2 条件付きの極値問題

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Revised at 19:35, October 16, 2015

解析学Ｂ第

2

回

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2

^{条件付きの極値問題}^{その２陰関数定理}

2.1

条件

G

y

6 = 0

前回の話は

G

y

= 0

である点では上手く行きませんでした。ここをもう少し詳しく見てみましょう。

曲線

G(x, y) = 0

上の点

(a, b)

において

G

y

(a, b) = 0

であった場合、ここが特異点でさえなければ

G

x

(a, b) 6 = 0

であって、法線は

x-

軸に平行、接線は

y-

軸に平行になりますから極端に言えば下図の様になっているわけですね：

この点の近くで

y

を

x

で表そうとしても、例えば左図中の

x

に対して対応する

y

の値が２つあって定まりません。こう云った点の周りでは

y

を

x

の関数と思う事は出来ないのです。

y(x)

の具体的な形はわからない以前に存在しないわけですからもうどうしようもありません。

しかしよくよく考えてみればなぜ

y

を

x

で表したかったかと言うと、それが出来れば

F(x, y)

から

y

を消去して

x

の１変数関数に帰着させる事が出来たからでしたね。と云うことは、別に何が何でも

y

を消去しなくても

x

を消去したって良いはずですよね？つまり

x

を

y

の関数として表せれば良いわけですがこれは右図の様に問題なく可能ですね！

ローカルに

x = x(y)

であるとして計算してみると、まず

G(x(y), y) = 0

の両辺を

y

で微分すれば、

G

x

6 = 0

の時に

G

x

(x(y), y)x

⁰

(y) + G

y

(x(y), y) = 0,

すなわち、

x

⁰

(y) = − G

y

(x(y), y) G

x

(x(y), y)

ですから、やはりローカルな１変数化

J (y) = F(x(y), y)

の微分は

J

⁰

(y) = F

x

(x(y), y)x

⁰

(y) + F

y

(x(y), y) = − F

x

(x(y), y) G

y

(x(y), y)

G

x

(x(y), y) + F

y

(x(y), y)

となって、

J

⁰

(y) = 0

である事は

F

x

(x, y)G

y

(x, y) = F

y

(x, y)G

x

(x, y)

となりますから前回と全く同じ条件に辿り着きます。

2.2

陰関数定理

前回、そして今回、結局のところ次のような事実を確認しました：

事実

2.1 (

陰関数定理

)

曲線

G(x, y) = 0

上の点

(a, b)

において

G

y

(a, b) 6 = 0

であるならば、（曲線上の）この点の近くでは

y

は

x

の微分可能な関数として表すことが出来ます。

曲線

G(x, y) = 0

上の点

(a, b)

において

G

x

(a, b) 6 = 0

であるならば、（曲線上の）

この点の近くでは

x

は

y

の微分可能な関数として表すことが出来ます。

単に２変数の関係式を提示しているだけで、誰もはっきりと『

y

は

x

の関数だ』などと言っているわけではないのに、事実上１変数関数

y(x)

が存在してしまうので、これは隠喩の様なものだと云う事で、こうして関数を定めるプロセスの事を『陰関数』、

あるいは『陰伏的に関数が定まる』などと言います。

2.3

前回の演習問題解答例

基本演習

1 G(x, y) = xy − 1 = 0

の条件のもとでの

F(x, y) = x

²

+ y

²の極値を、

次の３つの方法で求めて下さい。

（１）各点ごとに

y

を

x

の関数と見る方法でローカルに１変数化して。

（２）条件式を使って直接グローバルに１変数化して。

（３）問題を幾何学的に捉える事によって別の視点から。

陰関数を使って１変数化すればまず１階微分を計算して極値の候補点を求める事が出来、２階微分を計算すれば極値が判定されます。前回はそれを事実（定理）の形でまと

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めて利用しましたが、結局そんなものを覚えるよりも、ローカルに１変数化して、あと

