R N -値のなめらかな関数の空間 (無限回微分可能で偏導関数は有界な関数

(1)

Wiener

空間上の立体求積法を用いた放物型偏微分方程式の解の近似法について

Approximation of parabolic partial diﬀerential equations by cubature on Wiener space.

数学専攻田村勇樹

1.

研究の目的

C _b ^∞ (R ^N , R ^N ) : R ^N

上で定義された

R ^N -値のなめらかな関数の空間 (無限回微分可能で偏導関数は有界な関数

の空間)ここで

C _b ^∞ (R ^N , R ^N )

をベクトル場とみなす.

V i (x) ∈ C _b ^∞ (R ^N , R ^N )

を

V _i = (V _i ¹ , · · · , V _i ^N ) ≈

∑ N j=1

V _i ^j ∂

∂x j

x ∈ R ^N i = 0, · · · , d V _i ^j ∈ C _b ^∞ (R ^N , R)

微分作用素を

L = V 0 + 1 2

∑ d i=1

V _i ² (ただし, V _i ² =

∑ N j=1

(V _i ^j ) ² ∂ ²

∂x ² _j )

と定める. 金融派生商品の価格付け公式の解はコルモゴロフの後ろ向き放物型偏微分方程式

 



∂u

∂t (t, x) = − Lu(t, x)

u(T, x) = f (x)

f :Lipschitz関数

において確率変数を含んだ解として記述されている. そのような後ろ向き放物型偏微分方程式の解の

t = 0

での値

u(0, x)

の近似を

Wiener

空間上の立体求積法を用いて考える.

2.

後ろ向き放物型偏微分方程式を確率論を用いての表現

C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ) : { ω : [0, T ] → R ^d ; ωは連続, ω 0 = 0 }

と定義する.ここで,

C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

に広義収束の位相をいれる.この位相から定まる

C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

の位相的

σ -加法族を F

とする. このとき, 次の定理が成立する.

定理

2.1(Wiener)

任意の

n ∈ N ,0 < t 1 < · · · < t n , E 0 , · · · , E n ∈ F

に対して

P ( { ω ∈ C([0, T ], R ^d ); ω(0) ∈ E 0 , · · · , ω(t n ) ∈ E n } )

=

∫

E

₀

δ 0 (dx)

∫

E

₁

p(t 1 , x, x 1 )dx 1 · · ·

∫

E

_n

p(t n − t n − 1 , x n − 1 , x n )dx n

を満たす

(C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ), F )

上の確率測度

P

が唯一存在する.ここで

δ 0

は

0 ∈ R ^d

に集中した

Dirac

測度で

p(t, x, y) = 1

(2πt) ^d/2 exp( −|| y − x || ² /2t)

である.

定理

2.1

を満たす

(C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ), F )

上の確率測度

P

を原点を出発点とする

Wiener

測度という.また,

(C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ), F , P )

を

Wiener

空間という.

ω ∈ C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

に対して

ω ⁰ (t) = t

とし, 同相写像過程を

B _t ⁱ := ω ⁱ (t) t ∈ [0, T ] ω ∈ Ω = C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )(i = 0, 1, · · · , d)

と定義する. このとき

Wiener

測度の下において

B = (B ¹ _t ,

…, B

t ^d ), t ∈ [0, T ]

は出発点が原点の

d

次元

Brown

運動となる. (B

⁰ t = t)

ここで,

ξ t,x , t ∈ [0, T ] x ∈ R ^N

を

Stratonovich

型確率微分方程式

dξ t,x =

∑ d i=0

V i (ξ t,x ) ◦ dB _t ⁱ ,

ξ

0,x = x

の解とすると, Ikeda & Watanabe 1981 より

u : (t, x) → E(f (ξ T − t,x ))

はコルモゴロフの後ろ向き放物型偏微分方程式を満たす.

Φ T ,x : C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ) → R ^N

ω

→ ξ T ,x (ω)

1

(2)

をほとんど至るところで定義された写像とすると

u(0, x) = E[f (ξ _{T ,x} )] =

∫

Ω

f (Φ _{T ,x} )P (ω)

となる.つまり, 放物型偏微分方程式の解を近似するには, Wiener空間上での積分を近似することが必要である.

そこで

Wiener

空間上の積分の近似法として立体求積法に注目する.

