大成算
經
巻之十二
形率
巻之十二 中集 形率 關孝和 建部賢明 建部賢弘編
二〇 一三年 小松彦三郎校大成算經卷之十二 中集 形率 定率 圓者謂角之所極者也面爲一匝之圍故曰周縱横 斜角其闊各等故曰徑自中心經緯取繩直而爲矩 依諸角法求其周也 凡形爲圓之屬直求之者其術太繁亂而難輒得眞 數故爲率而代之則起術求數其功最速也是故測 驗徑-之周數而後隨術之所施或卽爲周積法或 別作乘除率用之各其不盡者準位數長短之好收 棄而量强弱也是以詳解其法以爲圓形之規模矣 乃以半徑爲角徑隨周數其位 之所好依億萬角術求之也 截周冪 徑一尺之圓以緯11線爲原次界于經緯截作四角 次作八角次作一十六角次作三十二角次第如此 各依勾股術求截周冪也 凡開商末一位每逢加減乘除自有收 棄其增損雖微積之數次而遂至多故 除之得數 宜益尾位 而開之矣 冪減徑冪餘開平方除之得數以减徑餘半之爲 二百五 爲一十六角截周冪逐如此至五百一十二角也
寸百1寸十1 分1角1寸百1寸十1 寸1角1寸百1寸百1 寸 原矢 經
徑籑-周冪一四 四角 弱 矢 11面靂五.
周篹八 ,, 四六四四六六。九四○六七二六二三七七九九五七七八一八九四八 八角 弱 矢 1111 八。六。二三三七四四三五六六111九三五九。八四。五三。11 面篹一 刌 周冪九 四六四四六六 九四 六七二六二三七七九九五七七八一八九四七六 强 三七二五八三○。二。三。四七九二一九一七二九八 四一二六四四八| |周1 1 | 1面1 强微 弱微 一十六角 弱 六 七三五九七九八三八四七七五四三六九 八八八一九三三
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周冪九 11-p. 八。六。二三三七四四三五六六二一九三五九。八四。五三。一六 七四三四一九八三八五五五二九五二一五五九二五五一七五七111-1 三十二角 强 矢一11釐
面凳分
周冪カ 四○七六三六六六三九○一五五六八七七五八一五二三四四五 六 七三五九七九八三八四七七五四三六九 八八八一九三二九 八三七九三六四三三五四六。一:四七三九四六九五○九九二六九六 六十四角 微 强 矢 天毫。二二七一八九七四一三八。三六四二六一四一九七六11 面篹11分 周冪九 弱 四0七六一-六六六三九。一五五六八七七五八一五二三四四五三 八六一六七九七七五三四○七七六九七。五七三九二00三一七八五一 一百二十八角 矢 |一毫
微 弱 五。五九 六五一八九七八八九九四二一一七一七五一六七 冪天 /戲0一三七一八九七四一三八。三六四二六一四一九七六-一。四引 周�九 八六七六二二七六七111七七五八八八。五九一。一三八一三四四七-二百五十六角 翁七六四九。八。四二七七二九五三九一七六七五四四。二 矢 111一 面冪一一 釐 五九。六五一八九七八八九九四二一一七一七五一六六九五 八六九一。八九六二七八。一 一五二四六五九一 一九一七三八八六九五 五百一十二角 矢九忽
弱 面籑111毫七六四九。八。四二七七二九五三九一七六七五四四。一八 周冪九八六九四八。五三九六四六七三二三一七九五一一。五九。七六五八。 四一二三五八六九九四二八六七一五○四七八一 -三六 微八角爲 差四 三角 減 減 遍遍 四 角 截 周 冪 件約差約約件-周 約周又周術-遍冪 周冪求 冪得三得二約法減 而 爲件約件約冪一件 Λ爲 如若 餘周約差截角法置三遍-一遍周 爲 四 周遍除遍除之諸周 冪約三約二逐差冪 逐究 可多 開冪 平逐差以差得各 遍 差 ,差 以 四 差一至十一又 諸 除此數如數件每 之求各前各二件 Λ約百角約八三五七五二四差一八 者 右求截周冪九次而止 定周 各置所求截周冪逐減前件截周冪爲諸件一遍差 依增約術求一遍約法除一遍藷差得數各加每件 截周冪得諸件一遍粕周冪以之逐相減得藷件11 遍差又依增約術求11遍約法除11遍諸差得數各 加每件一遍約周冪得諸件-一遍約周冪以之如前 逐減得111遍差又求三遍約法除111遍諸差得數各 加每件11遍粕周冪得諸件三遍約周冪逐如此求 之及得終一件約周冪而爲定周冪便開平方除之 爲定周也 以原周冪減四角截周冪餘爲四角一遍差以四 角截周冪减八角截周冪餘爲八角一遍差以 角截周冪減一十六角截周冪餘爲一十六角! 遍差次第如此得諸件一遍差除前件則以後四 女止徉1111 箇微弱故收不盡而內減1餘三爲一遍約法11 遍者一十五三遍者六十三四遍者二百五十五 五遍者一千。二十三六遍者四千。九十五七 遍者一萬六千三百八十三八遍者六萬五千五 百三十五也若直求之者置前 約法四之加三得其遍約法也 置四角一遍差三 周冪復置一十六角一遍差111約之加一十六角 截周冪爲一十六角一遍約周冪逐如此至五百 一十二角得諸件一遍約周冪 以四角一遍約 周冪減八角一遍約周冪餘爲八角-一遍差以八
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三.
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徑率!
周率三 九 周數三尺 少於一 。尺一四一 定 等 ! 置原母一等子餘而一得段數七不爲母餘 八毫八五一四二四八七一四 四七三三。七六一四九六 置一等徑周率各 以段數七相乘加定一於周率得二等强率 徑率七 周率二十二 等 多於1 尺 定周 置一等子餘11等母餘而一得段數 不 爲子餘八八三二七七八四五二八置11等徑周 率各以段數五十相乘加一等徑周率得三等弱等 1周1 多1周1等 於數 五 四 定少1 1周於1 1率 TA 强1弱 五徑二百 徑率一百0六 周率三百三十三 周數三尺ㄧ四一五0旮1h1五空1 H 숲 l五r @ h五六强 oo oo 凸ニ1 11九六1蚕元。公五一九一四七 置11等母餘三等子餘而一得段數 不爲
母餘!
