「地盤応答スペクトル」の提案と計算例
志波由紀夫
1 1フェロー会員 大成建設（株）技術センター（〒245-0051 神奈川県横浜市戸塚区名瀬町344-1） E-mail:[email protected] 地震動加速度波形が与えられたとき，それに対する構造物の応答の大きさを知るのに便利なのが，1質 点系動力学モデルにより計算される応答スペクトルである．地中構造物の耐震設計においても，周辺地盤 の地震時変位を算定する際にそれが利用されているが，本来は連続体としての地盤の動力学モデルで計算 すべきであろう．また，地中構造物で重要なのは，地盤に生じるせん断ひずみの大きさであり，これが応 答スペクトルと同様な形で表わされれば便利である．本稿はこうした趣旨から，地震動加速度波形が基盤 入力波として与えられたとき，それに対する表層地盤の動的応答の大きさを地盤の固有周期ごとに表示す る「地盤応答スペクトル」の作成方法を提案するものである．また，いくつかの具体的な計算例を通して 「地盤応答スペクトル」の特性を見る．Key Words :response spectrum, ground motion accelerogram, earthquake ground response, one-dimentional linear model, equation of motion
1．はじめに
地震動加速度波形の工学的性質を表す代表的な表示法 に「応答スペクトル」がある．着目している地震動加速 度波形が，様々な固有周期をもった１質点系動力学モデ ル群を揺すったときに，各々がどれだけ応答するか，そ の応答加速度や応答変位の最大値を固有周期ごとにスペ クトル表示したものである．近似的に１質点系にモデル 化できる構造物の耐震設計などにおいて，入力地震動の 応答スペクトルが与えられていれば，そこから当該構造 物の固有周期に対応するスペクトル値を読み取ることに より直ちに最大応答値を知ることができて便利である． また，そうした応答スペクトルの利用に基づく「応答ス ペクトル法」が，構造物の弾性域での動的解析を時刻歴 応答解析法よりも簡易に行える方法として用いられても いる． 応答スペクトルは，地上の構造物だけでなく，地中構 造物の耐震設計における，応答変位法の計算の中でも用 いられている．それは，地中構造物への地震作用となる 周辺地盤の地震時変位を算定する際に，工学的基盤面に おける速度応答スペクトルを使うものである．ここで周 辺地盤の地震時変位（地表面での変位振幅）は，工学的 基盤面において規定された耐震設計用速度応答スペクト ルと表層地盤の基本固有周期，それに地表面位置に対応 する応答の刺激係数とから算出される形になっており1)， 古くは1974年の石油パイプライン技術基準2)で，現在で も各種地中構造物の耐震設計指針でこの算定法が採用さ れている． ところで最近は，地中構造物の耐震設計でも時刻歴応 答解析法により周辺地盤の地震時変位を計算することが 普通に行われるようになり，工学的基盤面における入力 加速度波形が設定されることも多くなった．この場合， その入力波に対して個別具体的な地盤にどれだけ応答変 位が生じるのかを正確に知ろうとするならば，当該地盤 の動的解析モデルを作成し地震応答計算を行って変位量 を求めることになる．しかし，その入力波は一般論とし ては，何秒の固有周期の地盤を大きく揺するのか，ある いは，いま設計の対象となっている地盤では概略どのく らいの応答になるのか，などの大局的な情報をつかむに は，やはりその入力波について応答スペクトル的な表現 がなされていると便利である． ただ，ここで欲しい応答スペクトルは，応答変位の最 大値を知るための変位応答スペクトルである．前述の各 種の設計指針類のように速度応答スペクトルが提示され てそれから地盤変位を計算するよりも，応答変位が直接 計算された応答変位スペクトルが示された方が，計算手 間もなく，また，応答速度値から変位量に換算する近似 計算ではないという意味で正確でもある．しかし，その応答変位スペクトルが１質点系動力学モデルで計算され たものでよいのかは，議論のあるところであろう．地震 動に対する表層地盤の応答が１質点系動力学モデルで表 現できる範囲，すなわち，表層地盤がほぼ基本固有モー ド（第1次モード）だけで振動する範囲内であればよい が，2次以上の高次モードの影響が無視できない場合は 不正確になる．厚い軟弱地盤で基本固有周期が長いとこ ろに，短周期成分の卓越する加速度波形が入力する場合 などがそうしたケースに当たるであろう． また，地中構造物の耐震設計のうちで特に構造物横断 面方向の検討では，地震時にその上下端が地盤変位によ り水平方向にどれだけ相対変位するかで地震時応力が決 まることから，構造物の位置する深さでの地盤に生じる せん断ひずみの大きさを知ることが重要である．そもそ も周辺地盤の地震時安定性を評価する上でも，地盤に生 じるせん断ひずみの大きさは必要な情報である．そこで， 基盤入力地震動が与えられたとして，それにより表層地 盤内にどれだけの大きさのせん断ひずみが発生するのか が，表層地盤の基本固有周期別に分かるようになってい るスペクトル図が同時に用意されていれば，大いに有用 であろう．しかし，これを地盤を１質点系にモデル化し た解析モデルで計算するのは，やはり表層地盤の振動を 第1次モードだけに限定するといった条件を付けざるを 得ず，計算精度の面で不十分である． そこで本稿では，地上構造物向けに１質点系動力学モ デルにより計算する応答スペクトルがあるのと同じ発想 で，地盤向けに，1次元連続体として計算する応答スペ クトルの作成を提案する．そしてそれを「地盤応答スペ クトル」と呼ぶことにする．すなわち，「地盤応答スペ クトル」は，基盤入力加速度波形が与えられたとき，そ れがどういう（固有周期で表す）地盤をどのくらい大き く揺するのか（応答の最大値）をスペクトル形式で表示 するグラフである．特に，表層地盤に生じさせるせん断 ひずみの大きさについても一目で把握できるようにする ことを主眼にしている．これによって，その入力波が地 中構造物にとってどの程度の影響を与えるものであるか， あるいは，入力波が複数あったときに，どれが地中構造 物にとって最も厳しいのか，などを即座に知ることがで きる． 次章からは，上記のような「地盤応答スペクトル」の 概念と計算方法を説明する．また，いくつかの計算例を 示して，「地盤応答スペクトル」の特性を見ていく．
2．「地盤応答スペクトル」の概念
ここに提案する「地盤応答スペクトル」は，耐震設計 上の基盤面（工学的基盤面）において設定された入力加 速度波形について，それによって表層地盤がどれだけ揺 すられるのか，その応答の大きさを読み取れるようにし たグラフである．ただし，表層地盤といっても，硬い土 質の地盤もあれば軟弱な地盤もあるし，層の厚い地盤も あれば薄い地盤もあり，そうした諸条件の組み合わせに よって振動特性が異なり，同じ地震動入力に対しても応 答がそれぞれ違ってくる．したがって，表層地盤の振動 特性を総括するパラメータ，すなわちグラフの横軸を適 切に設定しないと，表層地盤全般を網羅する有用なグラ フにはならない．この横軸にとる量としては，その値が 等しいときには，地盤条件の一つ一つは異なっても，結 果として入力波に対する動的応答が等しくなるような， 諸条件の組合わせ量があれば最適であろう．それは次章 で詳しく説明するが，本提案では表層地盤を均質な線形 粘弾性体としてモデル化したときの基本固有周期（第一 次の固有振動モードの振動周期）とする．また，表層地 盤の振動性状を規定する重要な特性として減衰性がある ので，これについても減衰定数というパラメータを定義 する． こうして，「地盤応答スペクトル」は，表層地盤の基 本固有周期を横軸にとり，縦軸にはその基本固有周期を もつ表層地盤が入力波に対してどれだけ応答するか，そ の応答の最大値を表示したスペクトル図とする． 以上に述べた「地盤応答スペクトル」の概念は，形式 図-1 応答スペクトルと「地盤応答スペクトル」の対比 M C K y H z , G, h K M T2 / / G H V H T S 4 4 パラメータ： （加速度時刻歴） y x x x, , 質点の応答： 地盤の応答：x,x,xy,, 固有周期（地盤の基本固有周期） T h 減衰定数： 応答 の最大 値 T max y x など 応答スペクトル 地盤応答スペクトル 最大値 最大値x
