数学の学力と論理的思考能力について
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(2) . 数学の学力と論理的思考能力について. 大 久 保. １． は. じ. め. 和. 義. に. 以前， 筆者 は， 中学校， 高校， 大学の生徒， 学生に対して， 日常的な命題と数学的な命題に対し １ ｝ 日常で用 て， 論理の用い方 にちがいがあるか， ということを調査し， その結果について報告 した（ ． 、 ２ ） 日常的な命題というのは たとえば 、 いられる論理の様相 については，松尾氏他の研究がある（ ． ， ， あ の花は赤い．″などのように， これはその花を見る人によ って判断が異なる場合があり， 数学的には 命題とは言 えないが， 日常ではよく用いられているので， このような文のこと を言う， また， 通常 、札幌は北海道 にある都市である ″ など） を ここでは数学 命題とよばれているもの （たとえば， 、 ， ， 的な命題 という． そのときの結果として， ０中学校， 高校， 大学と進むに従 って， 日常的な命題でも数学的な論理 （論理学上の論理） を用 いる よ う に なる，. ｏ一般的 に， 理科系志望の生徒， 学生の方 が文科系志望 の者よりも数学的な論理を用 いている， ０中学校においては， 数学的な命題に関して． も， 必ずしも数学的な論理を用いているとは限らな し・ ．. ということを報告 した， また， 昨年， 算数・数学の学力に関する国際的な調査の結果 がマスコミ に大きく取り上 げられた， それによると， 我国では， 計算技能では優れているが， 論理的な思考力， 問題解決の能力 が劣っ て いると報告されている， 現行の算数・数学教育において， 論理的な思考能力を育成する， ということが重要視されている ことは， だれもが認めることであろう， しかしなから， 前の調査結果もふま えて， 筆者 は， 中学校 において， 必ずしも， 論理的な思考能力が育成されているとは言 えないと考 える， そこで， 中学校 の生徒に対 して， 一般的 に考 えられている数学の学力 と論理的思考能力との関係についてある調査 をしたので， そのことについての報告と私見を述べ る．. ２， 中学校における論理指導 我国の中学校にお ける論理の指導について歴史的にながめてみると， 緑表紙の教科書以来論理的 ３年に告示された学習指導要領において， 目標の４で， な思考力の育成 が主張されだしたが， 昭和３ 「ものご とを数理的にとらえ，その解決の見通 しを つける能力を伸ばすとともに確かな根拠 から筋道 １４１.
(3) . 大久保 和 義. を立てて考 えていく能力と態度を養う．」 が掲げられた． 具体的には， ２学年の目標 （ ５ ） で 「……， また， 図形に対する直観的な見方や考 え方をさらに伸ばすととも に， 論理の意義や方法について理 解させ， 論理的に筋道を立てて考 える能力を養う，」 として， １学年での， 主 に直観的な見方， 考 え 方 により， 図形の性質を理解する， ということに対し， 演輝的な推論 により図形の概念や性質を明 確 に して い く こ と を ね ら っ て い る． さ ら に， ３ 学 年 で は 目 標（５） で 「… …， 図 形 に つ い て見 通 す ， ，. 力や論理的 に考 える力をいっ そう伸ばすとともに， 論理の過程を正確 に表現する能力を養う，」とあ り， 考 え方の筋道を論理的に正 しく， 簡潔， 明確に表現する能力の育成をねらっている． あとで言 及するが， この目標が論理的思考能力 の育成を考 えた場合， 特に大切にもかかわらず， 現在， 軽視 さ れ て い る よ う に 思 わ れ る．. 昭和４３年 には， いわゆる現代化により， 学習指導要領が改訂され， 数学でも論理性が以前にも増 して強調された， まず， 総括的な目標で 「事象を数理的にとらえ， 論理的に考 え， 総合的， 発展的 に考察し， 処理する能力と態度を育成する，」とあり， さらに内容でも， Ｅ集合・論理が新たに加わっ て， 集合の考 え方とも関連 して， かなり形式的な形で一般的な論理指導がなされるようになっ た． 論理的な考 えが強調されたことに関しては， 判断の根拠となる事柄に目をむ け， これを検討する ことが挙げられるが， これは以前の図形指導だ けでなく， 数式指導の中にも取り上げ られたことが 一 つの現れである．