• 検索結果がありません。

S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である"

Copied!
40
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

【 問 題  】

【 証 明  】

A B C D A B C D A B C D △ A B D と △ C D B に お い て 仮 定 よ り 、 A B = C D   …   ① D A = B C   …   ② 辺 B D は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 3 辺 ( 3 組 の 辺 ) が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ A B D ≡ △ C D B で あ る 。 図 に お い て 、 A B = C D 、B C = D A と す る 。 こ の と き 、△ A B D ≡ △ C D B で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(2)

【 問 題  】

【 証 明  】

A B D C A B D C A B D C △ A B C と △ D C B に お い て 仮 定 よ り 、 A B = D C   …   ① A C = D B   …   ② 辺 B C は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 3 辺 ( 3 組 の 辺 ) が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B C ≡ △ D C B 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ B A C = ∠ C D B で あ る 。 図 に お い て 、 A B = D C 、A C = D B と す る 。 こ の と き 、∠ B A C = ∠ C D B で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(3)

【 問 題  】

【 証 明  】

A B D E C A B D E C A B D E C △ A B E と △ A C D に お い て 仮 定 よ り 、 A B = A C   …   ① A E = A D   …   ② ま た 、 ∠ A は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B E ≡ △ A C D 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ A B E = ∠ A C D で あ る 。 長 さ の 等 し い 2 つ の 線 分 A B 、A C が あ る 。 A B 、A C 上 に 、A D = A E と な る よ う な 点 D 、 点 E を と る 。 こ の と き 、∠ A B E = ∠ A C D で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(4)

【 問 題  】

【 証 明  】

A B D C A B D C A B D C △ A B C と △ D C B に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ A B C = ∠ D C B   …   ① A B = D C   …   ② ま た 、 辺 B C は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B C ≡ △ D C B 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ A C B = ∠ D B C で あ る 。 図 に お い て 、A B = D C 、∠ A B C = ∠ D C B と す る 。 こ の と き 、∠ A C B = ∠ D B C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(5)

【 問 題  】

【 証 明  】

A B D E C A B D E C A B D E C △ B A C と △ D A E に お い て 仮 定 よ り 、 A B = A D   …   ① B E = D C   …   ② ま た 、 A C = A D + D C   …   ③ A E = A B + B E   …   ④ ① 、② 、③ 、④ よ り 、 A C = A E   …   ⑤ ∠ A は 共 通   …   ⑥ ① 、⑤ 、⑥ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ B A C ≡ △ D A E 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、B C = D E で あ る 。 図 に お い て 、A B = A D 、B E = D C と す る 。 こ の と き 、B C = D E と な る こ と を 証 明 せ よ 。

(6)

【 問 題  】

【 証 明  】

B

E

F

C

D

A

A

B

E

F

C

D

A

B

E

F

C

D

△ A B E と △ C D F に お い て 仮 定 よ り 、 A B = C D   …   ① A B / / D C よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、 ∠ B A E = ∠ D C F   …   ② ま た 、 A E = A F + F E C F = C E + F E こ こ で 、A F = C E な の で 、 A E = C F   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B E ≡ △ C D F で あ る 。 図 に お い て 、△ A B E と △ C D F が 線 分 F E で 重 な っ て お り 、A B / / D C 、A B = C D 、 A F = C E と す る 。 こ の と き 、△ A B E ≡ △ C D F で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(7)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

O

C

D

A

B

O

C

D

A

B

O

C

D

△ A O B と △ D O C に お い て 仮 定 よ り 、 A O = D O   …   ① A B / / C D よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、 ∠ B A O = ∠ C D O   …   ② ま た 、 対 頂 角 は 等 し い の で 、 ∠ A O B = ∠ D O C   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A O B ≡ △ D O C 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、A B = D C で あ る 。 平 行 な 2 つ の 線 分 A B 、C D が あ り 、A D と B C の 交 点 を 点 O と し 、A O = D O と す る 。 こ の と き 、A B = D C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。 ( ポ イ ン ト ) 平 行 な 2 直 線 に 他 の 1 直 線 が 交 わ っ て で き る 錯 角 は 等 し い こ と を 利 用 す る 。