以段數1相乘加11等徑周率得四等强率 徑率一百一十三 周率三百五十五 Eg 。五四四三五三三置三等徑周率各 是常 置111等子餘四等母餘而一得段數!頌九不 爲子餘七七九五九0 各以段數二百九相乘加三 一怱九1、11九三三五置四等徑周率 等徑周率得五等弱 是親 徑率三萬三千一百0二 周率一十011一千九百九十三 少於1 尺 置四等母餘五等子餘而一得段數-不爲 母餘 置五等徑周率各以段 數 相乘加四等徑周率得六等强率 七五八四四六三三 六徑率三萬三千二百一十五等 等 少1周1 1 於數 七 1周 剥弱 周率一十萬。四千三百四十八 周數111尺一四一透1숲 1 1 11四110囧七x41六 多於1 尺 定 置五等子餘六等母餘而1得段數 -不爲 置六等徑周率各以段 子餘 數-相乘加五等徑周率得七等弱率 徑率六萬六千三百一十七 周率二十萬。八千三百四十一 一九五一二七一二 定 周
置六等母餘七等子餘而-
得段數-不爲
母餘 de小11微九00六 三八九三三六 九九 置七等徑周率各以段 數-相乘加六等徑周率得八等强率 徑率九萬九千五百三十二 率三十一萬二千六百八十九 强 o oo oo oo oo oo !兀一四1 111八四九一四八五七 定周 置七等子餘八等母餘而一得段數11不爲 子餘 數11相乘加七等徑周率得九等弱率 11微三11一九一九 四一六四五四七六 ,,置八等徑周率各以段 率二十六萬五千三百八十一 周率八十三萬三千七百一十九 111 15一五九一天五二五八一。44m p 11 lo 囧一九 00000000000八七一五塁401天二二四 定周 强强御强 置八等母餘九等子餘而-得段數 母餘 數-相乘加八等徑周率得十等强率 不爲 五纖八七七七九九置九等徑周率各以段 七二八八一四二 率三十六萬四千九百一十三 率一百一十四萬六千四百0八 多於一 置九等子餘十等母餘而1得段數111不爲 子餘 數三相乘加九等徑周率得十一等弱率 , oo oo oo oo oo o!六 0七四00一九 允 五七四九五七九四置十等徑周率各以段 八一。五二 十徑率一百三十六萬。一百二十 一周率四百二十七萬二千九百四十三 周數二万一四一五九 H KI 1天九11K九一七一五四1K七弦 定周 置十等母餘十一等子餘而一得段數
等5於
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...。。。。。。。。四0四0奈九 -不 爲母餘七五八七。九四置十一等徑周率各以 是精 →-率也 段數-相乘加十等徑周率得十二等强率 徑率一百七十二萬五千。三十三 周率五百四十一萬九千三百五十一 周數111尺-四ㄧ透H 숲1天决一五1Kth西1齒弱 定周 如此雖求十二等之率定周有不盡而不能全整 故止之 所用之定率也 若欲悉究可求2. 2微採其三件. .,,爲
常率親 者如前逐可求之短精右率術 假 率術 而粗術爲曰答如有爲曰答如 可也中法置日有周法置曰有 用且或實周得圓求實徑得圓 之依據如自積周積如自積徑 如術假如術 有法曰答如有法曰答如有 徑而置日有周而置曰有徑圓 求一周得圓求ー徑得圓求術 積得以徑周徑得以周徑周 數率而以 之或一徑 問 而以 問 乘周乘 除積 得 之法數 據者 爲 量皆實 法所以 率隨 四 之術箇 長之 周 答曰得周 術曰置徑以周率相乘得數爲實以徑率爲法實 如法而一得周 有周求徑 假如有圓周 問徑 答曰得徑 術曰置周以徑率相乘得數爲實以周率爲法實 如法而 有徑求積 十三 答曰得積 術曰置徑自乘以周率相乘得數爲慣以四箇徑 率爲法實如法而一得積 有周求積 假如有圓周, ,間積 答曰得積 術曰置周 率爲法實如法而一得積 短而可用之矣
求曰背 爲斜徑 矢冪數圓以 矢從 作以後也之而闊也ニ截 弦 作是累至其差 圓開 以之 矢中 減心 六原 斜界 次于 數據股圓 爲徑法之曰三定 求-求中矢差背 截爲方爲之冪面爲,,是爲以 六得 面以 乘圓以 徑截 尺一 截 平+ 矢 四闇 股 之爲 術 弧率第二 定率 弧者謂圓缺者也其中闊曰矢下長曰弦上灣曰背 自左右尖與中闊至全圓之中心均取111條之長爲 面隨背之位 括率
矩,
,形如作圭而累勾股法求其背也醉睢,
,准,
,
數以求得其數也是亦據徑-之圓求得五弧之背 萬萬圭之 冪立限設差而後作段數爲求背之定率也 截背冪 圓徑一尺之弧以弦爲原界于矢截作11斜又作四 斜又作八斜又作一十六斜次第如此各依勾股術 求截背冪也 解曰每弧各從全圓之中心逐截作圭以其閣爲 斜求之如弧矢ナ者以矢減圓徑 餘乘矢四之 +四 是圭闀冪 鮭麤2%乘斜數冪四爲11斜截背冪 以二斜 也後傚之才余 面冪減圓徑冪1百餘 ,, ER 開平 得數 每次之開商皆以過於以減圓徑餘半之爲 舆文定背冪之尾位者爲準 -一斜矢乘圓徑爲四斜面冪乘斜數冪 +爲四 之得數以減圓徑餘半之爲四斜矢乘圓徑爲八 斜面冪乘斜數冪四十爲八斜截背冪 以八斜 面冪減圓徑冪餘開平方除之得數以减圓徑餘 半之爲八斜矢乘圓徑爲一十六斜面冪乘斜數 冪二百五爲一十六斜截背冪逐如此至一百二 十八斜求之也背|面| | | 1矢1 | 1矢 i/ 弱 矢 十五 面籑三11ハ 背冪111
