(1)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
△ A B D と △ C D B に お い て
仮 定 よ り 、
A B = C D … ①
D A = B C … ②
辺 B D は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
3 辺 ( 3 組 の 辺 ) が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ A B D ≡ △ C D B で あ る 。
図 に お い て 、 A B = C D 、B C = D A と す る 。
こ の と き 、△ A B D ≡ △ C D B で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(2)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
△ A B C と △ D C B に お い て
仮 定 よ り 、
A B = D C … ①
A C = D B … ②
辺 B C は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
3 辺 ( 3 組 の 辺 ) が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B C ≡ △ D C B
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ B A C = ∠ C D B で あ る 。
図 に お い て 、 A B = D C 、A C = D B と す る 。
こ の と き 、∠ B A C = ∠ C D B で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(3)【 問 題 】
【 証 明 】
A B
D
E
C
A B
D
E
C
A B
D
E
C
△ A B E と △ A C D に お い て
仮 定 よ り 、
A B = A C … ①
A E = A D … ②
ま た 、
∠ A は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B E ≡ △ A C D
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ A B E = ∠ A C D で あ る 。
長 さ の 等 し い 2 つ の 線 分 A B 、A C が あ る 。
A B 、A C 上 に 、A D = A E と な る よ う な 点 D 、 点 E
を と る 。 こ の と き 、∠ A B E = ∠ A C D で あ る こ と を
証 明 せ よ 。
(4)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
△ A B C と △ D C B に お い て
仮 定 よ り 、
∠ A B C = ∠ D C B … ①
A B = D C … ②
ま た 、
辺 B C は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B C ≡ △ D C B
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ A C B = ∠ D B C で あ る 。
図 に お い て 、A B = D C 、∠ A B C = ∠ D C B
と す る 。 こ の と き 、∠ A C B = ∠ D B C で あ る こ と
を 証 明 せ よ 。
(5)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
△ B A C と △ D A E に お い て
仮 定 よ り 、
A B = A D … ①
B E = D C … ②
ま た 、
A C = A D + D C … ③
A E = A B + B E … ④
① 、② 、③ 、④ よ り 、
A C = A E … ⑤
∠ A は 共 通 … ⑥
① 、⑤ 、⑥ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ B A C ≡ △ D A E
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、B C = D E で あ る 。
図 に お い て 、A B = A D 、B E = D C と す る 。
こ の と き 、B C = D E と な る こ と を 証 明 せ よ 。
(6)【 問 題 】
【 証 明 】
B
E
F
C
D
A
A
B
E
F
C
D
A
B
E
F
C
D
△ A B E と △ C D F に お い て
仮 定 よ り 、
A B = C D … ①
A B / / D C よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、
∠ B A E = ∠ D C F … ②
ま た 、
A E = A F + F E
C F = C E + F E
こ こ で 、A F = C E な の で 、
A E = C F … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B E ≡ △ C D F で あ る 。
図 に お い て 、△ A B E と △ C D F が 線 分 F E で
重 な っ て お り 、A B / / D C 、A B = C D 、
A F = C E と す る 。 こ の と き 、△ A B E ≡ △ C D F
で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(7)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
△ A O B と △ D O C に お い て
仮 定 よ り 、
A O = D O … ①
A B / / C D よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、
∠ B A O = ∠ C D O … ②
ま た 、 対 頂 角 は 等 し い の で 、
∠ A O B = ∠ D O C … ③
① 、② 、③ よ り 、
1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A O B ≡ △ D O C
