無限次元線形代数について

無限‘次元線形代数について

中   田  道

(文理学部数学教室)

孝

Gn the infinitedimensional linear algebra

Michitaka Nakada

      第一章 無限次元ベクトル空間

（1）基底について

 体尺上のベクトル空間をＸとする／￡をエの部分集合とする時，￡の有限個の元の線

形結合を￡の線形結合という．

 Ｘの部分集合Ｍのどんな有限個の元も線形独立なとき，Ｍは線形独立であるという．

 Ｘの部分集合Ｎか線形独立でないとき，換言すれば線形従属な有限個の元が存在すると

き，Ｎは線形従属であるという．

 線形独立なＸの部分集合の全体肌は集合の包含関係の下に順序集合を作る．以の任堂

の全順序部分集合!Rをとる．

Mo=UAfが線形従属ならば,

Moの中に線形従属な有限個の元ｘl,…,ｘ。が存在する.

 ＭＥ飢

      ｘｉＥＭｉＥ!K(≪

= l,…,ｓ)

肌が全順序だからMax

(Ml,…,Ｍ。)＝Ｍ。とすればX

i,---,Xn^M。となりＭ。∈恢に反する，

よって凪は線形独立となり凪∈恢｡

      !R∋ｙＭに対しＭ⊂UM=Mo

       ＭＥ飢

又!R∋゛Ｍに対しＭ⊂Ⅳ∈恢ならば。Mo=UM⊂Ｍよって皿)はglの以における上限

      ＭＥ飢

となる。従って恢は集合の包含関係の下に帰納的順序集合になるから,‘ツオルンの補題より

極大元びをもつ．ｙは極大線形独立部分集合である．

Ｘ∋ｙｚに対し＊;ｅＵ t,ぷらばx=lxはびの線形結合である.

