数値シミュレーションによる異材接合体の特異応力場の強さの算定

日本機械学会 2014 年度年次大会 [2014.9.7－10]

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[No.14-1] 日本機械学会 2014 年度年次大会講演論文集 〔2014.9.7－10，東京〕

W042007

数値シミュレーションによる異材接合体の特異応力場の強さの算定

（Akin の特異要素を用いた三次元応力解析）

倉橋 貴彦 ^*1 ，近藤 俊美 ^*2 ，古口 日出男 ^*1 Computation of intensity of stress singularity for bonded structures

based on numerical simulations

(Three dimensional stress analysis using Akin singular element) Takahiko KURAHASHI ^*1 , Toshimi KONDO and Hideo KOGUCHI

*1

Takahiko Kurahashi Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata 940-2188, Japan

In this study, we present stress singularity analysis using three-dimensional Akin singular element. In case that Akin singular element is employed, it is necessary to know order of singularity before stress analysis. However, in case of three-dimensional model, it is not easy to obtain order of singularity comparing to 2-dimensional model. Therefore, a finite element eigen analysis is applied to obtain order of singularity in 3-dimensional bonded structure model, and the obtained order of singularity is applied to Akin singular element. This analysis is frequently applied to obtain 3-dimensinal order of singularity. Consequently, it was found that order of singularity obtained by least square approximation is close to that obtained by the finite element eigen analysis comparing to that in case of normal element.

Key Words : Akin Singular Element, Stress Analysis, Intensity of Stress Singularity, Dissimilar Material Joints, Order of Singularity, Finite Element Eigen Analysis

1. は じ め に

異材接合体の界面端近傍における応力分布は界面端からの距離の指数乗に比例する特徴があり，古くから研究 が行われている(Williams, 1959)．一般に，異種材料の接合体の界面端近傍における応力の値を有限要素解析等に より求める場合，メッシュを細かくするに伴い応力の値が上昇するため，界面端近傍において解析条件により異 なることのない破壊に対する評価指標の一つとして，特異応力場の強さに関する研究が行われている(Kurahashi, et al., 2012).この破壊判定指標は、電子部品内部の金属片と樹脂の接合部分における破壊強度の判定等においての 利用が考えられている．これらのことを踏まえ我々の研究グループでは，エレメントフリーガラーキン法 (Kurahashi, et al., 2013).有限要素法(Attaporn and Koguchi, 2009)および境界要素法(Koguchi and Antonio,

2010)(Kurahashi, et al., 2012)(Koguchi, et al., 2012)等を用いて応力特異性の解析を行っている．き裂先端または異種 接合材料の界面端上の端点における応力拡大係数を数値解析により求める場合，多くの節点をそれらの周りに用 意する必要がある．そのため，多くの研究者が特異要素(Akin, 1976)(Georgiou, et al., 1989)(Wang, et al., 1997)(Meshii and Watanabe, 2002)(Ong and Lim, 2005)(Guzina, et al., 2006)やエンリッチ要素(Pageau and Bigger, 1997)(Luangarpa

and Koguchi, 2013)に関する研究を行っている． Guzina らは 3 次元境界要素法(Guzina, et al., 2006)を用いて特異要素

における形状関数の次数や

解析モデルの節点数を変えた場合に対する応力拡大係数の値の変化について研究をしている.また， Ong らは三次

*1

正員，長岡技術科学大学 機械系（〒940-2188 新潟県長岡市上富岡町 1603-1）

E-mail: [email protected]

元境界要素解析に基づいたポテンシャル問題に関して特異線と端点に関する特異要素の開発を行った(Ong and Lim, 2005).どちらの文献においても，特異要素を用いた方が従来の要素に比べてより良い結果が得られるという ことがわかる．有限要素法による解析では， Akin や Wang ら，また Meshii らがき裂先端周りの特異要素を提案し ている(Akin, 1976)(Wang, et al., 1997)(Meshii and Watanabe, 2002).また，Georgiou らは有限要素流れ場解析における 特異要素に関する研究を行っている(Georgiou, et al., 1989)これらの論文では，対象とするモデルは 2 次元であり，