また，基本命題－－「かつ」 ‐である」－－が ，「または」 ，「でない」 ，「……ならば…‐ 内容として入り， 数学だ けではなく， 日常生活においても， 論理的 にもの ごとを把握するとともに， 論理的に推論を進めることができるようにすることをね らっている， 推論の進め方 については， それまでの， 帰納， 類推， 演輝的な推論 の他に， 背理法などの間接証 明法が加わり論理的な考 えがここでも強調された． ２年 に改訂となっ た現行の学習 指導要領でも，論理的な思考力を養うことが基本的には数学 昭和５ 科のねらいの一つになっ てはいるが， 現代化 に対する反省もあり， 前回より はトーンダウンしてい ることは否定できない． 具体的には， ２学年の目標 （３ ） で 「……， 図形の考察における数学的な推 論の意義と方法を理解させ， 論理的に表現する能力を養う．」とあり， 仮定と結論の意味を明らかに して， また， 推論の根拠となる事柄を明確にして， 論理的に筋道を立てて正しい推論ができるよう にするとともに， その推論の過程を正 しく表現することができるようにすることをねらいにしてい る， さらに３学年では， 前学年 に引 き続いて， 図形領域で数学的な推論 に関する能力を伸 ばし， 図 形 について見通 しをもっ て論理的に考察することができるよう にすることを目 ざしている，. ３． 調. 査. 方. 法. ２ ．でも見てきたように， 数学教育の目標の一つに， 論理的な思考能力の育成が掲げられているが， 一般的 に数学の学力というときには， 現実 に， このような能力 はあまり評価されていない， より正 確 には， 評価される方法の開発が遅れているように思う． そこで， 筆者 はまず， 中学校３年生を対象に， 数学の学力と論理的能力の関係を調べてみること にして， 次のような調査を行っ た， 実際に調査 したのは， 札幌市内の中学校３年生クラス（ １２８名） で， 論理的な能力としては， 以下のような数学の内容としてはあまり関係せず， しかし， 論理的な 思考を必要とする問題７題をペーパー テス ト形式で行い， 数学の学力に関しては，２学年の最後に行 れた学力テス トを参考 にした． 比較は， 両方のテス ト結果をそれぞれ偏差値に直し， それにより行 っ た． １４２.
(4) . 数学の学力と論理的思考能力について. 論理的な能力 に関する調 査問題 は次の通りである。 ＊以下の問題は考 え方をみるものですから， メモ程度のものでも消 さないで下さし・ ， １． 体 重 の 似 かよ っ たＡ， Ｂ， Ｃ の ３ 人 が 次 の よ う な 会 話 を して い た，. Ａ：「ぼくが３人の中で最も重いよ，」 Ｂ：「Ｃ の方 がぼくよりも軽いよ，」 Ｃ ：「Ｂ の方 が Ａ よ り 重 い よ，」 し か し， 実 際 に体 重 を測 っ て み る と，３ 人 の 言 っ て い た こ と が 全 部 はず れ て い た． こ の と き， Ａ， Ｂ，. Ｃ を重い順に並べてみなさい． （その理由を記すこと） （解） （以下設問 ごと に解答欄 を十分に取 っ てある，）. 労. ／ “. ”. Ｚ Ｚ Ｚ ／汐 ノＺ. ／ Ｚ ／ ／. ４. ２. ”. 多 ６. ９ ２. のとき はいくつか． （その考 え方も記すこと）. ３． ５色の電球に対 して電気回路 が次の条件をみたすように設計されている， ） 白いラン プがつく とき， 青と黄 がとも につく， １ ） 青と白は少なくとも１つはつく， ２ ３）. 黄 のラ ン プが つ く と赤 の ラ ン プ も つ く．. ） 青 と緑はともにつくか， ともにつかない． ４ ） 赤と緑は同時につく ことはない， ５ このとき， どの電球がつきますか． また， その理由も記 して下さい． ４， Ａ 氏がうそつき島に着いたとき２人の島民 Ｂ，Ｃ 氏に会いま した． この島には正直族， うそつ き族の２つの民族 かいます， Ａ 氏 は Ｂ 氏 に 「君 は正直族かい？」 と聞くと Ｂ 氏 は自国語で 「ペ パ－」 と答えました． Ａ 氏はその言葉 がイエスまたはノーのどちらかを意味 していることは知っ ているのです が， どちらであるかを忘れてしまいま した． このとき Ｃ 氏が「この男 はね『イエス』 も 言 っ た ん で す よ， し か し Ｂ 氏 はと ん で も な い う そ つ き で す よ，」と言 いま し た． さ て， こ の ２ 人. のうち正直族はどちらですか． 理由も書いて下さい． ５， イ， 口， ハの３人の評論家 がある年の プロ野球の開幕前に次のように予想した，. 順. Ｉ. ２. ３. ４. ５. ６. イ. 巨. ヤ. 洋. 広. 中. 神. ロ. 広. 神. 中. ヤ. 巨. 洋. ノ、. 中. 神. 洋. 巨. 広. ヤ １４３.
