00までも数字を並べることもできる

上越数学教育研究,第

号,上越教育大学数学教室

年

装置を用いた関数の考えの実現を 目指 した授業の構成に関する覚書き リア リテ ィの. 観点か ら

熊谷 光一

1

.は じめ に

算数 ･数学の特徴のひとつ として, リア リ ティ

を構成するために対象を子 どもがつ く りだす ことができることがある｡例えば,カ レンダーを扱 った問題では, 数値が横に進む と 1増える,縦に進む とき

増え る.そ して 右斜めに下 に進む とき

増え,左斜め下にす すむとき

増えるとみ ることもで きる｡ もち ろん,

か ら31までの数字がな らんでいると みることが最初である

この 2 つの間では リ ア リティが異な ってい る｡また, カレンダー だか らといって

や

ででとま らずに,1

まで も数字を並べ ることもできる

これ らの なかで,

つの連続に並んだ数の和は,真 申 の数の和の

倍にな っているとい う性質を発 見することを想定 して みよう

ずつ増え る という見方 では,連続する数の和 が真申の数 の

倍にな ることが発見できる｡ これに対 し て,

増え,

増える というようにカレンダ

‑をみてい る場合,

つの数の和 の性質が, 縦な らぴ,横並びのみでな く,斜 め並びに展 開する可能性 もある

また,カ レンダ‑のよ うに連続す る数ではな く,一定の差の数の数 義,そ して数表の数の並びの幅が

以外

,

などにおいて,同 じような性質が成立する

ことがわか る｡性質 と考えている数の並びが 飛躍的に拡 がる様子が みえるだろ う

これ も ひとつの リア リティである｡すなわち,算数 ･ 数学を考え るときに,飛躍的に新 しい リア リ ティをつ くりだ してい けることが重要な特徴 であるニー とがわかる｡それは,数学が発展す

るという見方に通ずる

リア リテ ィといって も現実に存在するもの とは限 らず,対象 と し ての リア リティ,対象 のもってい る性質,価 傍観にかかわるリア リティなどが ある｡いず れにして も,それ らが,行蔑者,すなわち子 どもにとって実感をと もなってい ることが重 要な要件である ( 菊池,1

ここでは,このような リア リテ ィのある授 業を目指 して,装置を使 った授業を組織す る 過程註2 )について報告する.装置を使 った授業 を組織す る過程では,最初の指導案作成,大

年生 とともに行 った模擬授業,そ して指 導案の修正,続いて,か学校での授業での実 施,反省の過程がある｡

2

.装 置の特律 と開発 設定

2.1

兼任 自体 の特徴

装置は

本の レ‑ルがあ り,ハ ン ドルを回 す ことで,軸に糸が巻 きとられ, それぞれ の レールの上を

個のブ ロックが移動するO‑

方のブロックはハ ン ドルを 1回転すると 1目 盛 り,他方 は

回転す ると

目盛 り進む｡ ま た,糸の長 さを調整す ることで, ブロックの 出発位置を 自由に変え ることがで きるOさ ら に,軸の太 さを変えることで,速 さを変え る こともできるO( 図

移動 した長さまたは位置を従属変数二回転 数を独立変数 とみると,そこには一次関数 の 関係がある｡すなわち, y

ら, y‑

Ⅹ+b

である

もちろん他の見方 もできる｡

ずつ進む方

図

の移動の長さまたは位置を独立変数とみて も, 2ずつ進むブロックの移動の長さを表わす こ ともできる｡このように,独立変数のとり方 が複数ある ことがこの装置のひとつの特徴 で あるO 例えば,関数の考えである,何 らかの ことを知 りたいために独立変数を想定するこ とがここで実現できる装置である｡

また,容易に繰 り返 し,現象を連続的に再 現できることも特徴のひとつであるOそして その再現が‑ ン ドルを回す という動作をとも ない,ブロックが連続的に動 く様子がみえる｡

ハ ンドルを回す ことで ,ブロックの動きを制 御するとい う感覚があ る｡ 回 した ら動 く,逮 くまわせば速 く動 くし,ゆっくりまわせばゆ っくり動 くなどの感覚があるはずである｡移 動の長さを回転数で制御することが感覚的に 捉え られる可能性がある｡

2.2問題設定

装置を用 いて問題を設定することを意図 し た理由は次 のような考えが背景にあるo子 ど もが行為す ることを言語化することで,数学 が発展す る可能性 があ る ということである̲

(Grayemeijer,1997;Sfad,1991;

