電磁界シミュレータ利用の勘所―境界条件と励振モデル―

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電磁界シミュレータ利用の勘所

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境界条件と励振モデル

——

平野

拓一

†a)

Tips about Using Electromagnetic Simulators ——Boundary Condition and

Excitation Modeling——

Takuichi HIRANO

†a)

あらまし本論文では電磁界シミュレータを適切に使いこなすための基礎知識を整理して説明する．必要な基礎知識として，時間領域/周波数領域の分類，周波数領域解析における励振問題/非励振問題（導波路，共振器）の分類，励振問題における波源モデルの種類（集中ポート/導波路ポート/平面波入射）について説明する．シミュレーションのモデル化において，境界条件と励振モデルが特に重要である．例として円形パッチアンテナの解析を例にモデル化の要点について説明する．また，他の各種解析に対する参考文献を紹介する．キーワード電磁界解析，シミュレーション，モデル化，境界条件，励振，波源モデル

1. まえがき

ハードウェアの発展とともに力学，熱，流体，回路，音波，電磁界，物性，量子論などの各分野でシミュレーション技術が発達している．電磁界シミュレータも実用的になり，教育，研究，製品開発などに幅広く使われるようになった[1]∼[3]．電磁界シミュレータは広く普及したが，まだ多くの専門知識と熟練技術が必要なのが現状である．その理由として，シミュレーションでは現実の構造をシミュレータ内部でどう表現するかという「モデル化（あるいはモデリング）」が重要である[4]が，モデル化に多くの自由度があることが大きいと考えらえる．現実のモデルをシミュレータでモデル化する際には有限な空間で打ち切って表現しなければならない．そのためには境界条件と励振モデルをいかに適切に設定できるかが重要である．本論文では，境界条件と励振モデルのモデル化に絞って，電磁界シミュレータを適切に使うための勘所について説明する． 2.ではシミュレーションの前準備として，電磁界シミュレータの目的と解析の種類及び励振/非励振問題の種類について説明する．3.では電磁界シミュレーショ †_{東京都市大学知識工学部情報通信工学科，東京都}

Department of Information and Communication Engineer-ing, Faculty of Knowledge EngineerEngineer-ing, Tokyo City Univer-sity, 1–28–1 Tamazutsumi, Setagaya-ku, Tokyo, 158–8557 Japan a) E-mail: [email protected] ンの流れについて説明する．4.では円形パッチアンテナの解析例を取り上げてモデル化の注意点について説明する．5.では他のモデルの電磁界シミュレーションの例について文献を紹介する．

2. シミュレーションの前準備

2. 1 マクスウェルの方程式の数値計算電磁界シミュレータの目的はマクスウェルの方程式を数値的に解くことである．マクスウェルの方程式は図1に示すように，ファラデーの法則と（変位電流が導入されて拡張された）アンペアの法則から成り，電界Eと磁界Hの連立方程式になっている．E, H及び電流密度iは空間座標(x, y, z)及び時間tの4変数の関数となっているが，時間変化は角周波数ωで調和図 1 時間領域と周波数領域のマクスウェルの方程式 Fig. 1 Maxwell’s equation in time and frequency

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図 2 マクスウェルの方程式に対する時間変化項の近似 Fig. 2 Approximation of time dependence in Maxwell’s

equation.

振動をしていると仮定すると，時間変化項はexp(jωt)

で表され（フーリエ変換では∂/∂t = jω），電気回路の交流回路の解析と同様に周波数領域の解析となる．時間領域の解析法にはFDTD (Finite Diﬀerence Time Domain)法[5]，TLM (Transmission Line Matrix)