5-1ハ
面籑一 背篹四 四斜 天 矢 瀚四奚毛二八11五14g 1五四1K。포스 11忝九一背面1矢| |背|面|矢|
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强微 强 弱微 一十六斜 | 11K七0四五二二八四七七으九四三。四八二三○五 三四八 三十二斜 弱 一四0毛 소스八0七二四0九一一四一六_l Ep 1四11一七八九 十六 六十四斜 五二七四0五旮五00塁金一六u u p茎允。숲 微 强 弱 一百二十八斜 五二七四0五旮五0 0塁金一六八八七至允0八五 羽 寸 右求截背冪八次而止 多 如前逐可求之 定背冪 各置所求截背冪逐减前截背冪爲諸件一遍差依 增約術求一遍約法除一遍諸差得數各加每件截遍置 背背 約二 冪冪 背斜件減減減背冪求冪 七斜背冪 遍斜背ニ八 八四二冪得三得二 成件ΛΛ之第約四 又遍遍斜斜斜而諸遍諸遍 置差差截截截爲件約件約 四三求背背背定三法一法 斜約-冪冪冪背遍除遍 二斜斜加如背斜得冪 件遍二二四此冪-諸爲 乃背約差ー諸Λ約-斜 餘餘 差二法八四二,,冪藷冪諸 三斜及乃斜斜斜定平逐差以差 三逐五背遍遍餘背約八 遍如約冪差約爲冪 之背28遍遍遍 除此數如數 上至加四四冪斜以逐遍 冪,,差差差也求各前各 百斜一二 斜二同數第四二 及每減每 背冪得諸件一遍約背冪以之逐相減得諸件11遍 差依增約術求11遍約法除11遍諸差得數各加每 件一遍約背冪得諸件11遍約背冪以之如前逐減 得三遍差又求三遍約法除111遍諸差得數各加每 在一遍約背冪得諸件三遍約背冪逐如此求之及 得終1件約背冪而爲定背冪2. 5
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以原背冪減11斜截背冪餘爲11斜一遍差以二 斜截背冪減四斜截背冪餘爲四斜一遍差以四 斜截背冪減八斜截背冪餘爲八斜一遍差次第 乃每遍約法數 、-及求之術竝同如此得諸件一遍差求一遍約蕊**
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一差
一差者冪較故曰平差也求之法矢自乘爲汎平差 乘其乘率得定平差若歸之數者以下差四因卽爲 故用-弧求汎背冪以減定背冪 冪較 乃加汎背冪 爲定背冪 爲冪較以矢冪除之得一差乘率又以徑除矢爲甲 限法也以甲-弧之矢
,乘徑R -四之得汎背冪以減定 背冪餘爲甲冪較 或用佗弧則雖乘率數不均求 背之位疎密相同後皆傚此弧Z 寸寸 汎背冪四十寸 弧冪較 一寸四。旮天七七。一八一八六四1 KI KI 1七-七 置甲冪較以甲矢冪 除之得一差乘率又置甲 矢 ,以徑R -約之得甲限法 甲限法
是自乘-差之率也
此率求之則雖蜜于甲-弧佗所合不過于二三位也 二差 二差者再乘較故曰立差也求之法以徑乘甲限法 卽汎平 爲甲限度與矢相減32 ,, 餘乘矢冪 差也 爲立汎積以矢乘初矢段數以減徑餘爲除法以除 矢所盡者不用限 以矢 一 十六分之 立汎積爲汎差乘其乘率得定差, , 二十二 九減徑餘以除矢再乘冪爲立汎差ㄗ 取四十五分之三十二爲定差也 自E 減平差爲冪較加 汎背冪爲定背冪 乃 卽爲再乘較 如醫用18各求汎背冪以減定背
冪餘得冪較亦依自乘 法求平差以減各冪較餘 爲再乘較以之據, ,法求初矢段數及二差乘率也 以乙丙11弧之矢肊11一, ,乘徑R -四之爲各汎背 冪以減各定背冪餘爲冪較又懃, ,以各矢冪爲 平差 40各乘一差乘率爲各定平差以減 依自 乘法 乙四寸 丙九寸 各冪較餘爲各再乘較以此諸數直起術而求之 汎背冪八十寸 冪較五寸九八yKR 11 lli! KKH up 五四八四二五三! 平汎差四 平定差五P. 六三七四w o八。七二七翌七-三翌。 u u 七駮1 一1 寸ニ 餘實 之以 汎除 爲 差法列因以術1寸1寸+1寸|學1百 視内 式立 一五一
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寸 級實 列因以乘以 差-12 乘以爲減七六再相 乘左爲 甲法尺二11最 再乘較111分五。一七一三二五五九一一八四11H 11六四 内 四三九二八九一四四三五六一。一二七-一八四四七五平汎差九,
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平定差一 刌二六八四三。九11 11六11天夫蝁1 1奋翌1 5再乘較 一寸七。숲八二三七一查1 11 1七二。二:11四 求矢段數術曰立天元一爲初矢段數。1以 矢た 相減以减徑R -餘爲除法?
