線形代数 II 演習
担当 丹下 基生：研究室(B622) mail([email protected]）
第
3
回（’13年10
月23
日：Keyword· · ·
基底）[基底]· · · ベクトル空間Vの元{v1,· · ·,vn}であってV上で一次独立であり、任意のベクトルv∈Vがこれらのベクト
ルの一次結合でかけるもの．
[標準基底]· · · 数ベクトル空間Cn上のei=t(0,· · ·,0,1i,0,· · ·,0)となる基底のこと．
[有限生成ベクトル空間]· · · ベクトル空間Vが、あるベクトル{w1,· · ·,wm}が存在して、任意のv∈Vがその一次結 合でかけること．つまり、V=⟨w1,· · ·,wm⟩となることと同値．
[基底の存在]· · · 有限生成ベクトル空間には必ず有限個の基底が存在する．
[次元]· · · 基底の数のこと．
[連立方程式を解くこと]· · · 斉次連立一次方程式の解法は解空間{Ax=0}の基底を求める方法．
[一次関係の成すベクトル空間]· · · ベクトル空間Vのベクトル{a1,· · ·,an}の一次関係全体のベクトル空間は{t(x1,· · ·,xn)∈
Cn|x1a1+· · ·+xnan = 0}であり、数ベクトル空間の部分空間とみなされる．Vが数ベクトル空間である場合、Aを
A=(a1· · ·an)なる行列とおくと、{{a1,· · ·,an}の一次関係全体}={Ax=0}=Ker(LA)
[ベクトルの一次独立性]上記において特に、{a1,· · ·,an}が一次独立⇔Ker(LA)={0} ⇔rank(A)=n
A-3-1. [一次独立性の判定]
次のベクトルは一次独立か、一次従属か判定せよ．
(1)
1 0 2
,
1 1
− 2
,
− 1 3
− 6
(2)
1
− 1 2
,
1 1
− 2
,
− 1 3
− 6
(3)
1 0 2
,
1 1
− 2
,
− 1 3
− 6
,
1 0 0
A-3-2. [基底であること]
次のベクトルは
V
の基底であることを確かめよ．(1) V = C
3,
1 2
− 1
,
0
− 3 1
,
0
− 1 1
, (2) V = C [x]
2, { 1 + x , 1 + x + x
2, 1 + 2x
2}
A-3-3. [一次関係のなすベクトル空間]
次のベクトルの一次関係のなすベクトル空間の基底を求めよ．
(1)
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
,
1 1 1
(2)
1 2
− 1
,
3 6
− 3
,
0
− 1 1
（n個のベクトルからなる一次関係の成すベクトル空間は
C
nの部分空間となります．）———————————————————————————————————————————————
B-3-1. [基底]
次のベクトル空間の基底を求めよ．
(1) C
3(2) C [x]
2(3) (m , n) −
行列全体B-3-2. [基底であること]
ベクトル空間
V
において次のベクトルは基底であるか？(1) V = C [x]
2, { 1 + x
2, 1 + 2x + x
2, 1 − x
2} (2) V = { f ∈ C [x]
3| f (1) = 0 }, { 1 − x , (1 − x)
2, (1 − x)
3}
B-3-3. [一次従属性]
数ベクトル空間
C
nにおいて、任意のn + 1
個のベクトル{ v
1, · · · , v
n+1}
は一次従属であること を示せ．B-3-4. [有限生成]
有限生成ベクトル空間の任意の部分空間は有限生成であることを示せ．
B-3-5. [その他のベクトル空間]
数列
{ a
n}
全体集合をC
∞と書く．このとき、{{a
n} ∈ C
∞| a
n+2= 2a
n+1+ 3a
n}
となる集合はC
∞の 部分空間であることを示し、その基底を求めよ．B-3-6. [次元]
次の部分空間の次元を求めよ．
(1)
x y z w
∈ C
4|
2x + y + z − w = 0 3x + 3z − w = 0 3x + y + 2z − w = 0
(2) { f (x) ∈ C [x]
2| f (2 − x) = f (x) }
———————————————————————————————————————————————
C-3-1. [連立一次方程式]
標準基底
{ e
1, · · · e
n}
を次の基底の一次結合で表せ．(1) n = 2 ,
1
2
,
0
1
(2) n = 3 ,
1 1 0
,
1 2 1
,
0 1 2
C-3-1. [基底であること]
次のベクトルはベクトル空間の基底であることを示せ．
(1)
2 0 1
,
3 1 1
(2)
1 1 0
,
1 2 1
,
0 1 2
C-3-2. [表し方の一意性]
V
を有限生成のベクトル空間とし、その基底v
1, · · · , v
nを一つ固定する．このとき、任意のv ∈ V
に対して、v = a
1v
1+ · · · + a
nv
nとなる表し方は一意的であることを示せ．
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第1回の答え
(C-1-1) (1)t(−1,−1,1,0) (2)t(0,1,1) (3)t(1,−1,0),t(1,0,−1) (C-1-2) (1) Ker(LA)={c1·t(1,−2,1,0)+c2·t(10,−7,0,1)|c1,c2 ∈C}
(C-1-3) 任意のv,w∈V, α∈Cに対して、v+w∈V, α·v∈Vを確かめよ．
Ax=bを満たす元x全体が部分空間徒なるとすると、Av=b,Aw=bを満たすとすると、A(v+w)=bを満たさな ければならない．一方b=A(v+w)=Av+Aw=2bを満たす．ゆえに、b=2bが成り立つので、b=0が成り立つ．