法[5]，FIT (Finite Integration Technique)法などがある．周波数領域の解析法にはモーメント法(MoM; Method of Moments) [6]や有限要素法(FEM; Finite Element Method) [7]などがある．また，図2に示すように，時間変化の度合いに応じて幾つかの近似がある．時間変化が非常にゆっくりで，時間変化項が0であると近似(∂/∂t = 0)できるとき，ファラデーの法則とアンペアの法則はそれぞれ切り離されて独立になり，静電界/静磁界の問題となる．時間変化はゆっくりであるが，透磁率μの大きな媒質が使われていて逆起電力の項が無視できない場合には準静磁界となる．準静磁界はコイルやモータなどの解析に使われる．時間変化はゆっくりであるが，誘電率ε の大きな媒質が使われていて変位電流の項が無視できない場合には準静電界となる．準静電界はキャパシタや強誘電体などの解析に使われる．これら三つの近似を用いると数値計算の負荷は軽減されるので，それらに特化した電磁界シミュレータも存在し，目的に応じた近似を選ぶ必要がある． 2. 2 励振/非励振問題の種類(励振問題/導波路モード解析/共振器モード解析) 電磁界シミュレーションをする前に，更に必要な知識として，図3に励振/非励振問題の種類について留意する必要がある．波源がある励振問題（E, Hについて方程式を解く問題となり，解は一意に決定される）図 3 励振/非励振問題の種類（励振問題/導波路モード解析/共振器モード解析）

Fig. 3 Types of excitation/non-excitation problems (excitation problem/waveguide mode analy-sis/resonator mode analysis).

を解くのか，または波源がない共振モードの解析（固有値問題となる）を解くのか，解析の種類を選ぶ必要がある．一般的には励振問題を扱う場合が多いが，どちらの解析もサポートしているシミュレータもある．図3では説明の都合上，マクスウェルの方程式のE, HからHを消去したEに対するヘルムホルツの波動方程式から説明している．図3 (a)の励振問題は励振波源を与えて，空間の電磁界分布を求める問題である．図3 (b), (c)は波源がない場合の解析であり，数値計算では行列の固有値問題に帰着される．図3 (b)の導波路解析は，同軸線路，導波管，マイクロストリップ線路などの進行方向に沿って一様な構造の導波路のモード解析を行うものである．図3 (c)の問題は共振器の共振モードの解析を行うものである．図3 (a)の励振問題で用いる励振波源のモデルとしては，図4に示すような電圧源，電流源などの集中定数素子の電源としての集中ポート（図4 (a)），同軸線路，導波管，マイクロストリップ線路などの導波路モードを直接入力する導波路ポート（図4 (b)），散乱断面積(RCS; Radar Cross Section)などを計算する場合に用いられる平面波入射（図4 (c)）などが用いられる．解析空間の電力の入出力部はポートと呼ばれる．図4 (a)の集中ポートは波長に比して小さいという近似が成り立ち，電位差を定義する経路Γ_V に沿った電界の接線線積分からV0 = − Γ_V E · dlで電圧が計算できる．電流を知りたい線路が貫く任意の面を

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図 4 図 3 (a) の問題の励振方法（集中ポート/導波路ポート/平面波入射）

Fig. 4 Types of excitation for problems in Fig. 3 (a) (lumped port/waveguide port/plane wave in-cidence). 考え，その面の周囲経路CIに沿った接線線積分から I0= CIH·dlで電流が計算できる．Z0= V0/I0は集中ポートの内部インピーダンスであり，解析に先立って設定する．Z0はSパラメータ計算の際の基準インピーダンスとなる．集中ポートは電圧を印加する電圧源または電流を印加する電流源と考えることができる．集中ポートはチップ部品やICなどのポートによく用いられる．また，アンテナ励振部を簡略化して給電線をモデル化しない場合にも用いられる(4.参照)．図4 (b)の導波路モードを直接入力する導波路ポートの解析の際には，図3 (b)の線路のモード解析を事前に行い，その結果を線路端部からの励振波源として用いる．導波路モードの特性として，図3 (b)の解析からモードの伝搬定数及び電磁界分布が求まる．伝搬モードとカットオフモードを含め，一般には無数のモードが存在するが，通常の導波路は単一モードで用いるので，多くの場合は一つの主モードのみ考慮する．解析空間内にポートを複数設定した場合には，ポート数の次元のS行列が得られる．S行列とZ行列(Y行列)は基準インピーダンスを決めれば変換することができる．ただし，線路の損失が非常に大きいときは，基準インピーダンスが複素数になる[8]．複素基準インピーダンスをサポートしていないシミュレータも多いので注意をする必要がある．平面波入射の問題はステルス戦闘機などのRCS解析に用いられることが多く，解析空間は開放領域を扱うことが多い．有限要素法やFDTD法で開放空間を模擬