x
1質点系 地盤系 パラメータ： h的に応答スペクトルと全く同じである．これら二つのス ペクトルを対比して図-1に示す．応答スペクトルは，着 目している地震動加速度波形で１質点系動力学モデルを 加振したときの質点の応答を計算して，絶対加速度 ，相対速度 ，相対変位 のそれぞれ最大値を表示 したものである．ここに， および の記号は，それぞ れ時間に関する1階微分，2階微分である．また， は入 力地震動の変位であり， が入力加速度波形となる．応 答スペクトルでは，１質点系動力学モデルの振動特性を 規定するパラメータとして，系の固有周期Tと減衰定数h が選ばれている．改めて書く必要もないことであるが， １質点系動力学モデルは，質量 の質点とばね定数 の ばねと減衰係数Cのダンパー（ダッシュポット）の3要 素で構成され，その運動方程式は， ∙ ∙ ∙ ∙ 1 と表される．そして， 2 / 2√ ∙ 2 で表される固有周期Tと減衰定数hを用いて，運動方程式 (1)は， 2 ∙ 2 Ｔ ∙ 2 Ｔ ∙ 3 と書き改めることができる．もし振動系が二つあったと して，それぞれの構成要素の ， ，Cの値は振動系ど うしで等しくはないが，式(2)による固有周期Tと減衰定 数hが両系で同じ値になる場合は，この二つの振動系の 運動方程式は数学的に同じになり，その解である質点の 応答も同じになる． 振動する物体が１質点系モデルから均質連続体として の地盤系に置き代わった「地盤応答スペクトル」でも， こうした理屈は同様である．地盤系では，層の厚さ，質 量密度，剛性（せん断弾性係数），および粘性係数が層 全体としての振動特性に関係するが，運動方程式におい てこれらの構成要素の変数を整理すると，やはり基本固 有周期と減衰定数という二つのパラメータで記述するこ とができ，これらによって様々な条件の表層地盤を網羅 的に取り扱うことができる．そして，減衰定数を一定に した条件で表層地盤の基本固有周期を様々に変えて入力 地震動に対する動的応答計算をし，その応答最大値をプ ロットしていけば，「地盤応答スペクトル」が得られる． このときスペクトル図として描くべき応答量としては， 表層地盤の運動方程式を解いて得られる物理量であれば 何でもよいが，工学的に必要な情報としては，地表面の 加速度，速度，変位のほか，前述したように，表層地盤 内の任意深さに生じるせん断応力 およびせん断ひずみ であろう．
3．「地盤応答スペクトル」の計算方法
(1) 地盤のモデル化 ここで提案する「地盤応答スペクトル」の計算では， 地盤振動系および入力地震動に関して以下の仮定条件を 設ける（図-2参照)． i. 地盤系の構成としては，剛な基盤層の上に層厚 の均 質で軟らかい表層が載る一次元モデルとする． ii. 表層地盤は，質量密度が の線形粘弾性体であるとす る．この粘弾性体の応力・ひずみ関係は，ばねとダ ッシュポットが並列配置であるVoigt型とし，そのせ ん断弾性係数を ，粘性係数を とする． iii. 入力地震動は，剛基盤の加速度運動を記述したもの （地中観測波，いわゆるE+F波）として扱う． (2) 表層地盤の運動方程式 図-2(a)に示すとおり，地表面から下向きに座標軸 を とり，任意の深さ ，時刻 における表層地盤の絶対変位 を , で表す．ここで，基盤面の変位，すなわち与え 図-2 「地盤応答スペクトル」を計算するためのモデル化 地表面 表層地盤 剛基盤 せん断応力 せん断 ひずみ せん断弾性係数 粘性係数 (a) 解析モデルの座標系と地盤要素の力のつり合い (b) 土の力学モデルられた入力地震動の変位を とすると，基盤面に対す る表層地盤の相対変位 , は， , , 4 となる． また，深さ ，時刻 における表層地盤のせん断ひずみ , は， , 5 である．図-2(b)に示したVoigt型の土のモデルでは，せ ん断応力 , は，せん断ひずみの大きさに比例した項 と，そのひずみ速度に比例した項の和であり， , ∙ ∙ 6 となる．そして，図-2(a)を参照しながら表層地盤中の 微小要素の水平方向の力の釣合いを考えると， ∙ ∙ 0 7 となる．これに式(4)，(5)，(6)を代入すると，表層地盤 の基盤面に対する相対変位 , に関する運動方程式が 次式のように得られる． ∙ ∙ ∙ ∙ 8 (3) 運動方程式の解法 運動方程式(8)は線形の微分方程式であり，右辺の入 力地震動 の表記方法に応じて，解法はいくつか考え られる．基本的には，右辺をゼロとした斉次方程式の一 般解と，右辺の入力地震動を具体的に規定した方程式の 特解との和が，式(8)の一般解となる． いま，表層地盤の減衰特性は振動の円振動数 に依存 しない履歴減衰型とし， ∙ 2 ≡ 一定 9 の関係があるものとして減衰定数 を定義する3)．これ を式(8)に適用して，さらに少し整理すると，表層地盤 の運動方程式は 2 ∙ ∙ ∙ 10 となる．ここに は， / 11 であり，表層地盤を伝わるせん断波の速度である． 式(10)の右辺をゼロとした斉次方程式の一般解を求め る際には，次の2つの境界条件を満足するようにする． i. 地表面 0においてせん断ひずみ , が常にゼロ． ii. 基盤面 において変位 , が常にゼロ． すると，その一般解は次式のように表せる． ∙ ∙ ∙ ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2 1 2 ∙ 12 ここに， 2 1 ∙ 2 ∙ 1, 2, 3,・・・ 13 であり，表層地盤の第m次の固有振動モードの円振動数 を表している．また， と は任意の積分定数であり， 表層地盤の変位および速度の初期条件によって決定され る．式(12)は，斉次方程式の一般解が，無限に存在する 固有振動モードで減衰自由振動する振動の和として表さ れることを意味している． 前述の１質点系動力学モデルの運動方程式(3)を参照 しつつ，表層地盤の運動方程式(10)およびその解である 式(12)をみると，ここで設定した表層地盤の力学モデル の場合は，表層地盤の動的応答を規定するパラメータは， 表層厚 ，せん断波速度 ，減衰定数 ，の3つというこ とになる．ところで，このうちの と との比から，式 (13)によって表層地盤の固有円振動数 が決まり， は固有周期 と 2 4 2 1∙ 1, 2, 3, ・・・ 14 の関係があるので，第1次振動モード（ 1）の固有 周期，すなわち基本固有周期 4 / 15
