研究集会 「双曲空間に関連する研究とその展望

研究集会 「双曲空間に関連する研究とその展望

II

」レジュメ

BRAIDS AND NIELSEN-THURSTON TYPES OF AUTOMORPHISMS OF PUNCTURED SURFACES

市原 一裕 (Kazuhiro Ichihara)

奈良女子大学理学部 日本学術振興会特別研究員

(PD) (

茂手木公彦氏

(

日本大学文理学部

)

との共同研究

) 1.

曲面の自己同型写像のニールセン・サーストン分類

本稿を通して、負のオイラー標数を持つコンパクト向き付け可能曲面を

F

で表し、その自己同型写像

(=

向きを保つ自己同相写像

)

を

f

で表すことにする。曲面の自己同型写像に関して、次の分類定理が基本 的である。

定理

. f

は次のいずれかの性質を持つ自己同型写像

g:F →F

にイソトピック。

• (

周期的

)

ある自然数

p

が存在して、

g^p

が恒等写像

id.

に一致。

• (

可約

) F

上に、本質的

1

次元部分多様体

C (i.e.

互いに交わらず、どの

2

本も互いに平行でな く、それぞれが本質的な

(i.e.

ディスクを囲まず境界平行でもない

)

単純閉曲線の族

)

が存在して、

f(C) =C

。

• (

擬アノソフ

)F

上に互いに横断的な測度付き葉層

(F^s, µs),(F^u, µu)

と、ある正実数

λ

が存在し て、

f(F^s, µs) = (F^s,¹_λµs)

、

f(F^u, µu) = (F^u, λµu)

を満たす。

これに基づいて、

f

とイソトピックな

g

が周期的のとき、 「

f

のニールセン・サーストン型は周期型」と いうことにする。同様に、可約型、擬アノソフ型も定義する。

註

1.

周期的かつ可約な自己同型写像は存在する

(

最も簡単な例は恒等写像

id.)

が、一方、擬アノソフ写像 は周期型にも可約型にもなりえないことが知られている。従って以降では、擬アノソフ型の定義を「周期 型でも可約型でもない」と考えても良い。

自然な問題として、ここで考えたいのは

「

‘

穴をあける

’

という操作による

F

上の自己同型写像のニールセン・サーストン型の変化」

である。つまり、次の問題を考える。

問題

1. F

の自己同型写像

f

が

F

上の

n

個の点

x1,· · ·, xn

を（集合として）固定しているとする。

Fˆ=F− (x1∪· · ·∪xn)

、

fˆ=f|Fˆ

としたとき、

f

と

fˆ

のニールセン・サーストン型にはどのような関係があるか

?

特に、

f

を

F

上でイソトープして、次を満たすような

g:F →F

にできるか

?: g({x1,· · ·, xn}) ={x1,· · · , xn}

、 かつ、

Fˆ

への制限写像

gˆ=g|Fˆ : ˆF →Fˆ

は

Fˆ

上で擬アノソフ型。

- r

r r · · · r x1 x2 xn

g g _{· · ·} g

©f ©fˆ

F Fˆ

Date: 2003/12/12（金）, 14：00–14：50. 数理解析研究所.

1

与えられた

f

と

F

上でイソトピックな

g

は、

g= (g◦f⁻¹)◦f

と表せ、さらに、

g◦f⁻¹

は

F

上で恒等 写像にイソトピックであることから、上の問題は、次の形に言い換えられる。

問題

2. F

の自己同型写像

f

が

F

上の

n

個の点

x1,· · ·, xn

を（集合として）固定しているとする。

Fˆ = F −(x1∪ · · · ∪xn)

、

fˆ= f|Fˆ

としたとき、次を満たすような

ϕ : F → F

は（どのくらい）あるか

?:

ϕ({x1,· · ·, xn}) ={x1,· · · , xn}

、

ϕ

は

F

上で恒等写像とイソトピック、かつ、

Fˆ

への制限写像

ϕ[◦f = ˆϕ◦fˆ

は

Fˆ

上で擬アノソフ型。

2. f =id.

の場合

問題

2

に関して、ここでは、最も単純であろう

f

が恒等写像の場合を考える。

以下、

F

上の

n

個の点

x1,· · ·, xn

を固定し、次の集合を導入しておく。

S(F;n) ={ ϕ:F →F |ϕ({x1,· · ·, xn}) ={x1,· · · , xn}, ϕ≈id.onF }

この場合には、問題

2

は、

「

S(F;n)

の元

ϕ

で、制限写像

ϕˆ

が

Fˆ

上で擬アノソフ型になるものはあるか

?

」 と言い換えられる。

この場合の定理の主張を述べるため、いくつか言葉を用意する。

• ϕ∈ S(F;n)

に付随するブレイド とは、

ϕ

から

id.

