ライツアウトパズルの解析：有限体上の線型代数の応用として

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(1)平成24年度. 学位論文. ライツアウトパズルの解析一有限体上の線形代数の応用として. 兵庫教育大学大学院. 学校教育研究科. 教科・領域教育学専攻. 白然系コ一ス. M 1 0 1 7 7 B. 中原諒太.

(2) 1. 目次第1章 Fp上の線形代数 1，1体Fρ。 1．2ベクトル空間． 1．3線型写像1．. 5 5. 7 15. 1．4 イ了夕1」．. 18. 1．5 行列式．．．. 24. 1．6 内積空間．．1．. 27. 第2章σゲームについて. 37. 2．1. グラフ上のσゲーム．. 38. 2．2. 奇点定理．．．．．．．．. 40. 2．3. σゲームと線型写像．．. 42. 2．4. A111ゲーム. 47. 第3章長方形グリッドのσゲーム. 51. 3．1 み，。上の特性写像. 51. 3．2 Kerσについて. 54. 3．3 λ㌫に関する言十算、．．. 62. 3．4 片肌，n上のσゲームが解けるm，ηの条件．. 66. 謝辞. 73. 参考文献. 74.

(3) はじめに研究の目的本論文では数学分野の基礎である線形代数の応用，特に行列を利用した研究について記している．線形代数は様々な分野の基礎であり，数学分野だけでなく，理学・工学を問わず多くの場面で応用されている．つまり線形代数は数学を学ぶ上では必要不可欠である．しかし，昨今高校での行列の扱いは極端に縮小されている．学習指導要領改訂により，2012年度から行列は教科「数学活用」でのみ取り扱うこととなった．しかし，数学活用は多くの高校で開講されていなかったり，履修者がほとんどいないことから，事実上取り扱われていない状態である．. 確かに行列は線形代数の基礎であるがゆえに，高校数学の範囲ではどうしても計算方法に重きをおかれてしまう．行列の計算はそれまでに習っていた計算方法と大きく違い，分かりにくい上に，その学習に面白さと意味. を見出しにくいことも否めない．それが現在のように行列の扱いが縮小されたことの理由の一端であろう．. 筆者自身も高校で行列は学習したものの，知識としては計算方法を知っている程度のものであったし，大学でも線形代数を詳しく学んでこなかった．しかしながらこの論文作成を通して，線形代数・行列がどのように応用されるのか，どのように便利なのか，どのような意味を持つのかなどを，身近で理解しやすい応用例を用いて，初めて学ぶことができた．このように身近で親しみやすい題材を通した線形代数の応用として，ライツアウトパズルの解析を行うのが本論文の目的である．. 研究の内容本論文の最終目標はライツアウトパズルの解析である．ライツアウトパズルとそれに類似したパズルはいくつかあるが，その中でも有名なもの.

(4) は5×5の格子状に並んだライトが，ランダムに点灯または消灯しており，そのライトに触れると，そのライトとそのライトの上下左右についているライトの点灯・消灯が切り替わるというルールの下，いくつかのライトに触れて全て消灯させることを目的としたパズルである．日本では1995年に株式会社ダカラから発売された．今では，インターネット上に様々な類似ゲームが存在している．このライツアウトパズルの構造は，初等的な線形代数の概念に置き換えることができ，ベクトル空間や行列の概念を用いて解析を行うことができる．また，本来ライツアウトパズルは長方形のグリッド状になっているもの（ただし，製品化されているもののほとんどは正方形のグリッド状）であるが，長方形のグリッド状に限らず，一般的なグラフ上でのライツアウトパズルを考察することもできる．このライツアウトパズルを本論文上では σゲームという．. 長方形のグリッド，もしくは一般的なグラフ上のσゲームにおいて，任意の状態にある操作を加えて，全て0の状態にすることができるとき，このグリッド・グラフをσ可移であるということにする．特に長方形のグリッドに関しては，そのグリッドがσ可移かどうかを決定するのが！つの主要なテーマである．. 論文の構成第1章では，体・ベクトル空間・線型写像・行列・行列式・内積空間を定義している。本論文で扱うFpについては，さまざまな点で実数と異なった性質を持っているので，その点に注意しながら定義を行った．第2章では実際の例を提示しながら，一般的なグラフ上のライツアウトパズルについて解析（σゲームの解析）を行った．各頂点に順番を付け，各頂点にボタ. ンとライトがついているものとし，ライトの状態とボタンの操作をF2の元O，1と対応付けをした．さらに，それを縦に並べ，頂点の状態や操作をベ. クトルと同一視した．また，それぞれの頂点がどの頂点とつながっているかを表す隣接行列を定義し，一般的なグラフ上のσゲームを行列とベクトルの積に帰着させた．その結果，一般的なグラフ上のσゲームがどのようなときにσ可移であるかを，特性写像と呼ばれるある線型写像の全射性に帰着できることがわかった．さらに，いかなるグラフであっても，全てのライトが点灯した状態からであれば，全てのライトを消灯させた状態にすることができるという定理を得た．.

(5) 第3章では，本来のライツアウトパズルの形に戻って，m Xηの長方形グリッドみ，、におけるライツアウトパズルを考えた．この章では，長方形のグリッド上の頂点の状態を行列と同一視して考える．ゲームのルールに基づいて，各頂点の操作と状態を行列で表し，み，肌がσ可移であるかどうかをmη次元のベクトル空間上の線型写像σと関係付けた．これを，ある行列の固有多項式の行列の計算と関係付けることにより，あるm次（またはη次）の行列の正則性に帰着できた．. 本稿の最後では，実際に1≦η≦11（η≠6，10）の範囲で具体的にmがどういった条件のときに解法を持つかを行列式の計算によって求めた．.

(6) 第1章. 1Fρ上の線形代数. 一般に高校では，R係数のベクトル空間を扱い，大学ではそれに加えて C係数のベクトル空間を扱うことが多い．しかし，ベクトル空間は係数が体になっていればよく，係数体はR，Cに限らない。本論文では有限体1Fp 上のベクトル空間を考える．. 1．1体Fρ 定義1．1．1集合3土に同値関係∼があるとする．3の元”に対して， 0（z）＝｛μ∈3レ∼z｝を，”の定める同値類という．このときzを0（”）の代表元という．. 集合3に同値関係∼が与えられているとき，同値類01，02に対して 01∩02＝φもしくは01＝02が成り立つ．よって，集合3土の全ての異なる同値類0。（α∈λ）を考えると，σ4∩0ゴ：φ（乞≠ゴ，壱，ゴ∈A）かっ，. ∪0α一3となる・ α∈一4. 定義1．1．23土の同値関係∼に対する全ての同値類の集合，つまり｛0（”）一”∈. 3｝を5の∼による商集合といい，5／∼と表す．定義1．1．3ηを正の整数とし，Z上の同値関係∼を次のように定める．すなわちπ，μ∈Zに対して ”∼μ⇔あるん（∈Z）が存在して”一μ＝舳. とする．実際，この∼は同値関係であり，このときZ／∼をZ／ηZと表す．. また，”∈Zの定める同値類0（エ）＝｛μ∈Zlμ＝z＋舳，ん∈Z｝を万と表す．. 側1．1．4Z／5Z＝｛O，丁，フ，3，可｝である、また，二2＝3＝葛である．.