を用いて，高次振動モードの および を全て表すこ とができる．結局，表層地盤の動的応答は，基本固有周 期 と減衰定数 の2つのパラメータで特性づけられる ことになる． 入力地震動 を具体的に与えたときの運動方程式で ある式(8)または式(10)の特解は，入力地震動 を例え ば有限フーリエ級数近似で表せば，正弦関数および余弦 関数の和の形として求まる．また，式(12)に含まれる任 意積分定数 ， は，表層地盤が時刻 0において 静止しているものとして， iii. 変位 , 0 が全ての に対してゼロ iv. 速度 , 0 が全ての に対してゼロ の2つの初期条件を満足するように決定すればよい． (4) 本方法による地震応答計算の検算 上に述べた表層地盤のモデル化および運動方程式の解 法の妥当性を検証するため，仮想の均質地盤と入力地震 動を設定して本方法により応答計算したのち，一次元重 複反射理論に基づく動的解析プログラム（SHAKE）に より検算した． この検算のために設定した表層地盤は，単位体積重量 が18kN/m3，せん断弾性係数が73470 kN/m2，層厚が40mの ケースと，このうちのせん断弾性係数を11760 kN/m2とし たケースである．前者のケースではせん断波速度 が 200m/s，基本固有周期 が0.8sであり，後者ではそれぞ れ80m/s，2.0sである．減衰定数 は，いずれのケースで も0.10とした．基盤入力波としては，前者のケースに対 しては1995年兵庫県南部地震の際の神戸海洋気象台での 観測波（以下，神戸波と略記する）とし，後者のケース に対しては振幅100Gal，周期1sの正弦波を1波入力した． 計算結果の一部を図-3に示す．表層地盤の応答として， 地表面の加速度と変位，それに地中のせん断ひずみ（地 表面から20.5mの深さでの値）を出力したが，どちらの ケースでも，本方法による計算結果とSHAKEによる計 算結果とはほぼ完全に一致している． なお，参考までに，基本固有周期2sの地盤に周期1sの 正弦波を入力する地震応答計算を1質点系の動力学モデ ルにより行った場合と比較したところ，図-4(a)のよう になった．地表面の応答加速度波形において計算結果に 差がでている．これは，1質点系モデルでは表層地盤の 振動のうち基本固有モードの振動だけしか表現できない のに対し，本計算法では高次振動モードの影響も考慮さ れていることによるものと考えられる．これを確かめる ため，入力する正弦波の周期を0.5sと短くした場合の計 算結果を図-4(b)に示す．本方法による計算結果では表 層地盤は入力波に対して鋭く応答しているが，固有周期 図-3 本方法による地震応答計算の妥当性の検証 ‐1000 ‐500 0 500 1000 0 5 10 15 20 25 30 加速度 (Ga l) 入力波 ‐2000 ‐1000 0 1000 2000 0 5 10 15 20 25 30 加速度 (G al ) 地表面加速度 本方法 SHAKE ‐40 ‐20 0 20 40 0 5 10 15 20 25 30 変位 (c m ) 地表面変位 本方法 SHAKE ‐0.01 ‐0.005 0 0.005 0.01 0 5 10 15 20 25 30 ひず み 時間 (s) せん断ひずみ（地表面から20.5mの深さ） 本方法 SHAKE ‐100 ‐50 0 50 100 0 5 10 15 20 加速度 (G al ) 入力波 ‐200 ‐100 0 100 200 0 5 10 15 20 加速度 (G al ) 地表面加速度 本方法 SHAKE ‐15 ‐10‐5 0 5 10 15 0 5 10 15 20 変位 (c m ) 地表面変位 本方法 SHAKE ‐0.004 ‐0.002 0 0.002 0.004 0 5 10 15 20 ひずみ 時間 (s) せん断ひずみ（地表面から20.5mの深さ） 本方法 SHAKE (a) 基本固有周期0.8s，減衰定数0.1の地盤に 神戸波を入力したケース (b) 基本固有周期2s，減衰定数0.1の地盤に 正弦波を入力したケース
2sの1質点系モデルによる計算では応答が鈍く，短周期 の動的挙動を十分に表せていない．ただし，変位波形に ついては，許容できる誤差の範囲で計算できている．
4．「地盤応答スペクトル」の計算例
(1) 計算例-1（二つの波形の計算を通しての「地盤応答 スペクトル」と応答スペクトルの比較） 前章に示したとおり，地震動加速度波形（入力波形） が一つ与えられたとして，これと表層地盤の基本固有周 期 および減衰定数 を含む運動方程式を数値的に解い て変位 , を求めれば，そこから表層地盤の様々な応 答量を得ることができる．例えば，減衰定数をある一定 値（例えば0.05）に固定し，基本固有周期を0.02sから5.0s まで細かく刻みながら順次地震応答計算を行い，各計算 で得られる地表面応答加速度の最大値を取り出して基本 固有周期を横軸にとったグラフにプロットすれば，地表 面応答加速度のスペクトルが描ける．同様に，指定した 深さで発生するせん断ひずみについて最大値を取り出し ていけば，その深さの応答せん断ひずみのスペクトルが 描ける．このようにして表層地盤の様々な応答量につい てスペクトルを描いたものが「地盤応答スペクトル」で ある．なお，第3章(1)で述べたとおり，計算対象の地震 動加速度波形は，剛基盤の運動を記述した，いわゆる E+F波として扱う．以降の計算例には地表観測波も含ま れるが，すべて地中観測波の扱いになっていることを断 っておく． はじめに，神戸波を対象に「地盤応答スペクトル」を 描いてみる．また，神戸波との比較という意味で，2008 年岩手・宮城内陸地震において防災科学技術研究所の基 盤強震観測網KiK-netで観測された加速度波形の一つ （IWTH25EW1波：地中観測波）についても「地盤応答 スペクトル」を計算する．これら二つの加速度波形を図 -5に示す．波形を見ても明らかであるが，IWTH25EW1 波は神戸波に比べて短周期成分が多く含まれていること が，同図に示したそれぞれのフーリエスペクトルからわ かる．なお，各波形の最大値は，神戸波が約818Gal， IWTH25EW1波が約748Galである． まず，地表面の応答加速度の最大値としての「地盤応 答スペクトル」を図-6に示す．同図は，表層地盤の減衰 定数を0.05に保ち，基本固有周期を0.02sから5.0sまで0.02s 刻みで変化させながら，地震応答計算した結果の各最大 値をプロットして描いたものである．赤線が「地盤応答 スペクトル」で，青線は1質点系動力学モデルにより計 算した応答スペクトルである．ただし，応答スペクトル の計算の中では，地表面位置での応答量に整合させるた めの刺激係数4/πを考慮してある． これら2つのスペクトルを比較すると，神戸波におい ては基本固有周期がおよそ0.8sのところを境にして，そ れよりも固有周期が短い地盤では両者はほぼ一致してい るが，それよりも固有周期が長い地盤では「地盤応答ス ペクトル」の方が大きくなっていて，両者にかなり大き な差がでている．ちなみに，両スペクトルの計算過程で 得られた地盤の応答加速度波形を図-6に示してある．同 図では，基本固有周期が0.5sの地盤と3.0sの地盤について 図-4 1質点系モデルによる計算と本方法による計算との比較（基本固有周期 2sの地盤に正弦波を入力したケース） (a) 周期1sの正弦波を入力 (b) 周期0.5sの正弦波を入力 ‐200 ‐100 0 100 200 0 5 10 15 20 加速度 (G al ) 地表面加速度 本方法 １質点系 ‐15 ‐10 ‐5 0 5 10 15 0 5 10 15 20 変位 (c m ) 時間（s） 地表面変位 本方法 １質点系 ‐100 ‐50 0 50 100 0 5 10 15 20 加速 度 (G al ) 入力波 ‐120 ‐60 0 60 120 0 5 10 15 20 加速度 (G al ) 地表面加速度 本方法 １質点系 ‐4 ‐2 0 2 4 0 5 10 15 20 変位 (c m ) 時間（s） 地表面変位 本方法 １質点系 ‐100 ‐50 0 50 100 0 5 10 15 20 加速 度 (G al ) 入力波図-6 地表面の応答加速度波形と「地盤応答スペクトル」 図-5 「地盤応答スペクトル」の計算対象とした地震動加速度波形とそのフーリエスペクトル -1000 0 1000 0 10 20 30 加 速 度 (G al ) 時間(s) -1000 0 1000 0 10 20 30 40 加速 度 (G al) 時間(s) 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 フー リ エ 振 幅 （Ga l* s） 周期（s） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 4 5 フー リ エ 振 幅 （Ga l* s） 周期（s） (a) 神戸波 (b) IWTH25EW1波 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 1 2 3 4 5 応答加速度 （ G al ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数=0.05 ：応答スペクトル*4/π ：地盤応答スペクトル 3.0s 0.5s -3000 0 3000 加 速 度 (G al) ：1質点系：地盤系 T=0.5s -1200 0 1200 0 10 20 30 加 速 度 (Ga l) 時間 (s) T=3.0s -1600 0 1600 加速度 (Gal) ：1質点系 ：地盤系 T=0.5s -400 0 400 0 10 20 30 40 加速度 (Gal) 時間 (s) T=3.0s 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 1 2 3 4 5 応答加速度 （Gal ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数=0.05 ：応答スペクトル*4/π ：地盤応答スペクトル 3.0s 0.5s (a) 神戸波 (b) IWTH25EW1波