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、A B = D C で あ る 。
平 行 な 2 つ の 線 分 A B 、C D が あ り 、A D と B C の
交 点 を 点 O と し 、A O = D O と す る 。
こ の と き 、A B = D C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
( ポ イ ン ト )
平 行 な 2 直 線 に 他 の 1 直 線 が 交 わ っ て で き る
錯 角 は 等 し い こ と を 利 用 す る 。
(8)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
O
O
O
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
△ A B O と △ D C O に お い て
仮 定 よ り 、
B O = C O … ①
A B / / C D よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、
∠ A B O = ∠ D C O … ②
ま た 、 対 頂 角 は 等 し い の で 、
∠ A O B = ∠ D O C … ③
① 、② 、③ よ り 、
1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B O ≡ △ D C O で あ る 。
図 に お い て 、B C の 中 点 を O と し 、
A B / / C D と す る 。 こ の と き 、
△ A B O ≡ △ D C O と な る こ と を 証 明 せ よ 。
(9)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B C
D
A
B C
D
A
B C
D
△ A B C と △ D B C に お い て
辺 B C は 共 通 … ①
仮 定 よ り 、
∠ A = ∠ D … ②
∠ A B C = ∠ D B C … ③
三 角 形 の 内 角 の 和 は 1 8 0 ° な の で 、
∠ A C B = 1 8 0 ° - ∠ A - ∠ A B C … ④
∠ D C B = 1 8 0 ° - ∠ D - ∠ D B C … ⑤
② 、③ 、④ 、⑤ よ り 、
∠ A C B = ∠ D C B … ⑥
① 、③ 、⑥ よ り 、
1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B C ≡ △ D B C
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、A B = D B で あ る 。
図 に お い て 、∠ A = ∠ D 、∠ A B C = ∠ D B C
と す る 。 こ の と き 、A B = D B で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(10)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
△ A M D と △ B M C に お い て
仮 定 よ り 、
A M = B M … ①
∠ M A D = ∠ M B C … ② ( ∠ A = ∠ B )
∠ A M C = ∠ B M D … ③
ま た 、
∠ A M D = ∠ A M C + ∠ C M D … ④
∠ B M C = ∠ B M D + ∠ C M D … ⑤
③ 、④ 、⑤ よ り 、
∠ A M D = ∠ B M C … ⑥
① 、② 、⑥ よ り 、
1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A M D ≡ △ B M C
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、A D = B C で あ る 。
図 に お い て 、 点 M は 線 分 A B の 中 点 、∠ A = ∠ B 、
∠ A M C = ∠ B M D で あ る 。
こ の と き 、A D = B C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(ポイント)
∠AMD=∠AMC+∠CMD
∠BMC=∠BMD+∠CMD
また、仮定より∠AMC=∠BMD
この3つから∠AMD=∠BMCを導く
ことができる。
(11)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
△ B C D と △ C B E に お い て
仮 定 よ り 、
B D = C E … ①
二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、
∠ C B D = ∠ B C E … ②
ま た 、 辺 B C は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ B C D ≡ △ C B E
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、C D = B E で あ る 。
△ A B C は A B = A C と す る 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。
点 D 、E を B D = C E と な る よ う に と る 。
こ の と き 、C D = B E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(12)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
△ A B D と △ A C E に お い て
△ A B C は 二 等 辺 三 角 形 な の で 、
A B = A C … ①
仮 定 よ り 、
B D = C E … ②
二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、
∠ A B D = ∠ A C E … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B D ≡ △ A C E
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 は 等 し い 。
ゆ え に 、A D = A E で あ り 、
