平成 30 年度 京都大学 ２次試験前期日程 ( 数学問題 )150 分 理，医，薬，工，農，総合人間 ( 理系 ) ，経済 ( 理系 )
1 0 でない実数 a，b，c は次の条件 (i) と (ii) を満たしながら動くものとする．
(i) 1 + c
25 2a.
(ii) 2 つの放物線 C
1: y = ax
2と C
2: y = b(x − 1)
2+ c は接している．
ただし，2 つの曲線が接するとは，ある共有点において共通の接線をもつこと であり，その共有点を接点という．
(1) C
1と C
2の接点の座標を a と c を用いて表せ．
(2) C
1と C
2の接点が動く範囲を求め，その範囲を図示せよ．
2 n3− 7n + 9 が素数となるような整数 n をすべて求めよ．
3 α は 0 < α 5 π
2 を満たす定数とし，四角形 ABCD に関する次の 2 つの条件を 考える．
(i) 四角形 ABCD は半径 1 の円に内接する．
(ii) ∠ABC = ∠DAB = α.
条件 (i) と (ii) を満たす四角形のなかで，4 辺の長さの積 k = AB·BC·CD·DA
が最大となるものについて，k の値を求めよ．
4 コインを n 回投げて複素数 z1, z
2, · · · , z
nを次のように定める．
(i) 1 回目に表が出れば z
1= −1 + √ 3 i
2 とし，裏が出れば z
1= 1 とする．
(ii) k = 2, 3, · · · , n のとき，k 回目に表が出れば z
k= −1 + √ 3 i
2 z
k−1とし，裏 が出れば z
k= z
k−1とする．ただし，z
k−1は z
k−1の共役複素数である．
このとき，z
n= 1 となる確率を求めよ．
5 曲線 y = log x 上の点 A(t, log t) における法線上に，点 B を AB = 1 となるよ うにとる．ただし B の x 座標は t より大きいとする．
(1) 点 B の座標 (u(t), v(t)) を求めよ．また µ du
dt , dv dt
¶
を求めよ．
(2) 実数 r は 0 < r < 1 を満たすとし，t が r から 1 まで動くときに点 A と 点 B が描く曲線の長さをそれぞれ L
1(r)，L
2(r) とする．このとき，極限
r→+0
lim (L
1(r) − L
2(r)) を求めよ．
6 四面体 ABCD は AC = BD，AD = BC を満たすとし，辺 AB の中点を P，辺 CD の中点を Q とする．
(1) 辺 AB と線分 PQ は垂直であることを示せ．
(2) 線分 PQ を含む平面 α で四面体 ABCD を切って 2 つの部分に分ける．こ
のとき，2 つの部分の体積は等しいことを示せ．
解答例
1 (1) f(x) = ax2，g(x) = b(x − 1)
2+ c とおくと
f
0(x) = 2ax, g
0(x) = 2b(x − 1)
C
1，C
2の共有点の x 座標を t とすると，f (t) = g(t)，f
0(t) = g
0(t) より (∗)
( at
2= b(t − 1)
2+ c 2at = 2b(t − 1) (∗) の第 2 式から at = b(t − 1) · · · ° 1 a 6= 0，b 6= 0 であるから， ° 1 より t 6= 0, 1
1
° と (∗) の第 1 式から b を消去すると
at
2= at(t − 1) + c ゆえに t = c a
したがって f
³ c a
´
= a
³ c a
´
2= c
2a よって，接点は µ c
a , c
2a
¶
(2) (1) の結果から，接点の座標を (x, y) とおくと x = c
a , y = c
2a (x 6= 0, 1) 上の 2 式から a =
µ a c
¶
2c
2a = µ 1
x
¶
2y = y
x
2， c = c
2a · a
c = y· 1 x = y
x これらを 1 + c
25 2a に代入すると
1 +
³ y x
´
25 2· y x
2よって x
2+ (y − 1)
25 1 (x 6= 0, 1)
この不等式の表す領域は，右の図の斜線部分で，
y 軸および点 (1, 1) は含まない．
O y
x 2
1 1
補足 右の図から，C
1と C
2の接点の x 座標は x 6= 0, 1
であることがわかる．
O y
1 x