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再乘 較相乘爲因 除法因 立汎差11差乘率寄子位列丙矢以初矢段數相乘以減徑
餘爲丙除法-o-以丙再乘較相乘爲因丙除法 因丙立汎差11差乘率嗢嘎寄丑位列徑以甲 乙較乙較 W /11) , 二十三 限法 相乘爲甲限度,以減
矢,
餘以 平 汎差相乘爲因 除法立汎差 以丑位相乘爲 因乙丙除法因乙丙立汎差1 1差乘率 -12寄左 列丙矢, .内减甲限度 ,餘以丙平汎差相乘 爲因丙除法丙立汎差-T以子位相乘亦爲因u J 丙除法因N K立汎差二差乘率 與寄左相 消各以實方視式中,
,丙再乘較,
內減 再 四約之-11 乘較 得式 74再乘較勯餘 正方實如法而一得初矢段數以之乘 減徑餘 乙較 乙較 乙較乙較四十余一寸三二八111六
五段自二0三二八九八五七劖餘
爲負實胬再乘較段內減
-13珏
三六六 九会一寸九七四:1。四四五一二 段自五九。二四三五三五0九七 矢以
八寸六五四五三四八七四 A습 五三一九二1寸二如 1 數1矢而減乘 得者 得爲背己據乘乘用差相差 各汎冪二差三差二差ーーー卽乘爲度度 定平以弧法法法弧爲爲四多少 度故限較差1分1分1分毛 划各得限以二度 徑差餘三 置四 八| 六爲 以以以 得其用矢 減減 四 '之 不虽 又寸四四 置爲爲 再 爲 各 寸乘依 法自尺 較乘以四也各再各加較乘各爲爲 復-各之 四乘冪汎以其以減加 三寸。三 五六九九四九二 徉11 11三三八二二九九七六四 矢內減甲限度餘 ,以乙矢冪相乘得TE爲法實 又置N J矢 者其數全同 一丙矢 各以徑 約之得乙丙限法 初矢段數六分七11七1th五六一五p11西。11Kl ili三九。。 二差乘率七分五七六四二四八七三。五五八翌五七四九四一一 乙限法
--一分
丙限法一111分
是再乘二差諸率也 弧佗所合不過于五六位也 三差 111差者四乘較故曰四乘差也求之法以徑乘 丙 限法得 丙限度副置矢上位減 限度下位减丙 二十四 限度 亦乘立汎差爲四乘汎積以矢乘中後矢段數各 減徑兩餘相乘爲除法以除四乘汎積爲汎差乘其 乘率得定差卽爲四乘較2. 5加減平差爲再乘較以 瞿用三弧求汎背冪以減定背冪餘爲各冪 較亦依自乘, 法得各平差以減冪較餘爲各再乘 較復依再乘, 法得各立差以減再乘較餘爲各四 定背冪 乘較以之據, 法求中後矢段數及111乘乘率也 四寸乘徑R -四之 得各汎背冪以減定背冪爲各冪較又, , 以各 各乘一 差乘率得各定平差以減冪較餘爲各再乘較復 以丁戊己三弧之矢寸五
五分己五寸 矢冪卽爲汎平差011五六11戊11 +寸1四1立1立1再1平1 1剩定 剩定 1較差 依再 以徑乘甲限法
得甲限庶,
以減各矢餘
卽汎 乘各矢冪 爲各立汎積以各矢乘初矢段數 各以減徑爲各除法以除立汎積爲各立汎差乘 --差乘率得各立定差以減再乘較餘爲各四乘較汎背冪-百六十寸
七五三六一五四七八四0三一一六。七五八二三八三。平汎差-十六寸
二五四九八八三二二九○九八二八五三八0三四六八 再乘較四寸九八六二七一五五翌11酉111-1 l。긍롯二 立汎差六寸五K七一八三一九1 11 E44u p 1 11西。八六六 立定差四 九七五老。。八元。一天六七1111毛四 四乘較一, 六九四五四六六四四0五五四u u 六太 二十五汎背冪-百八十寸
冪較一1テ 六1 1七四九11天o KI 1l o 죤九。1 lo 七翌五七平汎差1:01一五
差二 八五三九六九五九六一八二七五一七四三四五 汎差 ㄧ 。KR Kn w 。五。六五。11六九1 11五11K , 汎背冪1100
冪較四十平汎差一.
五
平定差 六七四。1 10011七二三11五金四七 八六二三 111-r-五二三四一九二五翌四六六0七0九0六七九一九弧 分五積 -。 丙1111 相寄以爲爲,,矢之 | | 죵 | 11 -o 汎丙左汎一二丙 尺一因前矢寄 餘矢乘以
1前前爲以|순
ㄧ�ㄧ参
餘置以數 J寸四 寸五 汎一寸內爲立內分分乘-o訳-以 -o 再乘較 立汎差 立定差 一寸五윤九一七四八一七六七八九四五六四。七。四 ㄧ 刌五옷숲五三1 l'o 九五二六四14K九五四11天 1 刌1四14钅六一三四八四二七. 二九二오ハ五六五 --一四乘較八叁九11四一三四六九1 1五一八一六四三四111兀 乘111弧丁戊矢各以减徑餘爲丁戊己前數據此 數起虚術 中矢段數有 戊前數有 丁前數有 己前數有 立天元一爲後矢段數01以丁矢,
,相乘以
減徑 餘爲丁後數o Ⅲ以丁前數相乘爲丁 除法 以丁四乘較相乘爲因--四乘汎積三差蝨磊寄子位列戊矢
以後矢段數乘率。1相乘以減徑
餘爲戊後數 以 丁前丁前 四寸 五分 二十六 戊前戊前 戊前數相乘爲戊除法75攻戊四乘較相乘 爲因戊四乘汎瞞瞞寄丑位列己矢 以後 積三差乘率 矢段數相乘以減徑 餘 爲己後數 以己前數相乘爲己除法-o ill 以己四乘較相乘爲因T13乘汎積111差乘率 戊荊 戊較 戊較 己前已前器器寄寅位列徑
以N 丙限法配111,,相