は通常の１変数関数の極値判定を粛々と進めれば良いわけです。次の解答の進め方を良く見てまねして下さい。

（１）【下ごしらえ：曲線上でのローカルな陰関数とその微分】

G

x

(x, y) = y, G

y

(x, y) = x

ですから

G

y

= 0

となる点は

x = 0

となる点であり、そうした点は条件式の表す曲線

xy − 1 = 0

上にはありません。従って陰関数定理により、この曲線上の任意の点の近く

で

y

を

x

の微分可能な関数

y = y(x)

で表すことが出来ることが分かります。

このとき

G(x, y(x)) = 0

が成り立っていますからこの両辺を

x

で微分すれば、

xy(x) − 1 = 0 y(x) + xy

⁰

(x) = 0

y

⁰

(x) = − y(x) x

が得られます（曲線上では

x 6 = 0

であることに注意）。

【

F (x, y)

を１変数化したものの１階微分の調査】

条件式と陰関数定理を使って曲線上の各点でローカルに１変数に帰着させたものを

V (x) = F (x, y(x)) = x

²

+ y(x)

²

と定めます（一見グローバルな式に見えますが、これもあくまでも各点においてその付近でローカルに定義しているわけです）。まずこれを微分すると

V

⁰

(x) = 2x + 2y(x)y

⁰

(x) = 2x − 2y

²

x = 2 x

²

− y

²

x

ですから、

V

⁰

(x) = 0

となるのは

x

²

− y

²

= (x − y)(x + y) = 0

となる点であり、

xy = 1

に注意すればこれは

(x, y) = ( ± 1, ± 1)

の２点しかありません（複号同順）。

【２階微分による極値判定】

今見た

V

⁰

(x)

の形を見れば、これはもう一度微分可能である事が分かります。そこで、更にこの極値の候補点で２階微分の符号を調べます。すると

V

⁰⁰

(x) = 2 − 2 2yy

⁰

x − y

²

x

²

= 2 + 6y

²

x

²

> 0

となっていますから先に求めた２つの候補点では共に極小値であることが分かります。

【結論】

V (x)

の極値はこの２つのみですから、求める

F (x, y)

の

G(x, y) = 0

の下での極値もこの２つしかない事が分かります。２点での値を調べると

F( ± 1, ± 1) = 2

ですから、

題意の極値は２点

( ± 1, ± 1)

での（複号同順）極小値

2

のみです。

（２）条件式によれば

y =

¹_xであることが具体的に分かるので、これを

F (x, y)

に代入して得られる１変数関数

V (x)

の具体的な形も分かってしまい、

V (x) = F µ

x, 1 x

∂

= x

²

+ 1 x

² です。まず微分すると

V

⁰

(x) = 2x − 2

x

³

= 2(x

⁴

− 1) x

³ であり、

V (x) = 0

となるのは

x = ± 1

です。また２階微分は

V

⁰⁰

(x) = 2 + 6 x

⁴

> 0

なので、さっき求まった２つの候補点ではどちらも極小値であることが結論されます。

従って元の関数

F (x, y)

は、

(x, y) = ( ± 1, ± 1)

で極小値

2

を取る事が分かります（複号同順）。

（３）問題を絵に描いて良ーく眺めれば、この問題は

双曲線

xy = 1

上の点における原点からの距離の自乗の極値を求めて下さい

という問題である事に気が付きます。そうすれば明らかに双曲線の頂点

( ± 1, ± 1)

で最小かつ極小値

2

であり、双曲線上を無限遠方に進むと原点からの距離は単調に増加して行くので極大値あるいは最大値は存在しないことがすぐに分かる筈です。

2.4

多変数への一般化

条件式を使ったローカルな１変数化によって極値の候補点を求める方法を、

y

を

x

で表す場合と

x

を

y

で表す場合に分けて学びましたが、どちらも核となる判定式は全く一緒であり、よくよく吟味してみると、条件曲線

G(x, y) = 0

の特異点でさえなければ

(3)

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解析学Ｂ第

2

回

http://my.reset.jp/˜gok/math/ 3 G

x

6 = 0

あるいは

G

y

6 = 0

のいずれかは成り立っており、この判定式で判定出来る事が

分かります：

事実

2.2 (

極値の候補点の条件

)

条件

G(x, y) = 0

の下で

F (x, y)