C
1C
2C
20別解 1 + c
25 2a より，a > 0 であるから，k = 1 + c
22a とおくと 0 < k 5 1 接点の座標を (x, y) とおくと，(1) の結果から
x = c
a = 2kc
1 + c
2, y = c
2a = 2kc
21 + c
2c 6= 0 であるから，c = tan θ (−
π2< θ < 0, 0 < θ <
π2) とおくと x = k sin 2θ, y = k(1 − cos 2θ)
これは，右の図のように，y 軸上の点を除く，
中心 (0, k)，半径 k の円である．接点の x 座標 は，x 6= 0, 1 であるから，k が 0 < k 5 1 の範 囲を動くとき，(2) で求めた図形が得られる．
O y
x k
2k
2 与えらえた整式を変形すると
n
3− 7n + 9 = (n − 1)n(n + 1) − 3(2n − 3) · · · (∗)
連続する 3 整数の積 (n − 1)n(n + 1) は 3 の倍数であるから，(∗) は 3 の倍数で ある．これが素数であるとき，その値は 3 であるから
n
3− 7n + 9 = 3 ゆえに (n − 1)(n − 2)(n + 3) = 0 よって，求める整数 n は n = 1, 2, −3
3 θ = ∠ABD とおくと
∠DBC = α − θ，∠ADB = π − α − θ
外接円の半径が 1 であるから，正弦定理により AB = 2 sin(π − α − θ) = 2 sin(α + θ), BC = DA = 2 sin θ,
CD = 2 sin(α − θ)
A B
D C
α θ
θ
したがって k = AB·BC·CD·DA = 16 sin
2θ sin(α + θ) sin(α − θ)
= 8 sin
2θ(cos 2θ − cos 2α) = 16 sin
2θ(− sin
2θ + sin
2α)
= −16 µ
sin
2θ − 1 2 sin
2α
¶
2+ 4 sin
4α よって，sin θ = 1
√ 2 sin α のとき，k は最大値 4 sin
4α をとる．
4 n を自然数，ω = −1 + √ 3i
2 とすると z
n∈ {1, ω, ω
2}
z
n= 1，z
n= ω，z
n= ω
2となる確率をそれぞれ p
n，q
n，r
nとすると，次の確 率漸化式が成立する．
p
1= 1
2 , q
1= 1
2 , r
1= 0
(∗)
p
n+1= 1
2 p
n+ 1 2 r
nq
n+1= 1
2 p
n+ 1 2 r
nr
n+1= q
n表
表 表
裏 1
ω
ω
2裏
(∗) の第 1 式と第 2 式から
p
n+1− q
n+1= 0, p
n+1+ q
n+1= p
n+ r
nこのとき，p
n= q
nであるから，p
n+ q
n+ r
n= 1 により r
n= 1 − 2p
nこれを (∗) の第 1 式に代入すると
p
n+1= 1
2 p
n+ 1
2 (1 − 2p
n) ゆえに p
n+1− 1 3 = − 1
2 µ
p
n− 1 3
¶
数列
½
p
n− 1 3
¾
は，初項が p
1− 1
3 ，公比が − 1
2 の等比数列であるから p
n− 1
3 = µ 1
2 − 1 3
¶ µ
− 1 2
¶
n−1すなわち p
n= 1 3
½ 1 −
µ
− 1 2
¶
n¾
よって，求める確率は 1 3
½ 1 −
µ
− 1 2
¶
n¾
5 (1) y = log x より y0 = 1 x
曲線 y = log x 上の点 A(t, log t) における接 線の傾きが 1
t であるから，この曲線の点 A に おける法線の傾きは −t であるから， −→
AB はベ クトル (1, −t) に平行である．
O y
x A
B t log t
1
AB = 1 で，B の x 座標は A の x 座標 t より大きいから
−→ AB = 1
√ 1 + t
2(1, −t) よって (u(t), v(t)) = −→
OB = −→
OA + −→
AB
= (t, log t) + 1
√ 1 + t
2(1, −t)
= µ
t + 1
√ 1 + t
2, log t − t
√ 1 + t
2¶
上式から
µ du
dt , dv dt
¶
= Ã
1 − t
(1 + t
2)
32, 1
t − 1
(1 + t
2)
32!
