°

並歯ℎ

_𝑘

= 𝑚

31.9

17.1

11.2

低歯ℎ

_𝑘

= 0.8𝑚

25.5

13.7

9.0

高歯ℎ

_𝑘

= 1.2𝑚

38.3

20.5

13.4

表1 圧力角度と切下げしない最小歯数の関係

切下げしない最小転位係数の計算：

（並歯の場合）

（１）

（2）

転位前

転位後

𝑍

_𝑚𝑖𝑛

=

2ℎ

𝑘

𝑚sin

2

𝛼

𝑥 ≥ 1 −

𝑍

1

2

sin

2

_𝛼

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

アンダー

カット

なぜ、転位歯車を作る必要があるか？

1.

転位により、歯車の軸間中心距離が自由に調整・設計できる

2.

転位により、かみ合い率は大きくなり、滑り率が小さくなり、歯元が強くなり、歯

車の性能改善ができる

3.

歯車転位により、歯の切下げを防ぎ、最小歯数を17枚以下にすることができる。

xm

＋転位

－転位

x：転位係数

xm：転位量

（１）標準歯車の加工

（２）転位歯車の加工

２０．転位歯車と転位係数

中心距離増加係数：



















1

cos

cos

2

2

1

b

c

z

z

y





中心距離：

b

c

b

b

d

z

z

m

d

m

y

z

z

A





cos

2

cos

)

(

2

2

2

1

2

1

2

1























_



α

_c

（

_α

₀

）：ラックカッターの圧力角度；

c c b

inv

z

z

x

x

inv





_





















2 1 2 1

tan

2

α

_b

:かみあいピッチ円の圧力角度：

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２２．転位平歯車の寸法計算式の纏め

歯先円直径

歯底円直径

基礎円直径

基準ピッチ円直径

中心距離

転位係数

歯末のたけ

かみあい圧力角度

歯車１

歯車２

かみあいピッチ円直径

中心距離増加係数

1

x

x

₂ C



c c b

inv

z

z

x

x

inv





_





















2 1 2 1

tan

2

         1 cos cos 2 2 1 b c z z y   b c b b d z z m d m y z z A





cos 2 cos ) ( 2 2 2 1 2 1 2 1            _          2 1 1 1 2 z z z A d_b

_















2 1 1 2

2

z

z

z

A

d

_b 1 1

mZ

d



d

₂



mZ

₂

m

x

z

d

_k1



{

₁



2

(

1



₁

)}

d

_k2



{

z

₂



2

(

1



x

₂

)}

m

c g

mz

d

₁



₁

cos



c g

mz

d

₂



₂

cos



h

d

d

_r1



_k1



2

_d

_d

_h

k r2



2



2

m

x

h

_k1



(

1



₁

)

h

_k2



(

1



x

₂

)

m

工具圧力角度

駆動歯車と被動歯車は逆方法

駆動歯車と被動歯車は同方法

外歯車の場合：

内歯車の場合：

大歯車

小歯車

内歯車

外歯車

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

リム

リム

ウェブ

ウェブ

ハブ

歯幅

歯幅

ハブ

Face width

Hub

Web

Rim

２４．歯車の各部の名称

1.

歯車１のモジュール＝歯車２のモジュール

2.

工具の圧力角度＝20度（JIS規格）

3.

最小歯数を選ぶ時、歯元切下げの有無を確認する必要がある

（標準歯車の場合には、最小歯数は17枚以上）

4.

標準歯車で軸間の中心距離が満足できない時には、転位歯車を使用する

5.