ｘ･まびならば{ｚ汐びは線形従属だから，Ｕの元哨j･･,９。が存在してｘμ1,…,z4。が線形従属

になる。よって全てはａでない￡の元αμ1,…,α。が存在してαズ十aM,十…十（１，μﾔヽ＝0

びは線形独立だからα≒Ｏでx=(-a-'ai)u.十…十(−α-1α。)ｇ。よってズはびの線形結合に

なる。今Ｘの元ｘがびの線形結合として２通りに表わされるとし，必要ならば係数に０

を含ませてx=aiUi十…十α。z4。＝β191十…十八４としてみる。

● ● (α1−βi)Mi十…十(α。−β。)z4。＝0

びが線形独立だから簡,…,ｇ。も線形独立で

      a-i―β1＝…＝α．一β．＝O  ∴α1＝β1,…■,a-n

= Pn

これよりＸの任意の元はびの線形結合で一意的に表わされる．びをＸの基底という．

今後ｊ∋りに対してαｘが定義され有限個の石高,…,λ．を除く全てのλに対して心＝Ｏな

らばΣ酸.＝Σ臥と書くことにする．この約束によりx=a,Ui十…十ａ≪ＵｎのときＵ∃Ｖｕに

  .i°1 ' ＼eA

152      高知大学学術研究報告 第22巻  自然科学  第８号

対しU = Uiのときら= a,- (i = l,…μ)とし，z4が哨,‥･,ものどれにも等しくないとき，ら＝０ とおけばｘ＝ΣαＪと表わされる.       μＥＵ (2)次元について  今. U, VかＸの基底であるとする. U, Vの集合としての基数万，ｒの一方が有限なら        ー ぱ他方も有限で両者が等しいことは容易に確かめられる．だからひ,ｒ共に無限であるとする。 ＵｓＶｕに対しz4≒Oだからz4＝βみ十…十βＪ。と出来心．ここにβｊ≒0,りＥｙＧ＝１,…,ｓ) ｙ∋りに対し，Z，はこのような表現のどれかに現われ‘る.  ∵Z70Eｙがこのような表現に現われなければZ･oはびの線形結合で，びの各元はZ･oに等 しくないｙの元の線形結合になる．      へ  よって，z･o＝ｈ･o＝rlz･1十…十7･tVtでzj,≒z･o(≪'=l,--･り)これはｚの元z･oがｙの線形結合 として２通りに現わされることになり，ｙの基底性に反する．よってｙ∋りに対しびの少 なく共一つの元z4が存在してl t4の表現の中にz･が現われる．そこで，このようなz4の一 つをとり, <p(v)=uとおけばｙからびの中への一意写像9)が得られる．  ぴ= 9{V)とおき筑＝伸一1(が)￨ｕ’ｅＵ’＼とする． ぴ∋M/,M2リこ対し, ≪l'≒m/ならば?'-'(≪>')∩9'-'(≪2') =φ七ぴ∋がに対し９-1(が)の元の 数はzjの表現に現われるz･の個数を越えないから有限である．集合ぴと集合91は対等で ある．集合91は無限集合ｙ,の互に素な有限集合への分割を与える．基数の理論から   ＿＿     ＿       ＿    ＿ f=5l=ひ．よってr≦ぴびとｙを入れかえて考えればび≦r. ∴u=f.だからＸの 基底の基数は一定になる．この基数をＸの次元という．  例，実係数の多項式の全体Ｒ[Z]は実数体Ｒ上の可付番次元ベクトル空間である． 基底は (1,<,…>f >…}  第二章 無限行列 (1)無限行列の定義  尺を体, R, Sを任意の集合とする．       卜 j?∋vr, S∋りに対しα．．∈尺となる尺の元の組(らμ∈R,seS)をA= {ar.,,reR!,seS)又 は単にA= {ars)で示しy1は(R,S)形の行列であると呼ぶ．  り?,S)形の２つの行列A={α．．)，Ｂ＝(b，．)において，ji!∋り,Ｓ∋りに対してａ。==hｒ！ｉ tｉ らばy1は召に等しいと云いy1＝召で示す． この相等が同値律を満すことは容易に確められる．文(ら．;ｓES)をｒ行, (ars-.rei?)をｓ 列と呼ぶ･ ≪rjをｒ行ｓ列の元，又は単に{r,s)元と呼ぶ. (2)演算の定義 りi!,S)形の２つの行列A={ar,), B={b，．)に対し，和及び￡の元によるスカラー倍を次式 で定義する･       Ａ十B= {ars十bｒ．)    cA= {cars)