△ A D E は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。
二 等 辺 三 角 形 A B C が あ り 、 底 辺 B C 上 に B D = C E
と な る よ う に 2 点 D ,E を と る 。 こ の と き 、
△ A D E は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(13)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
E
F
C
D
A
B
E
F
C
D
A
B
E
F
C
D
△ B D E と △ C D F に お い て
仮 定 よ り 、
B E = C F … ①
B D = C D … ②
二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、
∠ B = ∠ C … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ B D E ≡ △ C D F
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、D E = D F で あ り 、
△ D E F は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。
A B = A C で あ る 二 等 辺 三 角 形 A B C に お い て 、
A B 上 に 点 E 、A C 上 に 点 F を B E = C F と な る
よ う に と る 。 底 辺 B C の 中 点 を D と す る と き 、
△ D E F は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(14)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
E
F
C
D
A
B
E
F
C
D
A
B
E
F
C
D
△ B D F と △ C E D に お い て
仮 定 よ り 、
B D = C E … ①
B F = C D … ②
△ A B C の 底 角 な の で 、
∠ D B F = ∠ E C D … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ B D F ≡ △ C E D
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、D F = E D で あ り 、
△ D E F は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。
A B = A C で あ る 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 辺 B C 上 に
点 D を 、 ま た 辺 A C 、A B 上 に そ れ ぞ れ 点 E 、 点 F を
と り 、F B = D C 、B D = C E と す る 。 こ の と き 、
△ D E F は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(15)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
E
C
D
P
A
B
E
C
D
P
A
B
E
C
D
P
△ E B C と △ D C B に お い て
仮 定 よ り 、
A B = A C … ①
A E = A D … ②
E B = A B - A E … ③
D C = A C - A D … ④
① 、② 、③ 、④ よ り 、
E B = D C … ⑤
二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、
∠ E B C = ∠ D C B … ⑥
ま た 、B C は 共 通 … ⑦
⑤ 、⑥ 、⑦ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ E B C ≡ △ D C B
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ E C B = ∠ D B C で あ り 、
△ P B C に お い て は 底 角 が 等 し い の で 、
△ P B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。
A B = A C で あ る 二 等 辺 三 角 形 の 辺 A C 、A B 上 に 、
そ れ ぞ れ 点 D , 点 E を A D = A E と な る よ う に と る 。
B D と C E の 交 点 を P と す る と き 、
△ P B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(16)【 問 題 】
【 証 明 】
A
A’
B
C
A
A’
B
D
C
A
A’
B
D
C
A A ’ と B C と の 交 点 を D と す る 。
△ A B A ’ と △ A C A ’ に お い て
仮 定 よ り 、
A B = A C … ①
A ’B = A ’C … ②
ま た 、A A ’ は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
3 辺 ( 3 組 の 辺 ) が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B A ’ ≡ △ A C A ’
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ B A A ’= ∠ C A A ’ で あ り 、
A A ’ は 二 等 辺 三 角 形 A B C の ∠ A の 二 等 分 線
で あ る か ら 、A A ’ は B C を 垂 直 に 2 等 分 す る 。
底 辺 B C を 共 有 す る 2 つ の 二 等 辺 三 角 形 を A B C 、
A ’B C と す る と き 、A A ’ は B C を 垂 直 に
2 等 分 す る こ と を 証 明 せ よ 。
(17)【 問 題 】
【 証 明 】
E
C
D
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
A
B
△ A B C と △ E A D に お い て
仮 定 よ り 、
A B = E A … ①
平 行 四 辺 形 の 対 辺 の 長 さ は 等 し い の で 、
B C = A D … ②
