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素粒子物理学特論 C  I. エネルギー準位統計のランダム行列理論 1. 量子カオス    古典力学 量子力学    Thouless エネルギー 2. ランダム行列理論    反ユニタリー対称性    Gauss 型集団の固有値分布    相関関数    直交多項式法（β=2）    熱力学的極限    Tracy-Widom 法    普遍性    超行列の手法（β=2）    グラスマン数 II. 量子場の理論   1. 準備    経路積分法    外場法    スピノル 2. 大域的対称性の破れ    対称性    Goldstone 定理    アノマリー 3. QCD    ゲージ理論    漸近的自由性と閉じ込め    カイラル対称性    カイラルアノマリー  指数定理  インスタントン    Vafa-Witten 定理 低エネルギー有効作用    非線形σ模型（カイラルラグランジアン）    Wess-Zumino 項  質量の導入  θ項の導入   III. Dirac 演算子の固有準位統計 1. Dirac 演算子の固有エネルギー分布    Banks-Casher 定理

   Leutwyler-Smilga 総和則    カイラル対称性の拡大 2. カイラルランダム行列理論 カイラルランダム行列    ０次元カイラルラグランジアンとの等価性    固有値分布  Laguerre 型集団     相関関数  直交多項式法（β=2）    個別の固有値分布 3. 格子ゲージ理論    QCD の数値実験による検証    カイラルラグランジアンの直接導出 (Bohigas 予想の証明）

I. エネルギー準位統計のランダム行列理論

I-1. 量子カオス

古典力学  (q₁, q₂, ... ,q_n ; p₁, p₂, ... ,p_n ): 正準変数  { , } : Poisson 括弧  H(q₁, q₂, ... ,q_n, p₁, p₂, ... ,p_n ) : Hamiltonian  初期値 q₁(0), ... ,q_n(0), p₁(0), ... ,p_n(0) → {H, } で時間発展  古典的可積分系   正準変換により n 組の独立な正準変数 (q_k; p_k) に分離できる 量子力学

(q

1

,q

2

,..., q

n

; p

1

, p

2

,..., p

n

)

: Hilbert 空間に作用する演算子  [ , ] : 交換関係

H(q

1

,q

2

,..., q

n

; p

1

, p

2

,..., p

n

)

: Hamiltonian 演算子

H

ψ = εψ

１自由度系： 

ε

_k

=

k

+

1/ 2

（調和振動子）、

ε

_k

=

k(k

−

1)

（回転子）、etc. 水素原子（３自由度

(x, y, z; p

x

, p

y

, p

z

)

）

→

(r; p

r

), (

θ

; p

θ

), (

ϕ

; p

ϕ

)

に分離        

ε

_k

= −

_{1/ k}

2  多自由度系: 古典的可積分ならば各正準変数の組について    Bohr-Sommerfeld 量子化

∫

_periodic

p

i

dq

i

=

n

i

h

⇒

量子数

(n

₁

,n

₂

,..., n

_n

)

が存在

E

total

=

E

n1 (1)

+

L

+

E

nn (n ) ,  高励起状態のエネルギー準位間に相関・反撥なし   古典的非可積分ならば、高励起準位の統計的記述は？   「量子カオス」   例： スタジウムビリヤード      

H

= −

(

∂

_x2

+ ∂

_y2

)

     リーマン面上の共変ラプラシアン

_H

= −∇

2 

→

_Selberg

ζ

_関数      Anderson 強束縛模型      

H

= − ∂

i 2 i=1 d

∑

+

V(

x )

r

     但し

_V(

_{x )}

r

は 確率分布

P V(

(

x )

r

)

r x

∏

に従う独立な確率変数

Bohigas-Giaconni-Schmidt 84 「古典的非可積分系に対応するハミルトニアンのエネルギー準位は   エルゴード的領域においてランダム行列理論に従う」 ガウス型 Anderson 強束縛模型に対しては証明 (Efetov 86) Thouless エネルギー  拡散   ランダムウォークのフラクタル次元＝２