(7) 第1章 Fρ上の線形代数 6 定義1．1．5集合Rが2つの演算十（加法）と・（乗法）を持ち，次を満たすとき，五を（可換）環という．. 1．任意の元”，ツ，z∈五に対して”十（μ十z）＝（”十ツ）十zおよび ”．（μ．z）＝（z・μ）・zが成り立つ。. 2．任意の元”，μ∈Rに対してz＋μ＝μ十”および”・μ＝μ・zが成り立つ．. 3．ある元O∈五が存在して，任意の元”∈Rに対して”十〇＝”となる．. 41ある元1∈ηが存在して，任意の元”∈Rに対して”・1＝”となる．. 5．任意の元”∈Rに対して，ある元π’∈Rが存在して，”十〆＝Oが成り立つ． 6．任意の元”，μ，z∈Rに対してガ（μ十z）＝π・μ十z・zが成り立っ1. 環の元”，μに対して，w＝卿が成り立たないような非可換環も存在するが，本論文では非可換環は考えないので，以後環といえば全て可換環のこととする．また，通常は環の乗法の記号・は省略する．定義1．1．6環月上の元”に対し，ある元”’∈Rが存在して，””’：1が成り立つとき，∬を単元といい，z’を∬の逆元という．. 命題1．1．7mを正の整数とするとき，Z／mZ上に加法と乗法を次のように励＝αわ（α，6∈Z） σ十わ＝α十あ（α，6∈Z）. と定めると，演算の結果は代表元の取り方によらずwe11−de丘nedである．証明 δ＝α’，わ＝6’のとき，αわ＝α’6’，α斗6＝α’十6’であることを示す．. ある5，亡∈Zが存在して，α’＝α十5m，6’＝う十tmとすると， α’う’＝（α十・m）（ろ十士m）. ＝αう十m（αt＋わ・）十舳2 ＝αわ十m（α亡十6・十・tm）.

(8) 第1章 Fp上の線形代数 7 αt＋b8＋3t㎜は整数なので，αあ＝α161となる．さらに， α’十δ’＝（α十舳）十（δ十tm）. ＝（α十6）十（8m＋tm）＝（α十う）十m（8＋士） 5＋tは整数なので，α十6＝α’十δ’となる．ゆえにwe11−de丘nedである．口. mを正の整数とすると，上記の加法，乗法によりZ／㎜Zは環になる．実際，定義1．1．5とZ上の和，積の性質から，Z／mZが環であることはほとんど自明である．. 定義1．1．8環Rにおいて，0以外の任意の元πが逆元を持つとき，Rを体という．. Q，R，Cは通常の加法，乗法により体であることは容易に分かる．しかしこれ以外にも体は存在する．特に次の定理に示すように，有限集合である体も存在する．. 定理1↓9ρを素数とすると，Z／ρZは体になる．. 証明Z／ρZのO以外の任意の元σをとる Z／ρZ＝｛O，，ρ一1｝なので，αは1，＿，ρ＿1のどれかであるとしてよい．このとき励＝1となる 6∈Z／ρZが存在すればよい．つまり，1≦α≦ρ一！となる整数αに対して，αう一〃＝1となる6，η∈Zが存在すればよい．今，ρは素数なので，αはρと互いに素である．したがって，αとρの最大. 公約数は1であるので，ユークリッドの互除法を用いれば，α”十〃＝1となる”，μ∈Zが存在することが分かる．ここでう＝”，η＝一μとすれば， αb一〃＝1であるから，秘＝丁となり，瓦はZ／ρZの単元となる．よって. Z／ρZは体である。口以後，Z；／ρZをFρと表すこととし，Fρの元δ（α∈Z）を単にαと表記する．. 1．2 ベクトル空間本論文では，体1Fρ上のベクトル空間を考えるわけだが，まずは一般の体. K上のベクトル空間と，そこで成り立つ性質について述べる．.

(9) 第1章 Fρ上の線形代数 8 定義1．2．1集合γが次の2つの演算を持ち，以下の性質を満たすとき，γ. をK上のベクトル空間という．演算1：γの2つの元π，ψに対して，γの元”十ψを定める演算（ベクトルの和）演算2：Kの元んとγの元πに対して，γの元ん”を定める演算（スカラー倍）. 性質 1．任意の元”，μ，z∈γに対し，（”十砂）十z＝”十（μ十z）および. ”十v＝v＋”が成り立つ．. 21ある元O∈γが存在して，任意の元”∈γに対して”十〇＝”となる． 3．任意の元”に対して，ある元”’∈γが存在して，”十”’＝Oとなる．. 4．1，O∈Kと任意の元π∈γに対し，1・π二πおよびO・”＝0が成り立つ．. 5・任意の元ん，j∈Kおよび”∈γに対して，（剛”＝ん（J”）が成り立つ． 6．任意の元ん，1∈Kおよび”，μ∈γに対して，（ん十王）”＝ん”十J”お. よびん（π十ψ）＝んπ十切が成り立つ．. 以後，定義1．2．1と同様に，ベクトル空間の元は太字，スカラー（Kの元）. は通常の文字で表すこととする．側1．2．2η個のKの元の組の集合K皿＝｛（α1，…，α、）1α1，…，α、∈K｝において，K帆∋（α1，＿，α、），（ら1，＿，あ几）と入∈Kに対し，（α。，…，α刊）十（bl，…，6れ）＝（α1＋61，…，αη十b。）. λ（α1，…，α肌）＝（λα1，…，入α几）. という演算を定義すると，K几はK上のベクトル空間である．. ここでは，K帆の元を，Kの元を横にη個並べた横ベクトルとして表したが，以後，Kれの元を，Xの元を縦にη個並べた縦ベクトルとして扱うこともある．.

