4 条件付きの極値問題 その４ 問題演習
Exercise 解答例
基本演習 1 (佐賀大18) 次の条件g(x, y) = 0のもとで関数f(x, y)の極値を求め て下さい。
g(x, y) =x+y−1, f(x, y) =x2+y2
【解答例】 ２回目の演習問題にありました。
基本演習2 (筑波大25) 実変数x, y, zがx2+2y2+3z2= 6を満たすときf(x, y, z) = xyzの最大値と最小値を求め、その時のx, y, zの値を示して下さい。
【解答例】 G(x, y, z) =x2+ 2y2+ 3z2−6と置けば条件式はG(x, y, z) = 0と書くこ とが出来ます。Gx= 2x, Gy = 4y, Gz = 6zによればgradG= となる点は原点のみ ですが、原点は条件G= 0を満たしていません。従ってLagrangeの定理により、極値 の候補点はgradF =pgradGとなるような実数pが存在するような点のみです。この 式と条件式を連立させれば
yz= 2px zx= 4py xy= 6pz
x2+ 2y2+ 3z2= 6 ですからこれを解きます。
第１、２、３式を辺々掛ければ(xyz)2= 48p3xyzとなり、これはxyz(xyz−48p3) = 0 と因数分解されますから場合分けが生じます。
【x= 0の場合】この場合、第１式からyかzのいずれかも0ですが、第３式によれ ば(0,0,±√
2)、(0,±√
3,0)が解となります。
【x 6= 0の場合】もしもy = 0であれば第２式からz = 0となり、第４式から (±√
6,0,0)が解です。また、y6= 0であれば第３式からp, z共に0ではあり得ず、先に 求めた式からxyz= 48p3が得られます。
すると第１式の両辺にxを掛ければ48p3= 2px2すなわち24p2=x2が得られます。
同様に第２、３式から12p2 = y2,8p2 = z2が得られ、これらを第４式に代入すれば 24p2+ 24p2+ 24p2= 6すなわちp2= 121 が分かります。
これを戻せばx2 = 2, y2 = 1, z2= 23が分かります。従って≥
±√
2,±1,±q
2 3
¥が得 られますが、これらは全て（適当なpの下で）連立方程式を満たしています。
以上から極値の候補点は (0,0,±√
2),(0,±√
3,0),(±√ 6,0,0),
√
±√
2,±1,± r2
3
!
です（複号同順でない）。
これらの点での関数f(x, y, z) =xyzの値を調べると、
f(0,0,±√
2) =f(0,±√
3,0) =f(±√
6,0,0) = 0, f
√
±√
2,±1,± r2
3
!
=± 2
√3
です（符号は適宜解釈する）。
条件式の表す曲面は楕円面であり、楕円面上で連続関数f(x, y, z) =xyzは必ず最大 値と最小値を達成し、しかもそれは同時に極値にもなっていますから、今求めた極値の 候補の中に最小値と最大値がある筈です。値を比べれば、明らかに最大値は
√√ 2,1,
r2 3
! ,
√√
2,−1,− r2
3
! ,
√
−√ 2,1,−
r2 3
! ,
√
−√ 2,−1,
r2 3
!
での√2
3であり、最小値は
√
−√
2,−1,− r2
3
! ,
√
−√ 2,1,
r2 3
! ,
√√ 2,−1,
r2 3
! ,
√√ 2,1,−
r2 3
!
での−√23 です。
基本演習 3 (電気通信大17) （１）xy−平面内の曲線f(x, y) =x3+ 3xy+ 4y4
−x−4 = 0上の点(2,−1)におけるこの曲線の接線の方程式を求めて下さい。
（２）点(x, y)が条件y2−x2−1 = 0を満たしながら動くときの関数f(x, y) = y3+ 2xの極値を求めて下さい。
【解答例】 これも２回目の演習問題です。
基本演習 4 (山梨大22) f(x, y) =x2+xyとします。x2+y2= 4を満たす(x, y) でのf(x, y)の最大値と最小値を求めて下さい。
【解答例】 g(x, y) =x2+y2−4とします。gx= 2x, gy = 2yより、gradg= となる のは原点のみですが原点は条件g= 0を満たしていません。従ってLagrangeの定理か ら極値の候補点はgradf =pgradgとなる実数pが存在する点のみです。この式と条件
式を連立させれば
2x+y= 2px x= 2py x2+y2= 4 ですからこれを解きます。
第２式を第１式に代入すれば
4py+y= 4p2y y(4p2−4p−1) = 0
ですが、y= 0のとき第２式からx= 0となってしまい第３式と矛盾するのでy6= 0で す。この場合
0 = 4p2−4p−1 = (2p−1)2−2 からp= 1±2√2が分かります。
このとき、第２式からx= (1±√
2)yなのでこれを第３式に代入して (4±2√
2)y2= 4 y2= 2
2±√ 2
= 2∓√ 2 y=±
q 2∓√
2 が得られます。従って４点の解が見つかりました（複号同順）：
µ
±(1 +√ 2)
q 2−√
2,± q
2−√ 2
∂ ,
µ
±(1−√ 2)
q 2 +√
2,± q
2 +√ 2
∂ .
