電磁気学

電磁気学

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

電磁波の偏り

6/12

講義分

電磁波

電磁波は、電界

電場

と磁界

磁場

が振動しながら横波として伝搬していくもの

磁界

電界 伝搬方向

電磁波の偏 波

) cos(

)

cos( ₀

0      





 e_x E_x e_y E_y e_x E _x t kz e_y E _y t kz E

) cos(

) cos(

0 0

















kz t E

E

kz t E

E

y y

x x

 0 0 ²

0 0 2

2 0 2

2

0_yE_x E _xE_y 2E _xE _yE_xE_y cos E _xE _y sin

E   

上の 2 つの式から、以下の方程式が導かれる

x-y 平面内に電場ベクトルを有し、 +z 方向に進む平面電磁波は、電場ベ クトルを x 成分 y 成分に分けて考えられ、その和として以下の式で表 される

電場ベクトルの x 成 分と y 成分の間の位 相差

E

H x

y

z k

電磁波の偏 波

0 2 _{0 0}

2 2 0 2

2

0_yE_x  E _xE_y  E _xE _yE_xE_y  E

まず、電場ベクトルの x 成分と y 成分の位相差 φ がゼロの場合を考えると、

 0  0 ²  ⁰

 E _yE_x E _xE_y

従って、電場ベクトルは x-y 平面内に直線状の軌跡を持つベクトル として伸び縮みしながら +z 方向に伝搬して行く。このような電磁 波の偏り方を直線偏波 (linear polarization) と言う。

x x y

y E

E E E

0

 0

よって、

E x

y

z E_x k

E_y

電場ベクトルを含むこ のような面を偏波面と 言う

光では、電界の振動面を「振動面」、磁界の振動面を「偏光面」と呼んでいる

電磁波の偏

次に、電場ベクトルの x 成分と y 成分の位相差

波

従って、電場ベクトルは x-y 平面内に楕円状の軌跡を持つベクトル として回転しながら +z 方向に伝搬して行く。このような電磁波の 偏り方を楕円偏波 (elliptic polarization) と言う。

φ が -π/2 のとき、進行方 向に向かって左回りに回 転しながら伝搬していく ( 左旋性 )

 0 0 ²

2 2 0 2

2

0yEx E xEy E xE y

E  

1

2

0 2

0

 















 



 

y y x

x

E E E

E

逆逆 φ が +π/2 のときは、進行 方向に向かって右回りに回転 しながら伝搬していく ( 右旋 性 )

E x

y

z k

この図は左旋性円偏波を表す

電磁波の偏

一般には、電場ベクトルの x 成分と

波

+π/2 の任意の値となるので、電場ベクトルは x-y 平面内に軸を有する楕円

状の軌跡を持つベクトルとして回転しながら +z 方向に伝搬して行く。

ポアンカレ (Poincare) 球 左旋円偏波

右旋円偏波

水平偏波 垂直偏波

) cos(

) cos(

















kz t b

E

kz t a

E

y x

赤道上は α = 0

4

  

4

  

β = 0 2

   E_x

E_y a

b

a

1 b tan^

 



任意の偏波状態は、 Poincare 球の表 面上の位置で表される

各種偏波用アンテ

電波においては、直線偏波の偏波面が、地面に対して垂直になっていると

ナ

き垂直偏波、平行なときには水平偏波と言う。我が国の中波ラジオ放送は 垂直偏波、一般に都市部のＴＶ放送やＦＭ放送は水平偏波で送信されてい る。垂直偏波と水平偏波とは互いに干渉しないので、周波数が接近してお り混信の恐れのあるような場合には、相互に偏波を違えることによって混 信を防ぐことができる。山間部などでＴＶアンテナの素子が縦に設置され ているのは、このような理由によるもの。ただし偏波は、電波伝搬中に反 射や回折により変化してしまうので、必ずしも送信された偏波状態のまま で受信アンテナに届くとは限らない。

タクシー無線のルーフアンテナ八木アンテナと八木先生 垂直偏波用

水平偏波用

アマチュア無線 用ヘリカルアン テナ

円偏波用

各種電磁波の波長と周波 数

光も電磁波の一種

電磁波の伝搬速度 :