δ

_x

2

=

_D

δτ

   時間

τ >> τ

_c

=

_L

2

/ D

経過 → 空間全体に拡散   空間の構造を捨象 →    系は時間反転対称性および内部対称性のみによって識別されると期待される   エネルギー準位の相関を問題にするとき、典型的なスケールは隣接する準位の幅        

∆ = ε

_k+1

− ε

_k   Thouless エネルギー

E

_c

≡ /

h /

τ

_c

>> ∆

: エルゴード的領域   

I-2. ランダム行列理論

反ユニタリー対称性  時間反転演算子: 正準交換関係を保存

⇒

反ユニタリー   

_T

=

_{K U}

  

_K

: 複素共役  (運動量・軌道角運動量に作用）        

_U

: ユニタリー (スピン角運動量に作用）   

_T

2

= ±

1

   ハミルトニアンに対する制限   

_T

不変性なし   

⇒

_{H :}

 複素数・エルミート行列（演算子）   

_T

不変性あり 

_{[H, T ]}

=

₀

       

_T

2

= +

1

⇒

H :

  実数・対称行列                

_T

2

= −

1

⇒

H :

 四元数・自己随伴行列  Dyson 指数

β

  各行列要素あたりの実自由度の数    

β =

2、1、4     許される基底の変換   

_H

→

_H'

=

_UHU

+  

_{U :}

ユニタリー行列   

_H

→

_H'

=

_OHO

T

O :

直交行列   

_H

→

_H'

=

_SHS

+  

_{S :}

シンプレクティック行列 ガウス型集団の固有値分布  要請１： 確率分布関数は基底の変換に対して不変（空間的構造を捨象）  要請２： 各行列要素は独立な確率変数  

⇒

行列要素の確率分布

P(H)

∝

exp

(

−

(

β

/ 2) tr H

2

)

: ガウス型ランダム行列集団

H

=

U

λ

1

O

λ

_N

















U

+    

P(H)

∝

exp

−

β

2

λ

i 2 i=1 N

∑



 



 

              

dH

=

dH

_ii i=1 N

∏

dH

_ij(1) i>j N

∏

L

dH

_ij(β) i>j N

∏

=

dU

λ

_i

− λ

_j β i>j N

∏

d

λ

_i i=1 N

∏

       １次元クーロンガスと等価

相関関数   p 個の固有値の結合確率分布（相関関数）    

ρ

N

(

λ

1

,...,

λ

p

)

=

1

Z

_N

L

−∞

P

N

({

λ

}) d

λ

p+1

Ld

λ

N ∞

∫

∫

         

Z

N

=

L

_−∞

P

N

({

λ

}) d

λ

1

Ld

λ

N ∞

∫

∫

 （分配関数）   区間

_[a,b]

に固有値が一つも含まれない確率

E

_N

[a,b]

=

1

Z

_N

∫

L

∫

∉[a ,b ]

P

N

({

λ

})d

λ

1

Ld

λ

N

=

(

−

1)

p=0 N

∑

pN

C

p _a

L

b

∫

ρ

_N

(

λ

₁

,...,

λ

_p

)

d

λ

₁

Ld

λ

_p a b

∫

直交多項式法（ユニタリー集団 β＝2）     

P

N

({

λ

})

= Π

k=1 N

w(

λ

k

)

Π

i>j N

(

λ

i

− λ

j

)

2  

P

_N

({

λ

})

=

C

_N

det

[

ϕ

_j−1

(

λ

_i

)

]

1≤i , j≤N

(

)

2

=

C

_N

det

ϕ

_k

(

λ

_i

)

ϕ

_k

(

λ

_j

)

k=0 N−1

∑



 



 

1≤i , j≤N 直交関数系 

ϕ

i

(

λ

) =

w(

λ

)

h

_n

λ

i

+

L

(

)