比較して示しているが，前者の地盤では2つの応答波形 がほぼ完全に重なっているのに対して，後者の地盤では 2つの応答波形は大きく異なっている． IWTH25EW1波について見てみると，「地盤応答スペ クトル」と応答スペクトルとの差は，より短周期の地盤 から生じている．応答波形を見ても，基本固有周期が 0.5sの地盤でさえ，1質点系と地盤系とでかなり異なって いる．こうした「地盤応答スペクトル」と応答スペクト ルとの差異の原因は，後で詳しく示すが，表層地盤の高 次振動モードを考慮しているかいなかの問題である． なお，応答スペクトルについては，振動系の減衰定数 によってスペクトル曲線が異なり，減衰定数が小さいほ どスペクトル曲線が大きくなることが知られているが， 「地盤応答スペクトル」でも同じことが言える．それを 図-7に示す．これは，表層地盤の減衰定数を0.02，0.05， 0.10の3通りに変えて計算した地表面応答加速度の「地 盤応答スペクトル」である． 次に，地表面の応答速度の最大値について見てみると， 図-8のようになる．やはり，基本固有周期が短い地盤に 関しては，応答スペクトルと「地盤応答スペクトル」は よく一致しているが，長周期の地盤では両者に差がでて い る ． 神 戸 波 で は そ の 境 目 が1s 程 度 で あ り ， IWTH25EW1波では0.25sあたりである． 図-9は，地表面の最大応答変位を計算したスペクトル である．この図には，さらに黄線を併記してある．これ は，地中構造物の耐震設計において地盤変位の計算によ 図-8 地表面速度の「地盤応答スペクトル」 図-7 「地盤応答スペクトル」（地表面加速度）と減衰定数との関係 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 1 2 3 4 5 応答加速 度 （Gal ） 表層地盤の基本固有周期（s） h=0.02 h=0.05 h=0.10 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 1 2 3 4 5 応答加速 度 （Gal ） 表層地盤の基本固有周期（s） h=0.02 h=0.05 h=0.10 (a) 神戸波 (b) IWTH25EW1波 0 100 200 300 400 0 1 2 3 4 5 応 答速度（ c m/ s） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数=0.05 ：応答スペクトル*4/π ：地盤応答スペクトル 0 50 100 150 0 1 2 3 4 5 応 答速度 （ cm /s ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数=0.05 ：応答スペクトル*4/π ：地盤応答スペクトル (a) 神戸波 (b) IWTH25EW1波
く使われる次式4)にしたがい，1質点系の速度応答スペク トル（図-8に示した青線）を用いて計算した地表面変位 を示している． 2 ∙ ∙ ∙ cos ∙ 2 16 ここに， ：地表面からの深さ における水平方向の変位 振幅 ：設計応答速度（地震動の速度応答スペクトル） ：表層地盤の固有周期 ：表層地盤の厚さ このスペクトル図でも，基本固有周期が短い地盤では 応答スペクトルと「地盤応答スペクトル」はよく一致し ているが，長い固有周期の地盤では両者に差が生じてい る．ただし，加速度や速度の場合に比べて，両者の差の 程度は小さい．基本固有周期3sの地盤の応答変位波形を 見ても，地盤系と1質点系による違いはそれほどない． 一方，式(16)により計算した地盤変位は，基本固有周期 が1s程度よりも長い地盤になると，計算誤差が無視でき ない大きさになっている． 最後に，地中に生じるせん断ひずみの大きさのスペク トルを図-10に示す．これは１質点系動力学モデルによ る応答スペクトルにはない，「地盤応答スペクトル」に 特有なものといえる． せん断ひずみの大きさは表層地盤内の深さによって異 なるため，ここでは / 比が0.25，0.50，0.75の3深度に ついて示した．なお，せん断ひずみの大きさを表す量 （スペクトル図の縦軸）として，運動方程式の解法にお ける便宜上，ひずみ量 に層厚 を乗じた形で表示して ある．例えば，神戸波によって基本固有周期が0.5sの地 盤が揺すられる場合，その層中央（ / 0.5）におけ るせん断ひずみ ×層厚 の値は，スペクトル図から 18.9cmと読み取れる．いま仮に層厚 が20mであるなら ば ， 発 生 す る せ ん 断 ひ ず み の 最 大 値 は18.9cm÷ 20m=9.45×10-3ということになる． 図-9 地表面の応答変位波形と「地盤応答スペクトル」 0 20 40 60 80 100 0 1 2 3 4 5 応 答変位 （ cm） 表層地盤の基本固有周期（s） ：応答スペクトル*4/π ：地盤応答スペクトル ：2/π2*SV*T 減衰定数=0.05 3.0s 0.5s -20 0 20 変位 ( cm) T=0.5s ：1質点系 ：地盤系 -50 0 50 0 10 20 30 変位 ( cm) 時間 (s) T=3.0s -5 0 5 変位 ( cm) T=0.5s ：1質点系 ：地盤系 -15 0 15 0 10 20 30 40 変位 ( cm) 時間 (s) T=3.0s 0 25 50 0 1 2 3 4 5 応 答変位 （ cm） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数=0.05 ：応答スペクトル*4/π ：地盤応答スペクトル ：2/π2*SV*T 3.0s 0.5s (a) 神戸波 (b) IWTH25EW1波
図-10を見ると，全体としては，層厚が同じという条 件であれば固有周期が長い地盤ほどひずみの発生が大き くなる傾向と，入力波形の中で卓越している周期成分に 同調する固有周期をもつ地盤でひずみの発生が大きくな る傾向（例えばIWTH25EW1波での1.5s付近）とが複合し た形になっているようにも見えるが，ことはそれほど単 純ではないかも知れない．深さの観点からみると，両波 形とも1.5s程度までの短周期の地盤では，深い位置ほど ひずみが大きい．これは，地盤が第１次固有モードだけ で振動する場合には，せん断ひずみが深さ方向に正弦波 状の分布形状となることに対応している（これについて は後の計算例-4でも議論する）．実際，せん断ひずみの 応答波形を見ると，基本固有周期が0.5sの地盤では，3つ の深度で応答波形の位相がよく合っており，1次モード 図-10 せん断ひずみの応答波形と「地盤応答スペクトル」 0 25 50 75 100 125 0 1 2 3 4 5 応答せん 断ひず み γ* 層厚H（cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） ：z/H=0.25 ：z/H=0.50 ：z/H=0.75 減衰定数=0.05 3.0s 0.5s 0 20 40 60 0 1 2 3 4 5 応答せん 断ひず み γ* 層厚H（cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） ：z/H=0.25 ：z/H=0.50 ：z/H=0.75 減衰定数=0.05 3.0s 0.5s z/H=0.25 z/H=0.50 z/H=0.75 T=0.5s γ*H 12.5cm 0 10 20 30 40 時間 (s) z/H=0.25 z/H=0.50 z/H=0.75 T=3.0s γ*H 40cm z/H=0.25 z/H=0.50 z/H=0.75 T=0.5s γ*H 50cm 0 10 20 30 時間 (s) z/H=0.25 z/H=0.50 z/H=0.75 T=3.0s γ*H 150cm (a) 神戸波 (b) IWTH25EW1波