工

Sfardの研究は,関数を事例 としているが,坐 徒の操作 と して ｢代入する｣ ことが指摘され ている｡ しか し,関数 の考えにおいては,代 入することは最初の操作的な行為 とは必ず L

b<な らないO

装置の特徴において述べてように,独立変

数を回転数 とし,ブロ ックが進んだ長さを従 属変数 とす るとき,回転することで,従属す るブロックの動いた長 さを制御 している感覚 杏,装置を通 して もつ可能性があるOこれを,

1進む,2進むを もとに,表を作成 し,そ し て独立変数 と従属変数 の関係を言語化するこ

とがなされると想定 した｡

また,関数の考えは,中島(1981)が述べる ように,あ る知 りたい現象がそのままではわ か りず らいために,それがどのよ うになって いるのかを知るために,その現象を何かに置 き換えるてみることが根底にある｡註3)このよ うな考えが反映される問題設定 とはどのよう な ものであろうか｡最初に指導案 を作成 した 段階で設定 した問題は,次のようである｡

トンネルが29の位置にあります｡ Aと Bとではどちらがさきに トンネルか ら出て くるで しょう｡ Aは 0か ら出発 し,Bは

1 5

｢トンネルをどちらが先に出て くるか

｣

その規則性が妥当かどうかを確信するために は,

n

n‑ 2

動 くのか調べてみましょう

｣

回転で2すすみます ･･･AとBとではどち らがさきに トンネルか ら出て くるで しょう｣

では,独立変数の選択が強制的になる可能性 がある｡

関数の考えを どのように して,言語化 し, 数学的な表現にかえてい くのかについては, 指導案作成の時点 (熊谷,1999)ではこれ以上 の予測はなかった｡ここが子 どもの リアリテ ィにかかわ る部分であ るが,十分 な検討はで きていなか った｡ とにか く,1進 む,2進む をいかに気付かせるかに焦点をあてていた｡

3.模擬授業 とそれか ら得 られた知見 教員養成課程の大学3年生を対象にして, 装置を用いた模擬授業弘 4)を実施 した｡学生に は,なるべ く小学生の実態を想定 してみるこ とを条件 と したOすなわち,子 ども役をす る ことを期待 した｡そ して,授業者は意図的に 問題設定をできるだけ唆味に開始 したOその 理由は,装置をみてどのような発想が生ず る のか,自由度がどの程度あるのかを知 りたか

ったか らである｡

模擬授業では,場面設定が容易ではない こ とが顕著に生 じた｡そ して多様な解決が生 じ た｡すなわち, 装置の動きをとらえるために, 装置をみせ るが,なかなか十分に どのような 動きをするのかイメー ジが難 しい ようであ っ た｡また, トンネルの 出口を基準 とした見方 とブロックの出発点を基準とした見方が生 じ たことであるO

解決方法 に関 しては,予想通 り様々の解決 がなされたo最 も素朴 な解決として次のよう な解決がみ られた｡この解決は,装置にある 目盛をとりだ し,その 日盛上をブ ロックの動 く様子を播いてい く解決である｡

こっちが1進んで,そのときこっちが2進む, そしてまた1進んで,こっちが2進む

というように発話 しなが ら,枠をつぶ してい っている (図.2)0

式による追いつき算の見方での解決,表で

図

の解決などが出された｡表による解決では,

2

また,差 がどれだけ縮むのかという見方で 問題を理解 しようとした学生がいたOそして, それらが発展 した解決を生 じさせ なかった｡

最初に捉えた場面のイメージと解決方法の間 のギャップがみえた｡

これ らのことか ら指導案の修正を実施 した｡

まず,問題設定の場面では,出発 の基準を明 確化するとともに,どちらが速いかという感 覚を子 どもにもってもらうために,場面につ いての比境を導入することである｡ここでは ウサギとカメという物語を想定す ることを期 待することにした｡

最後の解決の解釈の場面での困難を解消す るには, 独立変数 と従属変数のとり方を意識 的につ くってい くことが大切であると考えた｡

この問題点 に対 して,なかなか有効な指導法 は兄い出せなかったO少な くとも言えること 紘,素朴な解決を利用すること,そ して,独 立変数 と従属変数の対応をみせるために図を 作成すること,そのためには,1進む,2進 むということを問題解決に利用す るようにす

ることである

以上の こ とを もとに想定プ ロ トコールを 指 導案 として新たに作成 した ( 資料.

) 0

4.

