26 年度　後期線形代数学平成

(1)

線形代数学平成 26 ^{年度後期}

中川仁

(2)

目標線形代数について，基礎線形代数学で学んだベクトルと行列に関する基本事項を基礎として，ベクトル空間の基本的概念，線形写像の固有値等の内容を解説する．

記号

R, C

をそれぞれ実数全体，複素数全体の集合とする．

行列式

2

5.1

置換

. . . . 2

5.2

行列式の定義

. . . . 6

5.3

行列式の基本的性質

. . . . 6

5.4

行列式の展開

. . . . 9

5.5

クラメールの公式

. . . . 13

5.6

積の行列式

. . . . 13

6

ベクトル空間

15 6.1

部分空間

. . . . 15

6.2 1

次独立と

1

次従属

. . . . 15

6.3

基底

. . . . 16

6.4

次元

. . . . 17

7

線形写像

20 7.1

線形写像と行列

. . . . 20

7.2

線形写像の合成

. . . . 21

7.3

像空間，核空間

. . . . 22

7.4

階数

. . . . 26

8

固有値と固有ベクトル

29 8.1

固有値

. . . . 29

8.2

行列の対角化

. . . . 30

8.3

行列の対角化の応用

. . . . 36

8.4

行列の三角化

. . . . 43

8.5

正規行列

. . . . 45

8.6

同時対角化

. . . . 50

(3)

5 行列式

5.1

置換

n

を自然数

n

とし，

n

個の文字

1,2,· · · , n

からなる集合を

M_n={1,2,· · · , n}

とする．写像

σ :M_n−→M_n

が全単射であるとき，

σ

を

M_n

の置換といい，

σ = (

1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n) )

と表す．

σ(1), σ(2),· · · , σ(n)

は互いに相異なり

1,2,· · · , n

を並べ替えたものである．したがって，

M_n

の置換全体の集合を

S_n

とすると，

S_n

は

n!

個の元からなる．

σ(k) =k

となる部分は省略してかくことにする．例えば，

(

1 2 3 4 2 4 3 1

)

= (

1 2 4 2 4 1

)

とかく．

σ, τ ∈ Sn

のとき，合成写像

στ : Mn −→ Mn

も全単射だから，

στ ∈ Sn

である．

στ

を

σ

と

τ

の積という．任意の

ρ, σ, τ ∈S_n

に対して，結合法則

(ρσ)τ =ρ(στ)

が成立する．

例

5.1.

σ = (

1 2 3 2 3 1

) , τ =

(

1 2 3 2 1 3

)

とすると，

στ = (

1 2 3 3 2 1

)

, τ σ = (

1 2 3 1 3 2

) .

これからわかるように，

στ

と

τ σ

は一般には異なる．

恒等写像

ϵ:M_n −→M_n

を単位置換という．任意の

σ ∈S_n

に対して，

ϵσ =σϵ=σ

が成立する．

(4)

σ∈S_n

に対して，写像

σ

の逆写像

σ⁻¹ :M_n−→M_n

も全単射だから，

σ⁻¹ ∈S_n

である．

σ⁻¹

を

σ

の逆置換という．

σ⁻¹σ =σσ⁻¹ =ϵ

が成立する．

i, j ∈Mn, i̸= j

に対して，

σ(i) = j, σ(j) = i, σ(k) = k (k ̸=i, j)

によって定まる

σ ∈S_n

を

(i j)

とかく．これを互換という．

( i j j i

)

= (i j).

互換と同様に，a

₁, a₂, . . . , a_r

を

M_n

の相異なる元とするとき，

(

a₁ a₂ · · · a_r₋₁ a_r a₂ a₃ · · · a_r a₁

)

= (a1a2 . . . ar−1ar)

とかく．このような置換を

r-サイクルと呼ぶ．任意の置換は互いに共通の数字を

含まないようなサイクルの積に表すことができる．例えば，

(

1 2 3 4 5 3 4 5 2 1

)

= (1 3 5)(2 4).

さらに，

r-

サイクルは次のように互換の積に表せる．

(a₁a₂ . . . a_r₋₁a_r) = (a₁a₂)(a₂a₃)· · ·

（

a_r₋₂a_r₋₁)(a_r₋₁a_r).