真空中では約 30 万 km/ 秒 屈折率 n の媒質中では、

真空中の 1/n の速度

偏光

電界の波

磁界の波

光の進行方向

光の進行方向と磁界ベクトルを含む面を光の偏りの面又は偏光 面、また、光の進行方向と電界ベクトルを含む面を振動面と呼 ぶ

偏光面 振動面

直線偏光

偏光面が回転しながら伝搬する光もあり、楕円偏光や円偏光と呼ばれている

左旋性円偏光

電界の波

偏光

太陽や電球などからの光

電界の振動方向がバラバラ

振動方向に「偏り」がない

「偏光していない」という レーザー光

水面や雪面などでの反射光

ある特定方向に振動する成分が多い

振動の向きに「偏り」がある

「偏光している」という

電界の振動方向

光の電界

※人間の眼では偏光の違いを ( ほとんど ) 識別できない

偏光子

偏光子または偏光フィルター ^{偏光フィルターの向き}_{(マークで示されている )}

偏光子は、光のある特定方向の偏光成分のみを吸収または反射させることにより、

それと直交する方向の偏光成分を透過させるもの 偏光状態を調べることができる この方向の偏光成分を吸収

偏光子の働

偏光子の偏光方向を直交させて重ねた場合、光は殆ど通らない

き

偏光方向を直交させて重ねた 2 枚の偏光子の間に、もう一枚の偏光子を挟んだ ら ?

?

答 ) 光は透過する。でも、何故 ? Q. 入射光の何 % の光が透過するのだろうか ?

偏光子の働 き

入射光が円偏光している として、そのパワーを 1 とする

1 枚目の偏光子を 通過するパワーは 0.5

2 枚目の偏光子を 通過するパワーは 0.25

3 枚目の偏光子を通 過するパワーは 0.125

間の偏光子が無い場合は、

p

偏光、

偏光と反 射率

p 偏光

入射波

磁界 入射面 電界

入射波 反射波

電界

磁界

反射波 入射面

s 偏光

入射角 (θ_i) 反

射

率 R_s R_p

Brewster 角

2

) tan(

) tan(

t i

i t

Rp











 

p 偏光、 s偏光の光に対する反射率 R_p, R_s は、

2

) sin(

) sin(

i t

i t

Rs











 

前回のスライドより

偏光フィルターによる反射光の 除去

偏光フィルターなし

、つまり s 偏光、 p 偏光両方の光を見た 場合

偏光フィルターに よって s 偏光を除去

、つまり p 偏光のみ で見た場合

電界 偏光子

電界 偏光子

p

偏光の光に対してはブリュースター角が 存在するため、ある角度付近で入射した光 の反射光は弱くなる。一方、

偏光の光に 対してはブリュースター角は存在しないの で、どの角度においても強い反射が生じる。

従って、

偏光の光のみを除去するように 偏光子を配置すると、反射光の大部分を カットできる。

p 偏光

s 偏光 s 偏光は遮断 p 偏光は透過

偏光を利用した液晶ディスプレイのし くみ

出典: http://www.sharp.co.jp/products/lcd/tech/s2_1.html

液晶を通過した光は偏光方 向が 90º 回転し、 2 枚目の 偏光フィルターを通過する。

配向膜間に電圧を印加する と、液晶分子の向きが揃い

、光の偏光方向は回転しな いので、光は偏光フィル ターを通過できない

2 枚の偏光フィルター ( 偏光 子 ) を、向きが同じになるよ う配置すると光が通るが、直 交するように配置すると光が 通らない

液晶に光を通すと

、液晶分子の配列 に沿って、光の偏 光方向は 90º 回転 しながら通過する

青空の偏光方向

空気の分子に太陽光が当たるとレイリー散乱が起きる。散乱光強度は光の波 長の 4 乗に反比例する。即ち、波長の短い青い光ほど強く散乱され、そのた めに空は青く見える。レイリー散乱光は偏光しており、空が澄んでいれば太 陽からの離角 90 度の空から最も強く偏光した散乱光がやってくる。ミツバ チは、青空の偏光を見て太陽の方角を知ると言われている。大気汚染や水蒸 気があると、偏光度は減少し、曇天では殆ど偏光していない。

太陽からの離角 90 度 偏光方向

生物と偏 光

左側の写真は右円偏光板を

、右側の写真は左円偏光板 を通して撮影

http://www.op.titech.ac.jp/lab/Take-Ishi/html/ki/hg/et/sb/goldbug/goldbug.html

トルコのアナトリア産のコガネ ムシ通常の写真 ( 偏光フィル ター無し ) で撮影したもの コガネムシは左円偏光 ?