この定義の下に{R,S)形の行列の全体は加法の下にアーベル群となり，更にＸ上のベクト

ル空間になることは有限行列の場合と同様に確かめられる。

零元はｙｒEj?,りＥＳに対し（り）元がＯになる行列O＝（ａ）で零行列と呼ばれる。加法の

逆演算として減法が定義されることは云うまでもない。

 次にA={a。。）を{R,S)形の行列,

B={br。）を（Ｓ，Ｔ）形の行列とするとき積AZjを・

Ｇ,＝Σ恥Å，で定められる(RJ)形の行列Ｃ＝（ら,）で定めようとしても，無限和ら，は一

  ぶeS

         無凛次元線形代数にっjい･で。  ‘（中田）      153 般には確定しないから不可能である。無限和Ｃｒlの項ａ。ｓb。t･においてｓ＝ら…,ｓ≪を除く全 てのｓに対してａ。Ｊ)．t＝Oならばら,＝Σα。ｊ。,＝Σａｒｉｓp，iｔで定まる。しかも加法の順序        ぶes    i-1 に関係しない。 しかしａ。。b。tの中にＯでないものが無限個の時は手の付けようがない。たとえ可算個で￡ が実数体の場合でも絶対収束，条件収束，発散があって複雑である｡ （3）行有限，列有限の行列  行列の各行においてＯでない元が高々有限個のとき行有限であるという。又，各列におい てＯでない元が高々有限個のとき列有限であるという。同じ形の行（列）有限な行列の和差 は行（列）有限である。行（列）有限な行列のスカラー倍も行（列）有限である｡  iR,S)形の行列A=(a。。）及び（Ｓ，Ｔ）形の行列∂＝（臨）において，y1が行有限である か，Zjが列有限であるかの少なく共一方が成り立てばら,＝Σら。ら，においてα。。≒Ｏなるｓ        ses が高々有限個か｡ bｓt≒Ｏなるｓが高々有限個だから恥Å,≒Ｏなる ｓが高々有限個になり Ｃ，iが定義されるから積C=ABが定義出来る。 特にy1βが共に行（列）有限ならば積ABも行（列）有限である。  何となればｙ1βを共に行有限とする。  ﾉ1が行有限だからji!∋ｙｒに対しα。。≒Oなるｓは高々有限個だから了l,…,ｓ。以外のｓに ついてはら・゜Ｏとしてよい。次に召も行有限だから1≦ｙiりzに対し 妬,＝ＯなるＺは 高々有限個しかない。このＺを各ｓ，に対して拾い集めれぱ≫i)'")^m以外のＺに対しては １・町≦ﾀzに対し1･。。＝OIとしてよい。  さてら,＝Σα。φ。,＝ΣαΓＳｉ^Sjlであるがf＝ら‥,リ。以外ではCrt =･OiになるからC=ABは       seS    i-1 行有限になる。共に列有限の場合も同様に証明される。  定理⑥ﾉ1βがり?,S）形の行列，Ｃが（Ｓ,Ｔ）形の行列とする. A,Bか共に行有限である か，Ｃか列有限であれば       （y1十B)C=AC十ZjCが成り立つ｡  ⑧y1 が (R,S)形の行列，Ｂ心か（Ｓ，Ｔ）形の行列とする。４が行有限であるか，･β,Ｃが 共に列有限であれば       A(B十Ｃ）＝ＡＢ十y1Cが成り立つ｡  ⑩y1が{R,S)形の行列，ZjがiS,T)形の行列，ＣがiT,Q)形の行列とする. A, Bが 共に行有限であるか，y1が行有限でＣが列有限であるか, B,Cが共に列有限であれば       (AB)C=A(ＢＣ）が成り立つ。  証明，⑥，⑧は簡単なので省略する｡ ○の証明. A={α。。), B=(b，。），Ｃ＝（ｃ.。）とおく。  ，  （場合!) A,Bが共に行有限のとき ｙ1は行有限だからりEji!に対しα。。≒Oなるｓは高々 有限個である･乱…,ｓ。以外の幻こ対してα。ｓ＝Oとする。 召も行有限だから１≦町≦ﾀzに対しbsit≒OなるＺは高々有限個だから，このＺ,を各ｓiに 対し拾い集めてら…,z。以外のｚに対しては11ｙi￡ﾀzに対しbsi, = Oとする.  AB= (hrt)とすればｈｒｔにＨａｒｓｈ，り゜Ｓ＜Ｊｒｓibｓμｊそして11,･‥,z。以外のｚに対しては fl，。=0 {AB)C=={０，ａ）とすれば