乘得乙丙限度配. .,, 副置丁矢怬內減 己前 己較 己前 己較R
":丙三分
丙三寸 上位得11寸 下位得一寸 差相乘爲因丁四乘汎積 以丑位相乘爲因 四寸 五分 副置戊矢 ,TTE 上位得11寸五 分下位得 一寸 丁戊四乘汎毆齰寄左 丶ー 戊前 戊較 兩數相乘以戊立汎差相乘爲戊四乘汎積分五 llloo 1-0 -。 數十數己差 十前戊前以段 己餘己立相 四爲四 乘後乘差八-戊四較四段乘 較式較相計前乘J乘數以 -o 50羲 爲汎子乘寸五三 因積位以內差 J三相己減乘 餘數 汎汎+前四立差立以尺-前 乘率因 RE相較前 立乘+乘餘 餘乘己數Ito貨k llloo42餘五七爲數戊 王 ! 三J寄爲寸上爲 乘乘 四位得式 戊立汎 戊立汎 子位相乘亦爲因丁凌凌與寄左相消各 丁較ゴ 較 IL L 戊四乘汎積三差乘率 lij --W 倍之爲前式
ha
戉立汎戊立汎i l 而 前 副置己矢幅, 内减乙丙限度餘 上位得三 寸下位得 ! 丁較 丁較 배 in 1寸' 兩數相乘以己立汎差相乘爲己四乘 nny an g汎積Thi 以子位相乘爲因a n glij寄左列
己立汎己立汎 此前 戊較 戊前 戊較 T較 丁較 Ri T- 13乘汎積111乘差率-lo -11丁四乘汎 積以寅位相乘爲因J己四乘汎積三差乘率 丁立汎丁立汎 已前 己前 己較 ㎡較與寄左相R
-T立汎 立汎 立汎 己前 己較 ー汎 己前 己較 爲後式 求矢段數術曰立天元一爲中矢段數。1以丁 二十七 列己矢 以中矢段數相乘以減徑尺餘爲己前 數 ti n 丁前數丁四乘較戊立汎差相乘計內
減戊前數戊四乘較J立汎差相乘 -+餘爲前 五段 戊立汎戊立汎 T較「 較 戊立汎戊立汎 丁較ㄒ較實畈畈三十內減戊前數戊四乘較丁立:前
級汎差相乘,
計餘爲前式方級
數 J四乘較己立汎差相乘段十 obj丁前數丁四 內减己前數己四乘較丁立汎 ,乘較己立汎 左相乘段十餘爲後式實級 8R 1差相乘1. 1段 內減己前數己四乘較丁立汎差相乘, ,餘爲後 袋戊較 廛 戊較 戊較 己立汎己立汎 己較 己較十六并四乘七四己相相視遍實前 五百共乘較.八四乘乘式省級式 二段六 尺ㄧ J一 矢 八百 級 遍省丁立汎差又以一十各約之得式 . 視式中, ,丁四乘較戊四乘較己立汎差 -" lie
"相乘":戊四乘較己四乘較丁立汎差
Te諼ー
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own 14己四乘較戊立汎差相乘 顯五餘 實力廉 己立汎己立汎 T較 戊較 己立汎 丁較 戊較 戊較 十段能。五
Top 四八三五九七四四, 爲正實視 丁四 七一 一 七五六六五 sse neg ll乘較戊四乘較己立汎差相乘H E、戊
=I
T四乘較13乘較丁立汎差相乘+-顴九
二位相并共得內減丁四乘較己四乘較戊立汎 差相乘ゲ碩眦餘 十段 十段 六百七余四釐四六八七八八二四 十五段自九四三一九六一六五二 爲負 二十八 方視 丁四乘較戊四乘較己立汎差相乘: 段戊四乘較己四乘較丁立汎差相乘47一位 四十 朴才五段 相幷共得汭減丁四乘較己四乘較戊立汎差相 爲正廉開 一百五余三釐六一八三四-一三六 十段 三四五九八六二四七 平方除之得商二件以少商爲中矢段數以多商 若以多商爲中矢段數以少商爲後 矢段數者亦同或不據變商而求後 矢段數者視虚術中前式或後式以前矢段數求 其式之實方11級數而後以方除實得之者後矢 後矢段數 等數相副置丁矢上位乘中矢段數下位乘後矢 段數各以減徑R -餘兩數相乘亦以丁四乘較相 于五分九一0一一六三一 四七五 0六七六七五内減乙丙限度門
骿111刌両數相乘亦以丁 下位得一寸 一十三寸一三四三六六111pp 立汎差相乘得 爲法限差 爲 度 除 1釐1分1分 ". 之名 以二以o-3"限汎減名 徑差 乘數差定乘 用之求 丙法初二爲1111矢徑括 限1徑 法隈段乘限冪也 分三以數率度 乘乘設 折方四 半也差 之逐者 爲傚用 總此 用乃弧 之置之 弧所七 繼差 再作 乘率 丙乘減立以差 限 徑定減乘 度限餘積矢率 同 OE徑 或用戊弧或用己 實如法而一得三差乘率 中矢段數11一4 ㄧ七숩띌天1 1 1五 E七二九二八五 後矢段數九 2一七一九三。六六五11144 五五四四六六 111差乘率四麓四九九七三四六二一二四11四1 1001 1四 是四乘三差之諸率也於此位而求故之爲定數 己戊限法別求繼四弧定背冪得七乘較以其諸 除四弧之矢爲四ER ,,限法再求繼五弧定背冪 及五差乘率逐如此而求之也設立差率各有所 得一十一乘較以之又起術而求得矢段數四件 數起術而求得矢段數三件及四差乘率又以徑 若欲究多位之微者如前以徑除111弧之矢爲三 庚辛 設之差數各有極 矣乃設一 差者用 一 弧之冪較而作率故求背之 定式平方也設11差者用三弧之再乘較而作諸 二十九 率故定式立方也設三差者用六弧之四乘較而 作諸率故定式四乘方也設四差者用十弧之七 乘較而作諸率故定式七乘方也逐傚此乃置所 設之差數添 一 以差數相乘折半之爲總用之弧 數又添 一 內減差數餘卽 爲求背所爲之定乘數也 括率 傍書徑矢及諸率之名如三差求背法加減相乘諸 級同名相幷異名相減而得括率也 徑矢相乘四之爲汎背冪l l-矢冪乘1差乘率爲 平差版以徑乘甲限法 爲甲限度0-1以減矢餘 乘矢冪爲立汎積o -s ,乘1 1差乘率爲立定積亦 爲因11差除矢巾, 串以矢乘初矢段數以減徑餘爲
