第3章 長方形グリッドのσゲーム 同様にXんを具体的に考えると，
0100．1000
第3章
長方形グリッドのσゲーム 56 と同値である．（λm＋五）xを，η個のm次元縦ベクトルに分けて考えると，（λm＋亙）X＝（λm＋万）（ 1… π帆）＝（（λm＋五） 1…（λ㎜十五）π几）
であり，Xんについてもやはりη個の縦ベクトルに分けて考えると，
Xλn＝（π1…α肌）
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 ＝（ 2π1＋ 3 η＿2＋ η η＿1）
である、したがって，式（3．3）より，
（Am＋亙）㏄。＝㏄。
（λm＋五）π。＝π。十 。
（λm＋亙） ｛一。＝ 金一。十軌
（λm＋万） 。一1＝叫一。十 。 （λm＋万）πη＝ 卜1
となる．πo， η十！をどちらもOとして追加して，それぞれの式を整理する と，2≦乞≦η十1の各乞について叫＝（λm＋万）軌＿1＋吻一2が得られる．
口
以後，このλm＋万を＾と表すことにする。
定義3．2．4Kを体とし，行列λ∈M几（K），不定元λとη次単位行列万を 用いて，λ＿旭を考えるとこれはλに関するK係数の多項式を成分とす
る行列である．このλ＿旭の行列式det（λ＿〃）∈K［刈を行列λの固 有多項式という．また，行列Am∈Mm（F2）の固有多項式をPm（λ）と表す、
ただしPo（λ）＝！とする．
第3章
長方形グリッドのσゲーム 57 命題3．2．52以上の自然数ηにおいて，P。（λ）＝λP帆一、（λ）十P卜。（λ）
が成り立つ．
証明 P1（λ）＝λ，昂（λ）＝1なので，η＝2のとき，片（λ）＝λ2＋1より，
易（λ）＝λP1（λ）十片（λ）が成り立つ．
η≧3のとき，実際に片（λ）を行列式の展開により計算していく。また，
簡単のために，行列式の右下にその行列のサイズを（η×η）というふうに 記しておく．
Pn（人）＝1λれ一λ五九1
＝det
λ 1 1 λ
0 1
O 0 0 0 λ
1
0 0 1 0 λ O
0 λ 0 1 1 0 λ 0
0 0 0
1
入
O O
（η×肌）
（第1行について展開する）
＝λ・det
十1・det
0 0 λ 1 0 0 1 λ
1 1 0 0 0 λ 0 0
0 0 入 1 0 0 ！ λ
＝λ片一1（λ）十1・d・t
λ 1 1 λ
（九一1）×（伸一1）
（n−1）×（η一1）
O O O O
0 0 λ 1 0 0 1 λ
（第1列について展開する）
（n−2）x（肌一2）
＝λ＾一。（λ）十片一。（人）
第3章 長方形グリッドのσゲーム 58
となり，示された． 口
次にCay1ey−Hami1tonの定理と呼ばれる定理を示す、定理3．2．6Kを体とし，η≧1に対して，行列λ∈Mη（K）の固有多項式
P（λ）を
P（λ）＝λn＋αη一。入η■1＋…十α。λ十α。（α台∈K）
とする、このとき，
λn＋αn＿1λη■1＋…十α1λ十αo亙＝0 が成り立つ．
証明 η×η行列λ一旭をβ∈M几（K）とし，Bの余因子行列を0∈
M。（K）とする．余因子行列0の成分は，もとの行列Bの（η一1）×（η一1）
の小行列式で得られるため，0の成分はλに関する高々（η一1）次の多項 式である．したがって，0は
0＝入九一 σ九一1＋人η■2σ、一。十…十λσ。十σ。（α∈M几（K））
と表すことができる．ここで，B0＝det（B）五＝det（λ一旭）五より，
（λ一旭）（λn．10、一1＋λn■20、一。十…十λ01＋0。）
＝（入帆十α、一1λη一 十…十α1λ十α。）五 である．ここで，両辺をλについて係数比較すると，
一〇。一1＝亙 λ0肌一1−0η一2＝α卜1万 λ0肌一2−0。一3＝α卜2万
λ02−01＝α2万 λ01−Co＝α1万 λσ0＝αO万
第3章
長方形グリッドのσゲームとなる．これらの式の両辺に上から順に〃，〃…1，λ卜2，．．
59
，λ2，λ，五を左
からかけると，
一λη0作1＝λ帆
λη0肌一。一〃一10。一。＝αη一1λη■1
〃．！0肌一。一〃■20卜。＝α、一。λト2
λ30。一λ201＝α。λ2 λ20。一κ。＝α1λ λ00＝αO亙
となる、両辺それぞれに和をとると，
0＝λ九十αn＿1λn■1＋αn＿2λ九一2＋…十α2λ2＋α1λ十αo五
を得る． □
一般にF2を成分とするη次正方行列λとlF2を係数とする多項式ル）＝α。〆十α卜。・九一1＋…十α。・十α。