(8)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

O

O

O

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

△ A B O と △ D C O に お い て 仮 定 よ り 、 B O = C O   …   ① A B / / C D よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、 ∠ A B O = ∠ D C O   …   ② ま た 、 対 頂 角 は 等 し い の で 、 ∠ A O B = ∠ D O C   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B O ≡ △ D C O で あ る 。 図 に お い て 、B C の 中 点 を O と し 、 A B / / C D と す る 。 こ の と き 、 △ A B O ≡ △ D C O と な る こ と を 証 明 せ よ 。

(9)

【 問 題  】

【 証 明  】

A B C D A B C D A B C D △ A B C と △ D B C に お い て 辺 B C は 共 通   …   ① 仮 定 よ り 、 ∠ A = ∠ D   …   ② ∠ A B C = ∠ D B C   …   ③ 三 角 形 の 内 角 の 和 は 1 8 0 ° な の で 、 ∠ A C B = 1 8 0 ° - ∠ A - ∠ A B C   …   ④ ∠ D C B = 1 8 0 ° - ∠ D - ∠ D B C   …   ⑤ ② 、③ 、④ 、⑤ よ り 、 ∠ A C B = ∠ D C B   …   ⑥ ① 、③ 、⑥ よ り 、 1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B C ≡ △ D B C 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、A B = D B で あ る 。 図 に お い て 、∠ A = ∠ D 、∠ A B C = ∠ D B C と す る 。 こ の と き 、A B = D B で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(10)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

△ A M D と △ B M C に お い て 仮 定 よ り 、 A M = B M   …   ① ∠ M A D = ∠ M B C   …   ②  ( ∠ A = ∠ B ) ∠ A M C = ∠ B M D   …   ③ ま た 、 ∠ A M D = ∠ A M C + ∠ C M D   …   ④ ∠ B M C = ∠ B M D + ∠ C M D   …   ⑤ ③ 、④ 、⑤ よ り 、 ∠ A M D = ∠ B M C   …   ⑥ ① 、② 、⑥ よ り 、 1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A M D ≡ △ B M C 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、A D = B C で あ る 。 図 に お い て 、 点 M は 線 分 A B の 中 点 、∠ A = ∠ B 、 ∠ A M C = ∠ B M D で あ る 。 こ の と き 、A D = B C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。 (ポイント) ∠AMD=∠AMC+∠CMD ∠BMC=∠BMD+∠CMD また、仮定より∠AMC=∠BMD この3つから∠AMD=∠BMCを導く ことができる。

(11)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

E

C

D

A

B

E

C

D

A

B

E

C

D

△ B C D と △ C B E に お い て 仮 定 よ り 、 B D = C E   …   ① 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、 ∠ C B D = ∠ B C E   …   ② ま た 、 辺 B C は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ B C D ≡ △ C B E 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、C D = B E で あ る 。 △ A B C は A B = A C と す る 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 点 D 、E を B D = C E と な る よ う に と る 。 こ の と き 、C D = B E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(12)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

D

E

C

A

B

D

E

C

A

B

D

E

C

△ A B D と △ A C E に お い て △ A B C は 二 等 辺 三 角 形 な の で 、 A B = A C   …   ① 仮 定 よ り 、 B D = C E   …   ② 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、 ∠ A B D = ∠ A C E   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B D ≡ △ A C E 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 は 等 し い 。 ゆ え に 、A D = A E で あ り 、 △ A D E は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 二 等 辺 三 角 形 A B C が あ り 、 底 辺 B C 上 に B D = C E と な る よ う に 2 点 D ,E を と る 。 こ の と き 、 △ A D E は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(13)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

E

F

C

D

A

B

E

F

C

D

A

B

E

F

C

D

△ B D E と △ C D F に お い て 仮 定 よ り 、 B E = C F   …   ① B D = C D   …   ② 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、 ∠ B = ∠ C   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ B D E ≡ △ C D F 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、D E = D F で あ り 、 △ D E F は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 A B = A C で あ る 二 等 辺 三 角 形 A B C に お い て 、 A B 上 に 点 E 、A C 上 に 点 F を B E = C F と な る よ う に と る 。 底 辺 B C の 中 点 を D と す る と き 、 △ D E F は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(14)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

