電磁気学

電磁気学

Electromagnetics C

山田 博仁

電磁波の偏波と導波路

6/5

講義分

電磁波の波長と周波

数

電磁波の偏 波

) cos(

)

cos( ₀

0    





 e_x E_x e_y E_y e_x E _x kz t e_y E _y kz t E

) cos(

) cos(

0 0

















t kz E

E

t kz E

E

y y

x x

 0 0 ²

0 0 2

2 0 2

2

0_yE_x E _xE_y 2E _xE _yE_xE_y cos E _xE _y sin

E   

上の 2 つの式から、以下の方程式が導かれる

x-y 平面内に電場ベクトルを有し、 +z 方向に進む平面電磁波は、電場ベ クトルを x 成分 y 成分に分けて考えられ、その和として以下の式で表 される

電場ベクトルの x 成 分と y 成分の間の位 相差

E

H x

y

z k

電磁波の偏 波

0 2 _{0 0}

2 2 0 2

2

0_yE_x  E _xE_y  E _xE _yE_xE_y  E

まず、電場ベクトルの x 成分と y 成分の位相差  がゼロの場合を考えると、

 0  0 ²  ⁰

 E _yE_x E _xE_y

従って、電場ベクトルは x-y 平面内に直線状の軌跡を持つベクトル として伸び縮みしながら +z 方向に伝搬して行く。このような電磁 波の偏り方を直線偏波 (linear polarization) と言う。

x x y

y E

E E E

0

 0

よって、

E x

y

z E_x k

E_y

電場ベクトルを含む このような面を偏波面 と言う

電磁波の偏

次に、電場ベクトルの x 成分と y 成分の位相差

波

従って、電場ベクトルは x-y 平面内に楕円状の軌跡を持つベクトル として回転しながら +z 方向に伝搬して行く。このような電磁波の 偏り方を楕円偏波 (elliptic polarization) と言う。

 が - /2 のとき、進行方 向に向かって左回りに回 転しながら伝搬していく

( 左旋性 )

 0 0 ²

2 2 0 2

2

0yEx E xEy E xE y

E  

1

2

0 2

0

 















 



 

y y x

x

E E E

E

逆逆 が + /2 のときは、進行

方向に向かって右回りに回転 しながら伝搬していく ( 右旋 性 )

E x

y

z k

この図は左旋性円偏波を表す

電磁波の偏

一般には、電場ベクトルの x 成分と

波

≦ + /2 の任意の値となるので、電場ベクトルは x-y 平面内に軸を有する

楕円状の軌跡を持つベクトルとして回転しながら +z 方向に伝搬して行く

。

ポアンカレ (Poincare) 球 左旋円偏波

右旋円偏波

水平偏波 垂直偏波

) cos(

) cos(

















t kz b

E

t kz a

E

y x

赤道上は  = 0

4

  

4

  

= 0 2

   E_x

E_y a

b

a

1 b tan^

 



任意の偏波状態は、 Poincare 球の表 面上の位置で表される

各種偏波用アンテ

電波においては、直線偏波の偏波面が、地面に対して垂直になっていると

ナ

き垂直偏波、平行なときには水平偏波と言う。我が国の中波ラジオ放送は 垂直偏波、一般に都市部のＴＶ放送やＦＭ放送は水平偏波で送信されてい る。垂直偏波と水平偏波とは互いに干渉しないので、周波数が接近してお り混信の恐れのあるような場合には、相互に偏波を違えることによって 混信を防ぐことができる。山間部などでＴＶアンテナの素子が縦に設置さ れているのは、このような理由によるもの。ただし偏波は、電波伝搬中 に反射や回折により変化してしまうので、必ずしも送信された偏波状態の ままで受信アンテナに届くとは限らない。

東京タワーの送信アンテナ

タクシー無線のルーフアンテナ 八木アンテナと八木先生 垂直偏波用

水平偏波用

円偏波用ヘリカルアンテナ ( アマチュア無線用 )

各種偏波用アンテ ナ

1 号館屋上の衛星通信用偏波ダイバーシティ アンテナ

電磁波の導波

平行平板による導波路 (Slab 導波路 )

路

完全導体

完全導体

完全導体による平行平面で挟まれた空間に斜めに入射した電磁波は、図の ように反射を繰り返しながら伝搬していく。従って、電磁波の導波路とし て機能する。

電磁波の導波

平行平板による導波路 (Slab 導波路 )

路

完全導体

完全導体 d

 

k₀ k_g

このとき、導波路を伝搬している電磁波の自由空間における波数を k₀ と すると、電磁波の伝搬方向での波数 k_g は、 k_g = k₀ cos となる。また、

伝搬方向と垂直方向での波数を k_t とすると、 k_t = k₀ sin となる。

完全導体による平行平面で挟まれた間隙に入射角度  で斜めに入射した電 磁波は、図のように導体表面で全反射を繰り返しながら伝搬していく。

k_g = k₀ cos

k_t

k_t = k₀ sin

従って、 k₀²  k_g² k_t²

d: 導体間の間隙の距離

電磁波の導波

それぞれの波長との関係は、 k = 2 /

路

2 2

2 0

1 1

1

t

g 



  