(5) . 大久保 和 義. その年には， 広島が優勝・し， また６位 は阪神であっ た， さら に これらの評論家が予想 した順位 ， と結 果 が 同 じ で あ っ た の は１ チ ー ム ず つ で あ っ た こ の こ と か ら こ の年 の 順 位 は ど う だ っ た か ， ， ，. 理由を つけて答 えて下さい．. ６， 警部 はＡ， Ｂ，Ｃ の３人の容疑者 から犯人をわ り出そうとしていました また容疑者 は一 つの ． 真実と一 つの偽りを陳述していることがわかりま した， Ａ ：「ぼ く は そ ん な こ と を し な い し Ｂ だ っ て しや し な い さ 」 ，. Ｂ：「ぼくがそんなことするわ けないし， Ｃ も白だょ．」 Ｃ ：「ぼ く は しま せ ん ね． だ れ が し た の か ぼ く は 知 り ま せ ん よ 」 ． 警 部 はだ れ を 逮 捕 しま し た か． 理 由 を つ けて 答 え な さ い ， ７． あ る 晩， ６ 人 の 人 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ， Ｅ， Ｆ が 丸 い テ ー ブ ル を 囲 ん で ポ ー カ ー を. ０ ０. ０. していました， Ｅ はＣ の１つおいた右 どなり（図参照） Ｄ は Ａ の真向い そ ， ， して Ｂ は Ｆ の １ つ お い た 左 ど なり で し た‘Ｆ が Ａ の と な り で な けれ ば Ｅ の ｏ ， 右 ど なり はだ れ だ っ た で し ょ う か． 理 由 を つ けて 答 えて 下 さ い ，. ｏ Ｅ. ４， 調査問題における結果 まず， 調査問題 に対する結果の考察を行う， 各問題とも１０点満点 にして， 結果 は以下の表の通 りであっ た．. 問題. Ｉ. ２. ３. ４. ５. ６. ７. 計. 均. ６．２. ４．５. ２．５. ２，７. ５．９. ２．７. ７．９. ３２，３. Ｓ ．Ｄ. ４．２. ４．８. ３，６. ４．３. ４．６. ３．９. ３，６. １６．３. 平. これを各問題 ごと に見ていく， １． に つ い て. 解答で最も多 かっ たのは， Ａ，Ｂ，Ｃ の否定で， それぞれ 「Ａ は最も重くはない 」 「Ｂ は Ｃ よ り ，， ， 軽 い．」 ， 「Ｂ は Ａ よ り 軽 い．」 と い う こ と か ら Ｃ， Ａ，Ｂ の 順 に並 べ る， と す る も の で， 約 ３ 分 の １ ，. ４１名（このうち上記のよう にこと ばで表示 したのが２５名 記号（Ａ＜Ｂ など）で表示 したのが１２名 ， ， 図， 線分等で表示 したのが４名） である， また Ａ，Ｂ，Ｃ の並べ方６通りを考 え Ａ Ｂ Ｃ の発言 ， ， ， ， 内容から， 問題条件にあわないものを除いていく方法 を用 いたり Ａ での条件 から可能性 のあるも ， の， Ｂ， Ａ， Ｃ：Ｂ， Ｃ， Ａ：Ｃ， Ｂ， Ａ：Ｃ， Ａ， Ｂ を取り出し Ｂ とＣ の条件 から正解を導く という方 ， ， 法を取 っ た者が８名 いた， さらに，Ｃ の発言内容から Ｂ は Ａ より軽く Ａ の条件から Ａ が一番重 く ， は な く， 従 っ て Ｃ， Ａ， Ｂ， の 順 で あ る （す な わ ち Ｂ の条件 は必要としない ）という考 え方をする ，. ， 者が３名 いた． まちがい方で は， Ａ， Ｂ ，Ｃ の発言１つ， または２つの否定をしわすれたり， 問題文 を十分 に読まず に， Ａ，Ｂ，Ｃ の発言から判断して いる という不注意によ るものが多 かっ た 一方 ， ． １４４.