例えば，(1 3 5) = (1 3)(3 5) である．以上によって，次の命題を得る．

命題

5.1.

任意の置換は互換の積として表すことができる．

命題

5.2. Sn

の任意の元は，互換

(1 2), (2 3), · · · ,(n−1n)

の積として表せる．

[

証明

] n

に関する帰納法で証明する．

n = 2

のときは明らかである．

n > 2

として，

S_n₋₁

の任意の元は，互換

(1 2), (2 3), · · · ,(n −2n −1)

の積として表せるとする．命題

5.1

より，任意の元は互換の積であるから，任意の互換

(a b) ∈ S_n

が互換

(1 2),(2 3),· · · ,(n −1n)

の積として表せることを示せばよい．

1 ≤ a <

b ≤ n − 1

ならば，

(a b) ∈ S_n₋₁

であるから，帰納法の仮定によって，

(a b)

は

互換

(1 2),(2 3),· · · ,(n − 1n)

の積として表せる．b

= n

のとき，互換

(a n)

は

(a n) = (a n−1)(n−1n)(a n−1)

とかけ，

(a n−1)

は

(1 2), (2 3), · · · ,(n−2n−1)

の積としてかけるから，互換

(a n)

は互換

(1 2), (2 3),· · · ,(n−1n)

の積として表

せる．よって，(a n) も互換

(1 2), (2 3), · · · ,(n−1n)

の積として表せる．

(5)

例

5.2.

σ = (

1 2 3 4 5 2 5 4 3 1

)

を互換の積で表す．

σ₁ = (1 2 5)(3 4) = (1 2)(2 5)(3 4).

変数

x₁,· · · , x_n

の多項式

P

と置換

σ∈S_n

に対して，変数

x₁,· · · , x_n

を，それぞれ

x_σ(1),· · · , x_σ(n)

で置き換えて得られる多項式を

σP

で表す．

σ, τ ∈S_n

とすると，

σ(τ x_i) = σx_τ_(i)=x_σ(τ(i)) = (στ)x_i

であるから，一般の多項式

P

についても，

σ(τ P) = (στ)P

が成り立つ．今，

∆_n

を次のような多項式とする．

∆n = ∏

i<j(xi−xj)

= (x₁−x₂) (x₁−x₃) · · · (x₁−x_n)

×(x₂−x₃) (x₂−x_n) . .. ...

×(x_n₋₁−x_n).

∆₂ =x₁−x₂, ∆₃ = (x₁−x₂)(x₁ −x₃)(x₂−x₃)

である．

(1 2)∆₃ = (x₂−x₁)(x₂−x₃)(x₁−x₃) =−∆₃, (2 3)∆3 = (x1−x3)(x1−x2)(x3−x2) =−∆3,

であり，

(1 3) = (1 2)(2 3)(1 2)

であるから，

(1 3)∆₃ = (1 2)(2 3)(1 2)∆₃ = (−1)³∆₃ =

−∆₃

がわかる．一般に，

∆_n

は，互換

(i j)

に対して，

(i j)∆_n=−∆_n

を満たすことが

n

に関する帰納法によって証明される．

命題

5.3. 1

つの置換を互換の積で表すとき，偶数個の互換の積であるか奇数個の互換の積であるかは，与えられた置換によって定まる．

[証明] σ

を与えられた置換とする．

σ =σ₁σ₂· · ·σ_s=τ₁τ₂· · ·τ_t σ_i, τ_j

は互換，と書けたとする．このとき，

σ∆ = (σ₁σ₂· · ·σ_s₋₁)(σ_s∆)

= −(σ1σ2· · ·σs−1)∆

= · · · ·= (−1)^s∆.

(6)

同様に，

τ∆ = (τ₁τ₂· · ·τ_t₋₁)(τ_t∆)

= −(τ1τ2· · ·τt−1)∆

= · · · ·= (−1)^t∆.