二 等 辺 三 角 形 A B E の 底 角 は 等 し い の で 、
∠ A B C = ∠ A E B … ③
ま た 、B C / / A D よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、
∠ A E B = ∠ E A D … ④
③ 、④ よ り
∠ A B C = ∠ E A D … ⑤
① 、② 、⑤ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B C = △ E A D で あ る 。
平 行 四 辺 形 A B C D が あ り 、 辺 B C 上 に A B = A E
と な る 点 E を と る 。
こ の と き 、△ A B C ≡ △ E A D で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(18)【 問 題 】
【 証 明 】
E
C
D
D
D
A
B
E
C
A
B
E
C
A
B
△ A B D と △ A C E に お い て
仮 定 よ り 、
A B = A C … ①
A D = A E … ②
∠ B A C = ∠ D A E … ③
ま た 、
∠ B A D = ∠ B A C + ∠ C A D … ④
∠ C A E = ∠ C A D + ∠ D A E … ⑤
③ 、④ 、⑤ よ り
∠ B A D = ∠ C A E … ⑥
① 、② 、⑥ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B D ≡ △ A C E
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 は 等 し い 。
ゆ え に 、B D = C E で あ る 。
△ A B C は A B = A C の 二 等 辺 三 角 形 、△ A D E は
A D = A E の 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。∠ B A C = ∠ D A E
な ら ば 、B D = C E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
( ポ イ ン ト )
∠ C A D が 共 通 で あ る こ と に 気 が つ け ば 、
∠ B A D = ∠ C A E で あ る こ と が わ か る 。
(19)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
C
D
E
A
B
C
K
F
D
E
A
B
C
K
F
D
E
B C と D E の 交 点 を K と す る 。 ま た 、D を 通 り A E に
平 行 な 直 線 を 引 き 、B C と の 交 点 を F と す る 。
△ D F K と △ E C K に お い て
D F / / C E な の で
∠ F D K = ∠ C E K( 錯 角 ) … ①
∠ D F K = ∠ E C K( 錯 角 ) … ②
∠ D F B = ∠ A C B( 同 位 角 ) … ③
A B = A C よ り 、△ A B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ り 、
底 角 は 等 し い の で 、
∠ A C B = ∠ A B C … ④
③ 、④ よ り
∠ D F B = ∠ A B C
よ っ て 、△ D B F は 二 等 辺 三 角 形 で あ り 、
B D = F D … ⑤
仮 定 よ り 、
B D = C E … ⑥
⑤ 、⑥ よ り 、
F D = C E … ⑦
① 、② 、⑦ よ り
1 辺 ( 1 組 の 辺 ) と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ D F K ≡ △ E C K
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、D K = E K で あ り 、
D E は B C で 2 等 分 さ れ る 。
図 に お い て 、A B = A C 、B D = C E の と き 、
D E は B C で 2 等 分 さ れ る こ と を 証 明 せ よ 。
(20)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
△ A C D と △ C B E は 正 三 角 形 な の で
A C = D C … ①
C E = C B … ②
∠ A C D = ∠ E C B = 6 0 ° … ③
△ A C E と △ D C B に お い て
∠ A C E = ∠ A C D + ∠ D C E … ④
∠ D C B = ∠ E C B + ∠ D C E … ⑤
③ 、④ 、⑤ よ り
∠ A C E = ∠ D C B … ⑥
① 、② 、⑥ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A C E ≡ △ D C B
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 は 等 し い 。
ゆ え に 、A E = D B で あ る 。
線 分 A B 上 に 点 C を と り 、A C 、C B を そ れ ぞ れ
1 辺 と す る 正 三 角 形 A C D と 正 三 角 形 C B E を と る 。
こ の と き 、A E = D B と な る こ と を 証 明 せ よ 。
(21)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
△ B D A と △ C E A に お い て
△ A B C と △ A D E は 正 三 角 形 な の で 、
A B = A C … ①
A D = A E … ②
∠ B A C = ∠ D A E = 6 0 ° … ③
ま た 、
∠ B A D = ∠ B A C + ∠ D A C … ④
∠ C A E = ∠ D A E + ∠ D A C … ⑤
③ 、④ 、⑤ よ り 、
∠ B A D = ∠ C A E … ⑥
① 、② 、⑥ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ B D A ≡ △ C E A
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、B D = C E で あ る 。
△ A B C と △ A D E が 正 三 角 形 の と き 、