実 際 の授 業 の結 果 と示 唆

小学校で実施 した授 業について報告 し, そ こか ら得 られた示唆について,問題設定の場 面,解決の場面に分 けて述べ ることにす る

問題設定 の場面で, 子 どもは最 初の場面 で

回転で

進む,

回転で

進む とい うこ と を見つけだ した｡

兄い出す までの過程 で,子 どもは,まず , どち らかの ブロ ックが 速い,遅い というこ と に着 目した

ほ とん ど同 じ時期 に,ハ ン ドル に連結 して いる軸の太 さの違いに気付いて い る｡そ して,細 い方が遅 くて,太 い方が速 く 動 くことを確カメている子 どももいた｡

動 きに関 して,速い,遅 い とい うことを感 覚的に捉え ることがで きている｡ そ して,動 きが軸の太 さで決ま っていることまで感覚 的 にわか っている子 どももいることがわかる｡

続いて,動 きについ て一方のブ ロックを基 準に して他方のブ ロックの速 さを述べている

P:

えーと,この細い方のやつが,この黒い線 を

個行 くと,この大きい方のやつは

個進 んでる｡えっ?違ってる?

このように動 きを捉え ることが,具体的な量 を ともな って言語表現 された｡ しか し,多 く の子 どもは,軸 とのか かわ りで動 きをみて い るが,それは定性的であ り,定量的ではない｡

すなわち, 速い,遅い,多 く巻かれ るなどで ある｡ クラスの子 ともたちの間で,量を と も な って動 きを表現 しだ し,それが い くらか で も共有 され たのは, も う少 し時間が経過 して か らであ った｡

問題設定 の後 に, ウサギが早いか,カメが 早いかの予 測を した後 に,再び,解決のた め に動 きにつ いて言及す る場面があ る

その場 面では,ハ ン ドルの回転数で進む長 さとの 関 係 に言及す ることがみ られ る｡そ こでの表 現

は,｢にににに‑｣というように動作を言葉 とし て表現 して いる｡そ して,数人の子 どもがか かわ りなが ら,

進む,

進む, そ して

回 まわす とい うことが関連づ け られ なが ら議論 が されている

T :

これで確カメる,機械に頼る

えーやだ,ざわざわ

計算できる

P:

計算できる

はい,にににに‑

P :

なんかやっと,ににににに‑

T :

ウサギは 1回ごとに

回くるから･･･

P :

あ‑

T :

うん,もう1 回大きい声で言って

P :

ウサギは 1回まわすごとに,えっと2 つ進 むか ら,うーんそれが使ってやれば,計算す ればいい

T :

いまのわか りましたか

はい

P:

でもカメでもいいん じゃない

カメの方がやりやすい

T :

カメの方がやりやすい,どういうことカメ がやりやすいって

P :

だって 1だもん

カメはね 1進む

T :

あ,カメは 1回まわすときに1 進む,ウサ ギは2 ,

回すと1進む｡でカメがやりやす いとかウサギがやりやすいと言ってますけど, 続いて, ウサギ とカ メか らのイ メージづ く りでは,どち らのブ ロックをカメにす るのか, ウサギにす るのか とい うことの確 認が必要 で あ った｡そ の時点で子 どもたちの 間で,か な り一方のブ ロックが他 方のブロックへ と追 い ついてい くイ メージはつ くられたようである｡

次に,子 どもが どの よ うに して解決 したの かをみてみ よう

子 どもが描いた図

は,上 にウサギの動き を示す スケ ールが措か れ,下にそれに対応 し てカメの動 きを示すスケールが描かれている

それぞれの スケールにおいて,ハ ン ドルを

回転す るご とにどの位 置にいるか を示す矢 印

が描かれ,回転数が

か ら順に書かれている｡

図

この図を用 いた解決 に対 して

人の子 ど も が説明 した｡

人 目は 図を作成 した子 どもで ある｡その子 どもは

回転 に

進む,

回 転に

進む ｣ とい うこ とか ら, ウサギ とカ メ それぞれの動 きを

つ のスケ‑ル の上 に表 現 し,それを もとに問題 の解決をはか っている｡

P (日中) :えっと,僕はさっき佐藤君が,う んと,わかったことで言った,うんと,カメ の方は,うんと, 1 回転に 1 進み,ウサギは

回転に

進むので,こういうふうな表にし てまとめてみました (ノー トを見なが ら話 し をする) ｡そう,えー,そしたら,うんと,( 間, 黒板の図をみる)そうしたら,カメ,カメの 方が,うんと,カメの方がちょっと進んでい たので,カメ,カメの方が早い,早いんじゃ ないかと思いました｡いいですか｡

