楕円体の断面積と楕円体の形状関数について
１．直交座標系における固有値問題と標準座標系 n 次元ユークリッド空間における直交軸について、ベクトル x をベクトル y に移す１次 変換で、ベクトルの大きさを不変に保つ変換を直交変換という。すなわち、 1 , n i ij j j y l x = =
∑
y =Lx 2 2 1 1 , n n i i i i x y = = = =∑
∑
x y であり、このときの行列L を直交行列という。基本的に直交行列は n 次元ユークリッド空 間におけるにおける回転を意味し、直交行列には , 1 T = − L L L = ±1 の性質がある。 ２．主軸問題 ある直交変換x Ly によって、２次形式 = , 1 , ( ) n T ij i j ij ji i j a x x a a = =∑
= x Ax を標準形 2 2 2 1 1 2 2 1 n i i n n i y y y y2 λ λ λ λ = = + + +∑
" に変換する問題を主軸問題と言う。 = x Ly より、この転置行列は、 ( ) T = T = T x Ly y L T である。したがって、 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T = T T = T T = T − x Ax y L A Ly y L AL y y L AL y となり、これが 2 1 n i i i y λ =∑
に一致するためには、行列L AL−1 が対角行列Λ（対角要素 i λ ）とな らなくてはならない。 この意味を明確にするために、 2 ( ) n n T a x x −λ x = −λ∑
∑
x A E xのx Ly による１次変換を計算して見よう。第一項は一次変換の定義から、および第二項= は直交変換の定義に基づき 2 2 1 1 ( ) n n T i i i i i y y λ λ λ = = − = −
∑
∑
y Λ E y となる。したがって、係数間には、 1 ( λ ) ( λ ) − − = − L A E L Λ E の関係が成立する。両辺の行列式を取ると、 1 1 ( λ ) λ λ − − = − − = − = − L A E L L A E L A E Λ λE であるので、これより、 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 ( )( ) ( 0 0 n n n n n nn n a a a a a a a a a λ λ λ λ λ λ ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − = = − − − − " " " " " # # % # # # % # " " − が成立する。したがって、λiはλ に関する n 次方程式 0 λ − = A E の解でなくてはならない。この n 次方程式が固有方程式、解のλiが固有値である。 固有値の１つをλ1とする。このとき、 1 λ = Ax x を満たすベクトルx を行列 A の固有値λ1に対する固有ベクトルを言う。 ３．楕円の回転について (x,y)直交座標系における２次元ユークリッド平面において、 2 2 2 0 ax + hxy+by = は楕円を表す。この式は２次形式であるので、行列を用いて、(
)
(
)
2 2 2 ( ) ( ) ax hy a h x ax hxy by x ax hy y hx by x y x y hx by h b y + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + = + + + = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 と表現できる。座標軸を回転させ、新たな座標軸を ( ', ')x y としよう。座標系 ( ', ')x y には、 上記の楕円が、' 1 '
(
)
(
)
2 2 ' 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 x x x y x x y y x y x y y y α α α β α β β β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ と表現できたとする。これは先に説明した主軸問題であるので、 ,α β は、 2 2 2 0 ( )( ) ( ) a h h b a b h a b ab h λ λ λ λ λ λ − = − − − − = − + + − = 0 の解である。h>0の時、２つの解の内大きな方がα である。また では、２つの解の 内小さなが 0 h< α である。（なお、いま楕円を考えているので、 ,α β > である。） 0 また 2 次方程式解の積の公式 から、２つの 解の積は、 2 1 2 1 2 (ax +bx+ =c 0, x x =c a x/ , +x = − / , )b a 2 ab h αβ = − であるので、楕円の方程式を、 2 2 2 2 2 2 ' ' 1 ' ' 1 (1 / ) (1 / ) x y x y α β α β + = + = と変形することにより、楕円の面積 S は、 2 1 1 S ab h π π π α β αβ = = = − と与えられる。 ４．楕円体の断面積の導出１ 楕円体 2 2 2 2 2 2 1 x y z a + b +c = と平面 0 lx+my+nz= の交わりの面積（楕円体の断面積）を算出する。ただし 2 2 2 1 l +m +n = とする。 まず、n≠0と仮定して、平面の方程式を1 ( ) z lx m n = − + y と変形する。これを楕円体の方程式に代入し、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 2 1 1 x y z x y lx my a b c a b c n x y l x m y lmxy a b n c l lm m x xy y a n c n c b n c ⎧ ⎫ + + = + + ⎨− + ⎬ ⎩ ⎭ = + + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ + ⎟ + +⎜ + ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ を得る。これは、楕円体の断面の外周を xy 平面に投影した方程式で、楕円形状であること がわかる。この楕円の面積をS'とすると、先の議論から、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) l m lm a n c b n c n c n c a l n c b m l m a c n b c n n c c n a l c n b m a b l m a b c n c n a l b m c n a b l m a b l m a b c n a l b m c n ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ ⎛− ⎜ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + − = + + + − = + + = 2 2 2 2 a b c n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' abc n S a l b m c n a l b m c n a b c n π π = = + + + + にて求められる。ところで、平面lx+my+nz=0と xy 平面のなす角の余弦がn であるので、 求める断面積は、面積は、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' abc n S n S a l b m c n abc S a l b m c n π π = = + + ∴ = + + と計算される。 ５．楕円体の断面積の導出２ 以上の問題は、平面が原点を通る平面であったが、次にこの制約を外す。すなわち、