転位歯車を使用する場合には、転位係数は歯車の性能や強度に影響を及

ぼすので、転位係数の妥当性検討が必要である。“＋”転位の場合には、転

位係数が大きすぎると、下図のように歯先が尖る現象が生じるので、要注意。

大きな“＋

”転位係数による歯の歯先尖り現象

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

２６．インボリュート歯形の特徴

1. 歯車の歯形として、インボリュートの他に、サイクロイド曲線、ト

ロコイド曲線、円弧などが使われている

2. 歯形の作りやすさ（刃物＝直線歯形）と加工精度の保障（加工・

精度測定の易さ）からみると、インボリュート曲線はコストパ

フォーマンスが一番よいので、殆どの歯車にインボリュート曲線

が歯形曲線として採用されている。

3. 特殊な歯車装置にインボリュート歯形以外の曲線を使用。

例：① ピン歯車装置＝サイクロイド歯形

② 波動歯車装置＝円弧歯形、直線歯形、インボリュート

２７．ピン歯車装置の歯形：トロコイド曲線

Tooth pin

Torque pin

_{Bearing pin}

Gear and

Tooth

Case

反力ピン

トロコイド（サイクロイド）歯形歯車

中央ベアリングころ

ピン歯車

外歯車

２８．波動歯車装置の歯形

１．円弧歯形

２．インボリュート歯形

３．直線歯形

モーター

負荷

入力軸側

出力軸側

𝑖：減速比；

𝑧

₁

, 𝑧

₂

：歯車１と歯車２の歯数；

𝑛

₁

, 𝑛

₂

：歯車１と歯車２の回転数(rpm)

𝑇

₁

, 𝑇

₂

：歯車１と歯車２に作用されるトルク

（２）回転数の関係

（３）トルクの関係

（１）減速比の計算：

2000rpm

1000rpm

減速装置

400Nm

200Nm

歯数20枚

歯数40枚

𝑖 =

𝑛

1

𝑛

₂

=

𝑧

₂

𝑧

₁

𝑛

₂

=

𝑛

1

𝑖

𝑇

2

𝑛

₂

𝑇

₁

𝑛

₁

𝑍

₂

𝑍

₁

２９．歯車の減速比、回転数と伝達トルクの関係

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

𝑇

₂

= 𝑖 × 𝑇

₁

× 𝜂

歯車４

（Z

₄

、

n

₄

）

歯車３

（Z

₃

、

n

₃

）

歯車２

（Z

₂

、

n

₂

）

歯車１

（Z

₁

、

n

₁

）

入力軸

出力側

入力側

出力軸

３０．歯車装置の多段減速機構

モーター

負荷

入力軸側

出力軸側

２段目

１段目

（１） １段目減速比：

（２） ２段目減速比：

（３） 総減速比の計算式：

回転数の関係式：

トルクの関係式：

出力軸の回転数＝入力軸の回転数／総減速比

出力軸のトルク＝入力軸のトルク×総減速比×総効率

𝑖

₁₂

=

𝑧

2

𝑧

₁

𝑖

₃₄

=

𝑧

4

𝑧

₃

𝑖

₁₄

= 𝑖

₁₂

× 𝑖

₃₄

𝑖

₁₄

=

𝑧

2

𝑧

₁

×

𝑧

₄

𝑧

₃

𝑛

₃

𝑛

₂

𝑛

₁

𝑍

₃

𝑍

₄

𝑍

₂

𝑍

₁

３１．二段減速機構の速比とトルク計算

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3

モーター

負荷

入力軸側

出力軸側

２段目

１段目

３段目

（１） １段目減速比：

（２） ２段目減速比：

（３） ３段目減速比：

（４） 総減速比の計算式：

（１）

（２）

𝑖

₁₂

=

𝑧

2

𝑧

₁

𝑖

₃₄

=

𝑧

4

𝑧

₃

𝑖

₅₆

=

𝑧

6

𝑧

₅

𝑖

₁₄

= 𝑖

₁₂

× 𝑖

₃₄

× 𝑖

₅₆

𝑖

₁₄

=

𝑧

2

𝑧

₁

×

𝑧

₄

𝑧

₃

×

𝑧

₆

𝑧

₅

𝑍

₃

𝑛

2

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₄

𝑛

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₄

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₅

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₆

３２．三段減速機構の速比計算

３３．平歯車の設計計算

（１）島根大学の開発したソフトによる歯車の設計計算

歯部寸法

マタギ歯厚とオーバピン寸法

入力部

出力部

内スプライン付きの平歯車

高歯非標準歯厚平歯車

内・外平歯車の一体化構造

（２）島根大学の開発したソフトによる歯車２Dと３D製図

３４．平歯車の製図

３５．高歯・低歯平歯車の設計計算と製図

転位・高歯歯車の２Dと３D製図

開発ソフトのメニュー画面

入力部

歯部寸法

切り下げ

チェック

マタギ歯厚と

オーバピン寸法

３D製図

３６．はすば歯車の設計計算と製図

やまば歯車の設計計算と製図

３７．設計・製図例：歯車試験機の設計と製図

（１） 歯車試験装置の設計

AutoCAD

AutoCAD

2012

試作した装置の写真

３８．歯車装置のアニメーションの作り方

Shimane University, Machine Design Lab. 2017/3