導波路を伝搬することが許されるのは、伝搬方向と垂直方向に対して定在波 条件つまり、 k_t 2d = 2q(q は自然数 ) の関係が成立するときのみ。

即ち、 q d

t

 2



q = 1 q = 2 完全導体

完全導体 d

 

k_t = k₀ sin

q = 1 の時が、伝搬することが許される最低次のモードで、 _t = 2d となる。

_g は導波路内での波の伝搬方向の波長で、管内波長と言う

k_t 2q

(q = 1, 2, 3, ‥‥ であり、モード番号という )

q = 3

この最低次のモードでは、入射角度  が大きくなるにつれて、波長  ₀ が長くなる。

_t

_g

₀

電磁波の導波 路

完全導体

完全導体 d k_t

k_c = k_t

2 q = 1 _t

逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆 ₀ をカットオフ波長  _c と言い、

d

t q

c  ^{( 1)}  2



この時、 =  /2 となることより、電磁波波の伝搬方向への波数 k_g は

k_g = 0 となり、もはや電磁波は伝搬しなくなる。

2 2

2 0

1 1

1

c

g 



  

従って、カットオフ波長においては、

の関係が成り立つ

   =  /2

導波管

x

y z

電磁波 ( 特にマイクロ波、ミリ波 ) の伝送には、図のような中空の金属導波 管が用いられることがある。

方形導波管 このような導波管内での電磁波の伝搬を以下で扱う。

導波管の中の電磁場が角周波数  で正弦波的に時間変化をする場合を考える。

2 0

2 2 2

2  



 





z z

z k E

y E x

E

波動方程式　　　　　　より、₂ 0

2 



 

 t

E  E

1 0

2 2 2 2

2 2

2 2

2 



 



 



 





t E c

z E y

E x

E_{z z z z}

つまり、 E(x,y,z)  E0(x,y,z)e^{j(tz)}

E の z 成分 E_z は、

従って、

ただし、 ₂ ²

2 2    k c

 : 伝搬定数

導波管

x

y z

方形導波管

2 0

2 2 2

2  



 





z z

z k H

y H x

H

同様に、波動方程式　　　　　　より ₂ 0 H の z 成分 H_z は、

2 



 

 t

H  H

E_z と H_z は全く同形で別々の微分方程式に従うことから、 E_z = 0 で H_z ≠ 0 の解と、 E_z ≠ 0 で H_z =0 の解が独立に存在し、一般解はこれらの解の重 ね合わせとして表せる。

E_z = 0 で H_z ≠ 0 の波を、電場成分が進行方 向に垂直なことから (Transverse Electric) T E 波、 E_z ≠ 0 で H_z =0 の波を磁場成分が進 行方向に垂直なことから (Transverse Magne

tic) TM 波と呼ぶ。

ところで、 k = 0 の場合には　　　　　　となり、c

  

z 方向に光速で伝搬する電磁波が期待される。

この場合、 E_z = H_z = 0 であり、 (Transv erse Electric Magnetic) TEM 波と呼ぶ。

導波管

方形導波管

電磁場に対する境界条件は、導波管壁で E ・ t = 0 および H ・ n = 0 だから、

導波管の断面を x-y 面にとり、内部の辺長を a, b とする。

H_z = 0 の電磁波、 即ち TM 波について考え ると、 E_z に対する微分方程式の解は、

x

y z

0 b

a )

, 0 (

0

) , 0 (

0

b y

H E

E

a x

H E

E

y z

x

x z

y

















t j z y j

k x k j

z Ae e e

E  ^{( x  y )   } (A は定数 )

t j z j

z e e

b y n a

x A m

E  sin  sin  _ ^{ }

で与えられ、この場合の境界条件は、導体 壁 (x = 0, a; y = 0, b) で E_z = 0 となるから

、

(m と n は整数 )

2 2

2 2

2

2 



 







 







 b

n a

m

k c   

従って、

(mn ≠ 0)

導波管

方形導波管の例 前式で、整数 m と n がいろいろな値をとれば、それに対応する電磁波の モードが導波管の中に存在する。

一般に、 TE 波に対応するモードを TE_mn 、 TM 波に対応するモードを TM_mn で表す。

電磁波が導波管の中を z 方向に伝搬するためには、伝搬定数  は実数であ る必要がある。

2 0

2 2

2  k 

c

 

t j z j y z

k x k j

t j z y j

k x k j z

e e

e Ae

e e Ae

E

y x

y x













 

 





) (

) (

 が実数でない、即ち　　　　　　　　とすると、    j

 がゼロでなければ、これは z 方向に伝搬 するにつれて減衰する波となる。

従って、 z 方向に伝搬する電磁波が存在す るためには、

導波管

逆逆逆逆 = 0 のときには電磁波は伝搬できなく ( カットオフと ) なり、この時 の  の値 c  _cckは、c

_c よりも波長の短い電磁波しか伝搬できない。

従って、カットオフ波長は、

最長のカットオフ波長は、条件 mn ≠ 0 のもとで k を最小にする TM₁₁ モードの場合であり、この時のカットオフ波長は、

2

2 ( / )

) / (

2 2

2

b n a

k m c

f c

c c

c

c      



  (mn ≠ 0) となり、

2 2 (1/ ) )

/ 1 (

2

b

c a

 

 となる。

一方、 TE 波の場合のカットオフ波長は、_c  2bとなる。( ただし、 a < b)( 例題 12.6)