(10) 第1章 F戸上の線形代数 9 定義1．2．3ベクトル空間γの⑦でない部分集合Wがγの部分空間であるとは以下が成り立つことである．. 1．α，b∈Wのとき，α十b∈Wが成り立つ． 2．α∈W’のとき，任意のKの元λに対しλα∈Wが成り立つ．. 定理1．2．4ベクトル空間γの部分集合Wにおいて，次の2つは同値である．. 1．Wがγの部分空間である． 2．任意の元α，b∈Wと，任意の元λ，μ∈Kに対しλα十μb∈Wが成り立つ．. 証明Wが部分空間であるとすると，a，b∈Wのとき，入α，μb∈Wである．wは部分空間なので，λα，μb∈wのとき，λα十μb∈wとなる．逆に，Kの元λ，μに対し，λα十μb∈Wが成り立つとき，λ＝μ＝1と. すれば定義1．2．3の1を得る．μ＝0とすれば定義1．2．3の2を得る．よっ. て逆も成り立つ． □ 定理1．2．5K上のベクトノレ空間γの元α1，＿，αmに対して，γの部分集. 合wを， w＝｛人1α1＋…十λmαm∈Kη1人1，…，λm∈K｝とおくとき，wはγの部分空間になる．. 証明 wの元π，vをそれぞれ π＝λ1α1＋… 十λmαm（入∈K） μ＝μ1α1＋… 十μmα㎜（μ｛∈K）. とすると，Kの元入，μに対して λ”十μμ＝（人λ1＋μμ1）α1＋… （λλm＋μμm）αm∈H7. となるので，wはγの部分空間となる．口.

(11) 第1章 Fρ上の線形代数 10 定義1．2．6上記のWをα1，．、、，αmによって生成される部分空間といい，〈α1，…，α㎜〉と表す．また，K上のベクトル空間γとその元α1，… ，αmに. 対して，γ＝〈α1，…，αm〉のとき，α1，…，αmはγを生成するともいう．. 定義1．2．7K上のベクトル空間γにおいて，γの元α1，＿，αmが，K上一次独立であるとは次が成り立つことである1. 0λ1α1＋＿十λmαm＝Oならばλ1＝＿＝λm＝O（λ1，＿，λm∈K）例えば1つのベクトル，πが一次独立であるとは，畑＝Oのとき，λ＝O となることである．したがって，”≠0であることに等しい．. また，γの元α1，＿，αmが，K上一次従属であるとは次が成り立つことである、実際，一次従属であるとは，一次独立であることの否定となっている．. ●Kの元λ1，… ，λmで，λ1，…，λmのどれかは0でなく，λ1α／＋…十. λmαm＝Oを満たすものが存在する． α，α1，…，αmにおいて，αがα1，…，αmのそれぞれのスカラー倍の和. α＝λ1α1＋…十λmαmで表されるとき，αはα1，…，αmの一次結合で表されるという．. 定理1．2．8自然数m，ηに対し，m＜ηのとき，K上のベクトル空間γの元π1，…，”帆が一次独立ならば，”1，…，”mも一次独立である．証明λ1”1＋．、．十λmπm＝Oとすると， λ1”1＋… 十λm”m＋0”m＋1＋… 十〇”几＝O. である．”1，…，叫ば一次独立なので，λ1＝…＝λm＝Oである．ゆえに”1，…，”mは一次独立である． □ 定理1．2．9K上のベクトル空間γにおいて，γの元α1，…，αmが一次従属であることは，α1，＿，αmのうちのどれかが他のベクトルの一次結合で表されることと同値である．証明 α1，＿，αmが一次従属であるとすれば，人1α1＋＿十λ㎜αm＝Oにおいて，人1，…，λmのどれかが0でないものが存在する．ここで，順番を入れ替えてλ1≠0としてよい．λ！α！を移項して一λ1α1＝λ2α2＋… 十λmαm.

(12) 11. 第1章 Fρ上の線形代数両辺を＿λ1で割ると，. 軌一一. i知・…・ヤα・）. となり，α1がα2，＿，αmの一次結合で表される、. 逆に，α1，＿，αmのうちのどれかが他のベクトルの一次結合で表されるとき，定義1．2．7より，α／，＿，αmが一次従属であることは明らかである。 □. 定義1．2．10K上のベクトル空間γにおいて，γの元α／，＿，α㎜がγの. 基底であるとは，以下の2つの条件が成り立つことである． 1．α1，…，αmが一次独立である． 2．α1，…，αmがγを生成する．. 側1．2．11Kηの中で，乞番目の成分が1で，それ以外の成分がOであるベクトル白を考えると，集合｛e1，… ，e肌｝はKηの基底になる．これを標準基底という．. 定理1．2．12K上のベクトル空間γにおいて，γの元α1，＿，αmが基底のとき，γの任意の元αは，α＝λ1α1＋＿十人mαmと一意的に表される．証明 α1，… ，α、、は基底であるので，γの任意の元αがα＝λ1α1＋…十. λmαmと表されることは明らかである．よって，以下に表示の一意性を示す．ここで，αが. α＝λ1α／＋…十λmαm α＝μ1α／＋… 十μmαm と表されだとすると，両辺の差をとって，（λ1一μ1）α1＋… 十（λm一μ㎜）αm＝O. となる．α1，．．．，αmは一次独立なので，λ1＿μ1＝．．、＝λm＿μm＝Oで. ある．ゆえに入＝μ4となり，一意性が示された、口定理1．2．13K上のベクトル空間γにおいて，γの元b1，＿，b、が一次独立でかつα1，＿，αmの一次結合で表されるとき，以下が成り立つ．. 1．r＜m.

(13) 第1章 Fp上の線形代数. 12. 2．α1，…，∼の順序をうまくとりなおすと／α1，…，αm／＝／b。，…，b、，α、。1，…，αm／. が成り立つ．証明（STEP1）. まず，α1，…，αmの順を適当に入れかえると／α1，…，αm／＝／b。，α。，…，αm／. となることを示す．. b1はα1，＿，αmの一次結合で表されるので，Kの元入を用いて， b1＝λ1α1＋…十λmαm （1．1）. と表される．定理1．2．8よりbユは一次独立なのでb1≠Oである．したがっ. てλ1，…，λmのうち少なくとも一つはOでない∼が存在する、ここで， α1，…，αmの順番を入れ替えてλ1≠Oとしてよいので，式（111）のα1と b1を移項して両辺を一λ1で書1」ると，. ?E1・（一キ）α・・…・（一ヤ）α・ α1一. となる．ゆえにα1はb1，α2，．．．，αmの一次結合で表される．つまり，α1∈ 〈b1，α2，…，αm〉であるので，. ／α1，…，αm／⊂／b1，α。，…，αm／となる．. 一方b1はα1，＿，αmの一次結合で表されるので，〈b1，α2，…，αm〉の任意の元はα1，。．．，αmの一次結合で表せる．よって／α。，…，αm／⊃／b。，α。，…，αm／. となる．ゆえに／α。，…，Om〉＝／b1，α・，…，αm〉である．. （STEP2）.