B D = C E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(22)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
C
A
C
D
E
B
D
E
B
D
E
A
C
△ A B D と △ C B E に お い て
△ A B C 、△ D B E は 正 三 角 形 な の で 、
A B = C B … ①
B D = B E … ②
ま た 、
∠ D B A = ∠ D B E - ∠ A B E = 6 0 ° - ∠ A B E
∠ E B C = ∠ A B C - ∠ A B E = 6 0 ° - ∠ A B E
し た が っ て 、∠ D B A = ∠ E B C … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B D ≡ △ C B E
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、A D = C E で あ る 。
図 に お い て 、△ A B C と △ D B E は 正 三 角 形
で あ る と き 、A D = C E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(23)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
△ B E A と △ D C A に お い て
△ A B D と △ A C E は 正 三 角 形 な の で 、
A B = A D … ①
A E = A C … ②
ま た 、
∠ B A E = ∠ C A E + ∠ B A C
= 6 0 ° + ∠ B A C
∠ D A C = ∠ D A B + ∠ B A C
= 6 0 ° + ∠ B A C
よ っ て 、∠ B A E = ∠ D A C … ③
① 、② 、③ よ り
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ B E A ≡ △ D C A
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、B E = D C で あ る 。
図 に お い て 、△ A B D 、△ A C E が 正 三 角 形 の と き 、
B E = D C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(24)【 問 題 】
【 証 明 】
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
△ A B D と △ A C E に お い て
仮 定 よ り
B D = C E … ①
△ A B C は 正 三 角 形 だ か ら 、
A B = A C … ②
∠ A B D = ∠ B A C … ③
A B / / E C よ り 、 錯 角 は 等 し い か ら 、
∠ B A C = ∠ A C E … ④
③ 、④ よ り
∠ A B D = ∠ A C E … ⑤
① 、② 、⑤ よ り
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A B D ≡ △ A C E
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、A D = A E で あ る 。
図 の よ う に 、 正 三 角 形 A B C の 辺 B C を 延 長 し て 、
そ の 上 に 点 D を と る 。 次 に 、 頂 点 C を 通 る A B に
平 行 な 直 線 を 引 き 、 そ の 線 上 に B D = C E と な る
点 E を と る 。
こ の と き 、A D = A E で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(25)【 問 題 】
【 証 明 】
A
D
E
F
B
C
A
D
E
F
B
C
A
D
E
F
B
C
A
D
E
F
B
C
仮 定 よ り 、
A D = B E = C F … ①
C A = A B = B C … ②
∠ A = ∠ B = ∠ C … ③
ま た 、
F A = C A - C F … ④
D B = A B - A D … ⑤
E C = B C - B E … ⑥
△ A D F と △ B E D に お い て
① 、② 、④ 、⑤ よ り 、
F A = D B … ⑦
① 、③ 、⑦ よ り
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ A D F ≡ △ B E D で あ り 、 D F = E D
… ⑧
次 に 、△ B E D と △ C F E に お い て
① 、② 、⑤ 、⑥ よ り 、
D B = E C … ⑨
① 、③ 、⑨ よ り
2 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ B E D ≡ △ C F E で あ り 、
E D = F E … ⑩
⑧ 、⑩ よ り 、D F = E D = F E で あ り 、
△ D E F は 正 三 角 形 で あ る 。
図 の よ う に 、 正 三 角 形 A B C の 辺 A B 、B C 、C A 上 に 、
そ れ ぞ れ 点 D 、E 、F を A D = B E = C F と な る よ う に
と る と 、△ D E F も 正 三 角 形 に な る こ と を 証 明 せ よ 。
(26)【 問 題 】
【 証 明 】
A
D
E
F
C
A
D
E
F
B
B
C
A
D
E
F
B
C
A
D
E
F
B
C
A
D
E
F
B
C
△ A F E 、△ B D F 、△ C E D は
2 辺 が 等 し く 、 そ の 間 の 角 が 6 0 ° な の で 、
△ A F E ≡ △ B D F ≡ △ C E D
ま た 、 こ れ ら は 正 三 角 形 で あ る 。
よ っ て 、△ D E F は 3 辺 が ま わ り の 正 三 角 形 の 1 辺
に 等 し い 正 三 角 形 と な る 。
ゆ え に 、 正 三 角 形 A B C は 、D F 、F E 、E D に よ り
4 つ の 合 同 な 正 三 角 形 に 分 け ら れ る 。
正 三 角 形 A B C の 辺 B C 、C A 、A B の 中 点 を そ れ ぞ れ