(2) A(t, log t) より， d
dt log t = 1
t であるから
L
1(r) = Z
1r
s 1 +
µ 1 t
¶
2dt =
Z
1r
√ 1 + t
2t dt
(1) の結果から
µ du dt , dv
dt
¶
= Ã
1
t − 1
(1 + t
2)
32! (t, 1) sµ du
dt
¶
2+
µ dv dt
¶
2= Ã
1
t − 1
(1 + t
2)
32! √
t
2+ 1 =
√ 1 + t
2t − 1
1 + t
2L
2(r) = Z
1r
à √ 1 + t
2t − 1
1 + t
2! dt
したがって L
1(r) − L
2(r) = Z
1r
dt 1 + t
2t = tan ϕ とおくと，t → +0 のとき，ϕ → +0 に注意して
r→+0
lim (L
1(r) − L
2(r)) = Z
π4
0
1
1 + tan
2ϕ · dϕ
cos
2ϕ = π
4
補足 不定積分 Z r
1 + 1
t
2dt について，t = 1
u とおくと
Z r 1 + 1
t
2dt = Z √
1 + u
2µ 1
u
¶
0du
=
√ 1 + u
2u −
Z u
√ 1 + u
2· 1 u du
=
√ 1 + u
2u − log(u + √
1 + u
2) + C
よって
Z r 1 + 1
t
2dt = √
1 + t
2− log à 1
t + r
1 + 1 t
2! + C
これから，L
1(r) および L
2(r) を求めることもできるが，本題では不要．
発展 本題では曲線の曲率 κ が
1，|κ| < 1 となる曲線 C : y = f (x) を設定している．
C の弧長
s = Z
xx0
p 1 + {f
0(t)}
2dt
を変数とし，C 上の点 X を X(s) = (x(s), y(s)) で 定めると X
0(s) = (x
0(s), y
0(s))
A
N T
−N C
s − s
0= Z
ss0
|X
0(s)| ds
³
|X
0(s)| = p
{x
0(s)}
2+ {y
0(s)}
2´
これを s で微分することにより |X
0(s)| = 1
T = X
0(s) とおくと，T は A(x(s), y(s)) における C の単位接ベクトルである．
また，T を反時計回りに π
2 だけ回転されたベクトル
N = (−y
0(s), x
0(s)) (1) を単位法ベクトルという．
|X
0(s)|
2= 1 より {x
0(s)}
2+ {y
0(s)}
2= 1 · · · (∗) これを s で微分すると
2x
0(s)x
00(s) + 2y
0(s)y
00(s) = 0 ゆえに (x
00(s), y
00(s))⊥T
3
を参照したがって，実数 κ を用いて
(x
00(s), y
00(s)) = κN = κ(−y
0(s), x
0(s)) (2) これと (∗) から κ = x
0(s)y
00(s) − x
00(s)y
0(s)
T の x 軸の正の向きとなす角を θ とすると tan θ = y
0(s) x
0(s) これを s で微分すると
1 cos
2θ · dθ
ds = x
0(s)y
00(s) − x
00(s)y
0(s) {x
0(s)}
2ここで 1
cos
2θ = 1 + tan
2θ = 1 +
½ y
0(s) x
0(s)
¾
2= 1
{x
0(s)}
2よって κ = dθ
ds = x
0(s)y
00(s) − x
00(s)y
0(s) また，(1) を s で微分すると，(2) に注意して
N
0= (−y
00(s), x
00(s)) = (−κx
0(x), −κy
0(s)) = −κT 本題において，点 A が X(s) であるとき，点 B は X(s) − N である．
d
ds (X(s) − N ) = X
0(s) − N
0= T + κT = (1 + κ)T 曲線 y = log x の曲率 κ は
κ = y
00(1 + y
02)
32= −
x12¡ 1 +
x12¢
32
= − x (1 + x
2)
321 + κ > 0 であるから |(1 + κ)T | = 1 + κ
r → +0 のとき θ → π
2 − 0，x = 1 のとき θ = π 4
r→+0
lim (L
1(r) − L
2(r)) = Z
π4
π 2
{1 − (1 + κ)} ds
= Z
π4
π 2
(−κ) ds = Z
π2
π 4