法立加差。_11差除法
&鳲以徑乘N 限法 爲N 限度8又以徑乘丙限法 爲丙限度g乘內數實冪定除三爲相四加法相 減也級皆是背法差因并位差平乘 o-韝示 餘數除定。.徑副 以數 所逐1諦莗。一斧靉*o-韝靜兩得法積1矢置 去相だ% 13"靜o-矢摆後中*數嘰四亦両矢 之乘 諸爲數是差法二下乘以加因相位 名卯也卽除爲差位得減差三乘減 書各廉法三除乘 徑 差乘 之級 子 矢羨 1矢徑子 儲盅示 相各乘爲數上 矢陞 與差 矢徑!再巾 半 乘中 率矢 差六後中後午-分分分級-率括 汎 段五乘分矢矢矢 差ーーーー差六之差背 段數級率卯段段段四乘釐差差差乘毫級-除冪 餘後-寅四數數數級率寅乘乘乘率丑二級法乘 負矢差相段相相相二丑四率率率-四差子汎括 爲段乘乘五乘乘乘差相段--後中段段乘四背除 申數率一位--一,乘乘五段矢矢餘三率段冪法 相卯段相段段分率-一位三段段負位-正 爲 各相餘幷三二二中段相差數數爲相分爲llPar lllltif'l: 1111螽,, 1111驾徑” 三 ド寅 A;" 以 之 乘 平 差 爲 因 三十 差 除 矢徑後 矢徑初 矢徑三 矢徑後中 巾段段 矢徑後初巾段段 矢徑中初itr 段段 矢趣中 1雑髜因 副 置 上 位 乘 立 定 積 爲 亦 乘 憐单 1盅以 又矢 以乘 矢中 乘矢 後段 矢數 段得 떼 差級乘乘乘級段二一括三 括初三中初初數級級之差 除矢位矢矢矢各初直相先除 法中相後後中相矢以乘遍法 亦矢幷矢矢矢幷中一之去立 爲後爲段段段爲矢箇名徑加 括矢寅數數數丑後爲而及差 廉段四相相相三矢子後矢 三 差 乘 率 爲 四 乘 1矢 下 位 減 丙 限 度 餘 得乘負內差差差矢餘幷乘相相己幷三辰 括一爲減乘乘乘段正內率乘乘 內差 實段未-率率率數爲減ーーーー減乘二 矢徑上
申|未午1己辰| 徑 三1 |卯演丑子 1 冪冪冪 冪1 再1 負1負1正1負1正1之1負正1負1正1之數 寸五數進諸所各以數以于爲 二|六|四| 段1 分1 段1 段1率1 分1 段1 段1 段率 得括 冪之後 |三| 相乘之段 自乘 相乘 相乘 負一段九o u u K九九九一八六九一三二一一。七
正一
8一二二三七翌四。三으八三三一九四 ㄗ矢再 九六一 一八三一八六四九六一八三五リ自
實級括之五率各得段數 正四 矢相乘 徑ー乘ー徑矢再
徑矢三乘 -一九44J四六四九八四六五七一九 8六五六九1 1 1六三。五1 1五1 lo 11一六八 싯八七四11天四囧으111 으111九。五 三七 ー正二
負-冪相乘 〇 五三三七四三 三九一五四二七九 自乘 三十一 定率 隨圓率之所用先求通率而使段數適于其率之半 圓周故以半徑爲矢求其廉數而後視弧率合于定 背者與圓率合于定周者依兩位之多少若弧率少 若徑率自乘數 繁位者別作幂 於圓率所合者以諸段數乘徑率冪, ,wa
率相 00以所求廉數除之若弧率多於圓率所合者求 其圓之報率故以諸數數乘周率冪得數以廉數乘 凡諸率 定位高 下者準求背之所合增1位而定之後其不盡各收 棄而用之然其諸數皆以一箇之下位强弱最微者 定周冪者除之各得通率以進位數, ,相乘 辭 爲要故隨時造進數 是以無必其定數也 得數各整其尾而爲定率也 據括廉之諸率正11位 以全徑R -矢 乘與徑矢冪 徑再乘冪 子段數相 六三五。七五四五八-一九申|未|午|巳|辰 五八 | | 1一 減 減1減 加1減 加1 減1減1加1減1加 卽| 廉1 各增 1百1 徑冪矢丑段數相乘與4 三百。 矢再乘幂卯段數相乘 內減負11位 七七八九六九五七爲法以括率諸段數乘徑冪 率三百六十四萬八爲各實精率之圓周所合故 不及而報率也作如法而一得通率諸段數行 乃弧率之所合少於 千六百一十七 子八 千七 百六十四段六二八三六八三七一0四二六五 丑一萬六千七百二十段。八九四九九一。六 三 一 八九五二二寅九千八百三十七段一 九五 七三五八六六八五五三一八卯一千七百一十 八段九。二四五四四四九-一九三七五二辰三 萬五千。五十八段五一三四七三四八四一七 。六巳五萬五千一百九十七段四0七六一七 二六二 。四二 一 0午二萬三千二百八十六段 八五一八一三六六四六。一六七未一千六百 四十二段八一。七七四六二〇 九七三四三申 九十二段三二四三六各以一百一十一萬三千三六。六六一011 乘之整其尾而爲定率 乃其尾有 各適合也 廉定率 三十二 丑徑冪矢 減一百八十六竺千。111十五萬六千一亘十五段 寅徑矢冪
茄
一百。九億四千八百七十九萬八千八百五十四段 卯天再自乘減一十九竺千三亘十三萬八千四百三十11段 乘 乘カ 右四位相減餘爲廉數 實定率 矢相乘1カ