図-11 地盤振動に含まれる高次振動モード -3000 0 3000 加速 度 （ Gal） 全モード -3000 0 3000 加速度 （G al ） １次モード -3000 0 3000 0 5 10 15 20 25 30 加速 度 （ Gal） 高次モード -2500 0 2500 加速 度 （ Gal） 全モード -2500 0 2500 加速度 （Gal ） １次モード -2500 0 2500 0 5 10 15 20 25 30 加速 度 （ Gal） 高次モード -1200 0 1200 加速 度 （ Gal） 全モード -1200 0 1200 加速度 （Gal ） １次モード -1200 0 1200 0 5 10 15 20 25 30 加速 度 （ Gal） 高次モード -20 0 20 変位 （cm） 全モード -20 0 20 変位 （cm） １次モード -20 0 20 0 5 10 15 20 25 30 変位 （cm） 時間（s） 高次モード -50 0 50 変位 （cm） 全モード -50 0 50 変位 （cm） １次モード -50 0 50 0 5 10 15 20 25 30 変位 （cm） 時間（s） 高次モード -50 0 50 変位 （cm） 全モード -50 0 50 変位 （cm） １次モード -50 0 50 0 5 10 15 20 25 30 変位 （cm） 時間（s） 高次モード -1600 0 1600 加速度 （Gal） 全モード -1600 0 1600 加速度 （G al ） １次モード -1600 0 1600 0 5 10 15 20 25 30 35 40 加速度 （G al ） 高次モード -1000 0 1000 加速度 （Gal） 全モード -1000 0 1000 加速度 （Gal ） １次モード -1000 0 1000 0 5 10 15 20 25 30 35 40 加速度 （G al ） 高次モード -400 0 400 加速度 （G al ） 全モード -400 0 400 加速度 （G al ） １次モード -400 0 400 0 5 10 15 20 25 30 35 40 加速度 （G al ） 高次モード -5 0 5 変位 （cm） 全モード -5 0 5 変位 （cm） １次モード -5 0 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 変位 （cm） 時間（s） 高次モード -15 0 15 変位 （cm） 全モード -15 0 15 変位 （cm） １次モード -15 0 15 0 5 10 15 20 25 30 35 40 変位 （cm） 時間（s） 高次モード -12 0 12 変位 （cm） 全モード -12 0 12 変位 （cm） １次モード -12 0 12 0 5 10 15 20 25 30 35 40 変位 （cm） 時間（s） 高次モード (a) 神戸波 (b) IWTH25EW1波 基本固有周期 0.5s の地盤 基本固有周期 1.0s の地盤 基本固有周期 3.0s の地盤 基本固有周期 0.5s の地盤 基本固有周期 1.0s の地盤 基本固有周期 3.0s の地盤
で振動していることがうかがえる．一方，長周期の地盤 では，せん断ひずみの大きさの順位が入り乱れており， 深さとの相関はなくなっている．応答波形を見ても，3 深度で位相が揃っていない． 以上に見てきたように，地盤系の解析モデルにより計 算した「地盤応答スペクトル」と1質点系モデルにより 計算した応答スペクトルとで，基本固有周期が長い地盤 において違いがでている． この理由として表層地盤の 高次モードの振動の影響が予想されるが，それを確認す るために，地盤系の計算法の過程で1次モードの応答と 高次モードの応答とを分離してみた．図-11にその結果 を示す．同図は地表面の応答加速度波形と応答変位波形 に着目したもので，「全モード」とは応答の全部であり， 全ての次数の振動モードが合わさった計算値である． 「1次モード」とは，第1次の固有振動モードによる応答 だけを抜き出したものである．そして「高次モード」と は，「全モード」の計算値から「1次モード」分を差し 引いた，2次以上の振動モードによる分である． これを神戸波について見てみると，基本固有周期が 0.5sの地盤では，応答加速度波形・応答変位波形ともに， 高次モードの振動は非常に小さい．しかし，基本固有周 期が1.0sの地盤になると，応答加速度波形において高次 モードの振動成分が1次モードのそれの1/2程度になって いる．そして基本固有周期が3.0sの地盤では，1次モード と高次モードが逆転し，高次モードの振動の方が支配的 になっている．一方で，応答変位波形では，この3.0sの 地盤においても1次モードの成分が大半を占めている． ここで神戸波の周期特性を図-5から読み取ると，最も 卓越しているのは0.7s前後の周期成分であるが，0.3s程度 までの短周期成分も少なからず含まれていることがわか る．0.3sといえば，式(14)からわかるように，基本固有周 期が0.9sの地盤の第2次モードの固有周期に相当する．し たがって，神戸波は基本固有周期0.9sの地盤で，第2次の 振動モードを励起するに十分な短周期成分を含んでいる． 図-11に見た1.0sの地盤での高次モードの出現は，こうし た関係を反映しているものだと考えられる．また，加速 度波形において高次モードの成分が大きくなっているに もかかわらず応答変位波形においてその高次モードの成 分がそれほど大きくならないのは，変位は加速度を2階 積分したものであり，それが短周期になるほど積分値が 小さい（周期の2乗に比例する）ためである． IWTH25EW1波に関しても，事情は同じであるが，神 戸波よりも短周期型で0.1s程度の成分も多く含む波形で あるだけに，図-11を見ると，基本固有周期が0.5sの地盤 でも応答加速度波形に高次振動モードの影響が顕著に現 れている．また，図-6の加速度スペクトルにおいて基本 固有周期が0.15s前後から「地盤応答スペクトル」と応答 スペクトルとに差が生じていることも，高次振動モード 励起の反映であろう．それでも応答変位波形における高 次振動モードの影響は大きくはない． (2) 計算例-2（著名な強震波形 3波） 過去に様々な耐震問題で使われてきた著名な強震波形 である1968年十勝沖地震の八戸港湾での強震波形と1940 年米国インペリアルバレー地震のエルセントロでの強震 波形を採り上げ，それらのせん断ひずみの「地盤応答ス ペクトル」について，前節で見た神戸波の場合と比較す る．これら 3波の加速度波形とフーリエスペクトルを図-12に示す．フーリエ振幅の大きさは，0sから5sの周期帯 のほぼ全域において，神戸波，エルセントロ波，八戸波 の順であるが，2.3sから3.5sの範囲では3波に大きな差は なく，順位が交錯している． 3波についてせん断ひずみの「地盤応答スペクトル」 を計算した結果を図-13に示す．ここでは表層地盤の層 厚中心位置でのせん断ひずみを計算した．また，地盤の 減衰定数として，0.02，0.05，0.1の3ケースについて計算 した．同図から，3波により層中心に発生するせん断ひ ずみの大きさ順としては，概ね，上述したフーリエ振幅 図-12 計算例 2 に用いた地震加速度波形と それらのフーリエスペクトル 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 フー リ エ 振 幅 （Gal *s ） 周期（s） El Centro波 神戸波 八戸波 0 20 40 60 80 100 120 時間（s） 八戸波（max 225Gal） 神戸波（max 818Gal） El Centro波（max 350Gal） 500Gal