,

ϕ

_i

(

λ

)

ϕ

_j

(

λ

)

-∞ ∞

∫

d

λ

=

δ

_ij   カーネル

K

N

(

λ

,

λ

' )

=

ϕ

k

(

λ

)

ϕ

k

(

λ

' )

k=0 N−1

∑

:       

∫

K

_N

(

λ

,

λ

' )K

_N

(

λ

' ,

λ

' ' )

d

λ

'

=

K

_N

(

λ

,

λ

' ' )

      

∫

K

_N

(

λ

,

λ

)

d

λ =

N

   

det K

[

N

(

λ

i

,

λ

j

)

]

_{1≤i, j≤n} −∞ ∞

∫

d

λ

n

=

det K

[

N

(

λ

i

,

λ

j

)

]

_{1≤i , j≤n−1} を満たす      

⇒

 

ρ

N

(

λ

1

,...,

λ

p

)

=

det K

[

N

(

λ

i

,

λ

j

)

]

_{1≤i, j≤p}

L

det

[

ϕ

_j−1

(

λ

_i

)

]

1≤i, j≤N

(

)

2

d

λ

₁

Ld

λ

_N ∉[a ,b ]

∫

∫

=

N!det

δ

_ij

−

ϕ

_i

(

λ

)

ϕ

_j

(

λ

)d

λ

∈[ a, b]

∫

[

]

0≤i , j≤N−1

=

N!Det

δ

(

λ − µ

)

−

ϕ

_i

(

λ

)

ϕ

_i

(

λ

' )

i=0 N−1

∑



 



 

a≤λ,λ'≤b     

⇒

 

E

_N

[a,b]

=

Det I

[

−

K(

λ

,

λ

' )

]

_{a≤λ,λ'≤b}  (フレドホルム行列式)

  正規直交関数系

{

ϕ

_i

(

λ

)

}

は漸化式

λ

ϕ

_i

(

λ

)

=

a

i+1

ϕ

i+1

(

λ

)

+

a

i

ϕ

i−1

(

λ

)

を満たす    

⇒

 

K

N

(

λ

,

λ

' )

=

a

N

ϕ

_N

(

λ

)

ϕ

_N−1

(

λ

' )

−ϕ

_N−1

(

λ

)

ϕ

_N

(

λ

' )

λ − λ

'

熱力学的極限    ガウス型ユニタリー集団

w(

λ

)

=

exp

( )

−λ

2 ,

ϕ

_k

₍

λ

₎

=

_c

_k

_e

−λ2/ 2

H

_k

(

λ

)

d

d

λ

− λ













_d

d

_λ

+ λ



 +

2 k



 



 

ϕ

k

(

λ

)

=

0

 巨視的変数：

x

=

λ

N

1

N

d

2

dx

2

+

1

+

N 2

−

x

2

(

)



 



 

ϕ

N

=

0

    

_N

→ ∞ ⇒

WKB 解 

ϕ

N

=

const. cos N

2

−

y

2

dy

+

N

π

₂

0 x

∫

(

)

ρ

(x)

≡

lim

N→ ∞

ρ

N

(

N x

)

=

N

π

2

−

x

2 : Wigner の半円則  微視的変数：

z

= ρ

(0)

λ =

2 N

π

λ

(原点

λ =

0

の周りでなくても同様)

2 N

π

2

d

2

dz

2

+

1

+

2 N

−

π

2

2 N



 



 

ϕ

N

=

0

    

_N

→ ∞ ⇒ ϕ

_N

=

const. cos

(

π

z

+

N

π

₂

)

K(z, z' )

=

lim

N→∞

π

2N

K

N

π

2 N

z,

π

2 N

z'







 =

sin

_π

π

₍

_z

(

₋

z

−

_z'

z'

₎

)

: Dyson の正弦カーネル 特に 

ρ

(z,z' )

=

1

−

sin

_π

π

(

z

−

z'

)

z

−

z'