までのイソトピー

J :F×I→F

を一つ選んだ

時、各

i-

ストリング

t^ϕ_i : I →F×I

が、

t^ϕ_i(s) = (J(xi, s), s)

で定義される

F ×I

内のブレイド

b^ϕ:= (t^ϕ₁(I),· · ·, t^ϕ_n(I), F ×I)

のこととする。

• ϕ∈ S(F;n)

に対して、

ϕ

に付随する閉曲線族

C^ϕ={c^ϕ₁,· · · , c^ϕ_m}

を、

ϕ

に付随するブレイドから 射影

p:F×I→F

で得られる

F

上の閉曲線族と定義する。

• F

上の閉曲線

c

が 原始的 であるとは、

c

が他のどの閉曲線の

p

回巻き

(p >1)

ともホモトピック にならないこととする。

• F

上の閉曲線族

C ={c1,· · · , cm}

、

C⁰ ={c⁰₁,· · ·, c⁰_m}

に対して、

C

と

C⁰

が 同値 であるとは、各 成分

ci

と

c⁰_i

がホモトピック（

i= 1, . . . , m

）であることとする。

註

2. n >1

の時、各

c^ϕ_i

と

t^ϕ_i

が対応するわけではないので、

C^ϕ

と

b^ϕ

の成分数は一致しない。正確には、

各

c^ϕ_i

は、

b^ϕ

の

p((∪ti`)∩(F× {0})) =p((∪ti`)∩(F× {1}))

を満たす、極小部分族

{ti1,· · ·, tip}

に対応 している。

すると、次が得られる。

定理

1. ϕ∈ S(F;n)

とする。

ϕ

に付随する閉曲線族

C^ϕ={c^ϕ₁,· · · , c^ϕ_m}

に対し、

(i)

各成分

c^ϕ_i

が原始的で、かつ、

F

の境界にホモトピックでなく、

(ii)

どの２つの成分もホモトピックでなく、

(iii)C^ϕ

と同値なすべての閉曲線族

C

が

filling

である ならば、

ϕˆ

は

( ˆF

上で

)

擬アノソフ型になる。

この定理

1

の条件は、

n= 1

の場合の、「

f

に付随する閉曲線が

stably filling ([14]

では

essential)

」と いう

Kra

の定理の十分条件の拡張になっている。実際、定理

2

とあわせると、

Kra

の定理の別証明を与え ることもできる。

例

. ϕ

を

S(F;n)

の元で、

Figure 1

で示されるように付随する閉曲線族

C^ϕ

が与えられるものとする。この とき、

C^ϕ={c1}

は定理

1

の条件を満たすことが確かめられる。従って、

ϕˆ

は

( ˆF

上で

)

擬アノソフ型に なる。

また更に、

ϕ∈ S(F;n)

に付随するブレイドを用いると、

S(F;n)

の元の

Nielsen-Thurston

型の完全な 分類が可能となる

(

詳しくは

preprint [6]

を参照

)

。

2

F

x x

1

2

x

₃

f

p(t )1

p(t )₂f

p(t )₃f

Figure 1

3.

既約性

次に、問題

2

に関して、与えられた

F

上の 既約 自己同型写像

f

に対して、

ϕˆ◦fˆ

が、

Fˆ

上でも既約 と なる

ϕ

の自然な条件を書き下しておく。

命題

1. F

の既約自己同型写像

f

が

F

上の

n

個の点

x1,· · · , xn

を（集合として）固定しているとし、

Fˆ =F−(x1∪ · · · ∪xn)

、

fˆ=f|Fˆ

とする。

ϕ({x1,· · ·, xn}) ={x1,· · · , xn}

、かつ、

F

上で恒等写像とイ ソトピックである

ϕ:F →F

に対し、

• xi(i= 1, . . . , n)

をとめたまま

ϕ(f(D1∪ · · · ∪Dk))

と

D1∪ · · · ∪Dk

がイソトピックになるような、

互いに交わらず、各々が

x1,· · ·, xn

のうち少なくとも

2

点を含む、

F

上のディスクたち

D1,· · ·, Dk

は存在しない、かつ、

• xi (i= 1, . . . , n)

をとめたまま、

ϕ(f(A1∪ · · · ∪A`))

と

A1∪ · · · ∪A`

がイソトピックになるよう な、互いに交わらず、各々が

x1,· · ·, xn

のうち少なくとも

1

点を含む、

∂F

の連結成分の正則近傍 であるアニュラスたち

A1,· · ·, A`

は存在しない、

ならば、

Fˆ

への制限写像

ϕˆ◦fˆ

は

Fˆ

上でも既約である。

4.

主結果

定理

2. F

の既約自己同型写像

f

が

F

上の

n

個の点

x1,· · · , xn

を（集合として）固定しているとし、

Fˆ =F−(x1∪ · · · ∪xn)

、

fˆ=f|Fˆ

とする。

ϕ:F →F

を、

ϕ({x1,· · ·, xn}) ={x1,· · ·, xn}

を満たし、

F

上で恒等写像とイソトピックであり、さらに、命題

1

の仮定を満たすものとする。

(1)

もし、

f

が周期写像とイソトピックでないならば、

ϕˆ◦fˆ

は

Fˆ

上で擬アノソフ型。

(2) f

が周期写像で、その固定点が

x1,· · ·, xm (m≤n)

であるとする。このとき、以下のいずれかが 成り立てば

ϕˆ◦fˆ

は

Fˆ

上で擬アノソフ型。

(a) ϕ

が

x1,· · ·, xm

の各点を固定し、ある

`(m < `≤n)

に関して

ϕ(f(x`)) =x`

が成立、

(b) ϕ

が、ある一点

x` (` ≤ m)

を固定し、

ϕ

に付随する閉曲線族の

x`

に対応する成分

c^ϕ_`

が

π1(F, x`)

の元として、

[¯γ∗(f◦γ)]

と表されない。ここで、

γ

は

xk (1≤k≤m)

から

x`

まで の道で、

∗

は道の積を表す。

註

3.