(14) 第1章 1Fρ上の線形代数 13 ん＜mとなるんに対して，／α。，…，αm／＝／b1，…，bk，ακ。。，…，α仰／（1．2）. が成り立つとき，ακ十1，…，αmの順をうまくとれば，／α1，…，αm／＝／b。，…，b此。。，αん十。，…，αm／（1．3）. となることを（STEP1）と同様の方法で示す．まず，b此十1もα1，＿，αmの一次結合で表されるので，式（1．2）よりb此十1 はb1，＿，bた，α為十1，＿，αmの一次結合でも表される、よって，Kの元μ｛を用いて， bk＋1＝μ1b1＋・H＋μ此bk＋μk＋1αk＋1… 十μmαm （1．4）. となる．b1，＿，b此十1は一次独立なので，μ此十1，＿，μ㎜の中に，少なくとも. 一つはOでないμ’（ん斗1≦1≦m）が存在する．叫十1，… ，αmの順番を入れ替えて，μた十1≠0とすると，（STEP／）と同様にして i、分1）・！・・（、∴1）・此・1・（llll）一た十・・十（一六11）一・一先・1一. と表される。つまりαた十1∈〈b1，＿，b科1，叫十2＿，αm〉であり，α乞（乞＝ 1，・・．，ん）は式（1．2）より軌∈〈b1，＿，b先，叫十1＿，αm〉なので／α1，…，αm／⊂／b1，…，b兆十1，α此。。…，αm／となる．. 一方式（1．4）よりb此十！はα1，．。．，αmの一次結合で表されるので，式（1．2）. と合わせて考えれば，b1，…，bk＋1，αた十2…，αmは／α1，… ，αm〉に含まれる．よって，／α1，…，αm〉⊃／b1，…，b此。1，α先。。…，αm／. となる．ゆえに／α。，…，α㎜／＝／b。，…，b此。。，叫。・…，αm／. となり，式（1．3）が示された．. （STEP3）.

(15) 第1章 Fp上の線形代数 14 ここでr＞mとすると，／α。，…，αm／＝…＝／61，b。，…，bm一。，αm／＝／b。，b・，…，6m／. となるまで（STEP2）の操作を繰り返せる、b㎜十1もα1，＿，αmの一次結合で表されるので， bm＋1∈〈α1，…，αm〉＝〈61，…，b㎜〉. となり，6m＋1がb1，＿，bmの一次結合で表されることになる．これは b1，…，b、が一次独立であることに矛盾する．よってr≦㎜となり，主張の1が示された．. r≦mより，以上の操作をr回繰り返すと／α。，…，αm／＝／b1，…，b、，α、十。，…，αm／. となり，主張の2が示された．口定理1．2．14K上のベクトル空間γにおいて，2組の基底｛α1，＿，α、｝，｛b1，。．、，b、｝が存在するとき，r＝8である．. 証明 α1，…，α、はγの基底であり，γを生成するので，b1，…，b、∈ 〈α1，…，α、〉である．したがって，定理1．2．13より8≦rとなる．. 同様に，b1，…，b、はγの基底であり，γを生成するので，α1，…，α、∈ 〈わ1，…，b。〉である・よって，定理1・2・13よりr≦8となる・. 以上より，r＝8となる、口定理1．2．14より，基底を構成するベクトルの個数は，基底の取り方によらず常に一定である．そこで，これを用いて以下を定める1. 定義1．2．15K上のベクトル空間γにおいて，基底のベクトルの個数を次元といい，dimγと表す．. 一般のベクトル空間γにおいて常に基底が存在するとは限らないが，以. 下の定理よりKnの部分空間Wには常に基底が存在する1 定理1．2．16Knの部分空間Wに対して，Wの基底が存在する．証明 Kη上には標準基底｛e1，＿，e汎｝が存在する。Knの一次独立なベクトルα1，…，α、はα1，… ，α、∈／e1，…，eη〉なので，定理1．2．13より.

(16) 第1章 Fρ上の線形代数 15 r≦ηである．よって，Kηの部分空間w内の一次独立なベクトルはいくらでも多くとることはできず，w内に一次独立なベクトルの最大個数が存在する．この一次独立なベクトルをb1，．．．，bmとする．これが基底であることを示す．. b1，…，bmは一次独立なベクトルの最大個数であるので，任意のb∈W に対し，b，b1，＿，δmは従属である、よってλob＋λ1b1＋…十λmbm＝O において，少なくとも1つはOでないλ｛（∈K）が存在する、ここで，λo＝O. とすると，b1，…，bmが一次独立であることに矛盾するので，λo≠Oであ 1 る．ゆえにb＝＿＿（λ1b1＋＿十λmbm）となり，b∈〈b1，．．．，bm〉であ λO る．よって，b1，＿，bmは一次独立かつWを生成するので，W’の基底とな. る．日. 系1．2．17γがK上の有限次元のベクトル空間なら，γの部分生問Wにも基底は存在して，dimW≦dimγが成り立つ．次元が有限で係数体が有限体であるとき，以下に示すようにベクトル空間は有限集合である．. 定理1．2．18Kは井K＝ρの有限体とする．K上の次元んのベクトル空間 γにおいて，井γ＝砂が成り立つ．ただし有限集合Xに対して，井Xは xの元の個数のことである．証明 γの基底を”1，＿，叫とすると，γの任意の元μはμ＝λ1”1＋＿十λκ”κ（入∈K）と一意的に表される、したがって，γの元の個数は λ1から入κの組み合わせで決まる．入∈Kはρ通り考えられるので，組み. 合わせ方は〆個である、口. 1．3 線型写像先に述べたように本論文ではFρ上の線形代数を扱うが，この節で述べる線型写像の性質は，一般の体Kでも成り立つものである．. 定義1．3．1K上のベクトル空間γWと，γからWへの写像プについて， ∫が線型写像であるとは，以下の2つを満たすことである・・γの元”，μについて，∫（”十リ）＝∫（π）十∫（ψ）が成り立つ．.

(17) 第1章 Fρ上の線形代数 16 ・Kの元んとγの元πに対してプ（ん”）＝け（π）が成り立つ．. 定義1．3．22つのベクトル空間γ，Wにおいて，γからWの線型写像で，全単射であるものが存在するとき，γとwはベクトル空間として同型であるといい，γ皇w’と表す、. 定義1．3．3∫をK上のベクトル空間γからWへの線型写像とする．このとき，wの元μのうち，ある元”∈γに対してψ＝∫（π）となるものの集合を∫の像といい，Imプと表す1 また，∫（”）：Oとなるようなγの元”の集合をアの核といい，Ker∫と表す．. 定理1．3．4K上のベクトル空間をγW，∫をγからWへの線型写像とする．このとき，Kerプ，Im！はそれぞれγWの部分空間になる．証明 Kerゾの任意の元α，bとKの元入，μに対し，！（λα十μb）＝∫（λα）十！（μb）＝λ∫（α）十μ！（b）＝λO＋μO：O. となり，入α十μbはKerプの元である．よってKer∫はγの部分空間である．また，Im∫の任意の元”，μに対し，π＝∫（C），V＝∫（d）となるC，d∈γ. をとれば，Kの元λ，μに対して λπ十μリニλ！（C）十μプ（d）＝プ（人C）十∫（μd）＝プ（λC＋μd）. となる．∫（λC＋μd）はIm∫の元であるので，畑十μμもIm！の元である．. ゆえにIm∫はWの部分空間である． □. 定理1．3．5K上のベクトル空間γW，及びγからWへの線型写像∫について，dim（Im！）十dim（Kerプ）＝dimγが成り立つ。証明 dim（Im∫）＝r，dim（Ker∫）：5とし，Im∫の基底を。1，… ，c、とする．また，γの元で∫（α｛）＝c｛となるようなα1，＿，α、をとる．Kerプの基底をb1，…，b。としたとき，α1，…，α、，b1，…，b、がγの基底であることを示せばよい．まずはα1，＿，α、，b1，．．。，b。が一次独立であることを示す．Kの元入，μj. に対して人1α1＋… 十人、α、十μ1b1＋… 十μ、b、＝O （1，5）.