定義

2.2(Wiener

空間上の立体求積法

)

C _0,bv ⁰ ([0, T ], R ^d ) :

有界変動なパスで生成される

C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

の部分集合とし,

m :

自然数,

A m := { (i ₁ , · · · , i _k ) ∈ { 0, 1, · · · , d } ^k , k+card { j, i _j = 0 } ≤ m } , ω ₁ , · · · , ω _n ∈ C _0,bv ⁰ ([0, T ], R ^d ),

λ 1 , · · · , λ n :

正の重みとする. すべての

(i 1 , · · · , i k ) ∈ A m

に対して

E[

∫

0<t

₁

< ··· <t

_k

<T

◦ dB _t ⁱ

¹

1

· · · ◦ dB ⁱ _t

^k

k

] =

∑ n j=1

λ _j

∫

0<t

₁

< ··· <t

_k

<T

dω _j ⁱ

¹

(t ₁ ) · · · dω ⁱ _j

^k

(t _k )

が成り立つとき,パス

ω 1 , · · · , ω n

と重み

λ 1 , · · · , λ n

は時刻

T

における

m

空間上の立体求積法をなす. ( Tchakaloﬀの定理から

n ≤ card A m

の時パスと

λ

の存在が示される)

3.

解の構成のアルゴリズム

定義

2.2

が成立すると仮定する.

ω ∈ C _0,bv ⁰ ([0, T ], R ^d )

に対して, 時刻

T

における常微分方程式

dy t,x =

∑ d i=0

V i (y t,x )dω ⁱ (t) y 0,x = x

の解を

Φ T ,x = ξ T ,x (ω)

とする.

命題

3.1 C

を

T

と独立した定数として,次式が成り立つ.

sup

x ∈ R

^N

| E[f (ξ _{T ,x} ) −

∑ n i=1

λ _i f (Φ _{T ,x} (ω _{T ,i} ))] |≤ C √

T ^m+1+1

^{T >1}

sup

(i

1

, ··· ,i

k

) ∈A

m+2

\A

m

∥ V _i

₁

· · · V _i

_k

f ∥ ∞ .

s l = t l − t l − 1

とする. Markov確率変数

(Y i ) 0 ≤ i ≤ k

を

P (Y l+1 = Φ s

_l+1

,x (ω s

_l1,i

) | Y l = x) = λ i

で定義すると,以下の定理が成立する.

定理

3.2 P _t f = E[f _ξ

_t,x

]

としたとき,次式が成り立つ.

sup

x ∈ R

^N

| E[f (Y k ) | Y 0 = x] − E[f ξ

t,x

] |≤ C

∑ k j=1

s

m+1+1T >1 2

j sup

(i

1

, ··· ,i

n

∈A

m+2

\A

m

∥ V i

1

· · · V i

_k

P T − t

j

f ∥ ∞

.

ここで確率測度を次式で定義すると,

Q ^k _T =

∑ n i

1

=1

· · ·

∑ n i

k

=1

λ i

₁

· · · λ i

_k

δ ω

_s₁_,i₁

⊗···⊗ ω

_sk,ik

E[f (Y k ) | Y 0 = x] =

∑ n i

1

=1

· · ·

∑ n i

k

=1

λ i

₁

· · · λ i

_k

f (Φ T ,x (ω s

₁

,i

₁

⊗ · · · ⊗ ω s

_k

,i

_k

) = E _Q

k T

[f ξ

_{T ,x}

]

となる. これから数値的な

Sratonovich

型確率微分方程式の解

ξ T ,x

の期待値は,いくつかの常微分方程式を解き, それらの重み付き平均をとればよい. そのような方法論を構成するアルゴリズムである

n

項ツリーを述べる.

n

項ツリー

(i)

それぞれの節に対して,重み

λ

と

R ^N

の要素

(v, y)

を保持する.

(ii)

始発ノードには, 初期値

(1, x)

を保持する.

(iii) j ∈ { 0, · · · , k − 1 }

段目の節から

j + 1

段目の節

(vλ j , Φ s

_j+1

,y (ω s

_j

+1,i ))

を常微分方程式を解いて導く.

2

(3)

(iv)

求めた要素を用いて重み付き平均を計算すると後ろ向き放物型偏微分方程式の解の近似となる.