矢冪相乘 20三百九十億。二千0一十二萬五千四百九十六段 六百一十四億三千四百七十一萬四千六百七十八段 加二百五十九億一千八百二十六萬六千。六十九段 減一十八億二千八百四十四萬八千三百九十三段 減1億。二百七十五萬六千九百九十四段 徑矢111乘 冪相乘 矢四 右五位相减餘爲實數, , W A败 背冪也離法矢得弧矢 徑實 開徑得弧弦 矢矢得弧矢,,廉徑得弧矢術 士 同於 有徑矢求弦 答曰得弦 術曰置徑內减矢餘以矢相乘四之得弦冪爲實 矢多於半徑者亦 书引司若矢偏于左右 以1爲廉法開平方除之得弦 者以偏矢减其正長餘乘 偏矢爲左右闊相乘數也 有弦矢求徑 若玄若 答曰得圓徑 術曰置矢自之得數四之加入弦冪共得數爲實 以四箇矢爲法實如法而一得圓徑 矢多於半弦 ar ka -者亦同之 三十三 若玄若 答曰得矢 術曰置徑自之得內減弦冪餘 ,,爲實以1 爲廉法開平方除之得離徑以减徑餘折半之得 矢 是卽離 有弦矢求離徑 若玄若 答曰得離徑 術曰置矢自之得數四之以減弦冪餘爲實以四 箇矢爲法實如法而一得離徑, , 若矢多於半弦 者離徑無之 有弦離徑求徑
段共矢 段術 開 有平矢得冪餘三百四億二徑曰答 弦方再內相爲百四千三位冪徑曰 矢除自減乘實九十六千相矢三得 求之乘徑九-徑十四百四幷再乘背 假與者爲術假廉術假 如有右以廉曰答如有法曰答如 有徑旁偏法置曰有徑開置日有 弧矢斜矢開矢得弧矢平弦得弧 矢求弦乘平以旁矢求方自圓弦 干若背相圓方徑斜干若旁除之徑干若 圓 難除相弦圓弦之加 離 徑數爲之乘徑得入徑 干若 也左得得 干若 圓離 干若 問旁旁旁問徑徑問 背 段千八萬四段 背得-冪萬百一三萬七百共乘冪 背計矢八。自段八十七得冪矢 八九相千九乘矢八十内相相 千億乘八億萬九四段一減乘乘 四一十一百四-十自徑徑二二十三 百千五百五千千七乘矢再十百二百 三三萬八十八三億萬一三乘六五萬九 十百六十四百百五六億乘冪萬十五十 一一千六段七七千千。冪矢六九千億 段十一億 十十五九二相冪千億四。 百一二四百百百乘相。一百二 爲二千位段。九七億一乘六千九千 斜兩旁 弦弦斜 同矢相 弦 若多乘 矢於數 偏少爲 于徑實 左者以 右亦 冪徑 得 實 法五三幷徑四五千八 百九百六ハー
難玉之立 直其圓 得圍者立 積井片徑 片五厚解也以每 之爲日 弦每先 片各之截之曰謂圓 冪片以 厚依立積故周立率 幷矢片 相弧圓 亦徑起第 上各數 乘矢先驗緯之三 下以十五 折術截 徑闊圜乘截 弦矢除 半求五 冪減徑 之半十 之徑上率 乘徑尺一得形片 厚餘得數之次 爲包四積 折乘 半矢片 計冪 之四厚而其百 率曰圓 得之分二 倍數片 求冪而 廉乘三冪爲矢冪冪冪術 假 法萬五乘矢實七矢矢矢日答如 開-+冪冪弦自五三冪弦曰有 平千七相相五乘乘乘相七得弧 方四億乘乘自百五冪冪乘自背矢 除百七十二七二乘。百相相十四乘 干若 之七千四百萬百一四八。乘乘九百一四 弦 得十0萬三五一萬十萬三五一百一萬七萬十 干若 背二七五十千十五八八億十千七千三十五八 問 片尺 曰也除積 積外下 乘面旁 段十千九九三千億千-三七十五千三千億 背 四八億百億六七段千萬百五百六億六七 通弦截 四百四九。百千 九三四萬一百二百千 位。千十九八七五千十。十五千八七 相八五四百十百位五二○四十二十百 幷段百段四七五相百億二億三百七五 共 四十段十幷六七十六段八段十 得矢弦弦共+千二千弦弦 數五冪三得段七段九三五 爲自矢乘數百弦乘乘 除者皆 得爲之逐次 片半矢 各上截 得下二 截相百 之唯形 也以如 積球 數謂俗 截圓逐 積十二加
是圓臺而亦有旁 面如承圓規之勢 每片如此求之得半形截積 片數弦冪 藏積 數弦冪 七
八四
一七タ 八四 一十二一七十二, 九六一一十四寸一六 一二十九寸四四一五寸11 五一11壬ハ寸 一六寸五四四四寸
11土ハ寸四六四 一1+六一八ナ七寸0四11ナ七寸一0四 一四十二寸二四一七寸八二四 一五十三寸七六一1+す。一九二一一十八| 九十二寸一六11大寸-九二 五ㄤ寸0四11十一寸二八!一+九一九+四寸11四11十八寸六四 寸 一夫7, 11四 三十六 14-1 |九 七寸四四11ナ九寸三四EM l+四一九+九ペ 四11+九寸九二 二十1 | |九大す五六| 一+九寸六 11十五11百寸 一千三一九 九寸11一六一天寸七九11 -尢寸九八四 六百六十 六寸四分 右截積11十五位相幷倍之得初積が 1 助叶也 次以片數 除徑R -得一片厚 ,自是求逐矢以 之得半圓五十之弦冪以每片弦冪如前術得半 形截積 截積 11分九八 五分九 九分七四 數弦冪 14-七一五士ハ寸四四五寸五一 一十八一五+九寸0四五寸七七四 一一十九一六十一寸五六一六寸。三|二十
片數弦冪 三寸九六 一七八四
1+1寸六四 |H 五寸111六11寸三五 四 一六+g P |六寸二七八片ㄧ以截|九|九|九|九|九|九|九| Λ| 半片 形厚中 九|九1九|九|九|九|九| 一夫 一寸七一八一二十一 |六士ハ寸11天天寸五一八 一二十二一六+八 、バ四一六寸七五 1二十三1w Po 八四天寸九七四 一二十四一七十二 二十二ㄧˋ五六111 。七八 七 |二士ハ寸0四一二寸四三 11ナし、四四一二寸七七四 九六一七寸一九 七寸11五八 一十二一四十二寸二四一四%七 11大一八+" o六四一七寸九七四 一八十四 |八+五寸五六一八寸四七八 一+81四十八寸一六四寸六七