(18) 第1章 1Fρ上の線形代数 17 とする．両辺に∫を施して ∫（λ1α1＋… 十λ、α、十μ1b1＋… 十μ、b、）＝∫（O）. ∫は線型写像なので， λ1ア（α1）十… 十λ、∫（α、）十μ1！（b1）十… 十μ、∫（b、）＝O. となる．ここで，ア（b！），… ，プ（b邊）はそれぞれOであるので，. λ1c1＋… 十λrcr＝O となる．c1，＿，c、はIm∫の基底なのでλ1＝＿＝入、＝0である1これを式（1．5）に代入して. μ1b1＋… 十μ5b5＝O となる．わ1，…，b。はKer∫の基底なのでμ1＝…＝μ、＝Oである．ゆえにα1，… ，α、，b1，… ，b。は一次独立である．. 次にα1，… ，α、，61，… ，b、がγを生成していることを示す．γの任意の元πに対して，ψ＝∫（”）（リ∈w）とおくと，. ∫（”）＝リ＝λ1C1＋… 十λ、C、. と表せる．ここでZ＝π一（人1α1＋…十λ、α、）とおいて，両辺に∫を施すと，. ！（z）＝μ一（λ1c1＋…十λ、・、）＝0. となり，zはKer∫の元であることがわかる．ゆえにzは Z＝μ！b1＋… 十μ5b5. と表すことができる．したがってπは ”＝λ1α1＋… 十λ、α、十μ1b1＋… 十μ、b。となり，α1，…，α、，b1，… ，b、はγを生成している．. 以上より，α！，…，α、，b1，…，b、はγの基底となる．口.

(19) 第1章 1Fρ上の線形代数 18 1．4 イ〒タ1」. 定義1．4．1成分が体Kの元であるm×ηの行列全体の集合をMm，几（K）と表す、また成分がKの元であるη×ηの行列全体の集合をMη（K）と表す．. 定義1．4．2行列λ∈M。（K）において，λB＝Bλ＝万（亙：単位行列）となるようなB∈M几（K）が存在するとき，行列λは正則であるといい， Bをλの逆行列という．また，Bをλ一1と表す．定義1．4．3行列λ∈Mm，帆（K）に対して. ！．1つの行に0でない数をかける．. 2．1つの行にKの元んをかけたものを他の行に加える． 3，2つの行を入れ替える．. のいずれかを行って新しいm Xη行列を得る操作を行基本変形という．また，行を列にかえて，. 1．1つの列にOでない数をかける．. 2．1つの列にKの元んをかけたものを他の列に加える． 3．2つの列を入れ替える．. のいずれかを行って新しいm×η行列を得る操作を列基本変形という．行基本変形と列基本変形を合わせて基本変形という．定義1．4．4単位行列亙∈仏（K）に行基本変形を1度だけ行ったものを基本行列という．容易に分かるように，単位行列亙に列基本変形を1度施すことは，行基本変形を1度施すことと同じである1 また，λ∈M、（K）に対し，λに行基本変形を1度施すことは，左から基本行列をかけることと等しく，λに列基本変形を1度施すことは，右から基本行列をかけることと等しい．また，基本行列が正則であることも容易に確かめられる．定義1．4．5Mm，、（K）上の2項関係∼を以下のように定める。. λ，B∈Mm，、（K）に対し，λに行基本変形と列基本変形を有限回行って. Bにできるとき，λ∼Bとする．.

(20) 第1章 Fρ上の線形代数 19 定義1．4．5で定めた関係∼は，容易に確かめられるように同値関係である．. 定義1・4．6m x mの単位行列を五m，m xηの零行列を0m，。とし，m×η. の次のような行列. （。∵ll∴）を耳叩と表す．定理1．4．7任意のm×η行列λ∈Mm，、（K）に対し，ある整数r（O≦r≦ m，η）があって，λ∼耳mlηが成り立つ．つまり，m次の基本行列の積Pと. η次の基本行列の積Qを用いて，Pλρ＝F、岬と変形できる．. 証明行列λに基本行列を右や左からかけることと，行列λに基本変形を行うことは同じなので，λに基本変形を行って外mlηにできればよい．仮にλが零行列だとすると，只Qは単位行列であればよく，ヅ＝Oである．そこで，λは零行列でないとする．このとき行や列を入れ替える基本変 1 形を行い（1，1）成分をα11≠Oとできる、第1列を一倍して，（1，1）成分 α11. を1にする．この行列の第1行と第！列のスカラー倍を他の行や列に加える基本変形を行い，第1行と第1列のα11以外の成分を全てOにすること. ができる1. このとき，λを変形した後の新たな行列λ’は 1. 0. O. 0：・O. 〃＝. λ”. と表される．この〃の第2行から第η行の範囲で行基本変形，第2列から. 第m列の範囲で列基本変形を行うことを考えると，第1行と第1列には影響がないので，上記のような基本変形はλ’の基本変形と一致する．これを繰り返し，残された行列の部分が零行列になるか，無くなるまで行う. と片mlnに変形することができる．口定理1．4．8行列λ，B∈Mm，η（K）をλ＝（α1，．．．，αれ），B＝（b1，＿，bη）. とη個のm次元縦ベクトルに分けて考える．このとき，λに基本変形を有限回行ってBにできるならば，.

