電磁気学

電磁気学 C

Electromagnetics C

山田 博仁

電磁波の反射と透過、電場の偏り

6/4 講義分

今後のスケジュー ル

・ 6/4( 第 8 回目 ) 電磁波の反射と透過、電場の偏り

・ 6/11( 第 9 回目 ) 電磁波の共振器と導波路　 (第 2 回レポート

締め切り )

・ 6/18( 第 10 回目 ) 光導波路と光共振器

・ 6/25( 第 11 回目 ) 電磁ポテンシャルとゲージ変換　 (第 3 回レ ポート出題 )

・ 7/2( 第 12 回目 ) 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル

・ 7/9( 第 13 回目 ) 電気双極子による電磁波の放射　 (第 3 回レ ポート締め切り )

・ 7/23( 第 14 回目 ) 点電荷による電磁波の放射

・ 8/6( 第 15 回目 ) 定期試験 ?

界面での電磁波の反射と透 過

前回、異なる媒質が x-y 平面 (z = 0) を 境に接している界面に対して、平面電磁 波が入射角  _i で斜め入射する場合につ いて考えた。

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i

H_i E_r

H_r Z₁

H_t E_t y

_i _r

_t Z₂

t i

i t

i r

p Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

1 2



 



磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数

磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数

t i

i i

t

p Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 



ただし、 Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の固有インピーダンス その場合、入射波の電場ベクトルは x-z

平面内にのみ存在し、磁場ベクトルは y 方向成分のみを有するとするとして、電 界反射係数および電界透過係数を求めた

。

p.210 (12.62 式 )

p.210 (12.62 式 ) つまり、

界面での電磁波の反射と透

今回は図に示すように、入射波の磁場ベ

過

クトルが x-z 平面内に存在し、電場ベ クトルは y 方向成分のみを有するとす ると、

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

H_i

E_i E_r

H_r

H_t E_t y

_i _r

_t Z₁

Z₂ )

0 , ,

0 ( ) , ,

( _{ix iy iz i}

i  E E E   E

E



 



 



 _{ix iy iz} ⁱ _i ⁱ _i

i Z

E Z

H E H

H , , ) cos ,0, sin (

1 1

H 入射波

i

r 

  反射波

) 0 , ,

0 ( ) , ,

( _{rx ry rz r}

r  E E E  E

E



 



 



 _{rx rz rz} ^r _i ^r _i

r Z

E Z

H E H

H , , ) cos ,0, sin (

1 1

H

透過波

) 0 , ,

0 ( ) , ,

( _{tx ty tz t}

t  E E E   E

E



 



 



 _{tx ty tz} ^t _t ^t _t

t Z

E Z

H E H

H , , ) cos ,0, sin (

2 2

H

Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の電磁インピーダンス

界面での反射と透 過

t i

t i

i r

s Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

1 2

1 2



 



電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数

t i

i i

t

s Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

1 2

2

 



ただし、 Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の固有インピーダンス 例題 12.3 (p.212)

例題 12.3 (p.212)

ty ry

iy E E

E  

界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、

tx rx

ix H H

H  

2 1

1

cos cos

cos

Z E Z

E Z

E_i _i  _r _i   _t _t

 従って、

t r

i E E

E  

界面での電磁波の反射と透 過

) tan(

) tan(

) cos sin

cos )(sin

sin sin

cos (cos

) sin sin

cos )(cos

cos sin

cos (sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos

cos cos

2 1

1 2

t i

i t

i t

t i

t i

t i

t i

t i

i t

t i

t t

i i

i i

t t

t i

i t

i r

p Z Z

Z Z

E r E



































































 







 





 



 



磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、

磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、

) cos(

) sin(

cos sin

2

cos sin

cos sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

2 1

2

t i t

i

i t

t t

i i

i t

t i

i i

t

p Z Z

Z E

t E

































 

 

 



12.57 式 (Snell の法則 ) と 12.63 式より、

1

2 sin

sin Z Z

i t



  この関係を用いると、

2 1 2

1

sin sin

Z Z v

v

t

i  



 従って、

界面での電磁波の反射と透

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、

過

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、

) sin(

) sin(

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos

cos cos

1 2

1 2

i t

i t t

i i

t

t i

i t

t i

t i

i r

s Z Z

Z Z

E r E



































 



 



 



) sin(

cos sin

2 cos

sin cos

sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

1 2

2

i t

i t

t i

i t

i t

t i

i i

t

s Z Z

Z E

t E



























 

 

 



以上で求めた　　　　　　 　　を、入射角  _i に対し て図示してみて下さい

s s p

p t r t

r , , ,

2

 

_i  _t  例えば、　

　を図示す ると、

rp

これらは Fresnel の式と呼ばれている +

i

2

 -

Z₁ > Z₂ のとき 0

ここで、 p, s は、光の媒質への入射の状 態を表し、 p 波 , s 波と呼ばれている

つまり、電界成分が入射面 ( 入射光線と反射光線が作る面 ) に垂直な光を s 波、平行な光を p 波と呼んでいる

界面での電磁波の反射と透

以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場

過

合 (p 波 ) の電界反射係数 r_p は、入射角  _i と透過角 ( 屈折角 ) _t の和がちょう ど直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度  _i のことを Brewster 角という。

Brewster 角 _i は、

2

 

_i  _t 

1 1 2 2

1 1 tan

tan n

n Z

Z

i



 

 

Snell の法則より、

1 2 2

1

sin sin

n n Z

Z

t

i  





従って、 Brewster 角 _i は、

直角 x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i H_i E_r

H_r Z₁

H_t E_t y

_i _r

_t Z₂

Brewster 角

また、入射角と Brewster 角との大小関係により、電界反射係数の符号が反転する つまり、 Brewster 角を挟んで、反射波の電場ベクトルの向きが反転する

Brewster 角の物理的意

このような Brewster 角が存在する物理的意味は

味

E_i

x z

媒質Ⅰ

媒質Ⅱ y

_i _r

_t Brewster 角

この方向には

、電磁波を放 射できない 海面や雪面からの反射が眩しい

時、偏光サングラスをかけると 眩しくなくなる理由は ?