E

F

C

D

A

B

E

F

C

D

A

B

E

F

C

D

△ B D F と △ C E D に お い て 仮 定 よ り 、 B D = C E   …   ① B F = C D   …   ② △ A B C の 底 角 な の で 、 ∠ D B F = ∠ E C D   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ B D F ≡ △ C E D 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、D F = E D で あ り 、 △ D E F は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 A B = A C で あ る 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 辺 B C 上 に 点 D を 、 ま た 辺 A C 、A B 上 に そ れ ぞ れ 点 E 、 点 F を と り 、F B = D C 、B D = C E と す る 。 こ の と き 、 △ D E F は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(15)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

E

C

D

P

A

B

E

C

D

P

A

B

E

C

D

P

△ E B C と △ D C B に お い て 仮 定 よ り 、 A B = A C   …   ① A E = A D   …   ② E B = A B - A E   …   ③ D C = A C - A D   …   ④ ① 、② 、③ 、④ よ り 、 E B = D C   …   ⑤ 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、 ∠ E B C = ∠ D C B   …   ⑥ ま た 、B C は 共 通   …   ⑦ ⑤ 、⑥ 、⑦ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ E B C ≡ △ D C B 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ E C B = ∠ D B C で あ り 、 △ P B C に お い て は 底 角 が 等 し い の で 、 △ P B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 A B = A C で あ る 二 等 辺 三 角 形 の 辺 A C 、A B 上 に 、 そ れ ぞ れ 点 D , 点 E を A D = A E と な る よ う に と る 。 B D と C E の 交 点 を P と す る と き 、 △ P B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(16)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

A’

B

C

A

A’

B

C

A

A’

B

C

A A ’ と B C と の 交 点 を D と す る 。 △ A B A ’ と △ A C A ’ に お い て 仮 定 よ り 、 A B = A C   …   ① A ’B = A ’C   …   ② ま た 、A A ’ は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 3 辺 ( 3 組 の 辺 ) が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B A ’ ≡ △ A C A ’ 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ B A A ’= ∠ C A A ’ で あ り 、 A A ’ は 二 等 辺 三 角 形 A B C の ∠ A の 二 等 分 線 で あ る か ら 、A A ’ は B C を 垂 直 に 2 等 分 す る 。 底 辺 B C を 共 有 す る 2 つ の 二 等 辺 三 角 形 を A B C 、 A ’B C と す る と き 、A A ’ は B C を 垂 直 に 2 等 分 す る こ と を 証 明 せ よ 。

(17)

【 問 題  】

【 証 明  】

E

C

D

A

B

E

C

D

A

B

E

C

D

A

B

△ A B C と △ E A D に お い て 仮 定 よ り 、 A B = E A   …   ① 平 行 四 辺 形 の 対 辺 の 長 さ は 等 し い の で 、 B C = A D   …   ② 二 等 辺 三 角 形 A B E の 底 角 は 等 し い の で 、 ∠ A B C = ∠ A E B   …   ③ ま た 、B C / / A D よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、 ∠ A E B = ∠ E A D   …   ④ ③ 、④ よ り ∠ A B C = ∠ E A D   …   ⑤ ① 、② 、⑤ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B C = △ E A D で あ る 。 平 行 四 辺 形 A B C D が あ り 、 辺 B C 上 に A B = A E と な る 点 E を と る 。 こ の と き 、△ A B C ≡ △ E A D で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(18)

【 問 題  】

【 証 明  】

E

C

D

D

D

A

B

E

C

A

B

E

C

A

B

△ A B D と △ A C E に お い て 仮 定 よ り 、 A B = A C   …   ① A D = A E   …   ② ∠ B A C = ∠ D A E   …   ③ ま た 、 ∠ B A D = ∠ B A C + ∠ C A D   …   ④ ∠ C A E = ∠ C A D + ∠ D A E   …   ⑤ ③ 、④ 、⑤ よ り ∠ B A D = ∠ C A E   …   ⑥ ① 、② 、⑥ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B D ≡ △ A C E 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 は 等 し い 。 ゆ え に 、B D = C E で あ る 。 △ A B C は A B = A C の 二 等 辺 三 角 形 、△ A D E は A D = A E の 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。∠ B A C = ∠ D A E な ら ば 、B D = C E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。 ( ポ イ ン ト ) ∠ C A D が 共 通 で あ る こ と に 気 が つ け ば 、 ∠ B A D = ∠ C A E で あ る こ と が わ か る 。