(

)



 



 

2

Tracy-Widom 法    

_E

_N

_[

−

_t,t]

=

_{Det I}

[

−

_K

]

K

:  カーネル

K(x, y)

θ

(t

−

y)

θ

(y

+

t )

を持つ積分演算子    

d

dt

log E

N

[

−

t,t]

= −

Tr

I

I

−

K

dK

dt







 = −

2 t

_I

₋

K

_K

t

レゾルベント要素

_R(t,t)

=

_{t K(I}

−

_K)

−1

t

(t

₁

≤

x, y

≤

t

₂

)

の計算法

K(x, y)

=

φ

(x)

ψ

(y)

−ψ

(x)

φ

( y)

x

−

y

,  

φ

'

= ψ

,

ψ

'

= −φ

 

Q(x)

=

x (I

−

K)

−1

φ

, P(x)

=

x (I

−

K)

−1

ψ

・交換関係

[ X, K]

= φ ψ − ψ φ ⇒

(x

−

y)R(x, y)

=

Q(x)P(y)

−

P(x)Q( y)

・

∂

K

∂

t

_i

=

(

−

1)

i

K t

i

t

i

⇒

∂

Q(x)

∂

t

_i

=

(

−

)

i

R(x,t

i

)Q(t

i

),

∂

P(x)

∂

t

_i

=

(

−

)

i

R(x,t

i

)P(t

i

)

・カーネルの並進不変性

[D,K]

=

K t

(

1

t

1

−

t

2

t

2

)

⇒

      

∂

Q(x)

∂

x

= π

P(x)

+

R(x,t

1

)Q(t

1

)

−

R(x,t

2

)Q(t

2

)

∂

P(x)

∂

x

= −π

Q(x)

+

R( x,t

1

)P(t

1

)

−

R(x,t

2

)P(t

2

)

   以上に

t

₁

= −

t, t

₂

=

t, x, y

= −

t or t

を代入、

_R(t,t)

について解く

R'

+

s

_{2 R' '}

(

)

2

+ π

(

s R

)

2

=

R' R

(

+

s R'

)

2

(s

=

2t)

:Painleve V 方程式

E(s)

=

d

2

ds

2

exp

−

0

R(s)ds

s

∫

(

)

   初期条件:

E(s)

=

1

−

0

K( x,x)dx

+

L

=

s

∫

1

−

s

+

L

⇒

_R(s)

=

₁

+

_s

+

_L

  

_{P s}

( )

_{= E(s)''}

は隣接する準位の差の分布関数を与える

Anderson ハミルトニアン（磁場下）

２準位相関関数 

R(s)

= ρ

(

ε +

s,

ε

)

−

1

普遍性 各行列要素の独立性の要請を緩め、非ガウス型集団

w(

λ

)

=

exp

(

−

V(

λ

)

)

に変型 直交関数の満たす方程式：

d

d

λ









2

− λ

2

+

2k









_

 ϕ

k

(

λ

)

=

0

⇒

1

A(

λ

)

d

d

λ



 



 

2

− λ

2

+

c

_k

















ϕ

k

(

λ

)

≈

0

  適切な巨視的変数を採ると

1

N

1

A(x)

2

d

2

dx

2

+

N c

−

x

2

(

)



 



 

ϕ

N

≈

0

     WKB 解 

ϕ

N

=

const. cos N

A(y) c

−

y

2

dy

+

N

π

₂

0 x

∫

(

)

ρ

(x)

=

1

π

A( x) c

−

x

2  微視的変数：

_z

= ρ

₍₀₎

λ

1

A(0)

2

d

2

dz

2

+

c



 



 

ϕ

N

≈

0

,

ϕ

_N

=

const. cos A(0) cz

(

+

N

π

₂

)

K(z, z' )

=

lim

N→∞

1

ρ

(0)

K

N

z

ρ

(0)

,

z'

ρ

(0)



 



 