3 次元モデルに対して特異要素を適用した研究についてはあまり例を見ない．

以上に示すことを踏まえ，本研究では，Akin により提案された特異要素に着目し，3 次元モデルに拡張し，異 種接合材料に対する特異要素の適用可能性を調べる．異種接合材料としては，アルミニウム-軟鋼接合モデルを取 り扱う．また，特異性のオーダは 2 次元においては Bogy により提案された方法により得ることが可能であるが

(Bogy, 1971),3 次元モデルにおける特異性のオーダを解析的に得ることが困難であるため，3 次元モデルにおける

特異性のオーダを数値的に得ることが必要となる．そこで本論文では，文献(Yamada, et al., 1979)(Pageau and Bigger,

1995)(Koguchi, et al., 1998)に示される数値解析手法を用いて，3 次元モデルに対する特異性のオーダを求める．こ

の定式化は圧電材料の接合モデルにも拡張され幅広く適用されている(Koguchi and Ukisu, 2008)(Islam and Koguchi,

2010).本論文では，3 次元モデルに対する特異性のオーダを Akin の特異要素に適用し，通常の四面体要素の場合

と特異要素使用時における応力分布の比較を行い，得られた応力分布より特異性のオーダおよび応力特異場の強 さに関する考察を行う．また，3 次元特異性のオーダ λvertex を使用した Akin 特異要素がひずみ，応力に関して

r

の特異性を有することを証明する．また，本研究では，特異応力場において界面上の角度方向に対する特

異応力場の強さに対する考察も行う．

2. 三次元特異性のオーダを用いた Akin 特異要素による有限要素応力解析 有限要素法における四面体一次要素の形状関数は式(1)のように書くことができる.











     





1

1 , N , N , N

N ^（1）

ここに, N

，N

，N

，N

は形状関数を示し， ξ ， η ， α は体積座標を示す.この形状関数にはそれぞれの形状関 数の総和は 1 になるという特徴がある.この関係を満足するように，Akin は形状関数の特徴に基づき，二次 元領域における特異場の応力分布を表す特別な特異要素を提案した(Akin, 1976).この考え方に基づくと三次 元領域における Akin の特異要素を用いた形状関数は式(2)のように示すことができる．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 











 













  







  







   







, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, , 1 1

4 4

3 3

2 2

1 1

R SN N

R SN N

R SN N

R SN N

（2）

ここで, 式(2)において ξ-η-α 座標系の原点が特異点に一致するように定義し，関数 R は式(3)のように表す.

   N 

 

R  ,  ,   1 

     

^（3）

式(3)において,パラメータ λvertex は界面端角部における特異性のオーダを示している.一例として，λvertex

=0.50 の場合における四面体一次要素と Akin の特異要素の形状関数の分布を示すと図 1 のようになる.

Linear tetrahedron element

Akin Singular Element （ in case of λ=0.5 ）

N

N

N

SN

SN

SN

N

SN



1 2

3 4







1 2

3 4







1 2

3 4







1 2

3 4







1

2 3

4







1

2 3

4







1

2 3

4







1

2 3

4





Singular point





 

 11

N N2 N3

) , , (

) , , (

1 1 ¹

1 





 R SN   N

) , , (

) , ,

2(

2 





 R SN N

) , , (

) , ,

3(

3 





 R SN N

 4 N

) , , (

) , ,

4(

4 





 R SN N

Singular point Singular point Singular point

Fig.1 Comparison of shape function in ξ-η-α coordinate system

3. 三次元特異応力場の強さに関する検討

解析モデルとしては，図 2 に示すアルミと軟鋼の接合モデルを対象とし特異応力場の解析を行う．材料 定数を表 1 に示す．本論文では，特異点の要素の大きさを変えることにより，代表最小メッシュ幅Δhmin と特異性のオーダ λvertex の関係および代表最小メッシュ幅Δhmin と応力特異性の大きさ K