(19)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

C

D

E

A

B

C

K

F

D

E

A

B

C

K

F

D

E

B C と D E の 交 点 を K と す る 。 ま た 、D を 通 り A E に 平 行 な 直 線 を 引 き 、B C と の 交 点 を F と す る 。 △ D F K と △ E C K に お い て D F / / C E な の で ∠ F D K = ∠ C E K( 錯 角 )  …   ① ∠ D F K = ∠ E C K( 錯 角 )  …   ② ∠ D F B = ∠ A C B( 同 位 角 )  …   ③ A B = A C よ り 、△ A B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ り 、 底 角 は 等 し い の で 、 ∠ A C B = ∠ A B C   …   ④ ③ 、④ よ り ∠ D F B = ∠ A B C よ っ て 、△ D B F は 二 等 辺 三 角 形 で あ り 、 B D = F D   …   ⑤ 仮 定 よ り 、 B D = C E   …   ⑥ ⑤ 、⑥ よ り 、 F D = C E   …   ⑦ ① 、② 、⑦ よ り 1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ D F K ≡ △ E C K 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、D K = E K で あ り 、 D E は B C で 2 等 分 さ れ る 。 図 に お い て 、A B = A C 、B D = C E の と き 、 D E は B C で 2 等 分 さ れ る こ と を 証 明 せ よ 。

(20)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

△ A C D と △ C B E は 正 三 角 形 な の で A C = D C   …   ① C E = C B   …   ② ∠ A C D = ∠ E C B = 6 0 °   …   ③ △ A C E と △ D C B に お い て ∠ A C E = ∠ A C D + ∠ D C E   …   ④ ∠ D C B = ∠ E C B + ∠ D C E   …   ⑤ ③ 、④ 、⑤ よ り ∠ A C E = ∠ D C B   …   ⑥ ① 、② 、⑥ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A C E ≡ △ D C B 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 は 等 し い 。 ゆ え に 、A E = D B で あ る 。 線 分 A B 上 に 点 C を と り 、A C 、C B を そ れ ぞ れ 1 辺 と す る 正 三 角 形 A C D と 正 三 角 形 C B E を と る 。 こ の と き 、A E = D B と な る こ と を 証 明 せ よ 。

(21)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

△ B D A と △ C E A に お い て △ A B C と △ A D E は 正 三 角 形 な の で 、 A B = A C   …   ① A D = A E   …   ② ∠ B A C = ∠ D A E = 6 0 °   …   ③ ま た 、 ∠ B A D = ∠ B A C + ∠ D A C   …   ④ ∠ C A E = ∠ D A E + ∠ D A C   …   ⑤ ③ 、④ 、⑤ よ り 、 ∠ B A D = ∠ C A E   …   ⑥ ① 、② 、⑥ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ B D A ≡ △ C E A 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、B D = C E で あ る 。 △ A B C と △ A D E が 正 三 角 形 の と き 、 B D = C E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(22)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

C

A

C

D

E

B

D

E

B

D

E

A

C

△ A B D と △ C B E に お い て △ A B C 、△ D B E は 正 三 角 形 な の で 、 A B = C B   …   ① B D = B E   …   ② ま た 、 ∠ D B A = ∠ D B E - ∠ A B E = 6 0 ° - ∠ A B E ∠ E B C = ∠ A B C - ∠ A B E = 6 0 ° - ∠ A B E し た が っ て 、∠ D B A = ∠ E B C   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B D ≡ △ C B E 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、A D = C E で あ る 。 図 に お い て 、△ A B C と △ D B E は 正 三 角 形 で あ る と き 、A D = C E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(23)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

△ B E A と △ D C A に お い て △ A B D と △ A C E は 正 三 角 形 な の で 、 A B = A D   …   ① A E = A C   …   ② ま た 、 ∠ B A E = ∠ C A E + ∠ B A C         = 6 0 ° + ∠ B A C ∠ D A C = ∠ D A B + ∠ B A C         = 6 0 ° + ∠ B A C よ っ て 、∠ B A E = ∠ D A C   …   ③ ① 、② 、③ よ り 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ B E A ≡ △ D C A 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、B E = D C で あ る 。 図 に お い て 、△ A B D 、△ A C E が 正 三 角 形 の と き 、 B E = D C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(24)