楕円体 2 2 2 2 2 2 1 x y z a + b +c = と平面 lx+my+nz=w の交わりの面積（楕円体の断面積）を算出する。ただし 2 2 2 1 l +m +n = とし、また は原点 から平面までの垂直距離である。 w 先と同様に、n≠0と仮定して、平面の方程式を 1 ( ) z lx my n = − + − w と変形する。これを楕円体の方程式に代入し、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 { 2 2 ( ) } 1 2 1 2 2 1 x y z x y lx my w a b c a b c n x y l x m y lmxy w lx my w a b c n l lm m wl wm w x xy y x y a c n c n b c n c n c n c n ⎧ ⎫ + + = + + ⎨− + − ⎬ ⎩ ⎭ = + + + + − + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ + ⎟ + +⎜ + ⎟ − − + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 を得る。これは、楕円体の断面の外周を xy 平面に投影した方程式で、やはり楕円形状であ ることがわかる。しかし、楕円の原点は xy 平面の原点には一致しない。まずこの楕円の中 心座標を求める。中心座標を( ,x y1 1)とすると、x= −x x1およびy= −y y1を上式に代入する ことにより、xと の係数は 0 とならなくてはならない。したがって、 y 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 l lm m 1 x x x x y y y a c n c n b c n wl wm w x x y y c n c n c n ⎛ + ⎞ − + − − +⎛ + ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − − − + = y より、
2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 1 2 2 2 0 1 1 l lm wl x y a c n c n c n m lm wm y x b c n c n c n l lm w x a c n c n c n y wm lm m c n c n b c n ⎛ ⎞ − ⎜ + ⎟ − − = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − ⎜ + ⎟ − − = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ⎜⎜− ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ l であり、( ,x y1 1)は、 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 wl w b c n x a l a l b m c n a l b m c n a b c n wm w a c n y b m a l b m c n a l b m c n a b c n − = = − + + + + − = = − + + + + にて与えられる。 ここで、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 l lm l m lm a l b m a c n c n a n c b n c n c a b c n lm m c n b c n wl lm wl m lm wm wl c n c n c n b c n c n c n b c n wm m c n b c n l wl a c n c + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + =⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝−⎜ ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎜ + ⎟+ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − + + − 2 2 c n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 l wm wl lm wm n a c n c n c n c n a c n lm wm c n c n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ + ⎟⎜ ⎟+ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) l m lm n c a l n c b m l m a n c b n c n c a c n b c n n c c n a l c n b m a b l m c n a l b m c n a b l m a b l m a b c n a b c n a l b m c n ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞−⎛ ⎞ =⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + − + + + − = = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 1 ( ) 1 a b c n wl m lm wm wl n c b m lm w wl c n b c n c n c n b c n c n b c n l wm wl lm n c a l ml w wm wm a c n c n c n c n a c n c n a c n ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎜ + ⎟+ = − + = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ + ⎟⎜ ⎟+ = − + = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ である。 また定数項は、 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 ( l lm m wl wm w x x y y x y a c n c n b c n c n c n c n lm wl lm lm wm wl wm w x y x x y x y y x y c n c n c n c n c n c n c n c n wl wm w x y c n c n c n wlx wmy c n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − − + − − + + + = + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 w w w wla l wmb m w c n a l b m c n a l b m c n w a l b m a l b m c n c n a l b m c n w a l b m c n ⎛ ⎞ = ⎜− − + ⎟ + + + + ⎝ ⎠ ⎛− − + + + ⎞ = ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ = + + と変形できる。ここで、
2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 0 1 1 l lm wl x y a c n c n c n l lm wl x y a c n c n c n l lm w 1 l x x y x a c n c n c n m lm wm y x b c n c n c n m lm wm y x b c n c n c n m b c n ⎛ ⎞ −⎜ + ⎟ − − = ⎝ ⎠ ⎛ + ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ −⎜ + ⎟ − − = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 2 2 1 1 2 2 lm wm y x y c n c n = − − y1 を用いた。 以上から、原点を中心に持つ楕円の式は、 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 2 1 l lm m x x x x y y y y a c n c n b c n wl wm w x x y y c n c n c n l lm m w x xy y a c n c n b c n a l b m c n l lm x xy a c n c n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + − − + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − − − + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 m a l b m c n y b c n a l b m c n l lm m t x t xy t y a c n c n b c n ⎛ + ⎞ = + + − ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 w にて与えられる。