=

sin

π

(

z

−

z'

)

π

(

z

−

z'

)

 巨視的変数の分布関数

ρ

(x)

は変わるが、  微視的変数：

_z

= ρ

₍₀₎

λ

の熱力学的極限

_N

→ ∞

における相関関数は不変

超行列の手法 

(β=2)  相関関数 

ρ

N

(

λ

1

,...,

λ

p

)

=

tr

δ

(

λ

i

−

H)

i=1 p

∏

は 

L

=

L e

−tr H2

dH

∫

e

−tr H2

∫

dH

Z

(

λ

1

,...,

λ

p

; ˜

λ

1

,..., ˜

λ

p

)

=

det(

λ

_i

−

H)

det( ˜

λ

_i

−

H)

i=1 p

∏

 

⇒

G

(

λ

1

,...,

λ

p

)

=

tr

1

λ

i

−

H

i=1 p

∏

=

∂

∂λ

_i i=1 p

∏



 



 

Z

(

λ

1

,...,

λ

p

; ˜

λ

1

,..., ˜

λ

p

)

λi=λ ˜ i   

⇒

lim

ε→ ∞

Im

1

x

±

i

ε

=

m

π

δ

(x)

 により抽出できる

Z

(

λ

₁

,...,

λ

_p

; ˜

λ

₁

,..., ˜

λ

_p

)

=

∫

[

d

Φ

*

d

Φ

]

exp i

Φ

_iA*

(

Λ

_A

−

H)

_ij

Φ

A_j A

∑



 



 

↓

 ランダムネス

_H

に関して総和     

=

∫

[d

Φ

d

Φ

*

]exp

−

1

4

trg

Φ

i * A

Φ

i B

(

)

Φ

i * B

Φ

i C

(

)

+

i

Λ

A

Φ

i A*

Φ

i A A

∑



 



 

    

=

∫

[d

Φ

d

Φ

*

] [d

∫

σ

]

exp

−

trg

σ

2

+

i trg

Φ

i * A

Φ

i B

(

)

σ

BC

+

i

Λ

A

Φ

i A*

Φ

i A A

∑



 



 

    

=

[d

σ

]exp

(

−

trg

σ

2

+

N trg log

(

σ + Λ

)

)

GL ( p| p)

∫

σ =

σ

BB

σ

BF

σ

FB

i

σ

FF



 



 

巨視的変数：

X

=

Λ

N

Z

( )

λ

; ˜

λ

=

[d

σ

]exp

(

−

N trg (

σ −

X)

2

+

N trg log

σ

)

GL (1|1)

∫

⇒

G(x)

=

2 x

−

i

σ

FF

N

→ ∞

極限: 鞍点方程式

2(

σ −

X)

−σ

−1

=

0

の解を代入

G(x)

=

x

±

i 2

−

x

2

,

ρ

( x)

=

1

π

2

−

x

2    ユニタリー対称性のない、より物理的な系に適用可能

グラスマン数   

χ

₁

,K,

χ

N 反可換 

χ

i

χ

j

= −χ

j

χ

i 、 積分規則 

∫

d

χ

=

0,

∫

χ

d

χ =

1

     

⇒

d

χ

1

Ld

χ

N

d

χ

1 *

∫

Ld

χ

_N*

exp

(

χ

_i*

A

_ij

χ

_j

)

=

det A

  複素数: 

1

π

N

d

φ

1

Ld

φ

N

d

φ

1 *

∫

Ld

φ

_N*

exp

(

−φ

*_i

A

_ij

φ

_j

)

=

1

det A

 

Φ =

φ

χ



 



 

M

=

A

σ

ρ

B



 



 

  Graded ベクトル、Graded 行列

trg M

=

tr A

−

tr B

,

det g M

=

exptrg log M

ガウス積分: 

∫

[d

χ

d

χ

*

d

φ

d

φ

*

]exp

(

−Φ

*

M

Φ

)

=

1

det g M