定理

3.2

の式の上界において

Kusuoka & Stroock (1987)

の

Malliavin

計算を使うと,たとえ

f

がなめらかでなくても

P t f

はなめらかであることがわかる. また

(Kusuoka 1998)

より

L = V 0 + ¹ ₂ (V ₁ ² + · · · + V _d ² )

が楕円型でな

く,

f

が

Lipschitz

連続で以下の条件を満たせばアルゴリズムは収束することが知られている.

条件

(UFJ)

C _b ^∞ (R ^N , R)

上の次式の加群が

C _b ^∞ (R ^N , R)

として,有限的に生成される.

∑

(i

1

, ··· ,i

k

) ∈A

m

\{ ϕ,(0) }

C _b ^∞ (R ^N , R)[V _i

₁

, [V _i

₂

, [ · · · , V _i

_k

] · · · ]]

4.

テンソル代数と

Wiener

空間上の立体求積法を構成するパスについて

(R, R ^d )

をベクトル空間とし, (R, R

^d )

上の

Tensor

代数を

T (R, R ^d ) =

⊕ ∞ k=0

U _k (R, R ^d ) T ⁽ⁿ⁾ (R, R ^d ) :=

⊕ n k=0

U _k (R, R ^d )

U k := ⊕

(i,j) ∈ N 2i+j=k

(R, R d ) ^i,j ,

U 0 (R, R ^d ) := R

と定義する. また

i = 0, 1, · · · , d

に対して

ϵ _i := (0, · · · , 1, · · · , 0)

(i

番目が

1)

と定める. 写像

π _n

を

π _n : T (R, R ^d ) −→ T ⁽ⁿ⁾ (R, R ^d )

とする. (π

n

は代数的準同型で指数・対数・逆数で交換可能である. )

a = (a 0 , a 1 , · · · ), b = (b ₀ , b ₁ , · · · ) ∈ T (R, R ^d )

とするとき

exp(a) := ∑

k ≥ 0

a ^⊗ ^k k!

T (R, R ^d )

と

T ⁽ⁿ⁾ (R, R ^d )

上の

Lie braket

積

[a, b] := a ⊗ b − b ⊗ a

で定義する.

U : R ⊕ R ^d

の要素の

Lie braket

積の有限列の組み合わせで生成される線形空間

U := W ⊕ [W, W ] ⊕ [W, [W, W ]] ⊕ · · ·

とし,

π n ( U )

を

U ⁽ⁿ⁾

とすると

U ⁽ⁿ⁾

の要素を

n

次

Lie

多項式という. 一方, Lie braket積の無限数列で生成されるものを

Lie

級数という.

B _U

を

Lie

代数

U

の基底とする.

ω ∈ C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

とし,その多重積分の級数

(T(R, R ^d )

の要素)を

X _s,t (ω) =

∑ ∞ k=0

∫

s<t

₁

< ··· <t

_k

<t

dω(t ₁ ) ⊗ · · · ⊗ dω(t _k )

で定義する. ここで

X s,t (ω)

をパス

ω

の

Chen

級数という.また多重積分

n

次の級数

π n (X s,t (ω))

を

X _s,t ⁽ⁿ⁾

で表す.

基底

ε ₀ , · · · , ε _d

を用いると

X _s,t (ω) =

∑ ∞ k=0

∑

(i

₁

, ··· ,i

_k

) ∈A

k

\A

k−1

∫

s<t

₁

< ··· <t

_k

<t

dω(t ₁ ) ⁱ

¹

· · · dω ⁱ

^k

(t _k )ε ₀ ⊗ · · · ⊗ ε _d

と表すことができる. これらの記号を用いて

m

次

Wiener

空間の立体求積法の定義を書き換える.

定義

4.1(Lie

多項式を用いた

Wiener

空間上の立体求積法)

E(X _0,1 ^(m) ( ◦ B)) =

∑ n j=1

λ j π m (exp( L j ))

3

(4)

が成立するとき,パス

: ω 1 , · · · , ω n

正の重み

: λ 1 , · · · , λ n

は

m

空間上の立体求積法をなす.