したがって，(

−1)^s = (−1)^t

となり，s, t はともに偶数であるか，またはともに奇数である．

偶数個の互換の積として表せる置換を偶置換といい，奇数個の互換の積として表せる置換を奇置換という．単位置換は偶置換とする．置換

σ

に対して，その符号

sgn(σ)

を

sgn(σ) = {

+1, σが偶置換のとき

−1, σ

が奇置換のときと定義する．

sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ), sgn(σ⁻¹) = sgn(σ)

が成り立つ．

補題

5.4. S_n ={σ₁,· · · , σ_N}(N =n!)

とするとき，

(1) τ ∈S_n

ならば，

{σ₁τ,· · · , σ_Nτ}=S_n. (2) {σ₁⁻¹,· · · , σ_N⁻¹}=S_n.

[

証明

] σiτ =σjτ

とすると，

(σ_iτ)τ⁻¹ = (σ_jτ)τ⁻¹, σ_iϵ=σ_jϵ, σ_i =σ_j

したがって，

i=j

となる．よって，

σ₁τ,· · · , σ_Nτ

は相異なるから，これらのなす集合は

S_n

全体と一致する．次に，σ

_i⁻¹ =σ⁻_j¹

とすると，

σ_jσ⁻_i ¹ =σ_jσ_j⁻¹ =ϵ, (σjσ_i⁻¹)σi =ϵσi =σi, σ_j =σ_jϵ=σ_j(σ⁻_i ¹σ_i) = σ_i.

したがって，i

=j

となる．よって，σ

⁻₁¹,· · · , σ⁻_N¹

は相異なるから，これらのなす

集合は

S_n

全体と一致する．

(7)

5.2

行列式の定義

n

次正方行列

A=







a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n ... ... ... an1 an2 · · · ann





= (a₁,· · · ,a_n)

に対して，和

∑

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1aσ(2)2· · ·aσ(n)n

を

A

の行列式とよび，

|A|, detA, D(a₁,· · · ,a_n),

a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a21 a22 · · · a2n

... ... ... a_n1 a_n2 · · · a_nn

とかく．

例

5.3. S₂ ={ϵ,(1 2)}

，

sgn(ϵ) = 1

，

sgn((1 2)) =−1

だから，

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

=a11a22−a12a21

である．

レポート問題

1.

S₃ = {

1,(1 2),(1 3),(2 3), (

1 2 3 2 3 1

) ,

(

1 2 3 3 1 2

)}

.

について，各元の符号を求めよ．さらに，3 次行列

A= (a_ij)

の行列式をその成分の多項式として表わせ．

5.3

行列式の基本的性質

行列式の性質の中で，記号

D(a1,· · ·,an)

を用いて説明できるものから述べる．

命題

5.5.

行列式

D(a₁,· · · ,a_n)

は次の性質を持つ

:

(1) D(a₁,· · ·,a_j+a^′_j,· · · ,a_n) = D(a₁,· · · ,a_j,· · · ,a_n) +D(a₁,· · · ,a^′_j,· · · ,a_n).

(8)

(2) D(a₁,· · ·, ca_j,· · · ,a_n) = cD(a₁,· · · ,a_j,· · · ,a_n).

(3) D(a_τ(1),· · · ,a_τ(n)) = sgn(τ)D(a₁,· · · ,a_n), τ ∈S_n.

系

5.6.

ある

j ̸=k

に対して，

a_j =a_k

ならば，

D(a₁,· · · ,a_n) = 0

である．

系

5.7. c∈R,j ̸=k

ならば，

D(a₁,· · · ,a_j+ca_k,· · · ,a_n) =D(a₁,· · · ,a_j,· · · ,a_n).

[証明]

D(a₁,· · · ,a_j+a^′_j,· · · ,a_n)

= ∑

σ∈Sn

sgn(σ)a_σ(1)1· · ·(a_σ(j)j+a^′_σ(j)j)· · ·a_σ(n)n

= ∑

σ∈Sn

sgn(σ)a_σ(1)1· · ·a_σ(j)j· · ·a_σ(n)n

+ ∑

σ∈Sn

sgn(σ)a_σ(1)1· · ·a^′_σ(j)j· · ·a_σ(n)n

= D(a₁,· · · ,a_j,· · · ,a_n) +D(a₁,· · · ,a^′_j,· · · ,a_n).