するには吸収境界条件(ABC; Absorbing Boundary

Condition)という電磁波を吸収する境界条件が用いられる（モーメント法は自由空間として定式化しているので必要ない）．この名称はシミュレータによって様々なので，各シミュレータのマニュアルを参照されたい． ABCの実現にも斜め入射を含めた平面波を吸収するように定式化したMur (ムーアと読む)の吸収境界条件，シミュレーションでは実現可能な磁気導電率を導入して定式化した（任意の入射角で平面波の反射がない）PML (Perfectly Matched Layer;完全整合層)などの幾つかのアルゴリズムがある．Murの吸収境界条件など，境界に対して垂直入射に近いときは性能が良いが，斜入射の場合には性能が劣化するABCでは，図4 (c)の解析を行う際には境界上でも斜入射平面波があり都合が悪い．そこで，解くべき電界を散乱体からの散乱波のみとする散乱界表示が用いられる．全電界Eは既知の入射波Eincと未知の散乱波Esの和である．有限要素法の定式化ではE = Einc+Esをヘルムホルツの方程式に代入する．線形性からEincの項は等価的な波源として寄与し，真空の自由空間中では波源なしで0となる．真空でない媒質中ではEinc はヘルムホルツの方程式において，散乱波を発生させる波源として寄与することになる．すなわち，解くべき未知のE_sはEincによって散乱体内に誘起された等価波源からの放射となる．

3. 電磁界シミュレーションの流れ

本章では，電磁界シミュレーションの流れについて説明する．問題の種類を絞らないと説明が難しいため，ここでは励振問題解析（図3 (a)）について説明する．図5に電磁界シミュレーションの流れを示す．(1)∼(4) はユーザが行うモデル化である．(1)では電磁界シミュレータ付属のCADツールを用いて，直方体・円柱・球などの基本図形と図形の論理演算によって解析モデルを作成する．ここで，アンテナの解析などのように広い開放空間を打ち切る際は，どの程度の大きさまでモデル化するかが重要である（詳細は次章で述べる）． (2)では，描いたモデルの各部分に対して，実際の（実験）モデルに合うように空気，ガラス，銅などの電気材料定数(誘電率ε，透磁率μ，導電率σ)を設定する．この値も実物と一致していなければ当然ながらシミュレーション結果と一致する値は得られない．それゆえ，材料定数の測定も非常に重要であり，ミリ波帯などの高周波では特に分散性などもあって難しい問題となっ

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ている．もし，正しい材料定数がわかり，モデルの寸法も正確にわかっていると仮定すると，この部分の入力は誰が行っても同じである．次に，(3)の境界条件の設定と(4)の励振のモデル化である．FDTD法や有限要素法ではアンテナなどの解析を行う際に開放空間を有限の空間に打ち切るので，この部分を現実の実験モデルと合うように適切にモデル化できるかどうかがユーザの知識，技能に大きく左右される．本論文の説明の目的はこの部分にあり，詳細は次章で説明する．ここまで設定できればユーザの入力は完了となり，後はシミュレータが自動で解析を行う．シミュレータは (5)でメッシュ分割を行い，(6)で実際に行列方程式を解いて解析を行う．そして，(7)でユーザが解析前あるいは解析後に要求した特性情報を出力する．シミュレータによっては(5)のメッシュ分割に，必要な部分を細かくするアダプティブ・アルゴリズムを組み込んでいるものもある．この場合，初期メッシュでまず解析した後，再度メッシュを細かくして解析し，前回の特性よりも変化が許容できる程度に小さくなったら解は収束したとみなして終了，そうでなければ，エネルギーの高い部分のメッシュを細かく切って再度解析する．また，初期メッシュのサイズをマニュアルで設定できるものもある．あらかじめ細かくしなければならないとわかっている部分をマニュアルで細かくしておくと高精度な解が得られる．アダプティブ・メッシュ・アルゴリズムと併用すると，収束が速くなる．図5では図3 (a)の励振問題について説明したが，図3 (b), (c)の非励振問題については(4)の励振波源設定のステップがなくなり，(6)の解析においてソル図 5 電磁界シミュレーションの流れ（図 3 (a) の問題の場合）

Fig. 5 Flow chart of EM simulation (for the problem in Fig. 3 (a)). バは行列方程式を解く問題が固有値問題に変わるのみである．