これに対 して, この図を用 いて再度説明に挑 戟 した子 どもの説 明は別の特徴を もっている｡

鈴木の説 明では,カ メとウサギ を取 り違 え る部分があるが

回まわす と

ます進みま す｣ として,実際に数直線 の うえで,ブロ ッ クの動 きを再現 してみせてい る｡そ して,

回まわす ときに, カメ とウサギが 同時に移 動 す る様子で ある

カメ, ウサギが それぞれ 移 動 しているわ けではな い｡ さ らに, ウサギ の ブ ロックが カメに追 いつ き,抜 き去 る様子 を 述べている

鈴木は,差が縮 ま り追いつ き,追 い越す と い う視覚的 なブ ロ ックの動 きに関す るイメー ジを もちな が ら,その動 きを

回転で進む長 さを もとに再現, そ して構成できる‑ o

p ( 鈴木) :で,それを図にしてみるとこうな

るんです｡で,ちょうど1 回まわすと2 ます 進みます,カメは,あーウサギは,その間カ メは 1ます進んでます｡で,また2 回まわす と,カメは4 ます進んでいます｡で,カメは 2 ます進んでいるで しょう｡(ここまではカメ, ウサギのスケールで

,

を指でさしなが ら 説明する)でそれを繰 り返 していると,えっ と,だんだんウサギはカメに追いついて,で, で ,1 5 ,あれ,( 図のカメのスケールを数える) で追いついていって,ちょっと付け足すんで すけど (

をカメのスケール,そしてウサギ のスケールに書き込む)

回目で同時になり

ます｡だけど,ちょっと｡

P ( 鈴木) :えっと,それで 1 5 回目で同時にな ります ( 図の 1 5 の場所を指差す) ｡で,それで ウサギがどんどん抜き返 してきて,一番最後 のますまでいきます｡

さ らに, 29‑15‑14 , 29÷ 2‑14. 5 として立 式 して解決 している｡ 鈴木は再現 した動 きを さ らに,動 きとしての みではな く,回転数 と 進んだ長 さ,

回に進 む長 さの関係を巧み に 利用 し,問題解決 してい る

P ( 鈴木):それで 1 5 回目で同時になります ( 図 の 1 5 の場所を指差す) ｡で,それでウサギがど んどん抜き返 してきて,一番最後のますまで いきます｡でも,問題は 2 9 のところでどちら が,えっと,ゴールするかってことなんです よ｡で ,2 9 回,ウサギは一番最初か ら 2 9 まで いくんですけど√カメは 1 5 ます目か ら行 くん ですよ｡で ,1 5 ます目か ら ,1 5 ます目という ことは ,2 9 引く 1 5 は 1 4 ですよね, 1 4 ,

(この説明の間鈴木の発言にあわせなが

ら, ′ ′ 2 9‑1 5‑1 4 ′ ′ と板書)

そうすると ,1 4 回まわすと,えっと 2 9 回,ん, 2 9 ます目にいくんですね｡で,ウサギの方は 今度は 2 ますずつ進むんだけど,えっと ,2 0 , 2 0 ,あの ,2 9 ます割る,えっと, 2 にすると, 1 4. 5 になるんですよ｡

T:

( この説明の間鈴木の発言にあわせなが ら,

2 9÷2‑1 4. 5 〟と板書)

p ( 鈴木) :ということはウサギは 1 4 回まわし

てあと半分,また,まわさなければいといけ

ないことになるか ら,えっと,私はカメの方

が早いと思います｡

次に,表の上での説明する子 どもがいた｡ そ の子 どもの説明は,田中と同 じで ある｡す な わち,

回転での進む長さを もとに,動きを 表の上で再現 している

そ して この子 どもも ウサギ,カメをそれぞれに動か している

P (山田) :私は,要は田中君と考え方は同じ なんだけど,私こういう数直線みたいな図が 苦手なので,私はこういう表に表してみまし た｡うんと1 回 1回転するごとにウサギは2 個進んで,カメは 1個ずつ進むので,ウサギ は 0 地点からスター トでカメは 1 5 の地点か ら スター トだったので,こういうふうに倍,倍 ずつにしていって,それで