D(a₁,· · · , ca_j,· · · ,a_n) = ∑

σ∈Sn

sgn(σ)a_σ(1)1· · ·(ca_σ(j)j)· · ·a_σ(n)n

= c∑

σ∈Sn

sgn(σ)a_σ(1)1· · ·a_σ(j)j· · ·a_σ(n)n

= cD(a₁,· · · ,a_j,· · · ,a_n).

τ ∈S_n

に対して，b

_j =a_τ(j)

，j

= 1, . . . , n

とおく．b

_ij =a_iτ(j)

である．補題

5.4

の

(1)

を用いれば，

D(aτ(1),· · · ,aτ(n)) = D(b1,· · · ,bn)

= ∑

σ∈Sn

sgn(σ)b_σ(1)1· · ·b_σ(n)n

= ∑

σ∈Sn

sgn(σ)a_σ(1)τ(1)· · ·a_σ(n)τ(n)= ∑

σ∈Sn

sgn(σ)

∏n i=1

a_σ(i)τ(i)

= ∑

σ∈Sn

sgn(σ)

∏n j=1

a_στ−1(j)j (στ⁻¹ =σ^′)

= ∑

σ^′∈Sn

sgn(σ^′τ)a_σ′(1)1· · ·a_σ′(n)n

= sgn(τ)D(a1,· · · ,an).

a_j = a_k

ならば，

τ = (j k)

として，

(3)

を適用すると，

D(a₁,· · · ,a_n) = 0

を得

る．

(1)

と系

5.6

から，系

5.7

がでる．

(9)

命題

5.8.

単位行列

I = (e₁,· · · ,e_n)

の行列式は

1

である．

[

証明

]

D(e₁,· · · ,e_n) = ∑

σ∈Sn

sgn(σ)δ_σ(1)1· · ·δ_σ(n)n

= 1

となる．

命題

5.9.

|^tA|=|A|.

[証明] ^tA= (a^′_ij)

とおくと，a

^′_ij =a_ji

であるから，

|^tA| = ∑

σ∈Sn

sgn(σ)a^′_σ(1)1· · ·a^′_σ(n)n

= ∑

σ∈Sn

sgn(σ)a_1σ(1)· · ·a_nσ(n).

かけ算の順序を入れ換えれば，

sgn(σ)a_1σ(1)· · ·a_nσ(n) = sgn(σ⁻¹)a_σ−1(1)1· · ·a_σ−1(n)n

だから，補題

5.4

より，

|^tA| = ∑

σ∈Sn

sgn(σ⁻¹)a_σ−1(1)1· · ·a_σ−1(n)n

= ∑

σ^′∈Sn

sgn(σ^′)a_σ′(1)1· · ·a_σ′(n)n

= |A|

となる．

レポート問題

2.

行列式の性質を用いて計算せよ．

1 2 3 2 5 6 3 7 10

注意

5.1.

命題

5.5

と命題

5.9

より，行についても命題

5.5

とと同様なことが成り立つ．

A =





a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃





(10)

とするとき，

|A|=|^tA|=

a1 a2 a3

b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ c₃

=−

a2 a1 a3

b₂ b₁ b₃ c₂ c₁ c₃

=−

a₂ b₂ c₂ a1 b1 c1

a₃ b₃ c₃

. (A

の第

1

行と第

2

行を交換した行列式

)

5.4

行列式の展開

n

次の行列式は

n−1

次の行列式の和として表せることを示そう．

n

次行列

A= (a_ij)

から，その第

i

行と第

j

列をとり除いて得られる

n−1

次行列を

A_ij

とかく．

このとき，

定理

5.10.

(1) |A|=

∑n i=1

(−1)^i+ja_ij|A_ij| (j = 1,2,· · · , n).

(2) |A|=

∑n j=1

(−1)^i+ja_ij|A_ij| (i= 1,2,· · · , n).

n= 4

とする．

i= 1, j = 4

とする．

e₁ =





 1 0 0 0





, e₂ =





 0 1 0 0





, e₃ =





 0 0 1 0





, e₄ =





 0 0 0 1







とおけば，

a₄ =a₁₄e₁+a₂₄e₂+a₃₄e₃+a₄₄e₄

であるから，

D(a₁,a₂,a₃,a₄) =a₁₄D(a₁,a₂,a₃,e₁) +a₂₄D(a₁,a₂,a₃,e₂) +a₃₄D(a₁,a₂,a₃,e₃) +a₄₄D(a₁,a₂,a₃,e₄).