4. モデル化の注意点：円形パッチアンテナ

の解析例

本章では，電磁界シミュレーションのモデル化の注意点について説明する．図6に電磁界解析空間を示す．空間内部をV，周囲境界をSとする． 4. 1 境界条件について V 内で構造及び材料定数を与えてモデル化するのは当前であるが，S上全ての場所で境界条件を設定しなければならないことも重要である．シミュレータによっては，何も境界条件を指定しない場合は初期値として，電気壁(PEC; Perfect Electric Conductor)としているものもあり，設定を忘れて気づかずに電気壁に設定されたままであることもよくある． ABCのアルゴリズムにはMur，PMLなどの幾つかのアルゴリズムがあり，ユーザが選択できるシミュレータが多い．しかし，自由度が高い場合にはどれを選べばよいか迷うことになるであろう．非常に高い精度を求めない場合には，図4 (c)にも示しているが，解析空間V 内の物体からABCまでの距離の目安として，1/2波長程度以上の距離を確保しておくとよい．その理由として，物体で散乱され，再放射された電磁波は球状に広がり，少し離れると等位相面の曲率半径は大きくなる．そして，Murの吸収境界条件は一般的に垂直平面波入射に対する精度は高いので，計算負荷が高いPMLを使わなくとも十分良い吸収性能を実現できるからである．アンテナ等の放射問題で利得や指向性を計算するときは，ABCから外部空間に放射される電磁波の計算が必要になる．ABCから外部空間に放射される電磁波は界等価定理に従って，ABC境界面上の電磁界を放射積分することで計算できる．図 6 解析空間と境界条件

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図 7 円形パッチアンテナの構造 Fig. 7 Circular patch antenna conﬁguration.

図 8 円形パッチアンテナの試作モデルの写真 Fig. 8 Photograph of a fabricated circular patch

an-tenna.

図 9 円形パッチアンテナのモデル化 Fig. 9 Modeling of a circular patch antenna.

例として，図7に示す円形パッチアンテナ(中心周波数2.45 GHz) [9]を取り上げる．試作モデルの写真とシミュレーションモデルをそれぞれ図8，図9に示す．周囲境界をABCとした有限の領域で打ち切られている．また，構造は円柱，直方体を組み合わせてモデル化されている．実際の反射係数の測定は図10 (a) のようにネットワークアナライザを用いて行われ，遠方界指向性の測定は図10 (b)のように電波暗室内で行図 10 実験環境

Fig. 10 Environment of measurement.

図 11 吸収境界条件の面とアンテナとの距離の反射係数への影響

Fig. 11 Inﬂuence of distance between ABC and the antenna. われる．これらの環境と図9のシミュレーションモデルは異なるが，解析したい特性に影響を与えないように，また計算負荷が大きくなりすぎないようにトレードオフを考えながらモデル化している．図11にABC の境界面とアンテナとの距離の反射係数への影響を示す．周波数2.45 GHzにおける解析なので，30 mmで約1/4波長，60 mmで約1/2波長である．約1/2波長以上離せば，ABCからの反射波の影響はなくなり，反射係数は十分収束していることがわかる．ABCがうまく動作しているかどうかを直感的に確認するには，図12のように電界強度の瞬時値のアニメーションを表示して，ABCに電磁波が吸い込まれているかどうか確認するのも一つの手段である．また，励振ポートから進行波が入射していることなども確認すべき項目である． 4. 2 励振モデル化について図4 (a)-(c)の励振モデルから，できるだけ現実のモデルに合ったものを選んでモデル化する必要がある．線路で給電する場合は，図4 (a)または(b)を用いることになるが，ここでも自由度があって迷うこともあ

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図 12 電界強度の瞬時値

Fig. 12 Snapshot of electric ﬁeld intensity.