回目にカメが

で,ウサギは

8だったので,ウサギはあと 半回転しないと

までいかないので,ウサあ, カメの方が早いと分かりました｡

図

3

人の説 明を した子 どもの説明での表現 に もう少 し注意を払 ってみよう

鈴木の説 明は,動きを動 きとして再現 し, それについて語 ってい ることがわかる

これ に対 して, 山田と田中は動 きを再現す るこ と を語 ってい る

すなわ ち,同時に動いてい る ことをどの ように表, 図の上で語 るのか, 回 転数が関係 して両者を 同時にみる ことがで き

るかなどが重要であることがわかる

これ らの子 どもの説 明をみてい ると,思考 の特徴がみ られる｡す なわち,動 きを再現す

ることがで きること, そ して,再現 した もの を もとに数 学化す るこ とである

動 きを再現 す るときの媒体,義, 図の間では顕著な違 い はないようである｡

これ らの説明を した子 どもたちは,一応, 問題が解決 できている

しか し, 授業のなか で説明 して いない子 ど ものなかには,表や図 を作成せず ,装置のうえで 目盛を想定 し,先 を予測 しよ うとしてい る

もちろん,この解 決方法は,動 きの再現 ということになるが, あ くまで も動作的で, それを言語 記録す る こ とは していない｡次に操作できる状態,また は扱える状 態にはなっていない｡ いかに扱え るような表現をす るか がひとつのかざで もあ ることがわかる｡

5

. リア リテ ィの戟 点 か らの授業再組織 の ため に検 討

5.1 3

つ の レベル の リア リテ ィ

小学校で の授業では,

つの レベルの異 な る説明がな されている

また,授業でのや り とりに現われていない部分を考え ると,

つ の レベルがある註

0

まず,授業のなかで発言 として は生 じてい ないが,装 置をつか って解決 して ようとして いた子 どもがいた｡それは次のよ うな状態 で ある｡装置 の上で 目盛 を想定 してみて, トン ネルの出口の位置を想 定 して,ハ ン ドルを回 してみるのである

このような装 置での操作 の繰 り返 しでは,ハ ン ドルを回す 回数に着 目 す ることは あま りないだろうことが予想で き る｡また,子 どもたちの間で生 じて くる問題 点は,想定 した 目盛の正確 さ,ブ ロックの 出 発の位置のずれ な どであることが考え られる

そ して これ らの問題点解決のため に,繰 り返 しブロックを動かす こ とがなされ るはずで あ る｡ これが第 1の レベルである｡

これに対 して,授業 で発言 した子 どものな かでみ られ る第

の レベルにあた ることは,

｢1

回す ときに

進 む,

回す ときに 1進

む｣ということか ら,動きを再現 している状 態である｡ この状態は,小学校の授業でもみ られているが,模擬授業で もみ られている｡

すなわち,図.2に示 した解決がそれである｡

問題の解決が,動きの再現によってなされて いる｡

さらに,第3の レベルにあたるのが,再現 された動きを もとに しなが ら,回転数と動 い た長さ,または位置の関係にかかわる問題解 決を している状態である｡

レベノ

レ2

3

Sf a r

これに対 して, レベル3では,扱 っている 対象が再現 された動きである｡再現された動 きをみるとき,回転数 を媒介 としなか ら,動 いた長さに着 目しているのである｡｢1回まわ す ときに2進む｣という表現は,｢1回まわす ときに1進む｣ と同 じであ り,それ らが関連 しあっている解決がな されている｡ 土のため に,29‑15と29÷2ということが同時に扱え る解決となっているのである｡

レベル1は,操作的な レベル2に進むため の前提であ ると考える｡ レベル 1では,ブ ロ ックを動かすことに リア リティがある｡そ し て, レベル2にある子 どもにとって, リア リ ティがもて るのは,ブ ロックが動 いていく様 子を再現できることである｡これ に対 して, レベル3の子 どもは,再現 された動きにリア リティがある｡これが振作的ではない側面を もっている｡すなわち,動きを再現すること

にリア リテ ィがある子 どもは操作 的に再現で きるのである｡ しか し,再現 された動きに リ ア リティのある子 どもは,再現 されたリア リ ティ自体への操作が可能である｡

5.2授業再組織 のための留意点

装置を用いた授業についてこれ らの観点か ら再検討すると次のような示唆が得 られた｡

ひとつは, リア リテ ィを子 どもがもつため には,動きの再現が不可欠であるために,動 きに関する何 らかの表現を試みることを促す ことが必要である｡ その表現が,図であって も表であって もかまわない｡実際の授業では この点に関 して,授業者は ｢表を書いている ひとがいるよ｣という形式的で消極的な介在 で終わっている｡より積極的に,少な くとも, 例を紹介 し,類似の仕方で動きを再現するこ