(11)

ここで，第

4

項について，

a^′_i4 = 0, i= 1,2,3,a^′₄₄= 1

とすれば，

D(a₁,a₂,a₃,e₄) =

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 0 a21 a22 a23 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 1

= ∑

σ∈S4

sgn(σ)a_σ(1)1a_σ(2)2a_σ(3)3a^′_σ(4)4

= ∑

σ∈S4,σ(4)=4

sgn(σ)a_σ(1)1a_σ(2)2a_σ(3)3

= ∑

σ∈S3

sgn(σ)a_σ(1)1a_σ(2)2a_σ(3)3

=

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

=|A₄₄|.

第

3

項についても，上の結果から

D(a1,a2,a3,e3) =

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 0 a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 1 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0

=−

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 0 a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 1

=−

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a₄₁ a₄₂ a₄₃

=−|A₃₄|.

(12)

第

2

項についても，同様に，

D(a₁,a₂,a₃,e₂) =

a11 a12 a13 0 a₂₁ a₂₂ a₂₃ 1 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a41 a42 a43 0

=−

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a21 a22 a23 1 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0

= (−1)²

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0 a₂₁ a₂₂ a₂₃ 1

=

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₄₁ a₄₂ a₄₃

=|A₂₄|.

第

1

項についても，同様に，

D(a₁,a₂,a₃,e₁) =

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 1 a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 a31 a32 a33 0 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0

=−

a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 a11 a12 a13 1 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0

= (−1)²

a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a₁₁ a₁₂ a₁₃ 1 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0

= (−1)³

a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0 a₁₁ a₁₂ a₁₃ 1

= (−1)³

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₄₁ a₄₂ a₄₃

=−|A14|.

26 年度 後期 線形代数学平成

線形代数学 平成 26 年度 後期

中川 仁

目標 線形代数について，基礎線形代数学で学んだベクトルと行列に関する基 本事項を基礎として，ベクトル空間の基本的概念，線形写像の固有値等の内容を 解説する．

記号

をそれぞれ実数全体，複素数全体の集合とする．

目 次

行列式

置換

行列式の定義

行列式の基本的性質

行列式の展開

クラメールの公式

積の行列式

ベクトル空間

部分空間

次独立と

次従属

基底

次元

線形写像

線形写像と行列

線形写像の合成

像空間，核空間

階数

固有値と固有ベクトル

固有値

行列の対角化

行列の対角化の応用

行列の三角化

正規行列

同時対角化

5 行列式

置換

を自然数

とし，

個の文字

からなる集合を

とする．写像

が全単射であるとき，

を

の置換といい，

と表す．

は互いに相異なり

を並べ替えたものであ る．したがって，

の置換全体の集合を

とすると，

は

個の元からなる．

となる部分は省略してかくことにする．例えば，

とかく．

のとき，合成写像

も全単射だから，

である．

を

と

の積という．任意の

に対して，結合法則

が成立する．

例

とすると，

これからわかるように，

と

は一般には異なる．

恒等写像

を単位置換という．任意の

に対して，

が成立する．

に対して，写像

の逆写像

も全単射だから，

である．

を

の逆置換という．

が成立する．

に対して，

によって定ま る

を

とかく．これを互換という．

互換と同様に，a

26 年度　後期線形代数学平成

線形代数学平成 26 ^{年度後期}

中川仁

目標線形代数について，基礎線形代数学で学んだベクトルと行列に関する基本事項を基礎として，ベクトル空間の基本的概念，線形写像の固有値等の内容を解説する．

目次

を並べ替えたものである．したがって，

によって定まる

として，

の積として表せるとする．命題

を，それぞれ

つの置換を互換の積で表すとき，偶数個の互換の積であるか奇数個の互換の積であるかは，与えられた置換によって定まる．

となり，s, t はともに偶数であるか，またはともに奇数である．

偶数個の互換の積として表せる置換を偶置換といい，奇数個の互換の積として表せる置換を奇置換という．単位置換は偶置換とする．置換

に対して，その符号

が奇置換のときと定義する．