また, Brown運動

B t

を基底を用いて表すと

B t = tε 0 +

∑ d i=1

B _t ⁱ ε i

とでき次の命題が成立する命題

4.2 E(X _0,1 ( ◦ B)) = exp(ε ₀ + 1 2

∑ d i=1

ε _i ⊗ ε _i )

つまり,

m

空間上の立体求積法を構成するには

π m (exp(ε 0 + 1 2

∑ d i=1

ε i ⊗ ε i )) =

∑ n j=1

λ j π m (exp( L j ))

となるような

Lie

多項式

L 1 , · · · , L n ∈ U ^(m)

と正の重み

λ 1 , · · · , λ n

を見つける必要がある. ここで

ℓ 1 , · · · , ℓ k

_m

∈ B U ∩ T ⁽ⁿ⁾ (R, R ^d )

とする. また,

i = 1, · · · , d

に対して,

ℓ _i = ε _i

となるようなものを考える. つまり,

π _m (exp(ε ₀ + 1 2

∑ d i=1

ε _i ⊗ ε _i )) =

∑ n j=1

λ _j π _m (exp(

k

_m

∑

i=1

β _i,j ℓ _i )) · · · (A)

となるような実数

(β _i,j ) _i=1, _··· _,k

_m

_,j=1, _··· _,n

を見つける必要がある. (β

i,j ) _i=1, _··· _,k

_m

_,j=1, _··· _,n

と

λ ₁ , · · · , λ _n

に関して以下の命題がある.

命題

4.3 (β _i,j ) _i=1, _··· _,k

_m

_,j=1, _··· _,n

と

λ ₁ , · · · , λ _n

は

(A)

式を満たすと仮定する. このとき

(β _1,j , · · · , β _d,j ) _j=1, _··· _,n

と

λ 1 , · · · , λ n

は

d

次元

Gauss

測度に関する

m

次の立体求積法を定義する.

5. 3

空間上の立体求積法を満たすパスの構成

z ₁ , · · · , z _n ∈ R ^d , λ ₁ , · · · , λ _n ∈ R ₊

は

d

次元

Gauss

測度に関する

3

次の立体求積法を定義すると仮定する. 一般的な公式では

n = 2 ^d , z 1 , · · · , z n = {− 1, 1 } ^d , λ i = 2 ⁻ ^d

とできる. Tchakaloﬀの定理より

m

次の立体求積法では

1 6 d(d + 1)(d + 2)

個以上の点が必要となる.

命題

5.1 L 1 , · · · . L n

を

Lie

多項式つまり,

L i = ε 0 + z _i ¹ ε 1 + · · · + z _i ^d ε d

とする. このとき

L 1 , · · · , L n

と

λ ₁ , · · · , λ _n

は

3

空間上の立体求積法を定義する.

Lie

多項式を用いてパスを構成すると以下の命題が導かれる.

命題

5.2 ω 1 , · · · , ω n

を

ω i : t → t(1, z _i ¹ , · · · , z _i ^d )

とする. このとき

ω 1 , · · · , ω n

と

λ 1 , · · · , λ n

は

3

空間上の立体求積法を定義する.

6.

今後の研究について

今後の研究については

Wiener

空間上の立体求積法の関係式を満たす

Lie

多項式・パスの効率的な構成方法などを研究していきたい.

参考文献

1. Lyons, T, Victoir, N. Cubature on Wiener space, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, 460,2004.

2. Christian, B, Cubature on Wiener space extended to higher order operators, Master’s thesis.

3.

平尾将剛

,Cubature on Wiener space and Gaussian designs,

確率論ヤングサマーセミナー

R N -値のなめらかな関数の空間 (無限回微分可能で偏導関数は有界な関数

Wiener

Approximation of parabolic partial diﬀerential equations by cubature on Wiener space.

1.

C b ∞ (R N , R N ) : R N

R N -値のなめらかな関数の空間 (無限回微分可能で偏導関数は有界な関数

C b ∞ (R N , R N )

V i (x) ∈ C b ∞ (R N , R N )

V i = (V i 1 , · · · , V i N ) ≈

∑ N j=1

V i j ∂

∂x j

x ∈ R N i = 0, · · · , d V i j ∈ C b ∞ (R N , R)

L = V 0 + 1 2

∑ d i=1

V i 2 (ただし, V i 2 =

∑ N j=1

(V i j ) 2 ∂ 2

∂x 2 j )

 



∂u

∂t (t, x) = − Lu(t, x)

u(T, x) = f (x)

f :Lipschitz関数

t = 0

u(0, x)

Wiener

2.