点 D ,E 、F と し 、 3 点 D ,E ,F を 順 に 結 ぶ と 、
正 三 角 形 A B C は 4 つ の 合 同 な 正 三 角 形 に 分 け ら れ る
こ と を 証 明 せ よ 。
(27)【 問 題 】
【 証 明 】
A
Q
P
R
B
C
A
Q
P
R
B
C
A
Q
P
R
B
C
△ P B C と △ R A C に お い て
△ A B C 、△ R P C は 正 三 角 形 な の で
B C = A C … ①
P C = R C … ②
ま た 、
∠ P C B = 6 0 ° - ∠ A C P
∠ R C A = 6 0 ° - ∠ A C P
し た が っ て 、∠ P C B = ∠ R C A … ③
① 、② 、③ よ り 、
2 辺 ( 2 組 の 辺 ) と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
△ P B C ≡ △ R A C
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、P B = R A … ④
ま た 、△ Q B P は 正 三 角 形 な の で 、
P B = P Q … ⑤
④ 、⑤ よ り 、P Q = R A で あ る 。
正 三 角 形 A B C の 内 部 に 点 P を と り 、P B を 1 辺
と す る 正 三 角 形 Q B P と P C を 1 辺 と す る
正 三 角 形 R P C を つ く る 。 そ し て 、 点 A と 点 Q 、
点 A と 点 R を そ れ ぞ れ 直 線 で 結 ぶ 。
こ の と き 、P Q = R A で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
( ポ イ ン ト )
P Q = R A を 含 む 合 同 な 三 角 形 は な い の で 、
一 旦 、P B = R A を 示 す と 良 い 。
(28)【 問 題 】
【 証 明 】
C
E
A
B
F
E
F
E
F
D
C
A
B
D
C
A
B
D
△ B C E と △ D C F に お い て
仮 定 よ り 、
B E = D F … ①
B C = D C … ②
∠ B C E = ∠ D C F = 9 0 ° … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、 △ B C E ≡ △ D C F
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、C E = C F で あ る 。
点 E は 正 方 形 A B C D の 辺 C D 上 の 点 、
点 F は 辺 B C 上 の 点 で B E = D F で あ る 。
こ の と き 、C E = C F で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(29)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
P
O
N
M
A
B
P
O
N
M
A
B
P
O
N
M
△ P O M と △ P O N に お い て
仮 定 よ り 、
∠ P M O = ∠ P N O = 9 0 ° … ①
P M = P N … ②
ま た 、
P O は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し
い 。 よ っ て 、 △ P O M ≡ △ P O N
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ P O M = ∠ P O N で あ り 、
点 P は ∠ A O B( ∠ O ) の 二 等 分 線 上 に あ る 。
∠ A O B 内 の 点 P か ら 辺 O A 、O B に 引 い た 垂 線 を
P M 、P N と す る と き 、P M = P N な ら ば 、
点 P は ∠ O の 二 等 分 線 上 に あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(30)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
H
X
K
M
A
B
H
X
K
M
A
B
H
X
K
M
△ A M H と △ B M K に お い て
仮 定 よ り 、
∠ A H M = ∠ B K M = 9 0 ° … ①
A M = B M( M は 線 分 A B の 中 点 ) … ②
∠ A M H = ∠ B M K( 対 頂 角 ) … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ A M H ≡ △ B M K
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、A H = B K で あ る 。
線 分 A B の 中 点 M を 通 る 直 線 X に 、 線 分 A B の
両 端 か ら 垂 線 A H 、B K を そ れ ぞ れ 引 く 。
こ の と き 、A H = B K で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(31)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
直 線 A C を 引 く 。
△ B C A と △ D C A に お い て
仮 定 よ り 、
∠ A B C = ∠ A D C = 9 0 ° … ①
A B = A D … ②
ま た 、
A C は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ B C A ≡ △ D C A
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、B C = D C で あ る 。
四 角 形 A B C D は A B = A D ,∠ B = ∠ D = 9 0 °
で あ る 。 こ の と き 、B C = D C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(32)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
E
M
C
A
B
D
E
M
C
A
B
D
E
M
C
△ B M D と △ C M E に お い て
仮 定 よ り
∠ M D B = ∠ M E C = 9 0 ° … ①
