複素数（虚数）
記号及び準備
証明を証明する前に、複素数 z と w について次の事実を見てみましょう。 2 = Re (zw) が実数であることに注目すると、それがわかります。この事実は、上記 (1.1) の 4 番目の不等式で使用されました。 。
複素平面と複素数の導入
このように演算(1)～(6)を定義した点の集合R2を複素数の集合と呼び、記号Cで表します。もちろん、点集合としては R2=C です。もちろん、単純な点の集合としても R⊂R2 です (ただし、この場合は四則演算については言及しません!)。したがって、x= (x,0) を通常の実数と同様に扱います。ここで i:= (0,1) を定義します。この場合、 のように一意に表現できます。 x は z の実部と呼ばれ、x= Rez で表され、y は z の虚部と呼ばれ、y= Imz で表されます。また、Imz= 0 のとき、z= (x,0) は上記の意味で実数になります。定義 1.2 と 1.3 が繰り返されます。
前述したように、平面 R2 上の点は複素数とみなすことができるため、この平面 R2 を複素平面と呼び、点が数の性質を持っていることを強調するためにこの記号が使用されます。それは C で表されます。したがって、複素平面上の点は幾何学的点であると同時に代数的数でもあるため、二重の性質を持ちます。特に、平面 C=R2 上の i = (0,1) 方向の線を虚軸 (虚軸) と呼び、1 = (1,0) 方向の線を実軸 (実数軸) と呼びます。軸）。これから、単純に と書くことも可能です。このようにして、冒頭で述べたように複素数を形式的に導入することも、幾何学的に導入することもできます。 。
複素平面上の幾何（図形）
複素数の和またはスカラー乗算 (実数の乗算) を扱う場合、それらは対応するベクトル和またはスカラー乗算として扱うことができます。 P = P(z) を複素数 z=x+yi に対応する点とする。そして、複素数z6=wで表される複素平面上の点をそれぞれP(z)、Q(w)とし、原点をO(0)とする。その間に、。
複素平面上の点α、β、γを頂点とする三角形が正三角形であれば、異なる複素数α、β、γを頂点とする三角形4αβγは、∠γαβ=∠Rとなる直角三角形となる。
複素平面上の直線の方程式
補足
2 つの異なる点 α と β を通る複素平面上の直線の方程式は Im でした。一方、複素平面上の直線の座標は z=x+yi となります。これは、λ と β−α が垂直を意味するベクトルであることを意味します。一方、i(β−α) は β−α に垂直であるため、λ と i(β−α) はベクトルとして平行です。 2) 直線 L は 2 つの方法で表現できます。
複素平面上の鋭角三角形 4A(α)B(β)C(γ) の頂点 C から辺 AB に下ろした垂線の足 H(w) を求めます。 。
複素平面上の三角形の外心，内心，垂心，重心
- 内心
- 外心
- 垂心
- 重心
中心は、各角度の二等分線の交点 (または各辺の二等分線の交点) です。中心は二等分線 B と距離 AD の交点 I(δ) です。現在、BD = 約
複素微分積分学ガイダンス 25
- 多項式関数（多項式で定義される関数）
- 有理関数（多項式の商で定義される関数）
- 指数関数
- 複素領域
- 特殊な複素領域
- 複素数列
- 複素微分可能性
- 複素微分可能関数とコーシー・リーマンの関係式
で定義される関数を有理関数といいます。ただし、 degP ≧ 1 複素数 {zn}、{wn} および定数 c のシーケンスに対して lim が成立する可能性があります。この場合、限界値が存在しない（収束しない）ことになる。 。
継続の鍵は「限界値＝機能値」です。複素関数 f(z)、g(z) および定数 c、α∈Ω の場合、領域 Ω で連続です。 複素関数 f(z) の場合、領域 Ω⊂C で連続です。価値 。
範囲 Ω⊂C の連続関数 f(z) が Ω のすべての点で複素微分可能である場合、f(z) は Ω の正則 (正則関数) と呼ばれます。は、それぞれ x に関する (y に関する) 偏導関数と呼ばれます。つまり、この2つの方向から限界値（同じ限界値）を求めましょう。 。
領域 Ω 内のすべての点で複素微分可能な関数は、正則関数と呼ばれます。は f(z) の導関数と呼ばれます。 z=αにおける微分の値f'(α)を複素微分係数と呼びます。コーシー・リーマン関係が成り立つため、f(z) =z2 は正則関数です。 。
コーシー・リーマンの関係が成り立つため、f(z) =ez は正則関数です。実変数の関数と同様に、関数の和、積、商を微分する公式は複素関数にも適用されます。実数変数で計算しても複素数変数で計算しても結果は同じなので、より単純な方法を使用します。 。
複素積分 41
- 複素曲線の定義と例
- 複素曲線の向き
- 複素曲線の連結
- 複素曲線の長さ
- 閉曲線と単純閉曲線
- 複素線績分
- 定理 4.1 および定理 4.2 の応用
- コーシーの積分公式
- 留数定理
これを逆曲線 C と呼び、-C で表します。この場合、始点は−C = 終点Cとなり、 と表されます。混乱を避けるには、使用する文字数をできるだけ少なくする必要があるため、逆方向 -C を表すには C パラメータを使用することをお勧めします。複雑な曲線 C: z(t) (a≦t≦b) C が閉曲線と出会い、始点と終点以外で交差しないときの単純閉曲線（ジョーダン閉曲線）とは何ですか?
遠く離れた。このとき、D の極限 ∂D は曲線 C です。単純な閉曲線 C の方向は +C で表され、C で囲まれた領域 D を左 (反時計回り) に見た場合、これは正の方向になります。領域Ｄを右（時計回り）に見た方向を負の方向とし、−Ｃと表す。 (一般に、単純な閉曲線 C のパラメーターは、C が正の方向になるように表示されます。この規則に基づいて、C= +C と自動的に仮定できます。)
簡単にするために、複素曲線 C:z(t) (a≦t≦b) は単純な閉じた滑らかな曲線であると仮定します。 C が正の方向を向いているとします。この場合、C で定義された連続関数 f(z) に対して、C の f(z) の積分 (直線) 単純な閉曲線で囲まれた領域 D= (C) 内 C= +C 正則の場合C=∂D の連続関数 f(z) C を xy 平面内の区分的に閉じた単純な曲線とし、C 内の P(x, y) とします。
次に、滑らかな単純な閉曲線 C で囲まれた領域 D = (C) 内の滑らかな単純な閉曲線 C1、C2、.Cn で囲まれた領域を D とします。D の境界 ∂D は、左に移動するにつれて正になります。は D を見ているので、向きを考慮してください。この場合、関数 f(z) は領域 D 内の正則関数であり、境界 ∂ 上で連続です。 D、Z.
複素関数 f(z) は、閉じた円板 |z−α|≦R 上では連続であり、開いた円板 |z−α|< R 上では正則です。それ以外の場合、α を変数 z に置き換えると、複素関数 f( z ) になります。 = 1。
