3.4 複素数と三角関数

基礎数学 No.13 2006. 7.10

3.4 複素数と三角関数

! 複素平面 "

複素数z=a+bi(a, bは実数)と,xy平面上の点(a, b)との対応を考える. この対応によ り,平面上の各点に複素数を対応させた平面を複素平面という.複素平面のx軸を実軸,y 軸を虚軸という.

# $

定理16 (複素平面と共役複素数) 複素数zと共役複素数¯zは実軸に関して対称な点を表 す.またzと−zは原点に関して対称な点を表す.

問題54 −1−4iが表す点Aに対して,次の点を表す複素数を求めなさい.

(1)虚軸に関して線対称な点

(2)実軸方向に−3だけ平行移動した点

(3)原点に関して点対称な点

(4)実軸に関して線対称移動した後,虚軸方向に+2だけ平行移動した点

! 偏角 "

z=a+bi(a, bは実数)について,原点を始点としzを通る半直線と実軸正方向がなす角θ

を,zの偏角（argz）という.このとき, cosθ= a

|z|, sinθ= b

|z|である.

# $

問題55 −1 +√3iの偏角を求めなさい.

定理17 (複素数の積・商と絶対値・偏角)

複素数の積・商について次が成り立つ．

|zw|=|z||w|, arg(zw) = argz+ argw

!!

!z w

!!

!= |z|

|w|, arg"z w

#= argz−argw

問題56 次の複素数の偏角を求めなさい.

(1) (1 +i)(1−√3i)

(2) (−1 +i)(√3 + 3i)

(3) (1 +i)²

(4)

√3 +i i

(5) 1

√3−i

定理18 (極形式)任意の複素数zはr(cosθ+isinθ)と表せる.

ここで,rはzの絶対値|z|,θはzの偏角argz.これを複素数の極形式という.

問題57 次の複素数を極形式で表しなさい.

(1) 1 +i

(2) 1−√3i

(3) 5

(4)−3i

定理19 (ド・モアブルの定理)

(cos θ + i sin θ)

= cos nθ + i sin nθ

複素数の応用(方程式xⁿ=Cの解法) 例:x²= 2i

x=r(cosθ+isinθ)とおく(r >0,0!θ<π).

ド・モアブルの定理より,x²=r²(cosθ+isinθ)²=r²(cos 2θ+isin 2θ) 極形式を考えると, 2i= 2 (0 +i) = 2"

cosπ 2+isinπ

2

#なので,

r²(cos 2θ+isin 2θ) = 2"

cosπ 2+isinπ

2

# よって,r=√2.また, 2θ=π

2,または, 2θ=π

2+ 2π.よって,θ=π

4,または,θ=5π 4. 以上より,x=√2"

cosπ 4+isinπ

4

#=√2$ 1

√2+i1

√2

%

= 1 +i.

または,x=√2$ cos5π

4 +isin5π 4

%

=√2$

− 1

√2−i 1

√2

%

=−1−i.

問題58 次の方程式を解きなさい.

(1)x²= 1−√3i

(2)x³=−i

学籍番号 氏名