Brewster 角で媒質Ⅱに入射する電磁波は、媒質Ⅱ内の界面付近に分極を生じ

るが、その分極は反射角の方向には電磁波を放射できないため

電磁波が反射するメカニズムは、入射波によって界面に誘起された誘電分 極からの電磁波の放射と考えることができる

Brewster 角の身近な例

E

偏光子 E

偏光子

ハイディンガーのブ ラシ

偏光した光 ( 液晶モニタの白い画面など ) を見ると、このような模様が見える ことがある。

これは、人の網膜の細胞の複屈折によるもので、この現象の発見者にちなんで

Haidinger’s brush と呼ばれている。ただし、個人差があるので、見えない人も

いる。

電界の振動方向

電磁波の波長と周波

数

電磁波の偏 波

) cos(

)

cos( ₀

0    





 e_x E_x e_y E_y e_x E _x kz t e_y E _y kz t E

) cos(

) cos(

0 0

















t kz E

E

t kz E

E

y y

x x





0 0 2

2 0 2

2

0_yE_x E _xE_y 2E _xE _yE_xE_y cos E _xE _y sin

E   

上の 2 つの式から、以下の方程式が導かれる

x-y 平面内に電場ベクトルを有し、 +z 方向に進む平面電磁波は、電場ベ クトルを x 成分 y 成分に分けて考えられ、その和として以下の式で表 される

電場ベクトルの x 成 分と y 成分の間の位 相差

E

H x

y

z k

電磁波の偏 波

0 2 _{0 0}

2 2 0 2

2

0_yE_x  E _xE_y  E _xE _yE_xE_y  E

まず、電場ベクトルの x 成分と y 成分の位相差 φ がゼロの場合を考えると、





 E _yE_x E _xE_y

従って、電場ベクトルは x-y 平面内に直線状の軌跡を持つベクトル として伸び縮みしながら +z 方向に伝搬して行く。このような電磁 波の偏り方を直線偏波 (linear polarization) と言う。

x x y

y E

E E E

0

 0

よって、

E x

y

z E_x k

E_y

電場ベクトルを含むこ のような面を偏波面と 言う

光では、電界の振動面を「振動面」、磁界の振動面を「偏光面」と呼んでいる

電磁波の偏

次に、電場ベクトルの x 成分と y 成分の位相差

波

従って、電場ベクトルは x-y 平面内に楕円状の軌跡を持つベクトル として回転しながら +z 方向に伝搬して行く。このような電磁波の 偏り方を楕円偏波 (elliptic polarization) と言う。

φ が -π/2 のとき、進行方 向に向かって左回りに回 転しながら伝搬していく ( 左旋性 )





2 2 0 2

2

0yEx E xEy E xE y

E  

1

2

0 2

0

 















 



 

y y x

x

E E E

E

逆逆 φ が +π/2 のときは、進行 方向に向かって右回りに回転 しながら伝搬していく ( 右旋 性 )

E x

y

z k

この図は左旋性円偏波を表す

電磁波の偏

一般には、電場ベクトルの x 成分と

波

+π/2 の任意の値となるので、電場ベクトルは x-y 平面内に軸を有する楕円

状の軌跡を持つベクトルとして回転しながら +z 方向に伝搬して行く。

ポアンカレ (Poincare) 球 左旋円偏波

右旋円偏波

水平偏波 垂直偏波

) cos(

) cos(

















t kz b

E

t kz a

E

y x

赤道上は α = 0

4

  

4

  

β = 0 2

   E_x

E_y a

b

a

1 b tan^

 



任意の偏波状態は、 Poincare 球の表 面上の位置で表される

各種偏波用アンテ

電波においては、直線偏波の偏波面が、地面に対して垂直になっていると

ナ

き垂直偏波、平行なときには水平偏波と言う。我が国の中波ラジオ放送は 垂直偏波、一般に都市部のＴＶ放送やＦＭ放送は水平偏波で送信されてい る。垂直偏波と水平偏波とは互いに干渉しないので、周波数が接近してお り混信の恐れのあるような場合には、相互に偏波を違えることによって混 信を防ぐことができる。山間部などでＴＶアンテナの素子が縦に設置され ているのは、このような理由によるもの。ただし偏波は、電波伝搬中に反 射や回折により変化してしまうので、必ずしも送信された偏波状態のまま で受信アンテナに届くとは限らない。

東京タワーの送信アンテナ

タクシー無線のルーフアンテナ 八木アンテナと八木先生 垂直偏波用

水平偏波用

円偏波用ヘリカルアンテナ ( アマチュア無線用 )

各種偏波用アンテ ナ

1 号館屋上の衛星通信用偏波ダイバーシティ アンテナ