(6) . 数学の学力と論理的思考能力について. で， Ａ の発言の否定として， 形式的な否定， すなわち， Ａ が一番重い， に対して， Ａ が一番軽 い， と考 えている生徒が５名いたが， 機会ある ごと に， 実質的な否定の方法についての理解をさせてい くことが必要である， ２， に つ いて. この問題 は， 我々が通常用 いている十進法のしくみ が四進法 に応用できるか， または， それらの 数を与 えている図のきまりが何かを論理的に考 えることができるかを調べ る問題である， 四進法の 方 法 だ と か， 左 の マ ス に移 る ご と に １ マ ス が４ 倍 さ れ て い る とし・う こ と に気 が つ い た の が ５３ 名 で. あっ た。 その他に正解として考 えられるのは. ［：］じ６ ４ １ ） ） １２. ３. ２十１ ６＝２０ ８という考 え方をしている ６×１ を推測して， それぞれの階差から， １６＝４×３＋４ □ ＝１ 者（ ３名） ， 中の２つは， ， あるし・は， 数のおかれている位置 が左右対称と考 え， 両はじが１マス１ 上段が１ えるとよい （ ２名 ）などがあっ た， ０として考 ９から 中 下段が４ 問題での３番目の図が２ ， ， ， ２ ２２ ４ ２ ２ 尚， 大 学 生 へ の予 備 調 査 で は， 右 か ら順 に１ マ ス が， １ ， ， ， ７ と い う も の も あ っ た． 誤 答 と し ２ ２ ２２ ４ ２ て は， 右 か ら １ ，４ ， １６ ， ３２ が そ れ ぞ れ ５ 名， ６ 名 と おり， さ ら に解 答 な し ， ， ， １６， ま た， １. が３１名いた， 小学校入学以来， 長い間， 数について学んできているにもかかわらず， 位取り記数法 のしくみ が十分に理解されていないのが大きな原 因として考 えられる， ３， に つ い て. 、仮に白 出題された問題の中で， 最もできが良くなかっ た問題である， 正解での模範的なものは，、 ）より緑がつく， すなわち， 全部 がつくすとすると， １ ）より赤 がつき４ ）より青， 黄がつく． よっ て３ ）より緑がつく， ５ ）より赤 がつく が， これは５ ）より青 がつく， ４ ）に反する， だから白 はつかない． ２ ″ ）より黄もつかない， 結局， 青と緑がつく， であるが， このような解 は１１名 はつかない， よ っ て３ だ けであっ た， これと同じような考 えを表 にして 白. 青. 黄. 赤. 緑. ０を. ０. ０. ０. ○. としている者２名， また. ［ １ １. １一 」. のような図で考 えた者２名いた， さら に， 図 が不正確で青， 緑を出しているの か５名， 答のみ（青， 、白がつくとして の仮定をおいて 全部つく ６名であっ た， 誤答しては， 、 緑） を出しているのが１ 、 、 ， １４５.
(7) . 大久保 和 義. 、白がつく として １ から矛盾， よって全部つかなし・とする者 （形式的な否定） が１１名， 、 ） ） 、 、 ） ，２ ，３ ）より緑がつかないとする者が１１名おり， 証明， 推論での仮定と結論 より白， 黄， 青， 赤がつき， ５ の意味， さらには， 背理法の使い方が十分に理解できていないことがうかがえるが， この点は， 今 後， さらに研究を進めていく必要があろう， 解答なしは１６名であっ た， ４． に つ いて こ こ で の解 答 は の ポ イ ン ト は， Ｂ 氏 が 正 直 族 で も う そ つ き 族 で も，「イ エ ス」と 答 える こ と で あ る．. 実際に， このことを知っ て， Ｃ 氏が 「Ｂ 氏 は『イエス』 と言 っ た」 と告げたので， Ｃ 氏は正直族， Ｃ 氏の発言より Ｂ 氏 はうそつき族である， という正解を出したのが１１名 である． その他，Ｂ を正直と すると Ｃ 氏はうそつき族になり Ｃ 氏の発言から Ｂ 氏 は「ノー」と言 っ たことになり， 矛盾する． 故 ２名） に Ｂ 氏 がうそつき族で Ｃ 氏 が正直族である． （ ， Ｃ 氏 がうそつきならばＢ 氏は正直， よって， 「ペ パ －」 は 「イ エ ス」 を 意 味 し， Ｃ 氏 の 「こ の 男 は『イ エ ス』 と言 っ た ん で す よ．」 に矛 盾 す る． よ っ. て Ｃ 氏が正直族である （ ２名） ， という正解答があっ た， また， Ｂ がうそつき族ならば「イエス」 と答 え， このことが Ｃ 氏の発言と一致して Ｃ 氏が正直族 である， という十分条件だ けで示 したのが３名 おり， ここでも論証の意味が問題とされる， Ｂ 氏が正直族とした者 には， Ｃ 氏が正直族のとき， Ｂ 氏 は 「イエス」 と言 っ たことになるが， 「Ｂ 氏 はうそつきだ．」と言っ ているからＣ 氏はうそつき族である， よっ て Ｂ 氏が正直族である， とし・う のが４名いる． 理由なしで，Ｂ と答えたのが２１名，Ｃ と答えたのが１４名， また無解答が１５名であっ た． この問題でも３ ， と同様に， ……ならばとし・う仮定を自ら設 けて思考 していく形態に弱点が見ら れる． 実際の生活においてはよく用いられる推論であり， このような力の育成も大切なことである， ５． に つ いて. この問題では，１ ，６位が決ま っ ており， 問題の条件より必然的に４位が巨人となる． 残りの３ チ ー ムが２ ，３ ， ５位であるが， 条件より３位がヤクルト， ５位 が大洋となり， 残りの中日が２位となる， この解答が８１名 （解答のみもこめて） で， 問題の意味を取りちがえていると考 えられる（各順位に １人 づ つの評論家 が正解 していると， とらえている，）生徒が３１名 で， 出題のしかたに問題があっ た ように思う． 解答なしが６名である． この問題では， 野球の問題で， 比較的皆 に興味 があっ たのと， 否定の文が入 っていないことから， 生徒達にもえやすかっ たと思われ， よく解答されていたが， 先 の こ と か ら， 点 数 的 に はよ く な い， ６． に つ いて. ，Ａ で， 「ぼくはしない．」を真とすると， Ｂ が犯人である， 故に， Ｂ の証言より Ｃ は犯人でない． よ っ て Ｃ の証 言 で Ｃ はしない， が真で， 犯人が唯かを知 っている， となり矛盾 しない． 一方， Ａ の 証言で， Ａ が犯人とすると， Ｂ は犯 人 で な い， よ っ て Ｂ の証言から Ｃ が犯人であり， Ｃ が犯人を知 らないというのは矛盾する， 結局， 犯人 は Ｂ である， とし・う考 え方をしたのが１７名である． ま た，. さ謡 隣. 雪 Ｂは犯人でない ・ 唖 Ｃが犯人. （＊） Ｃの証言で Ｃ が犯人を知 らないのは矛盾 Ｂ が犯人÷→Ｃ の証言 にも矛盾 しない よ っ て Ｂ が犯 人 で あ る と し た の が ２ 名 で あ る， １４６. 諦）.
