連続性と（偏）微分可能性 １変数関数

連続性と（偏）微分可能性

１変数関数 : f(x) _{２変数関数} : f(x, y)

x = a _{において連続} (x, y) = (a,b) _{において連続}

⇔ f(a) = lim

x→a f(x) ⇔ f(a,b) = lim

(x,y)→(a,b) f(x, y)

x = a _{において微分可能} (x, y) = (a,b) _{において偏微分可能}

⇔ ^次の極限 f^#(a) _{が存在する}; ⇔ ^次の極限 fx(a,b), fy(a,b) _{が存在する}; f^#(a) = lim

h→0

f(a + h)− f(a) h







fx(a,b) = lim

h→0

f(a + h,b) − f(a,b) h

fy(a,b) = lim

h→0

f(a,b + h)− f(a,b) h

x = a _{で微分可能} (x, y) = (a,b) _{で偏微分可能}

=⇒x = a _で連続 &=⇒(x, y) = (a,b) _で連続

（教科書 p.145 _例 4.1_）

(1)

全微分

１変数関数: f(x) _{２変数関数} : f(x, y)

x = a において微分可能 (x, y) = (a,b) において全微分可能

⇔ ^{適当な定数} Aをえらんで ⇔ ^{適当な定数} A,B をえらんで f(a + h)− f(a) = Ah + hε(h) f(a+ h,b+ k) − f(a,b)

= Ah+ Bk+ √

h² + k²ε(h,k) としたとき，lim

h→0ε(h) = 0． としたとき， lim

(h,k)→(0,0)ε(h,k) = 0． ( A = f^#(a) ) ( A = fx(a,b),B = fy(a,b) )

( (

x = a _{の近傍における} f(x) _の (x, y) = (a,b) _{の近傍における} f(x, y) _の １次近似を与える)_{． １次近似を与える．}

（a における接線の存在性） （(a,b) における接平面の存在性）

f(x, y) _が (x, y) = (a,b) _{で全微分可能} =⇒(x, y) = (a,b) _で連続

(2)