とを促すことになる｡

続いて,動きを再現 したものについての検 討を加えることである｡ 表現が異なっていて もかまわないのである,それ らについて語 る ことが重要である｡その蓑や図をつかって, 解決をはか る段階を設定することが次にな さ れるべきことである｡

また,最初の リア リティをつ くるために, 今回の授業で実施 した ような問題設定までの 過程をとること,特に,実際にブ ロックを動 か しなが ら,そ してウサギ とカメのイメー ジ を用いなが ら,動きの再現へのあ しがか りを つ くることが,大切である｡

6.おわ りに

子どもに とってのリア リティを構成 し,そ れを数学的に発展させ ることを 目指 して,装 置を用いた授業を振 り返 った｡そのなかで, 動きを再現すること,それを次に扱える対象 とすような表現をすることが重要な側面と し てみえてきた｡そ して,そのような リア リテ ィは,1回す とき2進むという現実の操作か ら生 じるし,そのような振作が,将来的には 見直され 比例定数と して発展す ることにな

る

す なわ ち,動 きを 制御 す る もの と して 扱 われ る こと にな る

装 置 の動 きの構造 を支 配 す る概念へ と発展す るのであ る

数学的な リア リテ ィへ と発展す る過程を 想 定す る と, この よ うな ,操作 とそ の表現 の 仕 方が重要 な役割 を果 た して い る ことがわか る

次 には, これ らの観 点か ら従来 実施 され て い る授業 で 扱 われ て い る教材 を見 直す こと, 実際の授業 で再実現 してみ る ことが今 後 の 課 題 である｡ また,授業 のなかで子 ど もが書 い た表 が,装置 と同 じ向 きで たて書 きだ った り, 学 生 の書 い た動 きの図 も同様 に, 装 置 と解 決 者 の位置 関 係 を維 持 して措 かれて いた｡ これ らは数学 の 問題 を解 決 す る うえで の一つの リ ア リテ ィの 現 われ で あ る

この よ うな リア リ テ ィにつ い て もさ らに 検討す る こ とも必要 で あ る

謝 辞

授業を実 施 す る機 会 をいただい た古藤怜 先 坐 ( 上越教 育大学名誉 教 授 ) ,新潟市立浜浦小 学校 生 田雅 之先生, そ して

年

組 の皆 さん に感謝い た します ｡ ま た,授業 の 準備 にあ た って装置 の 準備 な ど協 力 を してい ただいた , 上越教育大 学大学 院生 の新井馨 さん 桐 山真 一 さん,吉 田亨 さん, 内山‑敏 さん,高橋 久 誠 さん 高 島純 さん に感謝 いた します｡

註

註

) リア リティという用語について簡単に述べ る｡ リア リティは一般には現実に近い意味をも っている｡ しか し,ここでは現実 という意味で はな く,個人,またはある特定の社会の構成員 にとっての現実の意味で用いる｡

Freudenthal

は数学における リア リティに 関して,現実 という意味では用いていない｡数 学が活動か ら生 じ,その活動を含めて リア リテ ィとみている｡また,デービスら ( 1 98 6) が数学 的実在 と表現 していることも同様である｡彼 ら

は,超立方体 というものを操作的に構成 してみ せている

そして,次のように述べている

｢われわれが超立方体に関す るこのような明確 な情報を発見できるという事実は,それが何 ら かの意味で存在するに違いない,ということを 意味するように思われる‑‑それは虚構の相念 的対象ではあるが,それがい くつかの頂点,凌, 面,超面を持つかについて何の疑念 もない｣ ( p･

38 6)

すなわち,超立方体 という現実には存在 しな いと思われる対象であっても,それに関する情 報が発見できるような状態が感 じられるように なると,数学的な存在があるとみるようになる ことが述べ られている

活動やその結果 として生ず る性質などをもと に新たな知識を構成 していける可能性をもって いるの もを リア リティと呼ぶことにする｡

註 2)装置を利用 した授業は,1 9 98 年 9 月2 5 日, 平成 1 0 年度新 しい算数研究全国大会 ( 新潟市立 浜浦小学校 6 年 2 組)において実施 した｡

註

このようなとらえ方がなされる背景には,

｢ 数学的な創造活動の中でどう活用 されるべき か という立場である｡ ｣と中島が述べているよう に,創造的活動に関数の考えを位置付けている ことにある

註 4) 大学 3 年生を対象 とした模擬授業は 1 9 9 8 年 9 月 3日に実施 した｡装置は 1 台のみで2 3 名の 学生を対象 とした｡

註

装置を利用 した問題の中学生による解決に おいても,類似の レベルがみ られる｡詳 しくは, 桐 山長一. ( 1 999 ) . 中学生における関数の理解に 関する研究 ‑一次関数を事例 として‑′上 越数学教育研究′14 ′ 61 ‑ 72. を参照｡

参考 ･引用文献

チ‑ビス. P. J . ′ヘル シュ ′ R. ( 198 6) . 数学的経験･

森北 出版.