154 高知大学学術研究報告 第22巻  自然科学  第8号       ｌｅｘ心９゛ ;§ｈｒりｃりｑ°?AS       ゜,=1 .=1りｊｃりｑ ＢＣ＝(feｓａ)とすればｆｅｓｊｑでＴｌｂｌｊｌＣｌｑ°-T.bs,tjCりｑ         ∧ ボBC) = (Zr,)とすれば       へ ･こ ‥      ●， ７’‘7≒気心’‰゜,-1‘ヰΞ心’‘ぶ収ゾり９卜jUぶらみμ戸戸   二六十  。 ／       ●       ●●         '   ，  １ ゛     ･● Ｉ ｀ ●‘ ；｡。       ∴(AB)C = AiBC)     ･，      へ  ･･ 。≒  ，∧。 (場合2)Ａが行有限でＣが列有限のときy1は行有限だからり∈尺に対しα。。≒Ｏなるｓ は高々有限個である･ 斗…,ｓ。以外のｓに対してはα。。＝Ｏとする。又，Ｃは列有限だから， Ｑ∋りに対しＱ９≒Ｏなる川ま高々有限個であ=るレよ。･･,ら。以外の川こ対し七はc,t = Oと する｡  λzj°(臨)とすれば/z。り=;Eα。あり＝？゛･■sibsiり {AB)C={Ｏｒａ)とすれば ･ｙlt･      Orq ―ilhrtC・９°■IZhrりｃ，.．°拓9Aμｒｊｉｂｊｉｔｉ)ＣtｊＯ=ぶIlcirsMりｃ,μ 召ｃ＝(k.ｑ)とすればｋｓｉｑl？りＣｔｇ― "llbsjtjCtjg    ‥プ， ’ l   ’ t A{BC)==iZr9)とすれば      ／    ●      ，｡       ÷    ●  ● ● fl        呵     卵   ｍ･      ﾀｌ ｍ        ７’゛IEらし゜ぷ￨らiゐ゛゜ぶ￨“りＳ妬ぴり９)・=Eぶらみ。戸戸        ∴(/4β)C=A{ＢＣ)      ご (場合3) B,Cが共に列有限のとき場合１と同様な方法で証削出来る。       '丿･  (R; R)形の行列を特にＲ次の正方行列と呼ぶ。り?;S)形の行列において; ￡とＳが同 じ集合でなくても，ＲとＳが対等な集合ならばＲ次の正方行列と見倣せる. Ｒ∋vr, sぼ対じ，ｌａ。,= l(r=sのとき)   ｀∂。＝Ｏ(ｒ≒ｆ=の'とき) とおいたクロネッカのデルタで作られるj?次の正方行列￡・・(恥ｓ)をＲ次の単位行列と呼び 区別の必要なときはＥｒで示す。単位行列は行有限でら列有限でもある. A=(α。。)がり?,Ｓ) 形の行列のときＥ鯉 (4)行(列)有限正方行列環  ヽ    ″ '   ヶ  行(列)有限なＲ次の正方行列の全休は今迄の堺論から環をなし，単位行列が乗法の単位 元になる。       二 今y1＝(α，。)，Ｂ=(b≪)を次の様す&Ｒ次の正方行列とする. r., r.を石!の２つの異った元と する｡        αΓ1ｒ1°1， ゛'≒ｒ1又はぶ≒ｒ1ならば恥。＝O･        ゐ・1ｒ2°1･ ゛≒゛'1χはぶ≒゛2ならば恥ｓ＝0 このときλ∂は(ｒ1,ｒ2)元がＯｒ,ｒ,bｒ,ｒ,＝1で他の元がＯになる行列になり，又BA = Oで

         無限次元線形代数についで   (中田)      155

あ｀る..,し．．．

このことから行(列)有限の正方行列環は非可換で零因子をもつ．だから整域にはならない．

 行列y1に対し･凡4＝￡なる行列Ｆが存在するとき，Ｆを/1の左逆行列という．

 又ＡＧ＝￡なる行列Ｇが存在するとき，Ｇをﾉ1の右逆行列という．１

 行列y1に対し，jむ1＝ＡＨ＝￡なる行列瓦が存在するときj7をｙ1の逆行列という．

 行列y1には左右の逆行列が片方又は両方が存在したり，しなかったりするかも知れず，存

在しても一意的でないかも知れない．しかし次の定理が成り立つ．   ア

 定理，行列y1に左右の逆行列が存在すれば，一意的に逆行列が存在‘し，全ての左右の逆行

列は逆行列に等しい．

 証明は有限行列のときと同様なので省略．

 例, A={ar,),

B=(b，．)．を次の行列とする.

ri,r2をＲの異った元とする.

 αΓlｒ2°ar,r^°

15αΓ1ｒl°αΓ,.,=0,

aΓｊ°2∂ｒｆ(ｲ也の場合ドl' ぐ

 br,r.°&ｒ2ｒ1°

15 1'ｒlｒl°&ｒ2ｒＪ０１

 bｒｓ=^S，.(他の場合)

とするときAB

=ＢＡ＝￡が容易に確められ，ふ召は互に他の逆行列．

 例，自然数の全体Ⅳに対し.

