波動の合成・干渉ー位相子による計算法ー
波動の干渉と位相子081113.ppt
（目次）
１．純虚数の指数関数に対する オイラーの公式
２．波動関数の複素数表現
３ . Ｘ軸の正の向きに進む平面波の合成・干渉
４．位相子または位相ベクトルによる，波の合成の図解 参考文献等
R. Okamoto, Kyushu Inst. Of Technology
１．純虚数の指数関数に対する オイラーの公式
i 2
e
θcos i sin . i 1 i 1
θ
θ θ
= + ≡ − → = − 実数 に対して
i0
i 2
i
0 e 1
e i
2
e 1
π π
θ θ π
θ π
= → =
= → =
= → = −
オイラーの公式の両辺を2乗して、実数部、虚数部を比較すると、
三角関数の2倍角の公式が得られる！
２．波動関数の複素数表現
( )
( , ) e
exp[ ( )]
[cos( ) sin( )]
Re ( , ) cos( ),
Im ( , ) sin( ).
i kx t
x t A
A i kx t
A kx t i kx t
x t A kx t
x t A kx t
ω φ
ω φ
ω φ ω φ
ω φ ω φ Ψ ≡
− +≡ − +
= − + + − +
→ Ψ = − +
Ψ = − +
正弦波と同様に、余弦関数を用いることができる。そして、進行する 正弦波と余弦波をまとめて、複素数であらわすことができる！
( )
( , ) e
exp[ ( )]
[cos( ) sin( )]
Re ( , ) cos( ),
Im ( , ) sin( ).
i kx t
x t A
A i kx t
A kx t i kx t
x t A kx t
x t A kx t
ω φ
ω φ
ω φ ω φ
ω φ ω φ Ψ ≡
+ +≡ + +
= + + + + +
→ Ψ = + +
Ψ = + +
後退する波も同様に
波動を表すのに、複素数を用いることが便利な理由は、波動方程式が線形である ためである。つまり、波動方程式を満たすある複素数の解があれば、その関数の 実数部と虚数部はやはり波動方程式の解である。
そして一般に、複素数の形で解を求める方が楽なのである！
注意：線形の演算に限り、複素数をそのまま用いてもよいが、波動のエネルギー などを計算する場合には、複素数表示をした変位を単純に2乗するのでは なく、絶対値の2乗、または複素数表示をした変位とその共役複素数をとる 必要がある。
波動を表すのに、複素数を用いることが便利な理由
３ . Ｘ軸の正の向きに進む平面波の合成・干渉
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2
1 2
( )
1 2
( )
( , ) e , ( , ) e
( , ) ( , ) ( , )
e e e
e e
i kx t i kx t
i i i kx t
i i kx t
x t A x t A
x t x t x t
A A
A
ω φ ω φ
φ φ ω
φ ω
ψ ψ
ψ ψ
− + − +
−
−
≡ ≡
→ Ψ ≡ +
⎡ ⎤
= ⎣ + ⎦
≡ ⋅
波数ｋや角振動数ωが同じ２つの平面波の合成・干渉
オイラーの公式を用いて、両辺の実数部と虚数部をそれぞれ比較したりして、
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
sin sin
tan ,
cos cos
2 cos( )
A A
A A
A A A A A
A A A A A
φ φ
φ φ φ
φ φ
= +
+
= + + −
→ − ≤ ≤ +
合成振幅Aの大きさは，合成される2つの波の初期位相の差、位相差で決まる！
４．位相子または位相ベクトルによる，波の合成の図解
1 ( 1cos ,1 1sin 1), 2 ( 2cos 2, 2sin 2), ( , ) ( cos , sin )
tan ,
x y
y x
A A A A A A
A A A A A
A A
φ φ φ φ
φ φ
φ
≡ ≡
≡ =
→ =
JG JG
JG
A
1JG
A
2JG
x y
φ1
φ
2φ
Δ ≡φ φ φ2 − 1A JG
A
1JG
A
2JG
x y
A JG
2 1
φ φ φ Δ ≡ −
位相差Δφ 経路差Δｘ
2 1
x x x
Δ ≡ −
2
( ) 2 ( ) (
1
)
2
x k x kx t
x k
φ π
λ π
ω
λ φ φ π
← Δ = Δ = Δ
=
Δ =
×
−
= Δ Δ
R
位相差 経路差 =(波数） 経路差 波長
位相=
位相子または位相ベクトル
3 つ以上の波の合成も同様にできる！
A
1JG
A
2JG
x y
