2S 複素関数論 標準 H006-1

2S ^{複素関数論 標準} H006-1

担当教員

:

^{浜中 真志 研究室}

:

^理学部

A

^館

327 E-mail:[email protected]

コーシーの積分定理・コーシーの積分公式 (2019 ^年 7 ^月 1 ^日 )

作成日: June 20, 2019 Updated : July 2, 2019 Version : 1.0 実施日: July 1, 2019

準備とウォーミングアップ

例題

1. (

実積分の極限評価

) t >0

とする

.

以下を示せ

. (1) lim

t→∞

∫ ^π

2

0

e^−tsinxdx= 0 (2) lim

t→∞

∫ π

π 2

e^−tsinxdx= 0

【解答】

(1) 0≤x≤ π

2

において

sinx≥ 2

πx

より

0< e^−tsinx≤e^−t2πx.

よって,

0<

∫ ^π

2

0

e^−tsinxdx≤

∫ ^π

2

0

e^−tπ2xdx=−π

2t(e^−t−1).

はさみうちの原理より

, lim

t→∞

∫ ^π

2

0

e^−tsinxdx= lim

t→∞

−π

2t (e^−t−1) = 0

(2) f(x) =e^−tsinx

とおく

. f(π−x) =f(x)

であるから

,f(x)

のグラフは

x = π

2

に関して

対称である. よって,  

∫ _π

π 2

e^−tsinxdx =

∫ ^π

2

0

e^−tsinxdx^t−→^→∞ 0.

複素線積分

(

以下すべて

, z =x+iy (x, y ∈R)

とする

.)

定義

1. (

複素線積分

) C

をなめらかな有向曲線とし

, C :z =z(t) (a ≤t ≤b)

のパ ラメータ表示を持つとする

. (

向きは

t:a →b.)

複素関数

f(z)

の

C

に沿った線積分 を以下で定義する

. ∫

C

f(z)dz :=

∫ b a

f(z(t))dz dtdt

C

1 i

O

例題

2.

単位円

C (

右図

)

のパラメータ表示が

C={

z ∈C | z =e^iθ, 0≤θ < 2π}

であることを利用して

,

次の複素線積分を求めよ

. (n∈Z.

積分路の向きは「反時計まわり」とする

):

I =

∫

C

zⁿdz.

【解答】 単位円上の点を

z=e^iθ (0≤θ <2π)

とおくと

, dz =ie^iθdθ

より

, I =

∫

C

zⁿdz =

∫ _2π

0

e^i(n+1)θidθ=

∫ _2π

0

(icos(n+ 1)θ−sin(n+ 1)θ)dθ= {

2πi n=−1 0 n ̸=−1

問題

1. (円周積分路での複素線積分) n ∈ Z, a ∈ C, R > 0

とする. 積分路を

C = {z ∈C | |z−a|=R}.

としたとき

,

次の複素線積分を

(

コーシーの積分定理・積分公式を 用いずに

)

求めよ

. (

積分路の向きは「反時計まわり」とする

.)

(1) I =

∫

C

(z−a)ⁿdz (2) I =

∫

C

e^z

z−adz (e^z

を

z =a

のまわりでテイラー展開

)

【解答】

(1) z =a+Re^iθ (0≤θ < 2π)

とおく

.

答えは例題

2

と同じ

. (2) 2πie^a

標準

H0-2S19-06

難易度

: C

名古屋大学・工学部

2S ^{複素関数論 標準} H006-2

担当教員

:

^{浜中 真志 研究室}

:

^理学部

A

^館

327 E-mail:[email protected]

コーシーの積分定理・積分公式

定理

1. D

を複素平面内の領域とし

,

その境界を

C =∂D

とする

. (C

は区分的にな めらかな有向曲線とし

,

その向きは

D

の内部が進行方向の左手となるように定めら れているとする.)

f(z)

が

D∪∂D

を含む領域で正則な関数のとき, 以下が成り立つ.

• [

コーシーの積分定理

]

I

C

f(z)dz = 0

• [

コーシーの積分公式

] 1 2πi

I

C

f(z)

z−adz =f(a) a ∈D

問題

2.(コーシーの積分定理の実積分への応用)

各問ごとに図に与えられた積分路と複素関

数を利用して実積分の値を求めよ

.

例題１の結果および

,

ガウス積分の値

∫ _∞

∞

e^−x2dx=√ π

は既知としてよい

. (

図は黒板に記載する

.)

(1) I =

∫ _∞

0

e^−x2cos 2kxdx (k >0). (

ヒント：

f(z) =e^−z2

を図に与えられた周回積

分路

C =AB+BC+CD+DA

で積分する

.

それぞれの区間の線積分を評価し

,R→ ∞

の極限をとる

.

曲線の向きに注意

.) (2) I =

∫ _∞

0

sinx

x dx. (ヒント：f(z) = e^iz

z

を図に与えられた周回積分路

C =AB+C_ε+CD+C_R

で積分する

. C_ε,C_R

はそれぞれ半径

ε,R

の半円弧

.

それぞれの区間の線積分を評価 し

, R→ ∞, ε→0

の極限をとる

.

曲線の向きに注意

.)

【解答】

(1)

は黒板で解説

. (2)f(z) = e^iz

z

を図

(2)

に与えられた積分路

C

で積分する

. f(z)

は

C

の内部で正則だから, コーシーの積分定理より

∫

C

f(z)dz = 0.

半円弧

C_ε

上では

, z = εe^iθ, 0 < θ < π

とおくと

,

∫

Cε

f(z)dz =

∫ ₀

π

e^iεeiθ

εe^iθ iεe^iθdθ =

−i

∫ _π

0

e^iεeiθdθ−→ −^ε→0 iπ.

半円弧

C_R

上では,

z =Re^iθ, 0< θ < π

とおくと,

∫

CR

f(z)dz =

∫ ₀

π

e^iReiθ

Re^iθ iRe^iθdθ ≤

∫ ₀

π

e^{iR(cosθ+isinθ)} Re^iθ iRe^iθ

dθ =

∫ _π

0

e^−Rsinθdθ^R→∞−→^(例題1)0.

以上の結果より

,ε→0, R→ ∞

の極限で

∫ 0

−∞

e^ix

x dx−iπ+

∫ _∞

0

e^ix

x dx+0 = 2i

∫ _∞

0

sinx x dx− iπ = 0.

よって

I =

∫ _∞

0

sinx

x dx= π 2.

(1)

A B

C D

O ik

R -R

(2)

C

C

A B C D

ε R

R -R

(3)

O A

B

4 π

R

標準

H0-2S19-06

難易度

: C

名古屋大学・工学部