菊池兵一 . ( 1 98 4) . 真実感 と充実感のある算数指導.

東洋館.

熊谷光一 . ( 1 999 ) . どちらが先に トンネルを出て く るかな ?.新 しい算数研究′3 3 6′ 111 ‑ 113.

中島健三. ( 1 981 ) . 算数 ･数学教育 と数学的な考え 方.金子書房.

DO r 且e r ′W ･ ( 1 98 6) ･ Thec ogni t i vedi s t a nc e be t we e nmat e r ia la c t i onsa ndmat he mat i c a l ope r a t i ons ･ Pr oc e e di ngsoflO山 i nt e mat i ona l c o nf e r e nc ef ort heps yc hol ogyofmat he mat i c s e duc a t i on ′ 1 9 8 6 ′ Lo ndo n ′ 1 47‑ 1 52.

Gr ave me i j e r ′ K ･ ( 1 997 ) ･ Me di at i ngbe hve e n c o nc r e t ea nda bs t r a c t ･ I nT･ Nune ′ &P･ Br ya nt ( Eds

) ･ Le a ni nga ndt eac hi ngma t he mat i c s : An i nt e r na t i ona lpe r s pe c t i ve. UK･ Ps uc hol o gy Pr e s sLt d. Publ i s he r s . 31 5‑ 3 45.

Gr e e no ′ ∫ . G. ( 1 991 ) . Avi e wofmat he mat i c a l pr o bl e ms ol vi ngi ns c hool ･ I nM･ U ･ Smi t h( Ed

)

Towa r dauni Ge dt he or yofpr o bl e ms ol vi ng:

Vi e wf r o mc o nt e ntdoma i ns ′ 69 ‑ 97 ′ Hi l l s dal e ′ NJ : LEA.

Sf a r d′ A. ( 1 991 ) . Ont hedua lna t ur eofmat he ma ‑ t i calc o nc e pt i o ns : Re i f i c at i onso npr oc e s s e sa nd o b j e c t sasdi f f e r e nts i de soft hes a mec oi n･

Educ at i ona l s t udi e si nma t he ma t i c s ′ 2 2 ′ 1 ‑ 36.

資料

装置を用いた授業の想定プ ロ トコールの抜粋 ( 意図)進む速 さと時間のかかわ りのイメージ化

時計 と送電線の電柱をつか った新幹線 と

在来線の速 さの話 しをす る

( 意図)装置では動きに着 目することの暗黙の理 解を明確化す る

T :

みんなの前にお もちゃみたいな ものがある｡

動 くのかな,さわ ってみよう

p‑:

あー動 く

T

:ハ ン ドルを回す とこっちに動 いたね｡ もどす ときはこうや って,ここのスプー ンをこうず ら して もどすんだよ｡一

動か していて気付いたことがあった ら友だちに

伝えて ( 話 して, ノー トに書いて)おいてね｡

P:

(しば らく動かす)

T :

さわってみて,動か してみて,いろいろわか ってきたことがあると思 うけ ど,気付いた,わ か ったことを話 して下 さい｡誰か ?

( 意図)動きをイメー ジす ること ( だんだんおい つ く,またはおいつきそうになると,個別的動

き)

P:

速い方 と遅い方がある｡

T :

速い方 と遅い方があるかな ?動か してみて

こっちの方が遅 くて,こっちの方が速い

ほかにあるかな

P:

出発する場所がちが っている

T :

あ‑,みんな 自分たちのをみてみよう

違 っ ているね｡一方がずいぶん前か ら出発 している ね,ほかにはあるかな

P:1

回まわすときに,

進む

T :

お‑,す ごいことに気付いたね,そうなって いる ?確カメてみて

P :

速いほうは

個すすむ

T :1

回まわ したとき 1すすむの と違 うの

遅い方は 1すすむ

T :

みてみよう皆のそうなっている ?