B M = C M … ②
M D = M E … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ B M D ≡ △ C M E
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ B = ∠ C( △ A B C の 底 角 が 等 し い )
で あ り 、△ A B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。
図 の よ う に △ A B C の B C の 中 点 M か ら 、
A B ,A C に 垂 線 を 引 き 、A B 、A C と の
交 点 を そ れ ぞ れ D ,E と す る 。
こ の と き 、M D = M E で あ れ ば 、
△ A B C は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(33)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
△ C B E と △ B C D に お い て
仮 定 よ り
∠ B E C = ∠ C D B = 9 0 ° … ①
∠ E B C = ∠ D C B( 二 等 辺 三 角 形 の 底 角 ) … ②
B C は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ C B E ≡ △ B C D
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、B E = C D で あ る 。
A B = A C の 二 等 辺 三 角 形 A B C が あ る 。B 、C か ら 、
そ れ ぞ れ A C 、A B に 垂 線 B D 、C E を 引 く と き 、
B E = C D で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(34)【 問 題 】
【 証 明 】
A
F
F
F
B
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
△ D B C と △ E C B に お い て
仮 定 よ り 、
∠ B D C = ∠ C E B = 9 0 ° … ①
B C は 共 通 … ②
二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 な の で 、
∠ B C D = ∠ C B E … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ D B C ≡ △ E C B
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ D B C = ∠ E C B
し た が っ て 、△ F B C は 2 つ の 角 が 等 し い の で
二 等 辺 三 角 形 で あ り 、B F = C F で あ る 。
A B = A C の 二 等 辺 三 角 形 A B C が あ る 。
頂 点 B ,C か ら そ れ ぞ れ A C 、A B に 垂 線 B D 、C E
を 引 き 、B D 、C E の 交 点 を F と す る 。
こ の と き 、B F = C F で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
( ポ イ ン ト )
△ B F E と △ C F D の 合 同 は 、 条 件 が 足 り な い た め
す ぐ に は 証 明 で き な い 。△ F B C が 二 等 辺 三 角 形 で
あ る こ と を 証 明 す る と 良 い 。
△ D B C ≡ △ E C B
↓
∠ D B C = ∠ E C B
↓
∠ F B C = ∠ F C B
(35)【 問 題 】
【 証 明 】
B
D
E
C
B
D
E
C
A
A
A
B
D
E
C
△ D A E と △ C A E に お い て
仮 定 よ り 、
∠ A D E = ∠ A C E = 9 0 ° … ①
A D = A C … ②
A E は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の 1 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ D A E ≡ △ C A E
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い 。
ゆ え に 、∠ D A E = ∠ C A E で あ り 、
A E は ∠ B A C を 2 等 分 す る 。
図 の よ う に 、 直 角 三 角 形 A B C で 、B C 上 に
A D = A C と な る 点 D を と り 、D を 通 る A B に
垂 直 な 線 を 引 き 、B C と の 点 を E と す る 。
こ の と き 、A E は ∠ B A C を 2 等 分 す る こ と を 証 明 せ よ 。
( ポ イ ン ト )
・ 仮 定
△ A B C は 直 角 三 角 形
A D = A C D E ⊥ A B
・ 結 論
A E は ∠ B A C を 二 等 分 す る
△ D A E ≡ △ C A E
↓
∠ D A E = ∠ C A E
↓
A E は ∠ B A C を 二 等 分 す る
(36)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
C
△ A B E と △ C D F に お い て
仮 定 よ り 、
∠ A E B = ∠ C F D = 9 0 ° … ①
A B / / D C よ り 、 錯 角 は 等 し い の で 、
∠ A B E = ∠ C D F … ②
平 行 四 辺 形 の 向 か い 合 う 辺 は 等 し い か ら 、
A B = C D … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ A B E ≡ △ C D F で あ る 。
平 行 四 辺 形 A B C D の 頂 点 A 、C か ら 対 角 線 B D に
垂 線 A E 、C F を そ れ ぞ れ 引 く と き 、
△ A B E ≡ △ C D F で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(37)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