が極値をとる可能性がある点は次の２種類の点のみ：

(i) G(x, y) = 0

の特異点

(ii) G(x, y) = 0

上の特異点でない点で

F

x

G

y

= F

y

G

xを満たすもの

この方法の問題点は、２変数の場合にしか使えないと云う事です。元々２変数の問題だったからこそ、条件式を使って１変数減らす事によって１変数の既知の戦略に帰着出来たわけですが、元の問題が３変数、それ以上だった場合はどうしようもありません。

数学では、低次元で成立している事柄を高次元に一般化したいとき、幾何学的に考えると上手く行く事があります。つまり、目の前の数式に任意の次元で意味をもち得る幾何学的な意味合いを見いだせればそこを手掛かりにして次元を上げる事が出来るのです。

例えば今日見た極値の候補点の条件式は

F

x

G

y

= F

y

G

x

⇔

√ F

x

F

y

! //

√ G

x

G

y

!

⇔ gradF//gradG

と変形出来ますから、２変数関数

G(x, y)

の

gradient

が曲線

G(x, y) = 0

の法線ヴェクターと云う幾何学的な意味をもっていた事を手掛かりとして高次元への一般化を考える事が出来ますし、そもそも

gradient

は何変数でも定義可能ですからこの時点で３変数以上への一般化が出来る事になります。

事実

2.3

適当に滑らかな

n

変数関数

G(x

1

, . . . , x

n

)

と

F(x

1

, . . . , x

n

)

が与えられたとき、条件

G(x

1

, . . . , x

n

) = 0

のもとで

F (x

1

, . . . , x

n

)

が極値となる可能性があるのは以下の２種類の点のみです：

(i) G = 0

であって

gradG =

となる点

(ii) G = 0

であって

gradG 6 = , gradG//gradF

となる点

Exercise

基本演習

1 G(x, y) = x

²

+ 2xy − y

²

− 1

のとき以下の問いに答えて下さい。

（１）曲線

G(x, y) = 0

上の点のうち、

G

x

(x, y) = 0

となる点及び

G

y

(x, y) = 0

となる点をそれぞれ全て求めて下さい。

（２）曲線

G(x, y) = 0

上の特異点を求めて下さい。

（３）曲線

G(x, y) = 0

上の

G

x

(x, y) 6 = 0

となる点の近くで^dx

dyを求めて下さい。

また同様に曲線

G(x, y) = 0

上の

G

y

(x, y) 6 = 0

となる点の近くで ^dy

dxを求めて下さい。

基本演習

2

次の関数

G(x, y)

に対して、前問と同じ設問に答えて下さい。

（１）

G(x, y) = x

²

+ y

²

− 4

（２）

G(x, y) = x

²

(x + 1) − y

²

基本演習

3 (

佐賀大

H18) g(x, y) = x + y − 1, f (x, y) = x

²

+ y

²のとき、条件

g(x, y) = 0

のもとで関数

f (x, y)

の極値を次の３通りで求めて下さい。

•

具体的に条件式を使って１変数化して

•

陰関数定理を使って抽象的にローカルな１変数化によって

•

幾何学的な解釈によって（大雑把な説明で構いません）

基本演習

4 (

電通大

H17)

点

(x, y)

が条件

y

²

− x

²

− 1 = 0

を満たしながら動くときの関数

f (x, y) = y

³

+ 2x

の極値を求めて下さい。

発展演習

5 (

九州大

H10 )

次の各問いに答えて下さい。

（１）

f (x, y)

は２階偏微分可能な関数とし、

f

y

6 = 0

となる点の近くで

f (x, y) = 0

により定義される関数を

y = φ(x)

とする。そのとき、

（

a

）

φ

⁰

(x)

を

f

x

, f

yを用いて表して下さい。

（

b

）

φ

⁰

(x) = 0

となる点での

φ

⁰⁰

(x)

を

f

の２階までの偏微分を用いて表して下さい。

（２）曲線

C : f (x, y) = xy + y

²

− x

³

= 0

上の

f

y

6 = 0

なる部分における関数

y

の極値を求め、極大か極小かを判定して下さい。