A={Ｑｍｎ)，召＝(bm。)を次のＮ次の正方行列とする．

一贈爪ば討Ｏ一忖(帽混日談

AB=(c。,s)とおけぱじ。s。＝Σａｍｈｈｈｎ＝α。,。+lbn･キ1･ま1         1       jeｙ       ， よってｎ=ｍ･ふらばら。。＝1        7z十田ならばら。,＝０        ■-    ■       丿        ● ｆ 。 ●  即ちＡＢ＝￡である。だからy1は召の左逆行列，Ｂはy1の右逆行列である.  ＢＡ千，(ｄ。ｓ。)とおけばjl。＝Σ61μz。,＝O        ＼   ｡・        ｆｃｅＮ         ・    ● ●        附き２のときｄ。。,＝Σ&。ゐみ。＝&。｡。_1α。_1。,＝δy？･ttn   ，   ｡.        Ｎｅｂ  だからＢＡ≒Ｅ   これより/1は左逆行列をもたず，召は右逆行列をもたない。  第三章 線形写像と行列の関連       ・・ (1)線形写像      ‥●  Ｘ;ｙ･をそれぞれ体‘ＫのＵ，Ｖを基底とするべ･クトル空間とする． Ｘからｙの中への写像／は次の性質を満すとき線形写像であるという．  Ｘ∋り,ｘ'に対し /(エ十ず)=/(エ)十fix')  甘∋り，Ｘ∋りに対しfiax) =が(エ) Ｘ∋゛ｚに対しエ＝ΣａＪ＝Σαりりとすれば    ･‥          ｕｅＵ  ｉ−1         /(ｘ)＝/(Σ(z。,zり)＝Σ(z。,/(m.) =Σauf{u)       i=1   ・,=1    ，z4∈び      ●●   一一･ だからぴの各元の像を定めれば，Ｘの各元の像は定まる．         Ｕ３Ｖｕに対しバｇ)＝ΣらＪとする.       veV      ・ 但しα。≒Oなるz･は高々有限個しかない。ぞこでＸからｙの中への任意の線形写像／ に対して，行有限な(び,ｙ)形の行列(α。)が対応する。

156      高知大学学術研究報告 第22巻  自然科学  第８号

逆に行有限な(び,ｙ)形の行列(&。)に対して,

giu) =Σ恥μ･によって線形写像か定義出来

       i    ・∈●ｙ

るから，Ｘからｙの中への線形写像と(び,ｙ)形の行有限行列との間に１対１対応がつく。

 定理，線形写像Ｆに対応する行列をA={ら。)とすれば

       Ｘ∋゛エ＝Σαぷに対し/(エ)＝ΣβＪとおけばβ。＝Σａｕｄｕｖとなる.