の関係につい て調べる．それぞれのケースに対する節点と要素の総数，最小メッシュ幅Δxmin，Δymin，Δzmin および代 表最小メッシュ幅Δhmin を表 2 に示す．Δhmin はΔhmin=(ΔVmin)

=(ΔxminΔyminΔzmin /6)

により計算 される値であり，ΔVmin は最小要素体積，Δxmin，Δymin，Δzmin は x，y，z 方向に対する最小メッシュ 幅を示す．また，三次元モデルに対する特異点付近の特異性のオーダ λvertex は有限要素法に基づく固有値 解析を行うことにより，λvertex =0.121 と得られる(Yamada, et al., 1979)(Pageau and Bigger, 1995).

Tab.1 Material properties

Young’s modulus E(GPa) Poisson’s ratio ν

Mild steel (material 1) 216.00 0.30

Aluminium (material 2) 69.09 0.33

Tab.2 Material properties

Case Δxmin=Δymin Δzmin Δhmin Nodes Elements

1 0.010 mm 0.010 mm 0.008 mm 95,609 437,760

2 0.027 mm 0.028 mm 0.015 mm 62,515 285,120

3 0.031 mm 0.031 mm 0.022 mm 28,707 129,024

4 0.063 mm 0.063 mm 0.043 mm 8,449 36,864

Material 1 (Mild steel)

Material 2 (Aluminium)

3mm

3mm

1mm 1mm σ

=10MPa

22 Singular point

Interface edge 1mm

1mm

0.3mm 0.3mm

Uniform mesh division area by minimum mesh size

Δxmin Δymin

Δzmin

Mesh division by tetrahedron element

3 min

min V

h  

 最小メッシュ寸法 Material 1 (Mild steel)

Material 2 (Aluminium) Region of Singular Elements

Stress singularity point

y x z

Interface edge

Fig.2 Finite element model and boundary condition and mesh size of Akin singular element. Fine mesh is generated around singular point, and elements including singular point are treated as singular element.

Fig.3 Comparison of distribution of stress σ

from singular point O in case 1 (θ=90deg., φ=45deg.) Red and blue points indicate results by using Akin singular element and without using Akin singular element. Red and blue lines indicate

curves obtained by least square method.

Fig.4 Relationship between minimum mesh size and order of singularity λ in case of Akin and normal elements. Red and blue points indicate results by using Akin singular element and without using Akin singular element.

Blue line indicates result by finite element eigen analysis.

4. お わ り に

本論文では，有限要素固有値解析により求められた三次元モデルに対する特異性のオーダ λvertex を用い た Akin の特異要素に関する検討を行った．解析モデルとしては，アルミと軟鋼の接合モデルを使用し，界 面端付近の代表最小メッシュ幅Δhmin を変えることにより，特異要素の効果を調べた．本研究により得ら れた知見を以下に示す．

・代表最小メッシュ幅Δhmin を変え， Akin の特異要素と四面体要素において特異点を含む要素における応 力成分σzz の値を比べたところ，Case1～4 では約 2～3%程度増加する結果となった．

・Akin の特異要素に使用しフィッティング曲線により得られた特異性のオーダは，四面体一次要素を使用 しフィッティング曲線により得られた特異性のオーダの値（λvertex =0.121）と比べて，有限要素法に基づく 固有値解析により得られた特異性のオーダ λvertex に近くなることがわかった．

謝 辞

本研究を行うにあたり科学研究費補助金（若手(B)）25820015 および（基盤(B)）26289003 の援助を受けた．こ こに謝意を表す．また，数値計算においては九州大学情報基盤研究開発センタ―における FUJITSU PRIMERGY

CX400 を使用した．センターの方々に合わせて謝意を表す．

文 献

(1) Akin,J.E., The generation of elements with singularities, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.10(1976), pp.1249-1259.

(2) Attaporn,W. and Koguchi, H., Intensity of Stress Singularity at a Vertex and along the Free Edges of the Interface in

3D-Dissimilar Material Joints using 3D-Enriched FEM, Computer Modeling in Engineering & Sciences, Vol.39, No.3(2009), pp.237-262.