の大きさ順と同様になっていることがわかる．もっとも， 「地盤応答スペクトル」の形状がフーリエスペクトルと 相似形になっているというのではない．前節で述べたが， せん断ひずみのスペクトルの形状は，地盤の固有周期と ともに大きくなる傾向と入力波形の中で卓越している周 期成分に同調する固有周期付近で大きくなる傾向とが複 合しているように捉えられる．このために，固有周期が 2.6s付近で減衰定数が0.02の地盤では，八戸波による加 振で最も大きなせん断ひずみが発生している． 地盤の減衰定数の大小と発生せん断ひずみの大小との 関係としては，減衰定数が小さいほど発生ひずみが大き くなるということが概ね言えそうであるが，八戸波の場 合の固有周期1.5s付近や2.2s付近ではそのような関係には なっておらず，必ずしも普遍的な性状ではない． (3) 計算例-3（最大振幅を同値に調整した複数の地震波） 防災科学技術研究所の基盤強震観測網KiK-netの観測波 形の中から，図-14に示す8波の地中観測波を選んだ．こ れらは2004年新潟県中越地震（NIGHで始まる記号）お よび2008年岩手・宮城内陸地震（IWTHで始まる記号） で記録されたものである．ただし，ここでは最大振幅が 100Galになるようにそれぞれ正規化した上で，「地盤応 図-13 対象 3 波の「地盤応答スペクトル」 （せん断ひずみスペクトルと減衰定数との関係） 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 ひず み *H （cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） h=0.02 h=0.05 h=0.1 z/H=0.5 0 50 100 150 200 0 1 2 3 4 5 ひず み *H （cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） h=0.02 h=0.05 h=0.1 z/H=0.5 0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 ひず み* H （cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） h=0.02 h=0.05 h=0.1 z/H=0.5 (b) 神戸波 (c) El Centro波 (a) 八戸波 図-14 計算例 3 に用いた地震加速度波形 （いずれも最大振幅を100Galに正規化してある） およびそれらのフーリエスペクトル 0 10 20 30 40 時間（s） IWTH25EW1 IWTH25NS1 NIGH01NS1 NIGH06NS1 NIGH09NS1 NIGH11NS1 NIGH12NS1 NIGH15NS1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 フーリエ 振幅 （ Ga l* s） 周期（s） IWTH25EW1 IWTH25NS1 NIGH01NS1 NIGH06NS1 NIGH09NS1 NIGH11NS1 NIGH12NS1 NIGH15NS1
図-15 計算例 3 の地震加速度波形の「地盤応答スペクトル」 （左側：普通軸表示 右側：対数軸表示） 0 100 200 300 400 500 0 1 2 3 4 5 応答加 速度 （Ga l） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数＝0.05 10 100 1000 0.01 0.1 1 10 応答 加速 度 （Ga l） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数＝0.05
IWTH25EW1 IWTH25NS1 NIGH01NS1 NIGH06NS1
NIGH09NS1 NIGH11NS1 NIGH12NS1 NIGH15NS1
0 5 10 15 20 25 30 35 0 1 2 3 4 5 応答速 度 （cm /s ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数＝0.05 0.1 1 10 100 0.01 0.1 1 10 応 答速度 （cm /s ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数＝0.05 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 応 答変位 （cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数＝0.05 0.01 0.1 1 10 100 0.01 0.1 1 10 応答 変位 （cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数＝0.05 (a) 地表面応答加速度 (b) 地表面応答速度 (c) 地表面応答変位 (d) 地中せん断ひずみ（層中心深さ） 0 5 10 15 20 25 0 1 2 3 4 5 せん 断ひ ずみ × 層厚 （cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数＝0.05 z/H=0.5 0.01 0.1 1 10 100 0.01 0.1 1 10 せん 断ひ ずみ × 層厚 （cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） 減衰定数＝0.05 z/H=0.5
答スペクトル」を計算し比較した．すなわち，加速度振 幅は同等のレベルであるが 位相・周期特性が異なる8波 形の「地盤応答スペクトル」を比較するものである．図 -14に示したフーリエスペクトルからこれら8波形を大雑 把に，1s以下の周期成分が卓越する短周期型，1s以上の 周期成分を多く含む長周期型，および短周期・長周期い ずれの周期成分も均等に含む中間型とに区分すると，短 周期型にはIWTH25EW1，IWTH25NS1，NIGH15NS1が， 長周期型にはNIGH01NS1（1.8sが卓越），NIGH09NS1 （1.4s，2.9sが卓越）が，中間型にはNIGH06NS1， NIGH11NS1，IWTH12NS1が入る． これら8波形について，地表面の加速度，速度，変位， およびせん断ひずみの「地盤応答スペクトル」を計算し た結果を図-15(a)～(d)に示す．減衰定数は0.05とし，せ ん断ひずみとしては層厚中心深さ（ / 0.5）での値 を計算した．8つの加速度波形は，最大振幅は等しく 100Galとしているものの，計算された「地盤応答スペク トル」の形は互いに大きく異なっている． 地表面応答加速度に関しては，8 波形ともに基本固有 周期が0.5s 以下の地盤での応答値が大きい．特に短周期 型に分類されるIWTH25EW1，IWTH25NS1，NIGH15NS1 の3 波形は，ごく短周期の地盤に大きな加速度を生じさ せ，0.3s 以上の地盤における応答は相対的に小さい．