回まわ し たとき,遅い方は 1 進む,速い方は 2 進む

( 動きを確カメる)

( 意図)ウサギとカメのイメー ジで動 き ( だんだ んおいつ く,またはおいつきそうになる)をさ

らに念頭で想像できるようにする

T :

このおもちゃのことが少 しわか ってきたみ たいだね｡速 く動 く方 と遅 く動 くのにそれぞれ 名前をつけよう｡ どういう名前がいいかな ?

ウサギとカメ

T :

速い方をウサギさん,遅い方をカメさん とで もしておこうか ?

( 意図)問題の設定

T :

さて,このお もちゃを使 って問題を考えてみ ようと思う

先生が準備 してきた問題はどんな 問題かな｡想像がつ く

PP : ウサギ とカメどちらが速いか ?など

では,問題を書きます｡ノー トに書いて考え

て下 さい｡

問題 : トンネルがあります｡(トネ ンルの出口

は

の ところですウサギさん とカメさんでは,

どちらが先に トンネル出て くるで しょう｡

T :

どちらが先に出て くるかな ?予想では

ウサギ

P:

カメ

どうして,

P:

こっちが速いか ら,こっちが前にいるか ら

問題について何か聞きたいことはあ りますか

出口はどこにあるのですか ?

T :

じゃあ前の人に確カメて もらいましょう｡

P:29

T :

出口はここか ら数えて,

目盛のところに あります｡みんなの機械では目盛がありません ね,工夫 して考えて下さい｡

( 個別活動)

( 意図)状況の記述か ら変数の分離へ

T :

( 動きを記述 している子 どもをさが し,その 一部を紹介する)

き, 2 進む, 2 進んだとき4 進む ･･･そうな っている

( 再びグループで活動)

( 意図)再び状況の記述か ら変数の分離へ,動き と状態の統合

T :

では解決結果を聞いてみましょう｡

T :

( 機械 との関連をつけさせる

また,状態的

カメ

に説明 した場合は,

進む,

進む と表の関連 に注意を払って説明させる｡これによって状態 をとらえている子 どもと動きを捉えている子ど もの間の関連をはか っていく

表の関連を考え ることで,進んだ距離 と位置の関係が明確化 さ れるとともに,)

とにか く記述 した解決

･ 進んだ距離を記述 したもの

･ 状態を記述 したもの

･ 何 らかの関係をみなか ら解決 したもの

回 転 数 を 独 立 ^変 数 と み ^る

( 意図)結果の現実での確認

T :

それでは,どちらが先に出てきたか,先生の カメ

T :

この裏みたいな ものでや っているね,この表 でや ったことはどういうことかな

P :1

回まわす ときに,

進む

T :

お‑,すごいことに気付いたね,そうなって いる ?確カメてみて

P :

速いほうは

個すすむ

T :1回まわ したとき 1すすむのと違 うの

遅い方は

すすむ

T :

みてみよう,皆のそうなっている ?

回まわ したとき,遅い方は 1進む,速い方は

進む

( 動 きを確カメる)

P :

ここが

進む ｢で｣ ,ここが

進む

T :

(このあと数人同 じようなことを話 させる｡

そのなかで,

ずつ進む とき,

進むなど,倭 存関係を表現することばに注意を払う)

T :

あ‑みんなわか ったいいこといったね,いま.

いままでのひとと表現が違 っていたね｡わか っ た｡もう一回言 って｡

ど: ○ ○のとき

○になる

ときっていったね｡

T :

みんな機械でも確カメてみてね,

進んだと

ところにある機械で確カメてみましょ う｡ みん なの ところにある機械で もできますよ｡黒いテ

‑プをはが してみて下さい｡た しかにカメさん が先に出てきま したね｡

T :

ここで,表のどこまできたかな ? ( 意図)追いつき算の見方

T :

別の解決があ りました｡紹介 して下さい

P:29‑15‑14

,

だか ら,カメがはやい｡

( 意図)理解の状態の評価,イメージと表,変化 のかかわ り,式への展開のための準備

T :

ウサギがカメにおいつ くのはいつか気付いた 人はいますか ?

表か らわか りますか ?

式で考えることができますか ?

(

□)

( 意図)問題の発展

T :

では,ウサギさんが先にでて くるようにする ためにはどうしたたよいで しょうか｡

T :

他に解決 してみたい問題はあ りますか ?

ウサギが

進んだ らどうなるか

P:

カメが もっと遅 く目覚めた らどうなるか

トンネルの場所を変える