(8) . 数学の学力と論理的思考能力につし・て. 不十分な解 としては， Ｂ を犯人とすると， Ａ，Ｂ の証言で真偽が１つず つでて， Ｃ では， 「ぼく は知 りません，」 が偽と なり， 矛盾 しない， よ って Ｂ が犯人であるとしている が１４名おり， 十分条件の みで考 察している， ４ ， と同様に， 推論の理解が不十分であり， 正 しい推論の方法を身につけさせる ２名 指導も必要であろう． その他， 解のみが Ａ：１１名， Ｂ：１７名， Ｃ：２名であり， また無解答 が１ で あ っ た， ７， につ い て. ７題の問題の中で最 も成績が良かっ た， 問題での図を用いて，その中に記入して解答をしてし・る生 徒が多く， 考 え方がわかる書き方 は満点 とした． まず設問より， Ａ，Ｄ の２人が入る位置 がきまり， Ｂ が Ｆ の１つとなり， Ｆ が Ａ のとなりでない ９名， 図で位置を示している ことから， 全ての位置が決定される， 論理的に文で説明しついる者 が３ Ｆ １名であっ た． のが５４名 （正解者） であっ た， また， の位置を誤 っ た生徒が８名， 解答 なしが１. ５ ． 数学学力と論理的能力の関係 はじめに， 結果をながめてみると， 数学の学力 （先 にも注意したように， 学力テス トにおける数 学の成績） と論理的な能力 （４ ， における調 査の成績） の相関図は次の図のようになる． 数学学力 ｏ ８ ０ ．. ｌ. ｌ. ｌ. . . . ６５ ．Ｑ. ｉ ・. ５０ ．Ｑ ÷. ”. ３５，Ｏ. ２０．Ｑ. － ” … １ ： － ． 一－ ： － －－－－ － ： － …孝 － － ” － ．ｈ … ‐ ： ； － － － － ” ， ： “ キ メ－ ニー！ ÷. ミ － ”. ．・. －” ” ”. ”－. －. － ”. ｌ. . . . … ：. －. き. ‐. ÷. －. ； Ｏ．Ｏ ２. ３５・０. ５０．Ｏ. ６５・Ｏ. ８０ ．０ 論理 的 能力. 筆者 は， １， で一般的な傾 向として， 数学を得意とする者 （ここでは， 先の意味で数学の学力 が 高い者） がより数学的な論理を用いている． しかし， 中学校では数学的な命題 に関しても， 論理の 用い方が不鮮明であることを報告 したが， 今回の調査で， 中学校 においては， 数学学力の高い者 が， 必ずしも論理的な思考能力 が優れているとは限らない， という結果がでた，（このことは， 別の調査 ３ ）とも一致する ） ２ でも見てきたように 算数・数学科の目標で論理的 における佐々木等の結果（ ， ， ， １４７.
