無限回微分可能な関数

２階線形常微分方程式

数学的準備① マクローリン展開

無限回微分可能な関数

f(x)

が、以下のようにべき級数展開できるとする：

"

" + +

+ +

+

= a a x a x a

_n

x

ⁿ

x

f ( )

_{0 1 2} ²

n x

n n n

n x

n n

a n x

a x

a x a dx a

d dx

x f

d ( ) ( ) !

0 2

2 1 0 0

= +

+ + +

+

=

= =

"

"

"

" + +

′′ +

′ + +

=

ⁿ

x

ⁿ

n x f

f x f f

x

f !

) 0 ) (

0

! ( 2 ) 1 0 ( ) 0 ( ) (

) ( 2

 

 



 ≡

=

^{n n n} _n

n

dx

x f x d n f

a f

( )

)

! ( ) 0

( ( )

) (

係数a

_n

を求めるには、上式の両辺をn回微分して、x=0を代入すればよい

よって、

テイラー展開と近似

"

" + ∆ +

+

′′ ∆ +

′ ∆ +

=

∆

+

ⁿ

x

ⁿ

n a x f

a f x a f a f x a

f ( )

! ) ) (

)(

! ( 2 ) 1 ( ) ( ) (

) ( 2

0次近似

１次近似 ２次近似

n

次近似

) ( )

( x f a x

g = +

を考えて

g(x)

をマクローリン展開すると

"

"

" + +

′′ +

′ + +

=

ⁿ

x

ⁿ

n a x g

g x g g x

g !

) ) (

0

! ( 2 ) 1 0 ( ) 0 ( ) (

) ( 2

a a + ∆ x x

)

(

x f

) (a

f

∆ x

)

(

a x f + ∆

) (x

g

x= a を新しい原点とする関数

xは「原点からの差異」を表すので、これをΔxと書き換えて、g をf で表すと

指数関数・三角関数のべき級数展開

∑

^∞

=

= + +

+ +

=

0 3

2

! 1

! 3 1

! 2 1 1

n

n

x

x

x n x

x

e "

∑

^∞

=

−

= + +

−

=

0

2 4

2

)!

2 ( ) 1 1

! ( 4

1

! 2 1 1 cos

n

n

n

x

x n x

x "

∑

^∞

=

+

− +

=

− +

−

=

0

1 2 5

3

)!

1 2 ( ) 1 1

! ( 5

1

! 3 sin 1

n

n

n

x

x n x

x

x "

x i x x

x i x

x

n ix x

x i x ix e

n

n ix

sin

! cos 3 1

! 4

1

! 2 1 1

)

! ( 1

! 4 1

! 3 1

! 2 1 1

3 4

2

0 4

3 2

+

 =



 



 − +

 +



 



 − + −

=

= + +

−

− +

= ∑

^∞

=

"

"

"

数学的準備② オイラーの公式

θ θ

θ cos i sin

e ⁱ = +

Re Im

θ

θ sin z i

θ cos z

( ^{z = zz *} )

z

θ

e

i

z z =

θ θ

θ

z cos i z sin e

z

z =

ⁱ

= +

指数関数の性質

（注意）指数関数の微分では、実部と虚部は混じらない

2 1 2

1 )

(θ θ iθ iθ

i

e e

e

⁺

=

θ θ

θ

i

i

ie

d e

d =

t i i

t

i

i e

dt d d e de dt

d

_ω ^θ

θ ω

_ω

θ ^{⋅ =}

= ω t θ =

β α β α β α

β α β β α

α

sin cos cos sin ) sin(

sin sin cos cos ) cos(

+

= +

−

= +

cf.

三角関数の加法定理

[ ]

^{i t}

t i

dt e d dt

de

^ω _ω

Re

Re  =



 





特に と表されるとき

[ ]

^{i t}

t i

dt e d dt

de

^ω _ω

Im

Im  =



 





Re Im

ω t θ =

t

e

i

i ω

^ω

t

e

i^ω ) (t t

e

i^{ω +∆}

単振動

ばね定数

k

のばねに質量

m

のおもりがついているとする。自然長からの伸びを

x

とす ると、運動方程式は

2

0

2

= − → + =

= x

m x k dt kx

x m d

F

0

2 0 α ω

α ^α i

m i k m e

k  t = → =± =±



 



 + 





 ≡ m

k ω0

t i t

i

Be

Ae t

x ( ) =

^ω0

+

^−ω0

e

t

x =

^α

解の形として、指数関数 を仮定して代入すると

よって、一般解は

t x

x e x e

t

x

^{0 i t 0 i t} ₀

cos

₀

2

) 2

( =

^ω0

+

^−ω0

= ω

初期条件として、t=0 のとき

x = x₀, = 0 x

の場合、

→

=

= 2

x

0

B A

x

x = 0 ばね定数k

質量m

空気抵抗は ∝速度、それとも ∝速度 ²

粘性抵抗ならば

慣性抵抗ならば

mg b

b

F

_V

= − → = − v + dt

m dv v

mg b

b

F

_I

= −

²

→ = − v

²

+ dt

m dv v

b

= mg v

t

b

= mg v

t

終端速度

終端速度

同じ形状で、質量の異なる物体を落下させたとき、終端速度 が質量に比例すれば粘性抵抗、質量の平方根に比例すれば 慣性抵抗

無限の時間

無限の時間

実験：アルミカップの終端速度

約2m

3.3 2.4 1.6 0.83 落下速度の自乗(m²/s²)