エクアドル産のコガネムシ

右円偏光板使用 左円偏光板使用

鹿児島産のコガネムシ

右円偏光板使用 左円偏光板使用

ダイコクコガネ

右円偏光板使用 左円偏光板使用

ヒトも光の偏光方向を感知でき る

偏光した光 ( 液晶画面の白い画面など ) を見ると、このような模様が見えるこ とがある。

これは、人の網膜の細胞の複屈折によるもので、この現象の発見者にちなんで

Haidinger’s brush と呼ばれている。ただし、個人差があるので、見えない人も

いる。

電界の振動方向

ハイディンガーのブラシ

君は、ハイディンガーのブラシが見えるかな

波長板

位相差 π を与えるものを 1/2 波長板または半波長板と呼び、直線偏光の偏光 方向や円偏光の回転方向を変えるために用いる

位相差 π/2 を与えるものを 1/4 波長板と呼び、直線偏光を円偏光（楕円偏光）

に変換、また逆に円偏光（楕円偏光）を直線偏光に変換するために用いる

波長板 ( 位相板 ) とは ? 　　直交する偏光成分の間に位相差を与える複屈折素子のこと

光学軸

入射光の偏光方向 θ

2θ

出射光の偏光方向

入射光の旋光方向

出射光の旋光方向

光学軸 入射光の偏光方向 π/4

円偏光の出射光 光学軸

直線偏光の出射光 円偏光の π/4

入射光

光子の偏光

光子

フォトン

には

のスピンがあり、それに対応する偏光状態が有る

光子

右旋性円偏光 S = -1

左旋性円偏光

光子 S = 1 光子の横偏光状態および縦偏光状態をそれぞれ 　　および　　というベクト ル表示で表すと、 +45 度偏光、 -45 度偏光、右旋性円偏光、左旋性円偏光の 光子はそれぞれ

x y

   

  ^{2, L}   ²

R

2 45

, 2 45

y i x y

i x

y x

y x





















と表される。

偏光子を通ってきた光子は偏光子の偏光方向に偏光しており、このような状 態を純粋状態と呼ぶ。それに対して、縦横どの方向に偏光しているのかが特 定できない状態を混合状態と呼ぶ。

縦偏光状態の光子は、 45 度傾いた偏光子を 50% の確率で透過する。その 場合、 45 度傾いた方向の純粋状態となる。

参

ヤングの干渉 縞

2 つのスリットを通った光がスクリーン上で干渉すると干渉縞が現れる

スリット スクリーン

スリット スクリーン

スリットの後ろに偏光方向が直交する偏光子を置くと干渉縞が消える

参

光子による干渉 縞

1 個の光子 ( フォトン ) をスクリーンに向かって照射した場合、干渉縞は現れない

スリット スクリーン

光子

フォトンは必ず、どちらか一方のスリットを通過したはず 1 個の光子が到来した場所

しかし、上の実験を複数回繰り返すと干渉縞が現れてくる

スリット スクリーン

光子

どちらのスリットをフォトンが通過したのかは分からない

参

量子消去の実 験

スリット

更に、偏光方向が斜め 45 度の偏光子を置くと再び干渉縞が現れる スクリーン

光子

スリット スクリーン

しかし、スリットの後ろに偏光方向が直交する偏光子を置くと干渉縞が消える 光子

どちらのスリットをフォトンが通過したのか知ることができる

どちらのスリットをフォトンが通過したのか知ることができなくなった

参

量子消去の実験が示唆するも の

ここで紹介した干渉縞の挙動は、古典的な波動光学によっても説明できる。

しかしこの実験は、 1 個の光子による照射実験を複数回繰り返した場合でも 同様の結果をもたらす。

スリットの後ろに偏光方向が直交する偏光子を置くと干渉縞が消えるのは

、この場合、スリット通過後に光子の偏光状態を調べることにより、光子 がどちらのスリットを通過したのかを知ることができるようになったから である。

しかし、偏光子の後ろに、偏光方向が斜め 45 度の別の偏光子を置くと再び 干渉縞が現れるのは、この場合、光子がどちらのスリットを通過したのかを 知ることがもはやできなくなったためである。つまり、両方のスリットに対 して光子が通過する可能性が復活したからである。つまり、 45 度の偏光子 を置くことにより光子の経路情報を消去したことになる。これを量子消去と ところで、量子消去の奇妙なところは、スリットを通過した後でもその経路呼ぶ。

情報を消去すれば干渉縞が現れるところで、光子はどちらか一方のスリット を通過しているはずであるが、どちらのスリットを通過したのかという過去 の事象を、未来の行為 ( この場合量子消去 ) によって操作できる点である。

物質中での

方程式の 解

) 1 ) (

, ) (

, (

rot t

t t





 B x x

E

) 2 ) (

, ) (

, (

rot t

t _e t



 