中 間型の一つのNIGH06NS1 は基本固有周期 0.38sの地盤に 大きな加速度を生じさせるが，これはこの波形の卓越周 期が 0.34s～0.42s であることによる． NIGH01NS1， NIGH06NS1， NIGH12NS1 は，固有周期 0.5s 以上の地盤 に対しても，比較的大きな加速度を生じさせる． 地表面速度および地表面変位に関しては，短周期型波 形に対する応答が小さく，長周期型および中間型の波形 に対する応答が大きい．これら速度・変位のスペクトル は，応答加速度のスペクトルに比べて，入力波形による ばらつきが大きい．そうした中で，地表面応答速度のス ペクトルは地盤の基本固有周期がおよそ0.4s あたりから 一定値になる傾向が見られ，地表面応答変位のスペクト ルは基本固有周期0.2s付近以上で基本固有周期に比例し て増大する傾向が見られる． 層厚中心深さでのせん断ひずみのスペクトルは，形状 的には地表面応答変位のスペクトルに似ている．長周期 型の一つであるNIGH01NS1 と，中間型の NIGH06NS1， NIGH11NS1，NIGH12NS1 の 3 波は，ほとんどの固有周 期の地盤で，他の4 波よりも大きなせん断ひずみを生じ させる．長周期型のもう一つの NIGH09NS1 は，その卓 越周期の 3s 付近の固有周期をもつ地盤には大きなせん 断ひずみを生じさせるが，そのほかの固有周期の地盤で はそれほど大きなひずみにはならない．短周期型の3 波 形では，中間型の波形による発生ひずみの半分程度しか ひずみが生じない． (4) 計算例-4（スペクトル適合させた複数の地震波） 前節では最大振幅が等しい複数の加速度波形の「地盤 応答スペクトル」を見たが，本節では周期特性をそろえ た複数の加速度波形について「地盤応答スペクトル」を 計算してみる．計算対象とした加速度波形は，前節で検 討した 8 波を原波とし，その調整後の波形の応答加速度 スペクトル（1 質点系動力学モデルで計算する）が指定 したスペクトルに適合するように，波形調整したもので ある．ここで指定したスペクトル（ターゲット・スペク トル）は,鉄道構造物等設計標準で規定されているL2地 震動のスペクトルII のうち地盤種別 G1 の応答加速度ス ペクトル（減衰定数 0.05）である5)．スペクトル適合さ せた加速度波形を図-16 に示す．波形の呼び名は，前節 で用いた波形の呼び名の末尾に＊を付けたものとした． また，それら8 波の応答加速度スペクトルおよびフーリ エスペクトルを図-17 に示す．図-17(a)にはターゲッ ト・スペクトルも示してあるが（固有周期0.2sと 0.7s を 境にした3 つの領域に対して規定），これへの各波形の 適合は完璧ではなく，ターゲット・スペクトルとは± 5%程度の誤差がある．また，図-16 に示したとおり，波 形の最大振幅値は655Gal から 856Gal までの範囲にばら ついていて一定ではない． こうして周期特性をそろえた8 波について「地盤応答 スペクトル」（減衰定数 0.05）を計算した結果を図-18 図-16 計算例 4 に用いた地震加速度波形 （図-14 の各波形をターゲット応答加速度スペ クトルに適合するように波形調整したもの） 0 10 20 30 40 時間（s） IWTH25EW1* IWTH25NS1* NIGH01NS1* NIGH06NS1* NIGH09NS1* NIGH11NS1* NIGH12NS1* NIGH15NS1* max 739Gal max 680Gal max 727Gal max 737Gal max 772Gal max 856Gal max 655Gal max 758Gal
に示す．各グラフ中には，図-17(a)に示した3 つの領域 ごとに，8 つのスペクトルの平均的なところを直線で表 した場合の回帰式を記してある． まず，地表面応答加速度について見てみる．このスペ クトルが図-17(a)の応答加速度スペクトルと一致しない のは，本章第1 節で見てきたとおり，地表面応答に対す る刺激係数4/π の問題と，高次振動モードの影響とであ る．したがって，高次振動モードの影響が現れやすい長 周期の地盤ほど応答加速度スペクトルとの乖離が大きく なることが予想され，それは実際，領域 III において見 て取れる．スペクトル曲線の8 波間のばらつき度合は， 前節の最大振幅だけを合わせたとき（図-15(a)を参照さ れたい）よりも非常に小さい．このことは，ほかの地表 面応答速度，地表面応答変位，地中せん断ひずみの各ス ペクトルを見ても言えることで，周期特性が類似した加 速度波形はその「地盤応答スペクトル」も類似すると言 えそうである． 地表面応答速度のスペクトルと地表面応答変位のスペ クトルとを見較べると，領域 II と III で，後者が前者に 対して T/2π 倍した関係にほぼなっている．これは変位 と速度との間の時間積分の関係に対応している． 図-17 ターゲット応答加速度スペクトル適合波の 応答スペクトルおよびフーリエスペクトル 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 フー リエ 振幅（ Gal*s ） 周期（s） IWTH25EW1* IWTH25NS1* NIGH01NS1* NIGH06NS1* NIGH09NS1* NIGH11NS1* NIGH12NS1* NIGH15NS1* 10 100 1000 10000 0.1 1 10 応答加速度 （Ga l） 固有周期（s）
Target IWTH25EW1* IWTH25NS1* NIGH01NS1* NIGH06NS1* NIGH09NS1* NIGH11NS1* NIGH12NS1* NIGH15NS1*
(0.2, 1700) (0.7, 1700) 1100 T-1.221 4671 T0.628 領域 II 領域 III 領域 I 減衰定数=0.05 (a) 応答加速度スペクトル（1質点系の応答） (b) フーリエスペクトル 図-18 計算例 4 の地震加速度波形の「地盤応答 スペクトル」 10 100 1000 10000 0.1 1 10 応答加速 度 （Ga l） 表層地盤の基本固有周期（s）
IWTH25EW1* IWTH25NS1* NIGH01NS1* NIGH06NS1* NIGH09NS1* NIGH11NS1* NIGH12NS1* NIGH15NS1*
III：1895 T-0.637 II：2475 T0.113 I：6712 T0.733 減衰定数=0.05 (a) 地表面応答加速度 (b) 地表面応答速度 (c) 地表面応答変位 (d) 地中せん断ひずみ（層中心深さ） 1 10 100 1000 0.1 1 10 応答速度 （ki n e ） 表層地盤の基本固有周期（s） III：234 T-0.111 II：361 T1.097 I：1591 T2.019 減衰定数=0.05 0.1 1 10 100 1000 0.1 1 10 応 答変位（ cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） III：35.7 T0.783 II：55.5 T2.020 I：148 T2.631 減衰定数=0.05 0.1 1 10 100 1000 0.1 1 10 ひず み *H （cm ） 表層地盤の基本固有周期（s） III：41.0 T0.850 II：62.7 T2.037 I：177 T2.683 減衰定数=0.05 z/H=0.5