(3) Bogy,D.B., Two Edge-Bonded Elastic Wedges of Different Materials and Wedge Angles under Surface Tractions, Journal of Applied Mechanics, Vol.38(1971), pp.377-386.

(4) Georgiou,G.C., Olson,L.G., Schultz,W.W. and Sagan,S., A singular finite element for stokes flow:the stick-slip problem, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol.9(1989), pp.1353-1367.

(5) Guzina,B.B., Pak,R.Y.S. and Martinez-Castro,A.E., Singular boundary elements for three-dimensional elasticity problems, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol.30 (2006), pp.623-639.

(6) Islam,Md.S. and Koguchi,H. ， Characteristics of Singular Stress Distribution at a Vertex in Transversely Isotropic Piezoelectric Dissimilar Material Joints ， Journal of Solid Mechanics and Materials Engineering, Vol.4, No.7(2010), pp.1011-1026.

(7) 古口日出男，村本隆，井原郁夫，角部を有する三次元異材接合体の応力特異性，日本機械学会論文集 A 編， Vol.64, No.618(1998), pp.480-488.

(8) 古口日出男，浮須和輝 , 三次元 FEM 固有方程式による三次元ピエゾ接合体の特異性オーダ解析 , 日本機械学会論文 集 A 編 , Vol.74, No.744(2008), pp.1076-1083.

(9) Koguchi,H. and Antonio da Costa,J., Analysis of the stress singularity field at a vertex in 3D-bonded structures having a slanted side surface, International Journal of Solids and Structures, Vol.47(2010), pp.3131-3140.

(10) 古口日出男，星和久，倉橋貴彦，引張せん断荷重下における単純重ね合わせ継手の接着界面端角部の三次元特異応 力場に対する解析，日本機械学会論文集 A 編 , Vol.78, No.795(2012), pp.1558-1574.

(11) 倉橋貴彦，中島正人，石川晃広，星和久，古口日出男，三次元異材接合体界面端における臨界特異応力場の強さ ( 接

着形状が矩形の場合 ) ，日本機械学会論文集 A 編 , Vol.78, No.794(2012), pp.1382-1399.

(12) Kurahashi,T., Ishikawa, A. and Koguchi, H., Evaluation of Intensity of Stress Singularity for 3D Dissimilar Material Joints Based on Mesh Free Method (Relationship between Interface Width and Intensity of Stress Singularity), International Journal of Mechanical Engineering and Applications, paper number 2200110(2013), pp.28-33.

(13) Luangarpa,C. and Koguchi,H., Evaluation of intensity of singularity for three-materials joints with power-logarithmic singularities using an enriched finite element method, Journal of Computational Science and Technology, Vol.7, No.2(2013), pp.239-250.

(14) Meshii,T. and Watanabe,K., Stress intensity factor error index for finite element analysis with singular elements, Engineering Fracture Mechanics, Vol.70 (2002), pp.657-669.

(15) Ong,E.T. and Lim,K.M., Three-dimensional singular boundary elements for corner and edge singularities in potential problems, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol.29 (2005), pp.175-189.

(16) Pageau,S.S., and Bigger,JR,S.B., Finite element evaluation of free-edge singular stress fields in anisotropic materials, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.38(1995), pp.2225-2239.

(17) Pageau,S.S., and Biggers,JR,S.B., Enrichment of finite elements with numerical solutions for singular stress fields, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.40(1997), pp.2693-2713.

(18) 王樹波,白鳥正樹,于強, Akin 特異要素による異材接合端部における特異応力場の評価, 日本機械学会論文集 A 編,

Vol.63, No.606(1997), pp.322-327.

(19) Williams,M.L., The stress around a fault or crack in dissimilar media, Bulletin of the Seismological Society of America, Vol.49, No.2(1959), pp.199-204.

(20) Yamada,Y., Ezawa,Y. and Nishiguchi,I., Reconsideration on singularity or crack tip problem, International Journal for

Numerical Methods in Engineering, Vol.14(1979), pp.1525-1544.