11千
四寸九五八 Hel 三十七 四十二| 九ナ七寸四四| 九 四十三-九大寸0四一九寸七七四 四+四九十八ㄧˋ五六一九 、八三 四+五一九+九 四+六一九+九寸11一六九"k K 四+七一九+九寸六四一九" 五 四+八一九+九 八四九寸九七四 11千三一八十八寸四四| 八寸七七四 七一九-'
o三八 11H 六-九十二寸一六一九寸一五八 一1千七一九十三_1一四九寸1一七 11千八一九+四寸1一四一九寸三七四 11H 九一九t, 五寸一六一九寸四七 九寸八七八 九寸五五八四-九一九十九P. 九六一九寸九九 九寸九九八 1九士ハ寸4关九寸六三八五+ 右截積五十位相幷倍之得中積が 帽が 次以片數!!除徑R -得一片厚一肚又以逐矢求半 圓片百之弦冪各如前得半形截積 四十一 --百 六寸六分寸 片數弦冪 一截積 开數弦冪 積 | | | 111寸九六 一分四八七五11十三1二十四1111-1寸一七一七五 九一 一七
八四
1111分四三七五一一十五一二+七寸七五11寸三四四七五 一九寸七五一四分三九七五| 一夫11H 九寸四四| 一寸四二九七五 一十一寸六四一五分三四七五1+p| 三十一寸一一 -五一三七五 一十三寸五一 |六分二八七五11大一三十二, 七六一1寸五九六七五 一1+五寸三六一七分1 1 1七五114九一三+四寸三九一一寸六七八七五 一寸七五九七五 九, 四七五一二十一 111毛寸五九一一寸八三九七五 |二十Po 七九九分九四七五一二十二| 三 九 一六11 "k l八七五 四 九 一一+p寸一九一八分1111七五 一二十一11壬ハ寸 寸 一十一 三十八 二十三| 四十寸。七1 | 1寸九九六七五四+七一七十一寸九一一三寸五六八七五 二十四一四十二寸二四一二寸。七三七五四十八一七十二寸ガ 六一三널六二一七五 二十五一四十三寸七五一二寸一四九七五四+1九一七十三 九九一三. 六七三七五 二夫一四+五寸二四一11, 111四七五五+-H A 14七一罕六寸七1 h, "7一九八七五五十一1놓, 九九一三寸, 七七四七五五寸
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二千。七十萬。。三百九十六分寸之
一千二百三十九萬四千八百九十二 乘除率 置徑再自乘之以定積之分母相乘得數與定積通 數依約分術得乘除率也 置定積通分內子得百七十八億三千八爲 徑再自乘寸千乘分母二三百七十萬。得: tE億00
二十爲法互減得等數 !以之約實得 四十六萬九千爲乘率, ,,,約法得
一千0三十 五萬。一百 周率 三百五十一 九十爲除率 卽六箇易其若率術 假 率術 所定言爲日答如有爲曰答如 用率徑法置曰有周法置曰有 各之間實周得立求實徑得立 有所周如自冪圓冪如自冪圓 差從言法之積周積法之積徑 以術假六術 有六日答如有箇日答如有 徑段置曰有周圓置日有徑立
求圓周得立求徑徑得立求圓
冪周再積圓積率再積圓積術 積率自周爲自 準問一圓 位徑得徑 冪問 爲之間法以積 實圓 如徑 法率 而冪 實之 如以 得周 冪 長載乘 短于得 或圓數 就術 爲 布之實 算篇 以 之中 圓 簡然 周 得乘 積得 徑求 答曰得積 箇圓徑 假如有立圓徑, ,問積 術曰置徑再自乘之以圓周率相乘得數爲慣以 有周求積 假如有立 答曰得積 置周再 爲實 六段 徑求 四十一 答曰得冪積 術曰置徑自之以圓周率相乘得數爲實以圓徑 率爲法實如法而一得冪積 有周求冪積 答曰得冪積 術曰置周自 徑率 率爲法實如法而一得冪積 易所用各有差矣相徑 球 缺圓積 球缺率第四起術 球缺者謂立圓之闕也其形如飲器之覆
之下
徑曰弦深曰矢灣曰背其頂外面曰冪屬徑1尺立 圓每片之截積而求其缺積則不論矢之多少皆合 于大小圓錐積或視每缺之約積擇-一件而行列之 依疊乘法求之者亦適合于前法也 俗謂 盃形 起術 每缺作錐而求之者以弦爲中錐徑界于矢左右斜 弦爲旁兩錐徑以矢各爲錐高求兩旁及中積相幷 則皆合于缺積若依疊乘法求之者採兩缺之約積 爲左右二行之下級以弦冪矢相乘數各爲中級以 矢再自乘數各爲上級入方程術求之者亦適合于 四十二 積數也 解曰弦冪矢相乘得111段中錐積徑矢相乘爲旁 錐徑冪亦乘矢倍之得兩旁錐111段積一 1積相幷 數與約積相等故乘圓周率爲慣以四箇圓徑乘 錐法111爲法除之得共圓錐積是卽立圓缺積也 乃據疊乘法者 亦同故略之 球缺術 有徑矢求積干(干
答曰得積 術曰置徑三之得內減倍矢餘以矢冪相乘亦以 圓周率相乘得數爲實以六箇圓徑率爲法實如爲自頂缺 實之冪矢 以得積干若 四數 弦 法矢 之 如乘徑如周數弦 而以 問 而相 得周 冪 得得 頂率 積 積數 數 法而一得積 有弦矢求積 若玄若日7 答曰得積 術曰置矢自之得數四之加入三段弦冪共得數 以矢相乘又以圓周率相乘得數爲實以二十四 箇圓徑率爲法實如法而一得積 有徑矢求頂冪