ここで、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a l b m c n t a l b m c n w + + = + + − である。したがって、この楕円の面積をS'とすると、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 l 1 m lm a l b m c t t t a n c b n c n c a b c n ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞− ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 n t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' abc n S a l b m c n t a l b m c n t a b c n π π = = + + + +
にて求められる。ところで、平面lx+my+nz=0と xy 平面のなす角の余弦がn であるので、 求める断面積は、面積は、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3/ 2 2 2 2 2 2 2 ' ( ) ( ) abc n S n S t a l b m c n abc abc a l b m c n w S a l b m c n t a l b m c n π π π = = + + + + − ∴ = = + + + + と計算される。 ところで方向余弦は、角度 ( , )θ ϕ を用いて、 sin cos sin sin cos l m n θ ϕ θ ϕ θ = = = にて表現でき、さらに楕円体において、 a a b aq c ap = = = と置くとともに、 2 2 2 2 2 2 2
( , ) sin cos sin sin cos K θ ϕ = θ ϕ +q θ ϕ + p θ を定義すると、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin sin cos (sin cos sin sin cos )
( , ) a l b m c n a l a q m a p n a a q a p a q p a K θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ + + = + + = + + = + + = θ であるので、 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 3 ( ) { ( , ) } { ( ( ) { ( , )} ( , ) abc a l b m c n w a pq a K w pq a K w S a l b m c n a K K π π θ ϕ π θ ϕ θ ϕ + + − − − = = = + + , ) } θ ϕ となる。 ６．楕円体状粒子の形状関数の導出
る楕円体の関数式は、 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z a +a q +a p = および、極座標表示では、 sin cos sin sin cos x a y aq z ap θ ϕ θ ϕ θ = = = となる。θを 方向と 軸のなす角度と置き、h z h のxy 面内の方位角をϕとする。h 方向上で 原点から距離 の点を通り、 方向に垂直な面が楕円体と交わる曲線は楕円となる。ここ で次の関数 w h ( , ) K θ ϕ を定義する。 2 2 2 2 2 2 2
( , ) sin cos sin sin cos K θ ϕ = θ ϕ +q θ ϕ + p θ これより、切り取られた楕円の面積 A は、 2 2 0 3 0 ( ) ( , ) ( , ) qp w w A K w aK π θ ϕ θ ϕ − ≡ ≡ にて与えられる。 は の最大値である（ の時、平面は楕円体と交わらない）。こ の解析のキーポイントは、A が w の関数になる点にある。したがって、この A が w の関数 になる条件が満足される場合には、回転楕円体以外の他の形状に関しても、以下の解析は 同様となる。（ 0 w w w>w0 , θ ϕ は によって決まる点にも注意） h また、以上の式から、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
( , ) sin cos sin sin cos ( , ) sin cos sin sin cos
( , ) sin cos sin sin cos ( , ) ( , ) K q p K q p a K a a q a p a K x y z w a K x y z θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ = + + = + + = + + = + + = = + + θ の関係にあることがわかる。 以上から、形状関数の計算は、 から まで、切り取られた楕円の面積 を に沿って 積分すればよい。つまり、 0 v − v0 A v
wd 0
{ }
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) exp( ) exp{ ( )} exp( ) exp( ) exp( ) w w w w w w w w c i d i d ihw dwd ihw d dw ihw Adw θ − − − − = = + = = =∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
r r' r' r' h r hr r h w r' r' r' r' となる。ここで、wはh 方向で長さが のベクトルで、 r' は切り取られた楕円内の位置ベ クトルである。また v , hw ⋅ = h r'⋅ = h w を用いた。これより、 0 0 0 0 2 2 0 3 ( ) exp( ) ( ) cos( ) ( ) w w w w qp ihw Adw w w hw dw K π θ θ − − =∫
=∫
− h と計算される。さらに、 0 2 2 0 0 0 cos( ) sin( 0) w w w hw dw h h =∫
w および 0 2 2 0 0 0 2 0 3 0 2 2cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
w w w w hw dw hw hw hw h h h = + −
∫
0 より、[
]
0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 0 3 0 0 0 3 2 0 0 0 3 ( ) cos( ) 2 ( ) cos( ) 2 22 sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) 1 4 sin( ) cos( ) 4 sin( ) cos( ) w w w w w hw dw w w hw dw w w w hw hw hw hw h h h h w hw hw h h w h w h w h h − − = − ⎧ ⎫ 0 ⎡ ⎤ = ⎨ −⎢ + − ⎥⎬ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ = ⎨ − ⎬ ⎩ ⎭ − =
∫
∫
であるので、 ( )θ h は次式にて与えられる。[
0 0 0]
[
0 0 0]
3 3 3 3 0sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 4 ( ) 3 ( , ) ( , ) ( ) w h w h w h w h w h w h qp qp V K h K w h π θ θ ϕ θ ϕ − − = = h ここで、 3 0 4 V = πw である。なお回転楕円体の場合には
[
]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 0 1( , ) sin cos sin sin cos sin cos ( , ) sin( ) cos( ) ( ) 3 ( , ) ( ) q K p p p w aK p w h w h w h p V K p w h θ θ ϕ θ ϕ θ θ θ θ θ = = + + = + ≡ − = h θ 球の場合には