(21) 第1章 Fρ上の線形代数. 20. dim〈α1，…，α帆〉＝dim〈b1，… ，b几〉（1．6）である．. 証明まず，Bがλに列基本変形を1回行った行列である場合に式（1．6）が正しいことを示す． 1．λα4＝b｛（λ≠O）とすると，（α1，…，λα｛，… ，αれ）＝（b1，…，b｛，… ，b。）. となるここで，乞でない任意のんに対してακ＝叫，壱に対して i 吻＝＿b｛が成り立つ．ゆえにα1，…，αη∈〈b1，… ，b、〉よって入くα1，…，α、／⊂〈b1，…，b，／が成り立つ．逆の包含関係も同様である．したがって〈α1，…，αη〉＝〈b1，… ，b帆〉が成り立つ。 2。吻十λαゴ＝b4（λ≠0）とすると，（α1，＿，α｛十λαゴ，α｛斗1，＿，α、）＝. （b1，…，b｛，6｛十1，…，6、）となる．11と同様に，乞でない任意のんに. 対して叫＝bκ，壱に対してα4＝b台一仏が成り立つ．ゆえに α1，…，αれ∈〈b1，… ，δ冊〉よって〈α1，… ，α肌〉⊂〈b1，…，bη〉が. 成り立つ、逆の包含関係も同様である．したがって〈α1，…，α、〉＝〈b1，… ，b几〉が成り立つ． 3．（α1．．。αゴαパ．、α、）：（b1、．．b4bプ．．b、）とする。乞，ゴでない任意のん. に対して叫＝bた，｛に対してα台：bj，ゴに対してαゴ＝6｛が成り立つ。ゆえにα1，… ，αn∈〈61，… ，b几〉よって〈α1，…，αn〉⊂〈b1，…，bれ〉. が成り立つ．逆の包含関係も同様である．したがって〈α1，… ，α、〉＝〈b1，…，b、〉が成り立つ．. よって，Bがλに列基本変形を有限回行った行列である場合も正しい．次に，B＝（b1，…，bη）に行基本変形を行って0＝（c1，… ，c、）となるとき，dim〈b1，…，bれ〉＝dim〈c1，…，c、〉となることを示す、. 今，m×mの基本行列の積Pを用いて0＝PBと表せるとする．このとき，基本行列は正則なので，Pも正則である．まず，〈b1…b帆〉の基底を ①1…ω、とする．このとき，Pω1…Pω、が〈c1…c、〉の基底であればよい．. まずP吻∈〈c1＿c冊〉を示す．0＝PBより c｛＝Pb｛であり，また叫∈〈b1．．．bη〉より，. ψ＝λ1bl＋… 十ληbn.

(22) 第1章1Fρ上の線形代数. 2！. と表すことができる．よって. P叫＝λ1pb1＋… 十λnPbn ＝λ1C1＋…十λれCη より，P吻∈〈c1…c汎〉である、. 次にP吻が〈C1…C肌〉を生成することを示す。ω1…ω、が〈b1…b、〉を生成するので，各b｛は，b｛＝λ1ω1＋…十λ、ω、の形に表せる、つまり，. c｛＝Pb｛＝人1P確1＋…十人、Pり、となる．したがって，Pω1…Pり、は〈C！＿C几〉を生成する．. 最後にハ1…P〃、が一次独立であることを示す．ある係数λ1，…，λ、∈. Kに対して，λ1Pω1＋…十λ、P〃、＝Oとする1両辺にP■1を左からかければ，λ1ω1＋…十λ、ω、＝Oとなる1⑭1…ω、は基底なので一次独立であ. る．ゆえにλ1＝＿＝λ、＝0となり，ハ1＿ハ、は一次独立である．したがってP〃1＿Pω、は〈c1＿c几〉の基底である1 □ 系1・4・9任意の行列λ∈Mm，η（K）に対して，λ∼片叩，λ∼耳1叩ならば，r＝〆である．. 証明乞番目の成分が1で，それ以外の成分がOのベクトルをe｛とおくと， λ∼珂m’nより，dim〈α1，＿，α皿〉：dim〈e1・・．e，O＿O〉＝rである。. 同様にλ∼み榊より，dim／α1，…，αη〉＝〈θ1…e、，O…O〉二〆であ. る1したがって定理1．4．8よりr＝〆である． □ 定義1，4．1O行列λ∈〃m，、（K）に対し，λ∼F、印となるとき，rをλの. 階数といい，rankλと表す．これは，λ＝（α1…α。）と表したときの dim〈α1・．．α几〉に等しい．. 定理1．4．11行列λ∈Mm，肌（K）で表される線型写像∫：K帆→Km， ∫（π）＝此に対して，dim（Im∫）＝rankλが成り立つ．証明 λ＝（α1…α仰）とするとき， Im∫＝｛λ”1”∈Kη｝＝｛α！”1＋… 十α、”nlη∈K｝＝〈α1…αn〉. となる．したがってdim（Im∫）＝dim（α1…α帆〉＝rankλとなる． □. 次の補題は容易に確認できる．そのことから定理1．4．13が得られる．.

(23) 第1章亙p上の線形代数 22 補題1．4．12基本行列を転置すると基本行列である1 定理1．4．13行列λ∈Mm，帆（K）に対して，rankλ二rankリが成り立つ。証明 rankλ＝rとする、このとき，基本行列3｛（4＝1，…，α），乃（ゴ＝ 1，…，6）を用いて. 3。…51λT。…η＝片㎜・n （L7）と表せる．式（1，7）の両辺を転置すると，. fη…ケ1りt3。…亡3。＝fF，mlη＝片η・m. となる．命題1．4．12より，基本行列の転置は基本行列なので，ranktλ＝. r＝rankλである口命題1．4．14行列λ，3∈M几（K）において，λ，Bが正員1」であるとき，. （AB）L1＝B■1λ一1 が成り立ち，λBも正則である．. 証明 0＝B’1λ■1とすると，λB0：0λB＝五が成り立つので，0は確かにλBの逆行列である．したがって（λB）■1＝B■1パ1である． □ また，行列の正則性と，行列の階数には次のような関係がある．定理1．4．15行列λ，B∈M、（K）において，以下は同値である． 1．λが正則である．. 2．rankλ＝ηである．証明まず，λが正則ならばrankλ＝ηであることを示す．定理1．4．7よ. り，λに基本行列の横8，Tを左右からかけることで舳丁＝㌦とすることができる．基本行列は正則なので，m＜ηとすると，. 〃一へ十．’1）岬）.

(24) 第1章 Fρ上の線形代数 23 となる．仮定より，λは正則であり，Tは基本行列の積なので，このとき定理1，4．14より，λTは正則である．しかし，式（1．8）が成り立つと，どんなη. 次正方行列を左から∬にかけても，その積となる行列の一番右の縦ベクトノレはOとなるので，これは∬が正則であることに矛盾する．したがってm：ηである．次に，rankλ＝ηならばλが正則であることを示す．rankλ＝ηより， λに基本行列の積片…P1，Q1…Q帆を左右からかけると pη… P1AQ1… Qη＝Fπ＝丑となる．基本行列は正則なので，. λ＝」P「1…町1Q汀！…町1 となり，定理1．4．14より，λは正則である、口定理1．4．16行列A，B∈M冊（K）において，λ，Bが正則であることと，λB が正則であることは同値である．. 証明 λ，8が正則ならばABが正則であることは定理1．4．14で示したので，λ3が正則ならばλ，Bが正則であることを示す．. Bが正則でないとすると，rankB＝mくηとすることができる．定理1．4．7よりB∼Fmなので，Bは基本行列の横8，Tを用いてB＝8凡丁と表される．したがってλB＝珊凡τとなり，両辺に右から下一をかけると，. 1）. 炉一肌一となり，定理1．4115の証明と同様に，λBr■1が正則であることに矛盾す. る．ゆえにrankB＝ηであり，Bは正則である．同様にλも正則である．口. 定理1．4．17行列λをλ∈〃几（K）として，写像∫：Kれ→Kηを∫（π）＝ λπと定めると，以下は同値である． 1．dim（Ker∫）＝0である．. 2．λが正則である．.