条件式の表す曲線は円周であり、円周上で連続関数は最大値と最小値をとり、しかも それは同時に極値でもありますから、最大値と最小値はこの候補点の中にある筈です。
そこで各点でのf(x, y)の値を調べてみると f
µ
±(1 +√ 2)
q 2−√
2,± q
2−√ 2
∂
= (1 +√
2)2(2−√
2) + (1 +√
2)(2−√ 2)
= (4 + 3√
2)(2−√ 2)
= 2 + 2√ 2 f
µ
±(1−√ 2)
q 2 +√
2,± q
2 +√ 2
∂
= (1−√
2)2(2 +√
2) + (1−√
2)(2 +√ 2)
= (4−3√
2)(2 +√ 2)
= 2−2√ 2
となっていますから、前者が最大値、後者が最小値である事が分かりました。
基本演習 5 (筑波大21) g(x, y) = x2+ 2y2−1 = 0, x, y ≥0の条件の下で関数 f(x, y) =xyの最大値と最小値を求めて下さい。
【解答例】 まず条件のうちxy≥0は無視して計算します。
gradg= となるのは原点のみですが、原点は条件g= 0を満たしていません。従っ
てLagrangeの定理により、この条件の下での極値の候補点はgradf =wgradgとなる
実数wが存在するような点のみである事が分かります。この式と条件式を具体的に書
けば
y= 2wx x= 4wy x2+ 2y2= 1 ですから、まず第２式を第１式に代入して
y= 8w2y, すなわち y(8w2−1) = 0
が得られますが、y = 0のとき第２式からx= 0となりこれは第３式と矛盾するので y6= 0であってw=±2√12が分かります。いずれの場合も第１、２式は同じ式x=±√
2y となり、これを第３式に代入すれば
4y2= 1 すなわち y=±1 2 が得られます。従って求める候補点は４点≥
±√12,±12
¥です。
条件g = 0の表す曲線は楕円周であり、楕円周上の連続関数は最大値と最小値をと り、それらは同時に極値でもありました。従って極値であるが故にその最大値、最小値 は今求めた候補点の中にある筈です。
各点での関数値を調べると f
µ
± 1
√2,±1 2
∂
=√ 2, f
µ
± 1
√2,∓1 2
∂
=−√ 2 ですから（複号同順）、前者が最大値、後者が最小値です。
しかしこの問題にはもう１つ条件があって、x, y≥0でなければなりませんでした。
この場合も全ての条件を総合したものは楕円周のうちの第１象限部分（端点含む）で すから、有界閉集合であり、最大値、最小値は端点≥
0,√1 2
¥,(1,0)かあるいは端点以外 の点で達成される筈です。端点以外である場合はそれは極値でもありますから今見た
≥
±√12,±12¥
だけが候補です。この３点の中に必ず最大値と最小値があるわけですから 結局、最大値は≥
√1 2,12¥
での√
2、最小値は２点≥ 0,√1
2
¥,(1,0)での0です。
基本演習 6 (東京農工大26) x2+y2= 1のとき、関数f(x, y) =x3+12y2−2xの 最大値と最小値を求めて下さい。
【解答例】
基本演習 7 (新潟大25) 条件x2−4x+ 2y2−4y+ 3 = 0のもとで、関数g(x, y) = x+ 2yの最大値と最小値を求めて下さい。
【解答例】
基本演習8 (筑波大18) 関数f(x, y) =x0.6y0.4の値を、条件x+y= 4, x≥0, y≥0 のもとで最大化するxとy の値を求めて下さい。
【解答例】
発展演習9 (大阪大24) （１）実数を要素とする行列A=
√a b b c
!