図 13 ポートの励振電界分布とメッシュ Fig. 13 Electric ﬁeld distribution of the port and

meshes. る．円形パッチアンテナについては，図9 (a), (b)のようにそれぞれ導波路ポート，集中ポートでモデル化する方法がある．図9 (a)は素直にSMAコネクタの端子までモデル化したものである．また，同軸線路からパッチアンテナへの変換部分は波長に比して小さく，また，図9 (b)のように集中ポートで励振する電界分布は図9 (a)の同軸線路から広がる分布に類似しているため，図9 (a)を図9 (b)で近似することが可能である．ただし，反射係数も一致させるためには図9 (b) では集中ポートの内部インピーダンスは同軸線路と同じ50 Ωとする必要がある．反射係数の振幅は図9 (a), (b)のモデルでよく一致するが，位相はSMAコネクタの同軸部分によるずれがあるので，それを考慮すれば一致する[9]．図9 (a)，図9 (b)の給電に対するポートの励振電界分布を図13に示す．図13 (a)では同軸モードが確認でき，図13 (b)では基板グランドから上部パッチに向かって一様な電界分布になっているのがわかる． 4. 3 解析図5の電磁界シミュレーションの流れのステップ (5)∼(7)について具体例を示す．ステップ(5)のメッシュ分割では，図9 (a)のモデルを元に，図14 (a)の図 14 メッシュ（物体表面のみ表示） Fig. 14 Meshes (Display only on surfaces).

図 15 円形パッチアンテナの反射係数の周波数特性 Fig. 15 Frequency characteristic of a circular patch

antenna. ように初期メッシュが切られる．そして，アダプティブ・メッシュ・アルゴリズムを適用した場合，繰り返し解析すると図14 (b)のように細かいメッシュが出来上がっていく．アダプティブ・メッシュ・アルゴリズムが使われる場合でも収束させるために，細かいメッシュが必要だとあらかじめわかっている場所は，ダミーのオブジェクトを配置してその領域だけ手動で細かい初期メッシュを切るテクニックは有効である．近傍電界は図12のように描くことができる．また，周波数スイープ解析を行うと，図15のように反射係数の周波

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図 16 円形パッチアンテナの遠方界指向性 (2.45 GHz) Fig. 16 Far ﬁeld radiation pattern of a circular patch

antenna (2.45 GHz). 数特性が得られる．実験ともよく一致しており，適切にモデル化を行えばFDTD法に基づくシミュレータでもよく一致した結果が得られることがわかる．図16 に2.45 GHzにおける遠方界指向性を示す．E面(x-z 面)，H面(y-z面)ともにアンテナの裏側(±180◦方向)以外ではFEMの計算値との良好な一致が確認できる．アンテナ裏側は回折波のみで電磁界強度が弱く，かつ実験ではケーブルとコネクタがあるためシミュレーションと一致した結果を得るのはかなり難しい（モデル化，実験両方の問題がある）．

5. その他の問題の解析例

図17に各励振方法の電磁界解析規範問題の例を示す．これらを含む規範問題の解析結果のデータは電子情報通信学会エレクトロニクスシミュレーション研究会のホームページ[10]に掲載されているので，解析の練習及び確認のために活用されたい．図18に近年ミリ波帯RFICの開発で需要が高まっている高周波プローブ測定の様子の写真を示す．CMOS チップのパッドにプローブで給電する場合の励振モデル化は文献[11]に書かれているように，集中ポートでモデル化する幾つかの方法がある．また，化合物半導体のMMICなどでよく用いられるが，パッドを用いずに線路の開放端にプローブを当てる測定においては導波路ポートでモデル化してもよく合うことが確認されている[12]．図19にCMOSチップのダミーメタルの写真を示す．製造プロセス上の問題から，一定割合細かなダミーメタル（金属片）を入れなければならない．これは波長に比して微細で，そのままモデル化してシミュレーションすることは困難である．そこで，図3 (c)の図 17 各励振方法の電磁界解析規範問題の例 Fig. 17 Example of EM canonical problems for each

excitation type.

図 18 高周波プローブ測定

Fig. 18 Probe measurement in high frequency.

図 19 CMOSチップのダミーメタル Fig. 19 Dummy metal ﬁlls in a CMOS chip.