地中せん断ひずみとして，ここでは表層地盤の中心深 さでの値を計算したが，前節でもそうだったように，地 表面応答変位のスペクトルと形状が似ている．特に基本 固有周期が0.7s 以下の領域 I と II で一致度が高い．これ については，基本固有周期が短い表層地盤の振動では， 入力波に含まれる短い周期成分に対しても2 次以上の高 次モードが励起される可能性は低く，また，仮に高次モ ードが多少励起されても変位となると短周期の振動の影 響は小さいので（計算例-1 の図-11 参照），1 次振動モ ードが支配的であって，その変位分布およびせん断ひず み分布が図-19 に示すような状態になることから説明で きる．すなわち，地表面変位の最大値を （これが地 表面変位の「地盤応答スペクトル」である）としたとき の変位分布 が ∙ ∙ 2 17 と表されれば，せん断ひずみの深さ方向分布 は 2 ∙ ∙ ∙ 2 18 となる．本稿では，せん断ひずみのスペクトルとして表 層地盤の層厚 を乗じて表示しているから， ∙ 2∙ ∙ ∙ 2 19 である．ここで / 0.5とすると， ∙ 2∙ ∙ 1 √2 1.11 20 となり，せん断ひずみのスペクトルは応答変位のスペク トルを 1.11 倍したものとなる．図-18(c)と(d)とは，ま さにそのような関係になっている． ちなみに，せん断ひずみと地表面応答変位のスペクト ル比を8 波の各々について計算してみたのが図-20 であ る． / としては，0.5 のほかに 0.2 と 0.8 についても計 算した．この図によれば， / 0.5の場合は，基本固 有周期が 0.7s 以下の地盤では確かにスペクトル比が 1.1 程度となっている．また， / が0.2 と 0.8 の場合は， 式(19)からスペクトル比はそれぞれ 0.485，1.49 となるこ とが予想されるが，図-20 においても短周期の地盤では そのとおりになっている．なお，地盤の深いところ （ / 0.8）のひずみでは，こうしたスペクトル比一 定の関係が固有周期 4s 程度の地盤にまで及んでいるが， 浅いところ（ / 0.2）ではスペクトル比が固有周期 とともに変化していて，一定にはなっていない．このよ うなことであるので，地中せん断ひずみのスペクトルと 地表面応答変位のスペクトルは形状が似ているとある程 度は言えるが，そう単純ではない． 図-19 表層地盤が 1 次モードで振動する場合の 変位分布とひずみ分布
Ｈ
z
変位分布 ひずみ分布 図-20 せん断ひずみスペクトル／地表面応答変位スペクトル 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 せん 断 ひ ず み *H ／地表面 応答変位 表層地盤の基本固有周期（s） z/H=0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 3 4 5 せん断 ひ ずみ *H ／地表面 応答変位 表層地盤の基本固有周期（s） z/H=0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 5 せん 断ひずみ *H ／ 地表面応答変位 表層地盤の基本固有周期（s） z/H=0.85．まとめ
地震動加速度波形が与えられたとき，それによって表 層地盤はどれだけ揺れるのか，その応答の大きさが読み 取れるようにしたグラフ＝「地盤応答スペクトル」とい うものを提案した．基本的に，1質点系動力学モデルで 計算する応答スペクトルと同じ考えのものである． 「地盤応答スペクトル」では，工学的基盤面から上の 表層地盤を均質な線形粘弾性体に理想化して運動方程式 を立て，着目している入力地震動に対する応答計算をす る．応答スペクトルに比べて，演算時間は10倍程度かか る（考慮する振動モードの数に依存する）が，それでも 秒単位の時間で計算できて，連続体という特性をもった 地盤の地震応答をより現実的に評価できる．特に，基本 固有周期が長い地盤で高次の振動モードが励起されるよ うな場合に，それが発揮される．また，表層地盤内に生 じるせん断ひずみの大きさを，表層地盤の基本固有周期 に対してスペクトル表示したグラフが描けることが， 「地盤応答スペクトル」の大きな特長である． 計算例で見たとおり，加速度振幅のレベルを合わせた 複数の地震動波形が提示されたとき，地盤にとってどの 地震動波形の影響が大きいのかは，一見しただけでは分 からないことが多いが，「地盤応答スペクトル」を計算 すれば，それが容易に議論できる．特に，表層地盤内に 生じるせん断ひずみの大きさが耐震設計上大きな意味を もつ地中構造物にとっては，せん断ひずみスペクトルは 有用であろう． 今後の研究課題としては，多層構造で非線形媒質であ る現実の地盤の地震応答問題に対して，上述のような理 想的な地盤モデルに基づく本提案がどこまで有効かとい う問題について検証していくことが基本的にある．それ はそれとして，本稿で採り上げた以外にさらに多くの地 震動加速度波形について「地盤応答スペクトル」を計算 し，波形の性状・特性と表層地盤の応答との関係性を調 べることが第一に挙げられよう．また，各種の耐震設計 指針において，設計上のターゲット・スペクトルを規定 し，それに適合するように波形調整した模擬地震波を動 的解析用の入力地震動としているように，地中構造物の 耐震設計においても，地盤内に生じるせん断ひずみのス ペクトルを規定し（本稿における「地盤応答スペクトル」 のうちのせん断ひずみスペクトル），そのターゲット・ スペクトルに適合する模擬地震動を動的解析用の入力地 震動とすることが考えられるが，そうした模擬地震動を 作成するのに本手法の応用が考えられ，今後の研究課題 となり得るのではないか． 謝辞：第4章の「地盤応答スペクトル」の計算例-3およ び4において，（独）防災科学技術研究所の基盤強震観 測網KiK-netによる観測記録波形を使わせていただいた． その観測記録波形の選定およびスペクトル適合波の作 成では，大成建設（株）技術センターにおける同僚の畑 明仁氏の手を煩わせた．ここに記して謝意を表する． 参考文献 1) 土木学会：2006年制定 トンネル標準示方書［開削工法］・ 同解説，pp.269-276，2006． 2) 日本道路協会：石油パイプライン技術基準，1974． 3) 大崎順彦：新・地震動のスペクトル解析入門，pp.168-173， 鹿島出版会，1994． 4) 日本道路協会：共同溝設計指針，pp.52-58，1986． 5) 鉄道総合技術研究所編：鉄道構造物等設計標準・同解説 耐 震設計編，1999． (2011. 12. 02受付，2012.2.14修正，2012.3.6受理)PROPOSAL OF “GROUND RESPONSE SPECTRUM”
AND PRESENTATION OF THEIR EXAMPLES
Yukio SHIBA
“Ground response spectrum” is proposed in this paper. “Ground response spectrum” is the graph which is so drawn as to read the maximum values of dynamic responses of subsurface ground to a seismic accelerograph, such as particle acceleration, velocity, displacement on the surface and shear strain caused in the ground. The calculation method of the spectrum is the same as the ordinary response spectrum ex-cept the use of simple one-dimensional continuum of linear viscoelastic medium; instead a single-degree-of-freedom oscillation system is used in the calculation of ordinary response spectrum. A few examples of the “ground response spectrum” are presented and special feature and usefulness of the spectrum is discussed in this paper.