       Ｕｅぴ         vpV       ， S4∈び

 証明，ｘ＝Σαぶ＝Σａ-ｕMiとすれば

      ｇｅび  i=1‘      f

      酋         ゛ -I

       /(“‘)こ乱亀

｢憚叫りり     １

ｊの番号は必要ならば係数にＯを含ませて，ｉの各番号について共通にとれる｡

       ∴fix)ニぶ(≒/(“i)゜ぶ゜“.･g≪“‘りり)Ｉ

      ゜S(Sa・,‘2・iり)り＝ぷβりり

とおけばβ・ｉ＝聊“ｉａ“ｉｕｊｌＪ!= ｕ瓦“ａ“り     ぺ

z･1,…,ひ。以外のz･についてはβ。＝石から。は左右両辺共にＯとして成り立つ｡

(2)線形写像と行列の演算

 線形写像／，ｇにそれぞれ行列A={a。),B={bぷが対応し七いるとする｡

/(“)で瓦αμ,■=1りり･g{u)=i:ﾀＪづEらjり必要ならば係数にＯを含ませ，ｊの番号は

y;ｇ について共通にとれる。

(/十g) (m) =Ea≪りり十jE&，りり=,E(らり十＆り)り=IJびら，干&。)zJ

ら…,ら以外のz･については係数かＯで成り立っている

 これより線形写像/十ｇには行列y1十ａが対応する．

又･尺り'いこ対し'((び)(“卜好(“卜弓β“μ>

= S {dauv)Vとなるから，線形写像α/に

は行列αy1が対応する．

 定理, X,Y,Zはそれぞれ体尺上のび,

v,wを基底とするベクトル空間とする．又／はＸ

からｙの中への線形写像，ｇはｙからＺの中への線形写像とする.ｊｇに対応する行列が

Ａ,Ｂならば，＆ｆＶｉは行列j4∂が対応する． ‥． づ

 証明, A= (≪,≪),

B= {bvw)とする．

/(≪)でJ;ら。zﾉ≡尽ら♂i， ｇ帆)こ2iﾀ≪,iuM･=1

Fト・ｊ゛j jの番号は必要ならば係数にＯを含ま

せることによりｉの各番号について共通にとれる．

(ｇ/)(z4)==;Eα。4E&ｌ。jり,=1 ,="1。,)Wj =E (E auvbv。)ｇ ここにz･がVi,--･,z･。，以外ならばらt,＝Oで，z，がz･1,…，;Ｕｍのどれかに等しく，a7がWi,…,ａﾉ。

         無限次元線形代数，につ･いて   (中田)      157 以外ならばbvu, = Oだから線形写像ｇ/には行列AB={Σ気山．)が対応.        I/6K      . (3)全射，単射，全単射と行列の関係  補題，Ｘｙはそれぞれ体￡上のび,ｙを基底とするベクトル空間とする．／はＸからｙ の中への線形写像とする．  ⑥／が全射である為の必要十分条件はf9 = lY {Yの恒等写像)となるｙからＸの中へ の線形写像９が存在することである．  ⑧／が単射である為の必要十分条件は^f=Ix {Xの恒等写像)となるｙからＸの中へ の線形写像ψが存在することである．  ○／が全単射である為の必要十分条件はμ＝ＩＹ，ef＝iｘとなるｙからＸの中への線形 写像∂が存在することである．  証明⑥／が全射と仮定する． だからｙ∋りに対しZ･はｙの元だからバズ)＝Z･となる.Ｘの元Ｚが少なく共一つ存在す る． このようなエの一つをとり９(Ｚ･)＝Ｘと定義すれば当然(μ･)(ひ) =f{x) =t･  線形写像ｙはｙの各元に定義出来れば当然ｙの各元に定義される．  ｙヨり＝βIZ･1十…十βμ･．に対し  if9) {y) =ハβタ(喝)十‥･十β．ら(ら))＝β,(邱)(Z･1)十‥･十β．(/９)(ら)＝βみ…十β,み,＝タ  よって９は題意の線形写像である．逆は簡単なので省略する．  ⑧,ｙが単射と仮定する． このとき/(び)は線形独立になる.  ∵/(び)∋V(≪l)>…,/(≪。)に対しai/(≪i)十…十o≪/(≪≪) =0ならば/(cilMi +…十両。z４。)＝0 /が単射だからOiMi十…十a≫￨Mm = Oびが基底だからα1＝…=a≪ = 0そこでｙの基底ｙを y=/(M) u wにとれる．  そこでバび)∋゛バz4)にやけ(≪)}=≪と定義すればz4は一意に定まる．又Ｗ∋ｙz4･に対 してはψ(ω)は全く勝手にＸの元を一つ定める，このようにしてｙからＸの中への線形 写像ψが定まる.  ｘ∋ｙｚ＝αlz41十…十OLmUmに対し (喩/)(エ)＝φ･(a,/(M,)十‥･十Omfiu,。))=ai(V^/)(≪.)十…十dmi-^f) (Mm)=aiMi十‥･十α。≪m=*  だからψは題意の線形写像になる．逆は簡単なので省略.  ○/が全単射と仮定する．       タ＝7ｙかつ'^f=Ix ｙ∋りに対し9{y) = {lx<p){タ)＝{(φ/)９}(ｙ)＝{ψ(/９)}(ｙ)＝(巾IY)(タ)＝ψ(タ)  よって95 = i/r=∂と考えればよい． 逆は簡単なので省略  定理，補題の仮定の下に／に対応する行列を/1とするとき  ⑥／が全射である為の必要十分条件はFA=Evとなる(ｙ,び)形の行列Ｆが存在するこ とである．  ⑧／が単射である為め必要十分条件はλＧ＝Ｅｈとなる(ｙ,び)形の行列Ｇが存在するこ とである．  ｃ ／か全単射である為の必要十分条件はHA = Ev,ＡＨ＝Ｅｕとなる(ｙ,び)形の行列j7 が存在することである．  証明，補題と線形写像に行有限行列が１対１に対応することから明らかである．  系，特に／が行列y1が対応するベクトル空間Ｘ内の線形変換ならば

