線形代数 II 演習
担当 丹下 基生：研究室(B622) mail([email protected]）第
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回（’14年10月3日：Keywords· · · ベクトル空間と部分空間）この授業は、授業毎に以下のようなサイクルで行われる．
· · · ⇒(A計算（Ashiba）)⇒(B発表（kokuBan）)⇒(C宿題（Cukudai）)⇒(A計算（Ashiba）)⇒ · · ·
1-1.階段行列、簡約階段行列、先頭列・・・教科書P.36,37を見よ．
1-2.階段化、簡約化・・・階段行列にすること．簡約階段行列にすること．
1-3.行の簡約化・・・方程式を簡単にし、方程式を解く．注意することは、連立一次方程式を解くと きは列ではなく、必ず行の基本変形をする．
1-4.列の簡約化・・・線形写像の像を変形する．
1-5.線形写像と連立一次方程式・・・行列A（(m,n)-行列）を左から掛けることで、
LA : x7→ Ax (Cn→Cm)
という写像をつくることができる．連立一次方程式Ax= bを求めることは像がbとなるLAの逆 像全体を求めることに等しい．
1-6.連立一次方程式の解き方 例：
2x1−3x2+x3 = 0
x1− x2+ x3= 3
・・・
(1) Ax= bの形に直し、行列Aを書き下す。（Aは(m,n)-行列）．
2 −3 1
1 −1 1
x1 x2 x3
=
0
3
(2) (A; b)に行の基本変形を施し簡約階段行列(B; b′)にする．(Bx=b′の解xを求めることになる．)
2 −3 1 0 1 −1 1 3
→
1 −1 1 3 2 −3 1 0
→
1 −1 1 3
0 1 1 6
→
1 0 2 9 0 1 1 6
→
1 0 2 0 1 1
x1 x2
x3
=
9
6
(3)方程式Bx=b′の中で、先頭列の変数を左辺に残したまま、非先頭列の変数を右辺に移項する．
x1 =−2x3+9
x2 =−x3+6
(4)右辺の文字を(c1,c2,· · ·)などとおく．（先頭列の変数はciなどの一次式になる．）
x1= −2c1+9
x2= −c1+6 (5)全ての変数をciの式にまとめる．
x1 = −2c1+9,x2 =−c1+6,x3 =c1
(6)連立一次方程式の解を、いくつかのベクトルとパラメータciの一次結合の形に直す．(Ax = 0 の場合、求められるいくつかの解のことを基本解という．)
x1 x2 x3
=
−2c1+9
−c1+6 c1
=c1
−2
−1 1
+
9 6 0
1-7.ベクトル空間・・・加法とスカラー倍が定義されている集合で、教科書の定義6.1の性質を満た すもの．
1-8.部分（ベクトル）空間・・・W ⊂ VがVの部分（ベクトル）空間であるとは、W , ∅かつ、任 意のv,w∈W, α ∈Cに対してVの加法とスカラー倍を使って、(1) v+w∈Wかつ(2)α·v∈Wを 満たす集合のこと．
1-9. P(K)・・・Kを係数とする多項式全体の集合．P(K)nによってP(K)内のn次以下の多項式全体 を表す．
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A-1-1.
[行列の簡約化]次の行列に対して行の基本変形をし、簡約階段行列にせよ。
(a)
2 1 1
−1 0 −1
(b)
1 −1 6 −3 1 −3 2 0 0 −1 −2 1
A-1-2.
[連立方程式]次の連立一次方程式を解け。
(a)
x+2y−z=2
2x+3y−z=−1 (b)
2x+y+z+w=8
6x+2y−w= −2 (c)
2x+3y−3z=−5
−y+z= 3 3x+2y−2z=0
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今日の課題
.
1.ある集合がベクトル空間であることをどうやって示すのか？
2.部分ベクトル空間であることはどうやって示すのか？
例：次の集合はベクトル空間および、部分ベクトル空間であるか？
Rn、Cn、多項式全体P(R)、実数数列全体s(R)= {(xn)|xn∈R}、
有界数列全体{(xn)∈s(R)|∃M s.t.|xn|< M,∀n∈N} ⊂ s(R)、P(C)3 ⊂ P(C)....
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B-1-1.
[多項式のなすベクトル空間]次の集合はベクトル空間であることを示せ．
(1) V =C2 (2) V =P(R)3 (高々3次のR係数の多項式)
(3) V =
x1 x2
|2x1−x2 =0
(4)C (R上ベクトル空間として)
B-1-2.
[ベクトル空間でない空間]次の集合は（通常のベクトルの和とスカラー倍として）ベクトル空間にならないことを示せ。
(1) V ={f (X)∈ P(R)4|f (0)=0, f (1)=1}
(2) V =
x1 x2
|2x1−x2 =1
B-1-3.
[さまざまなベクトル空間]次の集合はベクトル空間になることを示せ．
(1)有界数列全体． (2) [0,1]上の連続関数全体C([0,1])．
B-1-4.
[部分（ベクトル）空間]次の集合は、Cn、もしくは、C([0,1])の部分空間となるか？なる場合は証明を、そうではな い場合は理由を付してこたえよ．
(1) W =
x1 x2 x3
∈C3|
2x1+x2+3x3 =0
x1−x2−x3 =0
(2) C([0,1])上の関数 f (x)で、f (0)= 1となるもの全体．
B-1-5.
[正の実数全体]教科書p137例6.2では、R>0（正の実数全体）はベクトル空間にならないと書いてあるが、あ
る関数を施すことで、実ベクトル空間とみなすことができる．そのとき、実数倍はどのよう な操作に対応するか？
（Hint: log-、exp-関数を使え．p138の例題6.1参照）
B-1-6.
[実数列]実数列全体について以下の問題にこたえよ．
(1) 実数列全体s(R)={(xn)∈RN|xn∈R}が自然にベクトル空間となるには、加法、スカラー 倍をどのように定義すればよいか？
(2) s(R)の中の部分集合s(a)をs(a) = {(xn) ∈ s(R)|x1 = a}とおく．このとき、aの値によっ て、s(a)がいつ、s(R)の部分ベクトル空間となるか？
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C-1-1.
[ベクトル空間]次の集合はC上のベクトル空間になるか、もしなるなら証明を、そうでないなら、理由を付 して説明せよ．
V = {f (X)∈P(C)3||f (1)= f (2)=0}
C-1-2.
[部分ベクトル空間]V = C3の中の部分集合Wa,bについて、Wa,b=
x∈C3|Ax=
a
b
と定義する．このとき、Wa,b
がVの部分ベクトル空間となるのはa,bがどのような場合か？証明せよ．ここで、Aは任意 の(2,3)-行列
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