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固有モード解析を用いて等価材料定数を算出する方法が提案されている[13]．この手法はメタマテリアルの解析やハニカム構造の宇宙用アンテナの解析[14]にも応用できる．

6. むすび

本論文では電磁界シミュレータを適切に使いこなすための基礎知識を整理して説明した．また，モデル化において，境界条件と励振モデルが特に重要であることを強調して説明した．円形パッチアンテナの解析を例にモデル化の要点について説明し，他の各種解析に対する参考文献を紹介した．本論文が電磁界シミュレータ活用の一助となれば幸いである．謝辞本研究の一部は半導体理工学研究センター (STARC)，科研費，日本医療研究開発機構(AMED) の助成を受けたものである．測定は東京工業大学安藤・広川研究室及び松澤・岡田研究室で行われた．また，活動の機会をいただいた電子情報通信学会エレクトロニクスシミュレーション研究専門委員会，MWE 関係，シミュレータベンダー各社の皆様に深謝する．文献 [1] 平野拓一，“電磁界シミュレータ利用の勘所，” 信学誌， vol.100, no.5, pp.342–348, May 2017.

[2] 田口光雄，“電子情報通信学会誌電磁波工学教育におけるシミュレータ利用の可能性，”信学誌，vol.96, no.1, pp.41–45, Jan. 2013.

[3] 平野拓一，平田晃正，“マイクロ波・ミリ波分野における実測困難な問題へのシミュレーション技術の応用，”信学誌，vol.96, no.6, pp.401–405, June 2013.

[4] 田中正隆，“場の数値シミュレーション〔I〕—現象の数理モデルと数値シミュレーション技法—，”信学誌，vol.79, no.9, pp.936–942, Sept. 1996.

[5] 吉田則信，“電磁界解析の基礎とアンテナ工学への応用〔II〕—時間領域における電磁界解析法入門，” 信学誌，

vol.80, no.1, pp.75–82, Jan. 1997.

[6] 中野久松，“電磁界解析の基礎とアンテナ工学への応用〔I〕—モーメント法によるアンテナ解析入門—，”信学誌，

vol.79, no.12, pp.1236–1241, Dec. 1996.

[7] 田中正隆，“場の数値シミュレーション〔III〕—有限要素法入門，”信学誌，vol.79, no.12, pp.1229–1235, Dec. 1996.

[8] T. Hirano, “Review and another derivation of the power wave,” Microwave and Optical Technology Letters (MOP), vol.57, no.1, pp.26–28, Jan. 2015. [9] T. Hirano, J. Hirokawa, and M. Ando, “Inﬂuence of

the SMA connector and its modeling on electromag-netic simulation,” Microwave and Optical Technol-ogy Letters (MOP), vol.57, no.9, pp.2168–2171, Sept. 2015.

[10] 電子情報通信学会エレクトロニクスシミュレーション研究

会，http://www.ieice.org/es/est/activities/ canonical problems/

[11] T. Hirano, K. Okada, J. Hirokawa, and M. Ando, “Accuracy investigation of de-embedding techniques based on electromagnetic simulation for on-wafer RF measurements,” InTech Open Access Book, Numer-ical Simulation - From Theory to Industry, Chapter 11, pp.233–258, Sept. 2012.

[12] T. Hirano, H. Nakano, Y. Hirachi, J. Hirokawa, and M. Ando, “De-embedding method using an elec-tromagnetic simulator for characterization of tran-sistors in the millimeter-wave band,” IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol.58, no.10, pp.2663–2672, Oct. 2010.

[13] T. Hirano, N. Li, and K. Okada, “Analysis of eﬀec-tive material properties of metal dummy ﬁlls in a CMOS chip,” IEICE Trans. Commun., vol.E100-B, no.5, pp.793–798, May 2017.

[14] R. Jayawardene, T. Nguyen, Y. Takano, K. Sakurai, T. Hirano, J. Hirokawa, M. Ando, O. Amano, S. Koreeda, and T. Matsuzaki, “Estimation and mea-surement of cylindrical wave propagation in paral-lel plate with honeycomb spacer for the use in mm-wave RLSA,” Proc. Asia-Paciﬁc Micromm-wave Confer-ence (APMC), 3A4-03, pp.415–417, Dec. 2012. （平成 29 年 12 月 19 日受付，30 年 5 月 10 日再受付， 9月 11 日公開）平野拓一（正員：シニア会員） 1998名工大・工・電気情報卒．2000 東工大・電気電子・修士課程了．2002/2-2007/3 東工大・助手．2007/4-2018/3 東工大・助教．2018 現在，東京都市大知識工学部・准教授．2008 博士（工学）．電磁界解析，ミリ波測定技術及びオンチップアンテナ等の研究に従事．著書（共著）「電磁気学」など．