回転直立現象とは

卵は回すとなぜ立つか II

大森 英胤

目次

Moffatt,

(Nature,416,386(2002))

・ 回転直立現象とは

・ 剛体回転のオイラー方程式

・ジェレット定数

・ジャイロスコピック近似を仮定した場合の運動方程式

数値シミュレーション

・プログラムの改良と検証

・ジェレット定数の近似的保存

・ジャイロスコピック近似の妥当性

・まとめ

回転直立現象とは

両端を持って速く回すと立ち上がる。

Ο Ο

ξ ζ

ω

ω’

ξ

ζ

回転剛体のオイラー方程式

∂ L

∂t + ω × L = N

= OP ^−→ ×( R + F )

g

R

P ξ

ζ

X Z

θ O

h(θ)

O

Ωcosθ

ω

Ω

θ

h(θ) ξ

ζ

X Z

P R

ψ^.

ζ

Ω ζ

_ψ ˙

ξ

,η

A

ζ

C

L

L = ((Cn − AΩ cos θ) sin θ , A θ , AΩ sin ˙ ² θ + Cn cos θ)

ジェレット定数

-

-

逆立ちごまが逆立ちするためには

・ こまと接触面との摩擦が必要である。

・ 接触面がすべっていて力学的エネルギーが減少する。

逆立ちごまには厳密な運動定数

(

)

J = − L · OP ^−→

軸対称物体の

L

J ˙ = (Cn − AΩ cos θ)X _P ² d

dt

sin θ X _P

X _P

OP ^−→

x

物体が球だとすると、

sin θ/X _P

J ˙ = 0

J ˙ 6= 0

ジャイロスコピック近似

オイラー方程式の

y

A θ ¨ − AΩ ² cos θ + CnΩ sin θ = −RX _P

であるが、ここでは回転が速い場合なので

Ω ²

また、軸対称物体が立ち上がる時間は摩擦による長いものなので

| θ| ¨ << Ω ²

(Cn − AΩ cos θ)Ω sin θ = 0

sin θ 6= 0

Cn = AΩ cos θ

が成り立つ。この式をジャイロスコピック近似と言う。このジャイロスコピック近似を 仮定すると軸対称物体のジェレット定数の時間微分は

J ˙ = 0

J

ジャイロスコピック近似を仮定した場合の運動方程式

軸対称物体の角運動量

L

L = (0, A θ, AΩ) ˙

となる。これを用いるとジェレット定数は

J = AΩh

となり、オイラー方程式の

x

AΩ ˙ θ = F h(θ)

となる。これらを用いてジャイロスコピック近似方程式は

J θ ˙ = −F h ² (θ)

と簡単な１階の微分方程式になる。

数値シミュレーション

４次のルンゲクッタ法を用いてオイラーの微分方程式を解いた。

まず、プログラムについて検証した。

方法は横軸に

dt

t = 0.2

次にジャイロスコピック近似を仮定したときと同様に

J ˙ = 0

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01

d(Energy)

dt

次にジェレット定数の変化について

35040 35060 35080 35100 35120 35140 35160 35180

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Jellett constant

time

dt=0.0001

ジャイロスコピック近似が成立しているかどうか

ジャイロスコピック近似

Cn = AΩ cos θ

1000 10000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

time

gyroscopic balance

まとめ

1, Moffatt

卵などの剛体を高速で回転させると立ち上がるのは、ジェレット定数

J = AΩh

Ω

h

2,

軸対称剛体が立ち上がる仮定でジャイロスコピック近似は

±4%

しかし、時間平均をとると精度よく成り立つためジェレット定数の変化は約

0.3%

程度しか変化しないことが分かった。