が異なる固有 値を有するための条件を求めて下さい。またそのとき、異なる固有値に対する固有 ベクトルが直交することを示して下さい。
（２）２次曲線7x2−4xy+ 7y2= 9の概形を描いて下さい。
（３）x2+y2= 1のとき、関数f(x, y) = 2x2+dxy+ 3y2の最大値と最小値を 求めて下さい。ただし、dは実数の定数とします。
【解答例】
発展演習10 (名工大17) Nを正の数として、xyz空間の部分集合 TN ={(x, y, z) | x+y+z=N,0< x, y, z < N} を考え、正の数p, q, rを用いて関数fp,q,r(x, y, z) =≥p
x
¥x
· µq
y
∂y
·≥r z
¥z
をTN上 で定義します。
（１）fp,q,rの自然対数として定義される関数logfp,q,r(x, y, z)の極値をラグラ ンジュの未定乗数法を用いて求めて下さい。
（２）TN 上で定義された関数fp,q,rは、TN 上のある点(x, y, z)において最大値 をとる事が知られています。この事を用いてfp,q,rの最大値を求めて下さい。
【解答例】
基本演習11 (岩手大10) x-y平面上の半楕円
≥x 2
¥2
+y2= 1 (x≥0)· · ·(i)
とx, yの関数z(x, y) = 2 +xy+12(x2+y2)を考えます。ただし、半楕円上の点 (x, y)に対し、原点と点°x
2, y¢
を結ぶ線分がx-軸となす角θとします。次の問に答 えて下さい
（１）θを媒介変数とする半楕円(i)の媒介変数方程式を求めてください。θの とる範囲も明示するようにして下さい。
（２）条件(i)のもとでの関数z(x, y)の極値を求めるために、関数z(x, y)をθ のみの関数として表して下さい。
（３）前問で得られたθの関数f(θ)が極値をとるcosθ,sinθの値を求めて下さい。
（４）f(θ)の極値を求めて下さい
（５）f(0), f°
±π4
¢, f°
±π2
¢を求めて下さい。
（６）f(θ)のおよそのグラフを描いて下さい。
（７）媒介変数θを用いずに、条件(i)のもとでの関数z(x, y)の極値を、ラグ ランジュの乗数法で求めたいと思います。極値をとる(x, y)の値を求めるための条 件式を書いて下さい。
（８）極値をとる(x, y)の値を求めよ.
【解答例】
発展演習 12 (東北大24) 実変数x, yの関数f(x, y) =x3−y2について以下の問 に答えて下さい。
（１）(x, y)が実平面全体をうごくとき、f(x, y)の臨界点（@f@x = @f@y = 0となる 点）をすべて求めて下さい。
（３）点(x, y)が円x2+y2 = 1の上をうごくとき、関数f(x, y)の最大、最小 とそのときのx, yの値を求めて下さい。
【解答例】
発展演習 13 (筑波大20) f(x, y, z) =x−1+y−1+z−1+ 1で与えられる関数 f(x, y, z)の極値とその座標(x, y, z)を求めて下さい。ただし、x >0, y >0, z >0 であり、 かつ、x+ 4y+ 9z= 6の付加条件があるものとします。
【解答例】
発展演習 14 (長岡技科大 H9) 条件x2+xy+y2 = 1のもとでx2+y2のとる範 囲を求めて下さい。
【解答例】
発展演習15 (鳥取大 H13) x2−xy+y2= 1のとき、関数z=x+yの最大値お よび最小値を求めて下さい。
【解答例】
発展演習16 (大阪大19) x, yが2x2−2xy+y2= 2を満たすときx+yの最大値、
最小値を求めて下さい。
【解答例】
基本演習17 (農工大21) xy2−x2y+ 2 = 0で定まる陰関数y=y(x)の極値を求 めて下さい。ただし、極小値か極大値か、そのときのxの値も書いて下さい。
【解答例】
基本演習18 (鳥取大23) 陰関数x4−4xy+y4= 0において dy
dxを求めて下さい。
【解答例】
基本演習 19 (熊本大26) x2+xy+ 2y2= 1なる式から定まる陰関数y=y(x)に ついて、以下の問いに答えて下さい。
（１）導関数 dy
dxを求めて下さい。 （２）２次導関数 d2y
dx2 を求めて下さい。
【解答例】
基本演習 20 (福井大25) aを定数とします。次のx3−3xy+y3=aにより定ま る陰関数y =y(x)にたいして、dy
dxと d2y
dx2 を求めて下さい。
【解答例】
基本演習 21 (名工大27) x2−4xy+ 2y3+ 6 = 0で定まる陰関数y=y(x)の極値 を求めて下さい。
【解答例】
基本演習 22 (三重大25) f(x, y) = 2x2−2xy+y2−4 = 0のときyをxの関数 と見なしてyの極値を求めて下さい。
【解答例】
基本演習 23 (電気通信大23) x3−3xy+y3= 0で与えられる陰関数y=y(x)の 極値を求めて下さい。
【解答例】