【 問 題  】

【 証 明  】

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

△ A B D と △ A C E に お い て 仮 定 よ り B D = C E   …   ① △ A B C は 正 三 角 形 だ か ら 、 A B = A C   …   ② ∠ A B D = ∠ B A C   …   ③ A B / / E C よ り 、 錯 角 は 等 し い か ら 、 ∠ B A C = ∠ A C E   …   ④ ③ 、④ よ り ∠ A B D = ∠ A C E …   ⑤ ① 、② 、⑤ よ り 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A B D ≡ △ A C E 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、A D = A E で あ る 。 図 の よ う に 、 正 三 角 形 A B C の 辺 B C を 延 長 し て 、 そ の 上 に 点 D を と る 。 次 に 、 頂 点 C を 通 る A B に 平 行 な 直 線 を 引 き 、 そ の 線 上 に B D = C E と な る 点 E を と る 。 こ の と き 、A D = A E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(25)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

D

E

F

B

C

A

D

E

F

B

C

A

D

E

F

B

C

A

D

E

F

B

C

仮 定 よ り 、 A D = B E = C F   …   ① C A = A B = B C   …   ② ∠ A = ∠ B = ∠ C   …   ③ ま た 、 F A = C A - C F   …   ④ D B = A B - A D   …   ⑤ E C = B C - B E   …   ⑥ △ A D F と △ B E D に お い て ① 、② 、④ 、⑤ よ り 、 F A = D B   …   ⑦ ① 、③ 、⑦ よ り 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ A D F ≡ △ B E D で あ り 、 D F = E D   …   ⑧ 次 に 、△ B E D と △ C F E に お い て ① 、② 、⑤ 、⑥ よ り 、 D B = E C   …   ⑨ ① 、③ 、⑨ よ り 2 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ B E D ≡ △ C F E で あ り 、 E D = F E   …   ⑩ ⑧ 、⑩ よ り 、D F = E D = F E で あ り 、 △ D E F は 正 三 角 形 で あ る 。 図 の よ う に 、 正 三 角 形 A B C の 辺 A B 、B C 、C A 上 に 、 そ れ ぞ れ 点 D 、E 、F を A D = B E = C F と な る よ う に と る と 、△ D E F も 正 三 角 形 に な る こ と を 証 明 せ よ 。

(26)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

D

E

F

C

A

D

E

F

B

B

C

A

D

E

F

B

C

A

D

E

F

B

C

A

D

E

F

B

C

△ A F E 、△ B D F 、△ C E D は 2 辺 が 等 し く 、 そ の 間 の 角 が 6 0 ° な の で 、 △ A F E ≡ △ B D F ≡ △ C E D ま た 、 こ れ ら は 正 三 角 形 で あ る 。 よ っ て 、△ D E F は 3 辺 が ま わ り の 正 三 角 形 の 1 辺 に 等 し い 正 三 角 形 と な る 。 ゆ え に 、 正 三 角 形 A B C は 、D F 、F E 、E D に よ り 4 つ の 合 同 な 正 三 角 形 に 分 け ら れ る 。 正 三 角 形 A B C の 辺 B C 、C A 、A B の 中 点 を そ れ ぞ れ 点 D ,E 、F と し 、 3 点 D ,E ,F を 順 に 結 ぶ と 、 正 三 角 形 A B C は 4 つ の 合 同 な 正 三 角 形 に 分 け ら れ る こ と を 証 明 せ よ 。

(27)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

Q

P

R

B

C

A

Q

P

R

B

C

A

Q

P

R

B

C

△ P B C と △ R A C に お い て △ A B C 、△ R P C は 正 三 角 形 な の で B C = A C   …   ① P C = R C   …   ② ま た 、 ∠ P C B = 6 0 ° - ∠ A C P ∠ R C A = 6 0 ° - ∠ A C P し た が っ て 、∠ P C B = ∠ R C A   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 △ P B C ≡ △ R A C 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、P B = R A   …   ④ ま た 、△ Q B P は 正 三 角 形 な の で 、 P B = P Q   …   ⑤ ④ 、⑤ よ り 、P Q = R A で あ る 。 正 三 角 形 A B C の 内 部 に 点 P を と り 、P B を 1 辺 と す る 正 三 角 形 Q B P と P C を 1 辺 と す る 正 三 角 形 R P C を つ く る 。 そ し て 、 点 A と 点 Q 、 点 A と 点 R を そ れ ぞ れ 直 線 で 結 ぶ 。 こ の と き 、P Q = R A で あ る こ と を 証 明 せ よ 。 ( ポ イ ン ト ) P Q = R A を 含 む 合 同 な 三 角 形 は な い の で 、 一 旦 、P B = R A を 示 す と 良 い 。