(25) 第1章Fρ上の線形代数 24 証明定理1．3，5より，dimKer∫＝Oであることは，dimIm∫＝ηであることと同値である．また，定理1．4．11より，これはrankλ＝ηと同値で，λ. が正則であるということを示している．よって上記の2つは同値である． □. 1．5 行列式この節では行列式について述べる．実数の行列の行列式については多くの線形代数の本に書かれている．しかしここではlFpを成分とする行列の行列式について述べる．多くのことは実数の行列と同じ証明で済むので，必要な部分のみ強調して記す．その他の部分は参考文献［2］のpp．79−80を参照されたい1. 定義1．5．1η次対称群を3、とする．このとき，σ∈3ηに対して，順列 σ（1），σ（2），…，σ（η）の中で大きい数が左側に現れるようなペア，つまり乞＜ゴかっσ（乞）＞σ（ゴ）となる（乞，ゴ）の個数を逆転数という．また，（一1）（σσ）逆転数〕. をSgn（σ）と表す．. 定義1．5．2行列λ＝（α｛ゴ）∈M、（Fρ）において， Σ・g・（σ）α1σ（1）α・σ（・〕…αησ（。）. σ∈5n をλの行列式といい，detλと表す．以下，補題1．5．3から補題1．5．9までは，実数行列と全く同じ証明のため，証明は割愛する．補題1．5．3行列λ∈M皿（Fρ）において， d・・λ一Σ・g・（σ）ασ／・）1ασ（・）・…ασ〔τ、）。. σ∈8π である．. 補題1．5．4c∈1Fρとする。行列λ∈M、（Fρ）において，λの第乞行を。倍. した行列を〃とすると，detλ’＝cdetλが成り立つ．. 補題1．5．5c∈Fpとする．行列λ∈M。（Fp）において，λの第乞列を。倍した行列をλ’とすると，detλ’＝cdetλが成り立つ．.

(26) 第1章F戸上の線形代数 25 補題1．5．6行列λ∈M、（1Fρ）において，λの第｛行と第ゴ行を入れ替えた. 行列をλ’とすると，detλ二一det〃が成り立つ．補題1．5．7行列λ∈M、（Fρ）において，λの第｛列と第ゴ列を入れ替えた. 行列をλ’とすると，detλ＝一det〃が成り立つ．補題1．5．8行列λ∈M肌（Fρ）を，η個の横ベクトルに分けて考えて，. i二） λ一. とする．また，λと第壱行以外等しく，第づ行がα；である行列を〃，λと第乞行以外等しく，第乞行がα｛十α1である行列をλ”とすると，. detA”＝detA＋detA’ が成り立つ．. 補題1．5．9行列λ∈M冊（Fρ）を，η個の縦ベクトルに分けて考えて， λ＝（α1… αn）とする、また，λと第ゴ列以外等しく，第ゴ列がα二である行列をλ’，λと第ゴ列以外等しく，第ゴ列がαゴ十α二である行列をλ”とすると，. det■4”＝detλ十detλ’ が成り立つ．. 補題1．5．10については，F2の場合に注意を要するので，以下に示す．以下，補題1．5．10の証明の中では，偶置換・奇置換の性質を用いるが，これについては既知とする．詳しくは参考文献［2］のpp．79−80を参照されたい、補題1．5．1O行列λ∈M、（Fp）を，η個の横ベクトルに分けて考えて，. i1） λ一. とする．このとき，あるα1，α5（1≦乞≦ゴ≦η）について，α1＝αゴならば，. detλ＝Oである．.

(27) 第1章 Fρ上の線形代数 26 証明もし，ρ≠2ならば，実数行列のときと同様に，補題1，516より，λの. α｛とαゴを入れ替えるとdetAは＿1倍となるのでdetλ＝＿detλが得られる。ゆえに2detλ＝Oとなるので，Fρ∋2≠0より，detλ＝0が得られる．. ρ＝2のとき，つまり1F2土においては＿1＝1であるので，上記のdetλ＝一detλからdetλ＝Oを結論づけることができない．そこで別の方法で示す．まず，一＝1より，行を入れ替えても行列式は変わらないから， α1＝α2として考えてもよい。このとき，τ＝（1，2）を用いて，行列式を表す和ΣSgn（σ）α1σ（1）…α帆σ（。）を，σが偶置換となる部分和と，σが奇置換 σ∈8n. となる部分和に分けて考える．. 佃1一. ﾘ）一ム州似…㎞. sgn（σ）＝1 ＋Σ・g・（σ・τ）α・、・丁（1）α・σ・。（・）…απσ・。（。〕. σ∈3η sgn（σ）＝1 （1，9）と表される．上記のようにF2土においては＿1＝1なので，σによらず sgn（σ）＝sgn（σ・τ）＝1である．τ（1）＝2，τ（2）＝1なので，式（1，9）は，偶. 置換の集合んを用いて， d・t仁Σα1σ（・〕α・σ（・）…α州・Σα1σ（・）α・σ（1〕…α几σ（几） σ∈■4n σ∈λ冊. となる．α14＝α2｛なので， d・tλ一Σα1σ（・）α・σ（・）…α。σ（帆）・Σα・σ（・）α1σ（・ジ・・α冊σ（η〕 σ∈λ几 σ∈メ㌦. 一Σα1σ（・〕α・σ（・）…α。σ（η）・Σα1σ（・〕α・σ（・〕…α几σ（肌） σ∈■4刊 σ∈λ皿. 一2Σα1σ（1〕α・σ（・〕…αれσ（η）. σ∈ん. となる．F2土では2＝0であるのでdetλ＝O∈F2となり，示された．口.