158         高知大学学術研究報告 第22巻  自然科学  第８号  ⑥／が全射であるための必要十分条件はy1が左逆行列をも゛つことである．     ゛'  ⑧／が単射であるための必要十分条件はj4が右逆行列をもつことである．        ●･    ゛  １ '   ，ゝ  '．゛，  ○／が全単射であるための必要十分条件はy1が逆行列をもっことである． 圃 全射，単射，全単射の存在と次元の関係      ．'  定理Ｘ,ｙはそれぞれ体尺上のび,ｙを基底とする線形空間とする．        ●        Ｉ     Ｉ ●● ． ●   ●“       ｊ゛   ｀  ⑤Ｘからｙの中への全射線形写像が存在するための必要十分条件はＸの次元がｙの次 元より小さくないことである，  ⑧Ｘからｙの中への単射線形写像が存在するための必要十分条件はＸの次元かｙの次 元より大きくないことである．  ○Ｘからｙの中への全単射線形写像が存在するための必要十分条件は両者の次元か等し いことである．      '  証明⑥前節の補題⑥よりＸからｙの中への全射線形写像／が存在すればμ＝人･と なるｙからＸの中への線形写像９が存在する．又補題⑧よりyﾝは単射である．  Ｘ⊃<p{V)∋^9'(i'.).…,９(ら)に対しβぶ(○十…十βn<PM=Oならば９(β1z･1十…十βＪ。)＝0 が単射だからβlz･1十…十βＪ。＝O. ｙが基底だからβ1＝…＝β≪=o.よって<p{V)は線形独立       − になる．だからび⊃9{V)としてよい．９をｙからぴの中への単射と考えればr≦び  逆の証明は簡単なので省略.  ⑧前節の補題⑧よりＸからｙの中への単射線形写像／が存在すれば  /(び)∋ｙバ哨),…,/(≪m)に対しａげ(簡)十…十α．ﾀﾞ(Mm)=Oならば/(aiMi十…十ａ。i!4。ｔ)＝0 /は単射だからCtiMi十…十ａ。μｍ＝O びが基底だからα1＝…＝α．,＝0     .  だから／(び)は線形独立になる．よって／(び)⊂ｙとしてよい．  ／をびからｙの中への単射と考えればぴJ7    "  逆の証明は簡単なので省略，     − 一    一  ○r・ぴかぴ１ｒだからひ＝ｒとなる． 系，体￡の元で出来た{R,S)形の行列j4に対し   '       ，.  R FA=Esとなる(S,R)形の行列Ｆが存在すればR^B.である.  ⑧AG =Ｅｒとなる(S,i?)形の行列Ｇが存在すれば菱￡gである．  証明，それぞれの次元のベクトル空間を作り．線形写像に対応する行列を考えて，定理から 導かれる．       文

［工］N, Jacobson.“Lecture on Abstract Algebra” 2. DI］日本数学会「岩波数学辞典」         ＝

献