(28)

【 問 題  】

【 証 明  】

C

E

A

B

F

E

F

E

F

D

C

A

B

D

C

A

B

D

△ B C E と △ D C F に お い て 仮 定 よ り 、 B E = D F   …   ① B C = D C   …   ② ∠ B C E = ∠ D C F = 9 0 ° …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ B C E ≡ △ D C F 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、C E = C F で あ る 。 点 E は 正 方 形 A B C D の 辺 C D 上 の 点 、 点 F は 辺 B C 上 の 点 で B E = D F で あ る 。 こ の と き 、C E = C F で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(29)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

P

O

N

M

A

B

P

O

N

M

A

B

P

O

N

M

△ P O M と △ P O N に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ P M O = ∠ P N O = 9 0 °   …   ① P M = P N   …   ② ま た 、 P O は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、 △ P O M ≡ △ P O N 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ P O M = ∠ P O N で あ り 、 点 P は ∠ A O B( ∠ O ) の 二 等 分 線 上 に あ る 。 ∠ A O B 内 の 点 P か ら 辺 O A 、O B に 引 い た 垂 線 を P M 、P N と す る と き 、P M = P N な ら ば 、 点 P は ∠ O の 二 等 分 線 上 に あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(30)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

H

X

K

M

A

B

H

X

K

M

A

B

H

X

K

M

△ A M H と △ B M K に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ A H M = ∠ B K M = 9 0 °   …   ① A M = B M( M は 線 分 A B の 中 点 )  …   ② ∠ A M H = ∠ B M K( 対 頂 角 )  …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ A M H ≡ △ B M K 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、A H = B K で あ る 。 線 分 A B の 中 点 M を 通 る 直 線 X に 、 線 分 A B の 両 端 か ら 垂 線 A H 、B K を そ れ ぞ れ 引 く 。 こ の と き 、A H = B K で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(31)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

直 線 A C を 引 く 。 △ B C A と △ D C A に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ A B C = ∠ A D C = 9 0 °   …   ① A B = A D   …   ② ま た 、 A C は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ B C A ≡ △ D C A 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、B C = D C で あ る 。 四 角 形 A B C D は A B = A D ,∠ B = ∠ D = 9 0 ° で あ る 。 こ の と き 、B C = D C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(32)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

D

E

M

C

A

B

D

E

M

C

A

B

D

E

M

C

△ B M D と △ C M E に お い て 仮 定 よ り ∠ M D B = ∠ M E C = 9 0 °   …   ① B M = C M   …   ② M D = M E   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ B M D ≡ △ C M E 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ B = ∠ C( △ A B C の 底 角 が 等 し い ) で あ り 、△ A B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 図 の よ う に △ A B C の B C の 中 点 M か ら 、 A B ,A C に 垂 線 を 引 き 、A B 、A C と の 交 点 を そ れ ぞ れ D ,E と す る 。 こ の と き 、M D = M E で あ れ ば 、 △ A B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(33)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

D

E

C

A

B

D

E

C

A

B

D

E

C

△ C B E と △ B C D に お い て 仮 定 よ り ∠ B E C = ∠ C D B = 9 0 °   …   ① ∠ E B C = ∠ D C B( 二 等 辺 三 角 形 の 底 角 )  …   ② B C は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ C B E ≡ △ B C D 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、B E = C D で あ る 。 A B = A C の 二 等 辺 三 角 形 A B C が あ る 。B 、C か ら 、 そ れ ぞ れ A C 、A B に 垂 線 B D 、C E を 引 く と き 、 B E = C D で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(34)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