(9) . 大久保 和 義. な思考能力の育成ということが， かなり強調されているのであるが， この結果から， 学力 と比較 し て， 十分にはその意向が達せ られていないように思われる． 図における両者の相関係数 は０．３７で， いるし・ろな見方ができようが， 数学の特質を考 えたとき， 筆者 は， 非常に低し・値と考 える， この原因について考察してみよう． 図 か ら， 次 の ２ つ の グ ル ー プ が 抽 出 さ れ る．. ⑦ グループ－－数学 の学力と比べて， 論理的な能力が著 しく低い者 〔（５ １ ） ） ３８ ５７ ， ７８ ，（ ，（ ， ７７ ， ６６）， （４６ ， ６４） ， （５２ ， ６７）， （３８ ， ５３） ， ５８） ， （３６ ， ５７） ， （３０ ， ５２） ， （３０ ， （３６ ， ５８）〕. ⑫グルー プ. 数学の学力と比べて， 論理的な能力が著 しく高い者 〔（ ３ ７ ） ３ ３） ７ ７３ ， ５１ ，（ ，５ ，（ ，. ５８） ， （６９ ， ５３） ， （６９ ， ３９） ， （６７ ， ４５） ， （６２ ， ３４）， （６１ ， ４６） ， （６１ ， ４０）， （６０ ， ４４）〕. （注 （α ） で” は論理的な能力， ６ は数学学力を表す．） ，ろ ⑦グループでは， このテス トが成績 には関係 しないので真剣に取り組まなかっ た生徒が若 干名い たかも知れない， しかしながら， もっ と大きな原 因として考 えられるのは， 小・中学校， 高校の算 、数学的な考 え方 が重視されている （少なくとも形の上で は） にもかかわ 数， 数学教育において， 、 、 、 らず， 現在の中学校， 高校が， 高校に入学するための予備校的な傾向が強 く， しかも， 入学試験で は， 数学の問題 においては， 求答の方に重点がおかれていて， 途中の過程 はさておき， 結果のみを 要求することが多く， 論理的な考 え方の評価される場面 が少 ないこ． とである， このようなことから， 授業においても， 形式的な指導 に陥りやすく， また， たとえ， 教師が， 数学的な考 え方を意識 して 指導 しても， 生徒は論理的な理解よりも， 形式的に公式にあてはめ， 答を求めようとする （それに より良い点数がとれる．） 傾向があるのではなかるうか． これらは， 中学校の授業でもよく見 られる． たとえば， 正， 負の数 の計算で， 正の数と負の数を かける時， 教科書の公式を書 いてあるペ ージをめくりながら符号と数値を記入したり， 作図の問題 で， 図を書くことはできるが， 何故そうすればよいのかが説明できない， などである， このようなことは， 小学校の授業でもよく見 られる， １つ例を挙げると， 小学校６年生の授業で ， 分数の割算， ４÷÷を学習していて， 子供 熟ま形式的には解を求め られたが， 教師が図で. 詳. ４. ５ キ. を示 し， ４÷ ト ５÷である． これではどうしてよくない のか， と質問をしたときに， 説明できる子 がいなかっ たということである． これらの例 は， その学習内容の持 っ ている概念 意味 方法の論 ， ， 理的な理解はともかく， 形式的に内容をおさえ， あとは反復練習という， 現在の算数・数学学習 の 傾向を如実 に表 しているのではなかるうか， もちろん， 学んだことの習熟と それを利用 したり ， ， 発展させたりすることが大切であることに疑いはないが， そのためにも学習するも のの概念， 原理 ， 意味などを正しく理解することが極 めて重要である， さらに述べておくこと は， ２． でも述べてきたよう に昭和３３年以来の学習指導要領でも 推論の ， 過程を論理的 に正 しく記述することが大事に考 えられているが， 上記のような理由もあって その ， １４８.
(10) . 数学の学力と論理的思考能力について. 目標 が達成されているとは考 えられない， 筆者 は， 論理的な思考能力は， 自分の考えを正 しく表現 することにより養われてし・くものと考 える， 算数・数学科教育においては， 最も多く用いられる表現の方法 が記述であり， 従っ て， 記述する 能力を育てることが大切 なのである． 論理的な記述ができていない例としては， 最近の大学の入学 試験 （二次試験） の答案でも どのような仮定で， どのよう にして， その結果 が導かれたのか， 何を しようとして， どんな方法でそのような計算をしたのか， 等の思考過程 がうまく伝 えられない， ま たは論理的に飛躍しているが数多く見られる， ということが挙げられる． 例えば， 本年度の本学の. 入試問題で ３について次の各間に答えよ 廟 ま定数とする． 関数ｙ ゴ ＋ 〆 ±★ ＠－ 鍍 壕 α ， 問１. 極大値と極小値を求めょ，. 問２. の ・のとき， 区間－ 〒 ≦ｏにおいて， 最大値と最小値を求めょ・」. というのがあっ たが， 間１からｙ二′（ ェ）として， 極大. 値は′（－〒. ザ十島 極小値は′（－〒 ）＝. 号－晶が求められ， 問いの最大値， 最小値を求めるに. （ 一キ. ，. ） 身. （ｏ， ３ ）. は， 図を書くことにより， 最小値 は明らかに極小値と 一 致 し， 最 大 値 は， ′（０）と極 大 値 を 比 較 して， 大 き い. 方とすれ ばよ いことがわかる が， 解答として， すぐに，. 彰一. ／ 〃－， ． Ｌ－ 『 ｒ すα－ ，. ２＠＋２ ） ） 十 券 身＠－・. の １よりこれは常 にｏ以上で， 最大値は 彰 といぅのが目立っ た， 考 え方の記述 が しっ かりしていれ ば，. ′（－〒） ′⑪－. ３－３α－２ ） 一身（α. ） －★（ α十 が（ α－２ よ っ て， α＞１ よ り. １＜”≦２ のとき 飾）－′（－ 〒 ）≦ｏ の２. のとき 節）－ｆ（－ 〒 ）＜○. １４９.