に対して，！にλを代入した行列とは
∫（λ）＝α、〃十αη皿1λn 十…十α1λ十α。亙
のことである．このとき，定数項の取り扱いに注意を要する．この表現を 用いると，F2の元を成分とする行列の関するCay1ey−Hami1tonの定理は，
η次正方行列λの固有多項式∫（λ）の変数λにλ∈M肌（1F2）を代入すると 0行列となることいいかえることができる．
補題3．2．7F2m内のη十2個のベクトル o， ！，＿， 几，叫十1が ● o＝πη十1＝O
・吻＝柑昨。十π｛一。（1＝2，…，η十1）
を満たすとき，定義3．2．4の乃（λ）に関して，
軌＝乃＿1（λ点） 1（乞＝1，… ，η十1）
が成り立つ．
第3章 長方形グリッドのσゲーム 60 証明 物：月一1（柑） 1が成り立つことを，乞についての数学的帰納法で
示す．
乞＝！のとき，Po（λ）＝1であるから，几（λ点）π1＝万π1＝ 1となり正
しレ、1
乞＝2のとき， o＝O，P1（λ）＝λより，
π。＝塙π1＋ 。＝＃π1＝P。（λよ）π1 より正しレ、．
ん≧2とする．そして，乞≦んのとき正しいと仮定して，壱＝ん十1のとき を考える．仮定より，叫十1＝柑叫十叫＿1が成り立っているので，帰納 法の仮定より
馬十。＝λ批一1（瑚 1＋生。（＃） 。 ＝（λ畝一1（側十片一・（幼）π1
となる．命題3．2．5より，
p此（λ㌫）＝λ純一1（瑚十片一。（λ志）
であるから，叫十1＝片（柑） 1が成り立つ．ゆえに乞＝ん十1のときも正 しし、． □ 以下，正方行列λ∈M、（1F2）に対して，写像！：Kn→Kれを∫（ ）＝地
と定めたときのKer∫を単にKerλと表すこととする．
定理3．2．8み，。上の特性写像σに関して，Kerσ皇Ker（耳（革））が成り
立つ．
証明 KerσからKer（P、（砿））への写像プを次のように定める．
まず，X∈Kerσ⊂Mm，、（F2）に対して，Xを縦ベクトルに分けてX＝
（π1，＿，πη）とし，∫（X）＝ 1とする．
このXに対して，上記のπ1がKer（片（刈））の元となることを示す。．実 際，X∈Kerσであることから，π1，…， ηに o＝O，叫十1＝・Oを加える と，補題3．2・7より，π、十1：片（塙）π1＝Oとなりπ1∈Ker（片（柑））で あることが分かる一したがってこのアはKerσからKer（片（革））への写 像となっている．またこの∫が線型写像であることは容易に分かる．
次に，この写像∫が全射であることを示す。任意のKer（片（柵））の元 について，X＝（ 1，…，π冊）∈M㎜，、（F2）を次のように定める．
第3章 長方形グリッドのσゲーム 6ユ ●π1＝
○物＝λ加台一1＋吻一2（ただし乞＝2，… ，η及びπo＝Oとする）
すると，補題3．2．7より，λ細、十 九一1＝片（＾） 1＝＾（柑） ＝Oが 成り立つ．したがって，定理3．2．3より，X：（π！，＿，π、）はKerσの元と なり，！（X）＝ 1である。つまり，任意のKer（片（｛））の元πに対して，
ア（X）＝πとなるX∈Kerσが存在するので，プは全射である．
最後に∫が単射であることを示す．Kerσの元X，γをとり，それぞれ
X＝（ 1，…，π、），γ＝（μ1，…，帆）とする。このとき，∫（X）＝∫（γ）と すると， 1＝V1である．X，γはKerσの光なので，定理3．2．3より，
叫＝λ細一。十 ｛一。
眺＝点眺一、十眺一。
を満たす．したがって，2≦壱≦ηにおいて，吻＝跳が得られる．ゆえに∫
は単射である．
以上より，KerσとKer（P冊（坤））は同型である。 □ 今まではPm，、上のσゲームについて，これがσ可移であるかどうかの判 定に，mη次元からmη次元への写像のKerσを用いていたが，定理3．2．8 より，KerσとKer（＾（刈））は同型であるので，これからはm次元からm 次元への写像のKer（片（硝））を考えればよい．これにより，取り扱う次元
1
が本来の＿に抑えられたことになる．η
定理3．2．9自然数m，ηについて，Ker（片（＾））竺Ker（み（λ才））が成り
立つ．
証明 ん，机上の特性写像σは0m，、から0m，肌への写像であるが，0m，、∈
Mm，η（F2）の元を転置してσ、，m∈M m，冊（F2）の元にする写像τを考えると，
τ：0m，、→0、，mは明らかにベクトル空間の同型写像である．ここで，0。，m から0几，mへの写像σ を
σ （X）＝λ、X＋X点