F

F

F

B

D

E

C

A

B

D

E

C

A

B

D

E

C

△ D B C と △ E C B に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ B D C = ∠ C E B = 9 0 °   …   ① B C は 共 通   …   ② 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、 ∠ B C D = ∠ C B E   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ D B C ≡ △ E C B 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ D B C = ∠ E C B し た が っ て 、△ F B C は 2 つ の 角 が 等 し い の で 二 等 辺 三 角 形 で あ り 、B F = C F で あ る 。 A B = A C の 二 等 辺 三 角 形 A B C が あ る 。 頂 点 B ,C か ら そ れ ぞ れ A C 、A B に 垂 線 B D 、C E を 引 き 、B D 、C E の 交 点 を F と す る 。 こ の と き 、B F = C F で あ る こ と を 証 明 せ よ 。 ( ポ イ ン ト ) △ B F E と △ C F D の 合 同 は 、 条 件 が 足 り な い た め す ぐ に は 証 明 で き な い 。△ F B C が 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 す る と 良 い 。 △ D B C ≡ △ E C B   ↓ ∠ D B C = ∠ E C B   ↓ ∠ F B C = ∠ F C B

(35)

【 問 題  】

【 証 明  】

B

D

E

C

B

D

E

C

A

A

A

B

D

E

C

△ D A E と △ C A E に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ A D E = ∠ A C E = 9 0 °   …   ① A D = A C   …   ② A E は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ D A E ≡ △ C A E 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い 。 ゆ え に 、∠ D A E = ∠ C A E で あ り 、 A E は ∠ B A C を 2 等 分 す る 。 図 の よ う に 、 直 角 三 角 形 A B C で 、B C 上 に A D = A C と な る 点 D を と り 、D を 通 る A B に 垂 直 な 線 を 引 き 、B C と の 点 を E と す る 。 こ の と き 、A E は ∠ B A C を 2 等 分 す る こ と を 証 明 せ よ 。 ( ポ イ ン ト ) ・ 仮 定   △ A B C は 直 角 三 角 形   A D = A C   D E ⊥ A B ・ 結 論   A E は ∠ B A C を 二 等 分 す る △ D A E ≡ △ C A E   ↓ ∠ D A E = ∠ C A E   ↓ A E は ∠ B A C を 二 等 分 す る

(36)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

D

E

F

C

A

B

D

E

F

C

A

B

D

E

F

C

△ A B E と △ C D F に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ A E B = ∠ C F D = 9 0 °   …   ① A B / / D C よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、 ∠ A B E = ∠ C D F   …   ② 平 行 四 辺 形 の 向 か い 合 う 辺 は 等 し い か ら 、 A B = C D   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ A B E ≡ △ C D F で あ る 。 平 行 四 辺 形 A B C D の 頂 点 A 、C か ら 対 角 線 B D に 垂 線 A E 、C F を そ れ ぞ れ 引 く と き 、 △ A B E ≡ △ C D F で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(37)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

D

X

E

C

A

B

D

X

E

C

A

B

D

X

E

C

△ A B D と △ C A E に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ A D B = ∠ C E A = 9 0 °   …   ① A B = C A   …   ② ま た 、 三 角 形 の 内 角 の 和 は 1 8 0 ° な の で 、 ∠ D B A = 1 8 0 ° - ∠ A D B - ∠ D A B = 1 8 0 ° - 9 0 ° - ∠ D A B = 9 0 ° - ∠ D A B ∠ E A C = 1 8 0 ° - ∠ C A B - ∠ D A B         = 1 8 0 ° - 9 0 ° - ∠ D A B         = 9 0 ° - ∠ D A B し た が っ て 、 ∠ D B A = ∠ E A C   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ A B D ≡ △ C A E で あ る 。 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 頂 点 A を 通 る 直 線 X に 垂 線 B D 、C E を 引 い た と き 、△ A B D ≡ △ C A E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(38)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

D

C

E

A

B

D

C

E

A

B

D

C

E

△ A B D と △ E B D に お い て 仮 定 よ り 、 ∠ A = ∠ D E B = 9 0 °   …   ① ∠ A B D = ∠ E B D   …   ② ま た 、 D B は 共 通   …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ A B D ≡ △ E B D 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。 ゆ え に 、A D = E D   …   ④ 次 に 、△ D E C に お い て △ A B C は 直 角 二 等 辺 三 角 形 な の で ∠ C = 4 5 ° ∠ C D E = 9 0 ° - ∠ C = 4 5 ° よ っ て 、△ D E C は 直 角 二 等 辺 三 角 形 な の で 、 D E = E C   …   ⑤ ④ 、⑤ よ り 、 A D = D E = E C で あ る 。 ∠ A = 9 0 ° の 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 B の 二 等 分 線 が A C と 交 わ る 点 を D と し 、D か ら B C に 引 い た 垂 線 を D E と す る 。 こ の と き 、A D = D E = E C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(39)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