実は、上の定理

(2)

の

m

は

3

以下であることがわかる。

定理

2

は、

2001

年

12

月に研究集会「双曲空間と離散群

II

」で報告した、

F

が閉曲面で

n= 1

の場合 の 自然な拡張になっている。実際、この場合には、命題

1

の仮定は必要ないことが示されるので、次のよう に簡潔に述べることができていた。

3

系

. F

を種数

2

以上の向き付け可能閉曲面とする。

F

の既約自己同型写像

f

が

F

上の点

x1

を固定してい るとし、

Fˆ =F−x1

、

fˆ=f|Fˆ

とする。また

ϕ:F →F

を、

ϕ(x1) =x1

を満たし、

F

上で恒等写像とイ ソトピックであるものとする。

(1)

もし、

f

が周期写像とイソトピックでない

(

つまり、擬アノソフ型

)

ならば、

ϕˆ◦fˆ

は

Fˆ

上で、い つでも擬アノソフ型。

(2)

もし、

f

が固定点を持たない周期写像

g

とイソトピックならば、

ϕˆ◦fˆ

は

Fˆ

上で、いつでも擬アノ ソフ型。

(3) f

がただ

1

点の固定点を持つ周期写像のとき、

ϕˆ◦fˆ

が

Fˆ

上で擬アノソフ型となる必要十分条件は、

ϕ

に付随する閉曲線を

c

としたとき

[c]

が

π1(F, x1)

の元として

α⁻¹f∗(α)

という形に表されない ことである。ただし、

α∈π1(F, x1)

。

系

(2)

、

(3)

の条件を満たす自己同型写像は、確かに存在する。また、

(3)

の条件を満たす

π1(F, x1)

の元 が「非常に豊富である」ことも示せる。

References

1. J. S. Birman; Braids, links, and mapping class groups, Annals of Mathematics Studies, No.82Princeton University Press, Princeton, N.J., 1974.

2. A. J. Casson and S. A. Bleiler; Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston, London Mathematical Society Student Texts,9Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

3. A. Fathi, F. Laudenbach and V. Poenaru; Travaux de Thurston sur les surfaces, Asterisque66-67(1991/1979).

4. J. Gilman; Structures of elliptic irreducible subgroups of the modular groups, Proc. London Math. Soc. 47(1983), 27–42.

5. J. Hass and P. Scott; Intersections of curves on surfaces, Israel J. Math.51(1985), 90–120.

6. K. Ichihara; The space of closed geodesics on a surface, Interdiscip. Inform. Sci.9(2003), no. 1, 23–25.

7. K. Ichihara and K. Motegi; Stably filling curves on a surface, Kobe J. Math.19(2002), 61–66.

8. K. Ichihara and K. Motegi; Braids and Nielsen-Thurston types of automorphisms of punctured surfaces, preprint.

9. Y. Imayoshi, M. Ito and H. Yamamoto; On the Nielsen-Thurston-Bers type of some self-maps of Riemann surfaces with two specified points, Osaka J. Math.40(2003), 659–685.

10. Y. Imayoshi, M. Ito and H. Yamamoto; A reducibility problem for monodromy of some surface bundles, preprint.

11. W. Jaco and P. B. Shalen; Seifert fibered spaces in 3-manifolds, Mem. Amer. Math. Soc.2201979.

12. W. Jaco; Lectures on three-manifold topology, Conf. Board of Math. Sci.43Amer. Math. Soc. 1980.

13. Y. Kasahara; Reducibility and orders of periodic automorphisms of surfaces, Osaka J. Math.28(1991), 985–997.

14. I. Kra; On the Nielsen-Thurston-Bers type of some self-maps of Riemann surfaces, Acta Math.146(1981), 231–270.

15. W. H. Meeks; Circles invariant under diffeomorphisms of finite order, J. Diff. Geom.14(1979), 377–383.

16. J.-P. Otal; Le theoreme d’hyperbolisation pour les varietes fibrees de dimension 3, Asterisque235(1996).

17. P. Scott, The geometries of 3-manifolds, Bull. London Math. Soc15(1983), 401–487.

18. W. P. Thurston; On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc.19(1988), no. 2, 417–431.

19. W. P. Thurston; Hyperbolic Structures on 3-manifolds, II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over the circle, preprint, math.GT/9801045.

630–8506奈良市北魚屋西町 奈良女子大学理学部情報科学科,日本学術振興会特別研究員(PD). JSPS research fellow, Department of Information and Computer Sciences, Faculty of Science, Nara Women’s University, Kita-Uoya Nishimachi, Nara 630-8506.

E-mail address:[email protected]

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