(11) . 大久保 和 義. ゆえ ね ＜”≦ 城 き最大値瀦－－雪 当昔 場 の２. のとき最大値 伽 －ｏで 影. というよう に， 誤りも少 なくなるであろう． 学校数学において， 論理的な思考能力を育成し， より確かなものにするためには， まず第一に ， 自分の考 え方を正確 に書くことができるということが重要であり， 教師も十分 に意識して その指 ， 導にあたるべきである． ⑫ グループ は数学の学力に対して論理的な思考能力が高 いと考 えられるグループである． 人間 は 生活しているときに， いろいろな場面に出会う， そして， その度 に， それまで学んできたこと 経 ， 験 してきたことなどを手がかりに， 様々 な思考をめぐらし， 何らかの判断をして次 の行動を決定す る， 他人に自分の考 えを伝えたり， さらには人と議論をしたり， 情報を交換したりもする， 論理的 に考 える力 は， そうした中で自然 に培われる部分がかなりあると考 えられる． 学校教育において は， 他教科と比べて， 算数・数学がより論理性 に富んでいる， ということから ， 算数・数学の学習 により， 論理的な思考能力が育成される部分が大きいと考 えられる． 数学という教科 に目をむ けてみよう． 数学 は， 数学独自の用語 （定義） と， それらに関する約束 規則 （公理） を土台として， 論理的な推論を行ない， いろいろな命題を構成 し， さらにそれらを－ 般化 したり， 抽象化 していく， はてしない建築物のようなも のである． 従って 数学で論理的な思 ， 考を進めていくとき， その土台となっている用語， 規則 の理解 が非常 に重要な役割をはたす， よ っ て， 一般的 な論理能力があっ ても， 数学の場合 には， ある約束， 規則 のもとに その枠内で論理を ， 展開させなければならなし・ところに難しさがある． 用語に関していうと， 学年が進むに従 って用語の意味がかわるもの（たとえば， 小学校段階では ， 整数とは自然数全体と０ であるが， 中学校では負 の整数全体を加 えたものとする． 図形 においても ， 小学校では円としては円板を考 えるが， 中学校では円周のことを意味する など） があっ たり ま ， ， ぎらわ しい概念の用語（たとえば直角と垂直， 比と比例， 時刻と時間， 未満と以下 平方と平方根 ， ， 錯角と同位角， 一次式と一次方程式と一次関数など） さら 半径などのよう 定義は中心か には に ， ， ， 、半径５ｃ ら円周までの直線としてありながら， 、 ｉ ’ ２の円…、 、 などのように中心から同周ま での距離を 思わせるような書き方がされ ている（大学生でも距離と思っ ている者がかなりいる．）用語があるな ど， 生徒にとって， 用語を理解するのでも困難なところがある． 先程， まぎらわしい用語として， 一次式と一次方程式 のことを挙げたが， 一次方程 式を解いてい. くとき，青；＋ にｏ などは， 等式の性質から両辺を２倍 して 託 ＋２＝ｏ. 故 に エニ ー２. と 出 せ る が，. このことを学 習したあとでの式計算では ず 十１を分母を はらっ て ｘ＋２として計算する 等のこと ， がよく見られ， 生徒がどの枠内で， どのようなことが成 り立つかを十分に理解しきれないうちに ， 次の段階に進んでいって しまう， という面があると思う， より言 えば 現在の算数・数学科教育 に ， おいて は， 内容がかなり精選され ているとはいえ， まだ時間数 に比較 して 学習される内容が豊富 ， であり， 生徒がその内容を十分に把握 しないうちに， 時間が過 ぎていってしまうということがある ので はなかろうか． 一方， たとえば，２つの整数 の最小公倍数を求める時に 教科書では素因数分解の方法を用 いる が ， ， １５０.