1.8 1.5 1.3 0.91 落下速度(m/s)

1.1 1.3 1.6 2.2 2mの落下時間(s)

4個 3個 2個 1個 アルミカップの個数

55mm 90mm

25mm

終端速度の自乗は質量に比例→慣性抵抗

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5

アルミケースの個数

落下速度(m/s)の自乗

粘性抵抗が働く物体の速度変化

m g mg b

b + → + =

−

= v

dt v dv

dt m dv

非斉次

が特殊解。

b

= mg vt

①まず特殊解を求める（探す）

＜非斉次方程式の一般的解法＞

今の場合、終端速度

②右辺

=0

とおいて（斉次方程式にして）一般解を求める



 

 ≡

=

→

=

+ m

b m

bv v Ae_-^γ_t γ dt

dv 0

③（本当の一般解）＝（斉次方程式の一般解）+（特殊解）

t t

-

v

Ae v =

^γ

+

初速度をゼロとすると、A=−v_t

t t

-

v

e v = ( 1 −

^γ

)

vt

t

t

- v

e ) 1 ( − ¹

v

γ τ=1/

減衰振動

0 2

₀²

2

2

= − − → + + =

= kx x x x

dt b dx dt

x m d

F γ ω

( )

0²

2 2

0

2

2 γ ω 0 α γ γ ω

α + + e

^αt

= → = − ± −

(

^{i t i t}

)

t t

t

Be e Ae Be

Ae t

x ( ) =

^α+

+

^α−

=

^{−γ ω}

+

^−ω

e

t

x =

^α

解の形として、指数関数 を仮定して代入すると

一般解は

初期条件として、

t=0

のとき

x = x₀, x= 0

の場合、

x x = 0 ばね定数k

質量m

速度に比例する抵抗力（粘性抵抗）が働くの単振動の運動方程式は

粘性のあ る液体

m k m

b

/2 , ₀

=

/

≡ ω

γ

ただし、 とおいた。

ω

0

γ < の場合、 (

0

)

2 2

0

γ ω

ω ω ω γ

α

_±

= − ± i ≡ − <

ϕ γ

ω ^Re

Im

) cos(

) (

2 2

0 ω ϕ

ω γ

ω + γ −

=x e⁻ t

t

x ^t

ω γ ϕ / tan =

+ →

− =

=

_{0 0}

, 2

2

i x

B i x

A ω

γ ω ω

γ ω

質量m

強制振動

m t x F x

x

t F

dt kx b dx dt

x m d F

ω ω

γ

ω cos

2

cos

2 0 2 2

= +

+

→

+

−

−

=

=

非斉次

非斉次方程式の一般的解法（斉次方程式の一般解+特殊解）でも解ける。

その方法は教科書に譲り、ここでは定常解（十分時間が経った後の解）を 求めよう。

t F^外力cos

ω

x x = 0

t

e

i

x t

x ( ) = ( ω )

^ω

[ ]

^{i t}

^e

^{i t}

m e F

m t F m

F

cos

ω =

Re ω

→

ω

②

x(t)は（定常状態では）外力と同じ角周波数ωで振動する周期関数と仮定する。

① 実部にのみ意味があると約束して、周期関数を複素表示する

＜解法のテクニック＞

共鳴・共振（ Resonance ）

2 0

2

2

) 1

( ω ω γω ω

+ +

⋅ −

= m i

x F

2 2 2

2 2

0

) 4

( ) 1

( ω ω ω γ ω

+

⋅ −

= m x F

運動方程式に代入して、

x(

ω

)

について解くと

振動の振幅の大きさは、

特に、γ<<ω

₀

の場合、ω ～ω

₀

では、

2 2

0

(

0

)

1 ) 2

( ω ω ω ω γ

+

⋅ −

= m

x F

兵頭「考える力学」p77 図4.10

基礎物理学実験テキスト「振動・波動Ⅱ」p140 図5

様々な共鳴現象

振動 共鳴光

散乱光

原子 電子

共鳴する原子 原子・分子の共鳴周波数に等しい 光（共鳴光）を照射すると、原子内の電子が振動 し、光は散乱される。

太陽光スペクトルの暗線（フラウンフォーファー線）

太陽の大気中に存在する様々な原子・分子が、固 有の共鳴周波数の光を吸収するため、多数の暗線 が生じる。

＜原子・分子による光の吸収＞

＜地震波の共鳴＞

＜ラジオ（LC並列共振回路）＞

http://www9.wind.ne.jp/fujin/diy/radio/radio02.htm http://www.kz.tsukuba.ac.jp/~sakai/dsn.htm