X
E
C
A
B
D
X
E
C
A
B
D
X
E
C
△ A B D と △ C A E に お い て
仮 定 よ り 、
∠ A D B = ∠ C E A = 9 0 ° … ①
A B = C A … ②
ま た 、 三 角 形 の 内 角 の 和 は 1 8 0 ° な の で 、
∠ D B A = 1 8 0 ° - ∠ A D B - ∠ D A B
= 1 8 0 ° - 9 0 ° - ∠ D A B
= 9 0 ° - ∠ D A B
∠ E A C = 1 8 0 ° - ∠ C A B - ∠ D A B
= 1 8 0 ° - 9 0 ° - ∠ D A B
= 9 0 ° - ∠ D A B
し た が っ て 、
∠ D B A = ∠ E A C … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ A B D ≡ △ C A E で あ る 。
直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 頂 点 A を 通 る 直 線 X に
垂 線 B D 、C E を 引 い た と き 、△ A B D ≡ △ C A E
で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(38)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
D
C
E
A
B
D
C
E
A
B
D
C
E
△ A B D と △ E B D に お い て
仮 定 よ り 、
∠ A = ∠ D E B = 9 0 ° … ①
∠ A B D = ∠ E B D … ②
ま た 、
D B は 共 通 … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ A B D ≡ △ E B D
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い 。
ゆ え に 、A D = E D … ④
次 に 、△ D E C に お い て
△ A B C は 直 角 二 等 辺 三 角 形 な の で ∠ C = 4 5 °
∠ C D E = 9 0 ° - ∠ C = 4 5 °
よ っ て 、△ D E C は 直 角 二 等 辺 三 角 形 な の で 、
D E = E C … ⑤
④ 、⑤ よ り 、
A D = D E = E C で あ る 。
∠ A = 9 0 ° の 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 底 角 B の
二 等 分 線 が A C と 交 わ る 点 を D と し 、D か ら B C に
引 い た 垂 線 を D E と す る 。
こ の と き 、A D = D E = E C で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(39)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
B’
C
C’
A
B
B’
C
C’
A
B
B’
C
C’
△ A B B ’ と △ C A C ’ に お い て
仮 定 よ り
A B = C A … ① ( 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 辺 )
∠ B B ’A = ∠ A C ’C = 9 0 ° … ②
ま た 、
∠ B A B ’= 9 0 ° - ∠ C A C ’
∠ A C C ’= 9 0 ° - ∠ C A C ’
ゆ え に 、∠ B A B ’= ∠ A C C ’ … ③
① 、② 、③ よ り 、
直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ A B B ’≡ △ C A C ’
合 同 な 三 角 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い の で 、
B B ’= A C ’
A B ’= C C ’
よ っ て 、B B ’- C C ’= A C ’- A B ’= B ’C ’
し た が っ て 、B B ’- C C ’= B ’C ’ で あ る 。
∠ A = 9 0 ° の 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 頂 点 A
を 通 り 、△ A B C の 内 部 を 通 る 直 線 に 頂 点 B ,C
か ら 垂 線 B B ’、C C ’ を 引 く 。
こ の と き 、B B ’- C C ’= B ’C ’で あ る こ と を 証 明 せ よ 。
(ポイント)
B’C’=AC’-AB’に気付いて、
BB’=AC’、CC’=AB’を
を示すと良い。
(40)【 問 題 】
【 証 明 】
A
B
C
M
P
Q
A
B
C
M
P
Q
A
B
C
M
P
Q
△ A M P と △ C M Q に お い て
△ A B C は 直 角 二 等 辺 三 角 形 だ か ら 、
∠ B = ∠ C = 4 5 ° … ①
A M ⊥ B C よ り 、
∠ A M C = ∠ A M B = 9 0 ° … ②
① 、② よ り 、△ A B M と △ A C M は
直 角 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 ゆ え に 、
∠ M A P = ∠ M C Q( ∠ C )= 4 5 ° … ③
M A = M C … ④
M P ⊥ M Q で あ る か ら 、
∠ A M P = 9 0 ° - ∠ A M Q … ⑤
A M ⊥ B C で あ る か ら 、
∠ C M Q = 9 0 ° - ∠ A M Q … ⑥
⑤ 、⑥ よ り 、
∠ A M P = ∠ C M Q … ⑦
③ 、④ 、⑦ よ り 、
1 辺 と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。
よ っ て 、△ A M P ≡ △ C M Q で あ る 。
図 の よ う に 、 直 角 二 等 辺 三 角 形 A B C の 頂 点 A か ら
斜 辺 B C に 垂 線 A M を 引 く 。 点 M で 垂 直 に 交 わ る 2 つ の
直 線 を 引 き 、 辺 A B ,A C と の 交 点 を そ れ ぞ れ
P ,Q と す る 。 こ の と き 、
△ A M P ≡ △ C M Q で あ る こ と を 証 明 せ よ 。