(12) . 数学の学力と論理的思考能力について. 求め方はでていても， 何故そのようにするとよいかがあまり説明されておらず， そこで悩んでいた り， また， 角すし・の体積を求めるのにどうして３分の１をかけるとよし・のかが理解で きずに， その ことを一生懸命 に考 えている子， などに出会っ たが， このような考 え方 が大切 にも かかわらず， こ れらの疑問 に十分に答 えうるような書き方 が教科書ではなされていない， 従って， 特に， 論理的に 理解しようとする生徒 にとっては， 大きなつまずきとなり， 数学の学力 が伸びないということが考 えられる． そうした意味でも， 教師が， 生徒のそうした疑問をとり除き， その生徒の能力 が十 分に発揮でき るような指導 ができる力量を持つ ことが必要である．. ６． ま. と. め. 小・中学校， 高校の算数・数学科教育では， 一貫して論理的な思考能力の育成ということが大事 にされているが， 本調査結果では， 中学校においては， 数学の学力が優れている からといって， 必 ずしも論理的な思考能力 が育っ ているとは考 えられない，その大きな原因 としては現代の社会では， 中学校・高校における学習 が， 高校， 大学の入学試験 と大きくかかわっており， そこでの数学の試 験内容が， 論理的な思考能力 についてはあまり評価されず， 形式的な理解をためすことに， 大きな ウェイ トがおかれている， ということが考 えられる． 高校入試でも， 論理的な思考をそれ程必要と し な い く と も， か なり よ い 点数 がとれ， しかも解答そのものが結果のみ を要求する問題も数多くあ 、論理的な記述をする″に関して軽視されることに り， 入試を目的とする中学校の指導においては， 、 なる． このようなことから， 中学校での定期試験， 学力試験等でも， 同様の問題となり， それによ り数学の学力 が評価されるため に， 生徒 は内容を論理的に理解 するよりも， 公式を形式的に暗記 し て， それに数値を代入して解を求める， これが数学の勉強だ， という考 えを持ってしまうことにな る，. また， 大学入試でも， 共通一次試験 においては， ほとんどが， 考 え方 はどうであっ ても答があえ ばよ い求答問題であり，考 え方を試す問題でも自らが論理を組み立てていくのではなくて，１つの型 に制限された考 え方で間をうめていく， という形のために大学入試を目的にしている高校でも， 中 ミ 能力の育成を目ざした教育 とはな 学校と同様 に， 形式的な理解に力 点力 ，おかれ， 真の論理的な思考 ら な い． 従 っ て， 大 学 入 試 の 二 次 試 験 に お ける 先 の 例 の よ う な こ と に な っ た り， さ ら に は， こ の 影. 響や大学まで続き， 数学科の学生でも， 試験の時には， 定理の証明をするのに， 講義でなされたも のを一字一句暗記 して， それをそ のまま答案に書き， 定理 の 内容を論理的に理解しよう とする姿勢 があまり見られない， １． でも述べたような国際的な調査結果であると か， よく， 欧米の学生と日本の学 生を比較 して， 知識量でははるかに日 本の方が優れている が， 論理的に考 え， 表現し， 行動することにかけては全 く太刀打 ちできない， と言われている が， 小・中学校， 高校での教育を考 えたとき， やはり， 論理 的に考 える場 が十分 に保 障されていないように思われる， 先 にも述べたよう に， 論理的 に思考 する 能力 は， 数学の学習 だ けから育成されるものではないが， しかしながら， 数学の特質から， 数学科 が大きな役割を担っていることは否定できない， 以上 のことを考 察した場合， 算数・数学科教育において， 論理的な思考能力の育成 を重視 したと き， 算数・数学の学力の評価について考 えてみる必要 があるだろう． それには， 現在の入学試験， 入社試験 （中学校の教員採用試験 （数学科） でさえ） における数学の試験で， 解答として結果のみ １５１.
(13) . 大久保 和 義. を要求し， その考 え方がほとんど評価 されないが まずは そのあり方が改善されるべきであり ， ， ， 知識を偏重する数学科教育で はなくて 形式的ではない 本当に論理的な思考を大切 にした 特に ， ， ， 思考過程を正しく記述できるよう な数学科教育がなされることが必要であろう ， 筆者 は， 今後， 中学校現場 の教師の協力を得て 論理的な思考過程の正 しい記述を目 ざした数学 ， 教育のあり方の追求と， その論理的思考能力 の育成への効果 について研究を進 めたい ．. 参考文献 （ １ ） 大久保和義 「日常における数学的論理」 北海道教育大学紀要ＩＣ （ １９８３ ） ４（ １ ）；２ １３一２ ２６ ，３ ， ｛ ２ ） 松尾吉知， 栗原幹夫， 味八木徹， 田島 稔 「日常論理の様相について」 日数教会誌 数学教育学論究 （ １９７７ ） ， ， ３１：１－３３. （ ） 佐々木幸一， 西田 勉， 谷口 孝， 平井敏夫 「児童生徒における論理的思考能力の発達 について」 北海道教育 ３ 大学紀要ＩＣ （１ ９７２ ） （１ ）：２３ ８一２ ５３ ， ２２ （ ） 中学校指導書 数学 文部省 （ ４ １５ ５ ９ ０ ） ８ ， １９７ ， １９７ （本学 助 教 授. １５２. 札 幌分 校）.
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