(28) 第1章 Fp上の線形代数 27 補題1．5．11行列λ∈M、（Fp）を，η個の縦ベクトルに分けて考えて，. λ＝（α1…αη）とする、このとき，あるαづ，αゴ（1≦乞≦ゴ≦η）について，α｛＝αゴならば，. detλ＝Oである．証明証明は補題1．5．10と同様である． □ 以上の補題1．5，4から補題1．5．11より，次の定理が成り立つ．. 定理1．5．12行列λ∈M、（1Fρ）において，detλ≠0であるならば，λを基本変形した行列λ’もdetλ’≠0である．. 定理1．5．12を用いることで，行列式と行列の正則性の，次に示す関係が証明される．. 定理1．5．13行列λ∈M、（1Fρ）において，以下は同値である、. 1．detλ≠Oである． 2．λは正則である．. 証明まず，1．ならば21であることを示す．detλ≠Oとすると，λを基本. 変形しても行列式は0ではない．よって，λ∼へとすると，detみ≠Oである．したがって，凡＝亙であるので，rankλ＝ηである．ゆえに定理 1．4．15よりλは正員1」である．. 次に，2．ならば1．であることを示す．λを正則とすると定理1．4．15より. rankλ＝ηである．したがって，λ∼亙であり，det五≠0なのでdetλ≠O. である．口. 1．6 内積空間ここまで一般のベクトル空間における基底，次元や線型写像について述べてきたが，それらは係数が一般の体であっても成り立っ概念や性質であった．しかし以下で扱う内積空間に関する概念や命題の中には，Fρ上のベクトル空間では成り立たないものもある．それも併せて述べていく．.

(29) 第1章 Fρ上の線形代数 28 定義1．6．1K上のベクトル空間γにおいて，γ×γからKへの写像（，）を考える．つまりγの2元”，ψに対して，Kの元（”，μ）が対応しているとする1この写像（，）が以下を満たすとき，写像（，）を双線型形式という． 1．（α十b，・）＝（α，・）十（b，・）（α，b，c∈γ）. 2、（α，b＋c）＝（α，b）十（α，・）（α，b，c∈γ）. 3．（λα，b）＝λ（α，b）（α，b∈γ人∈K）. 4．（α，川＝λ（α，b）（α，b∈い∈K）. 定義1．6．2K上のベクトル空間γにおいて，双線型形式（，）が対称，すなわち（α，b）＝（b，α）を満たすとき，写像（，）を対称双線型形式という。. 定義1．6．3実数体上のベクトノレ空間γ及びγ上の対称双線型形式（，）に対して，任意のγの元α（≠O）が（α，α）＞Oを満たすとき，この対称双線. 型形式は正定値であるという．正定値という用語は一般の体上のベクトル空間ではなくて，実数上のベクトル空間で定義されていることに注意されたレ、．. 定義1．6．4R上のベクトル空間γ上の対称双線型形式（，）が正定値のとき，（，）を内積という．内積であるような対称双線型形式は，γの元α，bに対して，（α，b）ではなく，〈α，b）とかいて区別する．. 例えばF3の元では2＝＿1のように正負の区別がなく，正定値性は定義できない．したがって，まずはR上のベクトル空間における内積について述べる．. 定義1．6．5内積をもつR上のベクトル空間γの元αに対して，llαllを〉雨と定義する．これをαの長さという．また，γの元α≠Oに対し 1 1. て，b＝＿αとおくと，bは長さが1となる．この＿αをαの正規化と. llαll llαll いう．. 定義1．6．6Rnの元α＝（α1，。．．，α帆），b＝（δ1，．・・，う、）に対し，〈α，b〉＝れ. Σα山と定めると，〈，〉：Rη×R几→Rは内積となる・このく1〉を標準内 4＝1. 横という．.

(30) 第1章 Fρ上の線形代数 29 高校までで扱ってきたベクトル空間の内積は標準内積である、本論文で扱う内積は標準内積とは限らず，ここでは一般的な内積について述べる．. 定義1．6．7内積を持っR上のベクトル空間γと，γの元α，bにおいて，〈α，b〉＝0のとき，α，bは直交するといい，α⊥bと表す. 定義1．6．8R上のベクトル空間γにおいて，γの元α1，＿，αmが正規直交系であるとは以下を満たすことである、. ●llα111＝…＝llαmll＝1 ・α1⊥αj （1≦1，ゴ≦m，1≠ゴ）. 定理1．6．9R上のベクトル空間1／において，正規直交系をなすベクトルは一次独立である．. 証明 γの元α1，…，αmを正規直交系とする．Kの元入に対しλ1α1＋ ¥λmαm＝Oとする．両辺についてα壱と内積をとると，．・. λ1〈α1，α4〉十… 十人〈α｛，叫〉十… 十λm〈αm，α歪〉＝〈O，α｛〉. となるが，α1，…，αmは正規直交系なので. 0＋… 十八川α川2＋… 十0＝0. となる■1α川2≠0より，入＝Oである。｛が1からmのどれであってもこ. の式は成り立つのでλ1＝…＝λm＝Oである、ゆえにα1，…，αmは一次独立である、口定義1．6．1O R上のベクトル空間γにおいて，γの元α1，…，αmが正規直交系がつ基底であるとき，α1，，αmをγの正規直交基底という. 定理1．6．11有限次元のR上のベクトル空間γは常に正規直交基底をもつ．. 証明 dimγ＝mとして，α1，…，αmをγの1つの基底とする．α1，…，αm を用いて新たに直交する基底b！，…，bmを次のように作る、 bl＝α1.

(31) 30. 第1章 Fρ上の線形代数／b。，α。／. b2＝αr b1 ／b。，b．／。3一、、一〈b・，α・〉。、一〈b・，α・〉。1. ／b・，b・／／b1，b．／. 。、一、、一〈b・一1，α・〉。、．1一一〈b・，α・〉。1. 〈bm−1，bm＿1〉〈b1，b1〉とすると，bkはα1，．．．，α此の一次結合で表すことができる．このとき，b此. が61，…，叫一1と直交することをん≧2に関する帰納法で示す．ん＝2のとき，／b。，α。／／b。，bl／＝／α。一 b1，b．／／b。，b．／／b。，α。／＝／α。，b．／− ／b。，b．／／b。，b．／＝／α。，b．／−／b1，α。／. ＝O となり，b2はb1と直交する．ん＝1，…，J−1まで正しいとして，ん＝Jのとき正しいことを示す．1＞壱に対して，. ／b！一！，α｛／／b｛，α！／／b1，α！／. ／b’，b丑／＝／αr b’一r − b旭一一 b1，b．／. 〈b’＿1，bl＿1〉〈b｛，b｛〉〈b1，b1〉. 〈bl＿1，α’〉〈b1，α上〉. ＝〈α’，b旭〉一〈b’＿1，b丑〉一一〈b1，b旭〉. 〈bl＿1，bl＿1〉〈b1，b1〉／b｛，α；〉. ＝〈α｛，b、〉一〈b。，b丑〉. ／b｛，b｛／＝〈α’，b｛〉一〈bづ，α上〉. ＝0 b1，＿，bmの作り方から，軌はα1，＿，ακの一次結合で表せる．ここで b此＝Oとすると， b、＝、、一〈bl−11αた〉b、．、一. 〈b・，α1〉。1一。. 〈bκ＿1，b此＿1〉. ／b1，b．／.

ライツアウトパズルの解析 ： 有限体上の線型代数の応用として

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