B’

C

C’

A

B

B’

C

C’

A

B

B’

C

C’

△ A B B ’ と △ C A C ’ に お い て 仮 定 よ り A B = C A   …   ① ( 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 辺 ) ∠ B B ’A = ∠ A C ’C = 9 0 °   …   ② ま た 、 ∠ B A B ’= 9 0 ° - ∠ C A C ’ ∠ A C C ’= 9 0 ° - ∠ C A C ’ ゆ え に 、∠ B A B ’= ∠ A C C ’  …   ③ ① 、② 、③ よ り 、 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ A B B ’≡ △ C A C ’ 合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い の で 、 B B ’= A C ’ A B ’= C C ’ よ っ て 、B B ’- C C ’= A C ’- A B ’= B ’C ’ し た が っ て 、B B ’- C C ’= B ’C ’ で あ る 。 ∠ A = 9 0 ° の 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 頂 点 A を 通 り 、△ A B C の 内 部 を 通 る 直 線 に 頂 点 B ,C か ら 垂 線 B B ’、C C ’ を 引 く 。 こ の と き 、B B ’- C C ’= B ’C ’で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

(ポイント)

B’C’=AC’-AB’に気付いて、

BB’=AC’、CC’=AB’を

を示すと良い。

(40)

【 問 題  】

【 証 明  】

A

B

C

M

P

Q

A

B

C

M

P

Q

A

B

C

M

P

Q

△ A M P と △ C M Q に お い て △ A B C は 直 角 二 等 辺 三 角 形 だ か ら 、 ∠ B = ∠ C = 4 5 °   …   ① A M ⊥ B C よ り 、 ∠ A M C = ∠ A M B = 9 0 °   …   ② ① 、② よ り 、△ A B M と △ A C M は 直 角 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 ゆ え に 、 ∠ M A P = ∠ M C Q( ∠ C )= 4 5 °   …   ③ M A = M C   …   ④ M P ⊥ M Q で あ る か ら 、 ∠ A M P = 9 0 ° - ∠ A M Q   …   ⑤ A M ⊥ B C で あ る か ら 、 ∠ C M Q = 9 0 ° - ∠ A M Q   …   ⑥ ⑤ 、⑥ よ り 、 ∠ A M P = ∠ C M Q   …   ⑦ ③ 、④ 、⑦ よ り 、 1 辺 と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。 よ っ て 、△ A M P ≡ △ C M Q で あ る 。 図 の よ う に 、 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 頂 点 A か ら 斜 辺 B C に 垂 線 A M を 引 く 。 点 M で 垂 直 に 交 わ る 2 つ の 直 線 を 引 き 、 辺 A B ,A C と の 交 点 を そ れ ぞ れ P ,Q と す る 。 こ の と き 、 △ A M P ≡ △ C M Q で あ る こ と を 証 明 せ よ 。

参照

関連したドキュメント

これはつまり十進法ではなく、一進法を用いて自然数を表記するということである。とは いえ数が大きくなると見にくくなるので、.. 0, 1,

つの表が報告されているが︑その表題を示すと次のとおりである︒ 森秀雄 ︵北海道大学 ・当時︶によって発表されている ︒そこでは ︑五

このように、このWの姿を捉えることを通して、「子どもが生き、自ら願いを形成し実現しよう

共通点が多い 2 。そのようなことを考えあわせ ると、リードの因果論は結局、・ヒュームの因果

この分厚い貝層は、ハマグリとマガキの純貝層によって形成されることや、周辺に居住域が未確

以上の基準を仮に想定し得るが︑おそらくこの基準によっても︑小売市場事件は合憲と考えることができよう︒

  支払の完了していない株式についての配当はその買手にとって非課税とされるべ きである。

自然言語というのは、生得 な文法 があるということです。 生まれつき に、人 に わっている 力を って乳幼児が獲得できる言語だという え です。 語の それ自 も、 から