 D x

i x

H

) 3 ( )

, (

div D x t  _e

) 4 ( 0

) , (

div B x t 

) 5 ( )

, ( )

,

(x t E x t D 

) 6 ( )

, ( )

,

(x t H x t B  

構造関係式 教科書 p.189 ～ 190

オームの法則

) 7 ( )

, ( )

,

( t t

e x E x

i  式 (1) の両辺の rotation をとる

H H

E) rot B rot rot rot(rot

t t

t 

 

 



 







 

 

 

  

式 (2) を代入式 (7) を代入 式 (5) を代入

ベクトル恒等式より E E

E)  grad(div ) rot

( rot

媒質中に真電荷が存在しなければ、式 (3), 式 (5) より、 divE = 0 従って、

) 8 (

2 0

2 



 



 

 t t

E

E  E  の関係式が導かれる

同様にして、式 (2) の両辺の rotation をとってやると、磁場に関する関係式 )

9 (

2 0

2 



 



 

 t t

H

H  H  も導ける



 







 



 

 t ^e t

i D

 ² ₂

t

t 

 



 

  E  E

物質中での

方程式の

式 (8), (9) を電信方程式と呼ぶ。

解

絶縁体媒質 ( 誘電体なども ) や真空中の時、 σ = 0 であるから、式 (8), (9) は各々、

) ' 8 (

2 0

2 



 

 t

E  E ₂ 0 (9')

2 



 

 t

H  H

となり、電磁波の波動方程式が得られる。

一方、導体中 ( 金属など ) では、式 (8), (9) において左辺第 3 項が無視できるようになる。

2 0

2 



 



 

 t t

E

E  E  E は、 E(x, t) = E(x)e ^jωt のように表される ので、左辺第 2 項と第 3 項の大きさを比較 すると、

) , ( t

jE x ²E(x,t) 通常の金属において、導電率 σ の値は、 10⁷ (S/m) 誘電率 ε の値は、 10^10 (F/m) マイクロ波帯においても ω の値は、   2 10¹⁰ 従って、 σ >> εω の関係が成り立っており、

式 (8), (9) において左辺第 3 項は第 2 項に対して無視できるくらい小さな値となる。

2 2 2

2

)

( t

LC v t

GL v RC

x RGv v



 



 



  参考 ) 伝送線路の電信方程式　→ 

導体中の電磁場の式

)

"

8 (

0



 

 t

E  E

従って、導体中において式 (8), (9) は、以下の式に簡略化できる。

)

"

9 (

0



 

 t

H  H

式 (8”) に式 (7) の関係を代入してやると、

) 10 (

 0



 

 t

e e

i  i の関係も導ける。

式 (8”), (9”), (10) は、拡散方程式と呼ばれている。

式 (8”), (9”) は、 Maxwell 方程式において、変位電流の項を無視することによって

も得られる。つまり、式 (2) の右辺において、第 1 項の伝導電流に比べて第 2 項 の変位電流の寄与が無視できる場合、式 (2) は式 (2’) となり、これを用いて解い てやっても求められる。

) ' 2 ( )

, (

rot H x t  i_e

変位電流が伝導電流に対して無視できるのは、先の σ >> εω の条件が成り立つ 場合であり、このときの伝導電流を準定常電流と呼んでいる。電気回路におけ る交流回路は、この準定常電流の場合を扱っている。

準定常電流、即ち交流回路では

、変位電流の寄与を無視してい ることと、オームの法則が成り 立つことを仮定している

導体中の電磁場と表皮効 果

)

"

8 (

 0



 

 t

E  E 真空 金属導体

x z

真空中から導体中への電磁波の入射 導体中での電場は、式 (8”) で与えられ、その解として、

t

ej

x t

x, ) ( ) ^

( E₀

E 



x ^{x jx}

j E e e

e E x

E₀( )  ₀ ^  ₀ ^{ }   2

ここで、 δ は表皮の深さ (Skin depth) と言い、電磁波が金属導体中に侵入できる深 さである。

このように、電磁場が金属導体の内部深くには侵入できない現象を、表皮効果

(Skin effect) と呼ぶ

の形の平面電磁波を仮定すると、

で与えられる。 ( ∵ x →∞ で電界は有限 )

2 1 i i  

また、複素数の公式 を用いた

例えば銅の場合、導電率 σ = 5.8×10⁷ S/m なので、表皮の深さ δ は、

] GHz [ 10 29 . 2

1 10

4 2

2 2

11

7 f

f  



 

 _







  1GHz で約 2.1 μm

δ