C 0 0 ([0, T ], R d ) : { ω : [0, T ] → R d ; ωは連続, ω 0 = 0 }

C 0 0 ([0, T ], R d )

C 0 0 ([0, T ], R d )

σ -加法族を F

2.1(Wiener)

n ∈ N ,0 < t 1 < · · · < t n , E 0 , · · · , E n ∈ F

P ( { ω ∈ C([0, T ], R d ); ω(0) ∈ E 0 , · · · , ω(t n ) ∈ E n } )

=

∫

E

δ 0 (dx)

∫

E

p(t 1 , x, x 1 )dx 1 · · ·

∫

E

p(t n − t n − 1 , x n − 1 , x n )dx n

(C 0 0 ([0, T ], R d ), F )

P

δ 0

0 ∈ R d

Dirac

p(t, x, y) = 1

(2πt) d/2 exp( −|| y − x || 2 /2t)

2.1

(C 0 0 ([0, T ], R d ), F )

P

Wiener

(C 0 0 ([0, T ], R d ), F , P )

Wiener

ω ∈ C 0 0 ([0, T ], R d )

ω 0 (t) = t

B t i := ω i (t) t ∈ [0, T ] ω ∈ Ω = C 0 0 ([0, T ], R d )(i = 0, 1, · · · , d)

Wiener

B = (B 1 t ,

t d ), t ∈ [0, T ]

d

Brown

0 t = t)

ξ t,x , t ∈ [0, T ] x ∈ R N

Stratonovich

dξ t,x =

∑ d i=0

V i (ξ t,x ) ◦ dB t i ,

0,x = x

u : (t, x) → E(f (ξ T − t,x ))

Φ T ,x : C 0 0 ([0, T ], R d ) → R N

→ ξ T ,x (ω)

1

u(0, x) = E[f (ξ T ,x )] =

∫

C _b ^∞ (R ^N , R ^N ) : R ^N

R ^N -値のなめらかな関数の空間 (無限回微分可能で偏導関数は有界な関数

C _b ^∞ (R ^N , R ^N )

V i (x) ∈ C _b ^∞ (R ^N , R ^N )

V _i = (V _i ¹ , · · · , V _i ^N ) ≈

V _i ^j ∂

x ∈ R ^N i = 0, · · · , d V _i ^j ∈ C _b ^∞ (R ^N , R)

V _i ² (ただし, V _i ² =

(V _i ^j ) ² ∂ ²

∂x ² _j )

C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ) : { ω : [0, T ] → R ^d ; ωは連続, ω 0 = 0 }

C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

P ( { ω ∈ C([0, T ], R ^d ); ω(0) ∈ E 0 , · · · , ω(t n ) ∈ E n } )

(C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ), F )

0 ∈ R ^d

(2πt) ^d/2 exp( −|| y − x || ² /2t)

(C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ), F )

(C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ), F , P )

ω ∈ C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

ω ⁰ (t) = t

B _t ⁱ := ω ⁱ (t) t ∈ [0, T ] ω ∈ Ω = C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )(i = 0, 1, · · · , d)

B = (B ¹ _t ,

t ^d ), t ∈ [0, T ]

⁰ t = t)

ξ t,x , t ∈ [0, T ] x ∈ R ^N

V i (ξ t,x ) ◦ dB _t ⁱ ,

Φ T ,x : C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d ) → R ^N

u(0, x) = E[f (ξ _{T ,x} )] =

f (Φ _{T ,x} )P (ω)

C _0,bv ⁰ ([0, T ], R ^d ) :

C ₀ ⁰ ([0, T ], R ^d )

A m := { (i ₁ , · · · , i _k ) ∈ { 0, 1, · · · , d } ^k , k+card { j, i _j = 0 } ≤ m } , ω ₁ , · · · , ω _n ∈ C _0,bv ⁰ ([0, T ], R ^d ),

◦ dB _t ⁱ

· · · ◦ dB ⁱ _t

λ _j

dω _j ⁱ

(t ₁ ) · · · dω ⁱ _j

(t _k )

ω ∈ C _0,bv ⁰ ([0, T ], R ^d )

V i (y t,x )dω ⁱ (t) y 0,x = x

| E[f (ξ _{T ,x} ) −

λ _i f (Φ _{T ,x} (ω _{T ,i} ))] |≤ C √

T ^m+1+1

∥ V _i

· · · V _i

P _t f = E[f _ξ