共変ベクトルと反変ベクトル

2章 時空と物質は相互に依存しあう ー強い重力と一般相対論ー

• 時間変数と３個の空間座標の４次元時空は、ミンコフスキー空間（時空）

とよばれ、４次元ユークリッド空間と似た性質をもつ。そこでは、空間的な ベクトルと時間を含めた４元ベクトルを定義する。

• ベクトル場や、テンソルには「反変性」と「共変性」といわれる性質が重要 になる。計量テンソルは、時空間の性質を表わすもので、等価原理に よって導かれるアインシュタインの重力場の方程式は、これを決定する。

ここでは非ユークリッド幾何学が成り立っている。

• 物理法則の幾何学化

• 重力による空間の歪みによって、ブラックホールなどが予想され、それは 実際に存在するといわれている。

一般相対論の要点（１）

一般相対性原理

アインシュタインは、特殊相対論に対する反省から、次の大胆な要請を原理として 採用した(1915年）

すべての(基本的な）物理法則はいかなる座標系においても、全く同じ形式で 書き表される

（数学的に言えば；物理法則はすべて一般座標変換に対して、共変な形式 に書き表されなければならない）

等速度運動する座標系の間について適用

等価原理

一様な重力場では、適当な加速度運動をする座標系を基準にとることにより、

すべての物理現象に対する重力の作用を消滅させることができる。

自由落下しているエレベータ内は「無重力」系になる！

運動方程式に現れる質量（＝慣性質量）と重力に現れる質量（＝重力質量）

は同じ(等価）である。

一般相対論の要点（２） 得られる結論

（１）時空は剛体ではなく、物質の存在により時空は変化する(歪む）

（２）重力は質量を持つ2つの物体間に無限大に速さで伝わる遠隔力ではなく、

物体により時空が変形し、その時空のくぼみに別の物体が転がることによる！

今見ている太陽の光りは8分前の太陽から来た光である。

太陽の重力により地球は楕円軌道を行っているが、太陽が消滅する場合、

その8分後に地球は等速直線運動を行う！

（３）時間の進み方は重力の強さに依存する。

相対的に弱い重力の系では、時計は進む！

一般相対論の要点（３） 一般相対論の観測的検証

地球表面では重力は弱すぎて、ニュートンの重力理論と一般相対論の重力理論の差 は観測できるほど大きくない。

水星の楕円軌道が徐々にずれる(回転する）現象

：₁世紀間に574角度秒

ニュートンの重力理論：531角度秒は説明できたが、残る43角度秒は 説明できなかった。

一般相対論の重力理論： 574角度秒という正しい結果が得られた！

太陽の重力による恒星からの光線の曲がり(予言）

1919年、エディントンらの日食観測により裏付けられた！

一般相対論の要点（４）

一般相対論効果は実際に使われている！

カーナビはGPS（全地球位置測定システム）で技術的に可能になった。

GPSには超超高精度の時計が必要である。

地球表面に比べて、人工衛星では地球表面よりも、重力が弱く、時計がより進む！

人工衛星では、特殊相対論効果で時計が送 れ、一般相対論効果では時計が進む。

GPSではこの両方の効果を考慮して、地上に おける位置測定精度を高めている。

ベクトルの大きさ：スカラー

• Ｌ^２＝ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２ （長さ）

→ ピタゴラスの定理

• ｃ^２τ^２＝ｃ^２ｔ^２－（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２） （固有時）

→変形ピタゴラスの定理

定義

定義

基本テンソル：

ημν

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 0

2

,

ds dx dy dz cdt

dx dx dx dx

H

ds dx dx

μν

μ ν μ ν μν

η

η

= + + −

= + + −

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ∑

－１ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０

＝ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １

ローレンツ変換

• 電車の中（Ｓ’系：ｘ’、ｙ’、ｚ’、ｔ’）

• 電車の外（Ｓ 系：ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）

電車の進む方向をｘ方向に仮定すると、

となる。

ローレンツ変換

2

'

' 1 v

, , ,

' 1

' '

' ,

' '

ct ct

x x

y y c

z z

ct ct

x x

y y

z z

γ βγ βγ γ

γ β

β

γ βγ

βγ γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜= ⎟⎜ ⎟ = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ − ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜= ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １

０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １

( )²

, ,

, , ,

,

,

', '

' ',

,

,

, (

A

x x

dx dx

ds dx dx dx dx

dx dx

νμ

ν ν μ

μ μ

ν ν μ

μ μ

μ ν μ ν

μν μν

μ ν μ ν

μ ν λ κ

μν λ κ μ ν λ κ

μ ν μ ν

λκ μν λ κ μν λ κ

μ ν

μν νλ λ

μν μν μ

γ βγ βγ γ α

α α

η η

η α α

η η α α η α α η η η η δ

⎛ − ⎞

⎜− ⎟

⎜ ⎟

= =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

=

= =

=

∴

= =

= =

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １

（アインシュタインの和則）

クロネッカーのデルタ）

共変ベクトルと反変ベクトル

a_μ = η_μν a^ν

共変ベクトル 反変ベクトル

４元速度ベクトル

,

' ,

u dx

d

u u

μ μ

μ μ ν

ν

τ α

=

=

４元ベクトルの内積

a b• ≡ a b^μ _μ = b a^μ _μ = η_μν a b^{μ ν}

α、βをｘ

で書く

1

' , ' ,

x Jacobian x

x x

ν ν

μ μ

ν ν

μ μ

ν ν

μ μ

β α

α ⁻ β

= ∂

∂

= ∂

∂

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦

共変ベクトル場

,

( ) S x( ) S x

μ xμ

≡ ∂

∂

, ,

' ( ') ( )

S _μ x = β _{μ ν}^ν S x

スカラー場

スカラー場の微分は、ベクトルになる。

２次形式

• Ｌ^２＝ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２ （長さ）

→ ピタゴラスの定理

• ｃ^２τ^２＝ｃ^２ｔ^２－（ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２） （固有時）

→変形ピタゴラスの定理

２次形式

• Ｌ^２＝ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２ + a xy + b yz + c zx どうしてピタゴラスの定理は、

a=b=c=0なのか！？

• 平らな空間（ユークリッド幾何学）→a=b=c=0

• 曲がった空間（リーマン幾何学）→a≠0, b≠0, c≠0

ユークリッド

• Eukleides

（ 紀元前365年? - 紀元前275 年?）

古代ギリシアの数学者、天文 学者とされる。いわゆる『原 論』（ユークリッド原論）の著者 である。ただし、実在を疑う説 もある。その説によると、『原 論』は複数人の共著であり、

エウクレイデスは共同筆名で ある。

リーマン

• Georg Friedrich Bernhard Riemann, （1826年- 1866年）

はドイツの数学者。解析学、幾何 学、数論の研究は、現代数学へ の発展に大きな影響を与えた。

だが、病身のために、その研究 生活は短く、先駆的な彼の研究 は一部の数学者を除くと当時あ まり理解されなかった。ただ、

リーマン幾何学についての講演 については、数学者ガウスが興 奮のあまり、同僚にしばらくこの 着想のすばらしさを語りつづけた といわれる。リーマンの数学は20 世紀になると多くの分野で再評 価され、現在では、１９世紀を代 表する数学者の一人と考えられ ている。

リーマン幾何学

• 「空間が曲がっている」

• 三角形の内角の和が１８０°にならない。

• 面積＝底辺×高さ÷２が成り立たない。

局所的平面

球面の三角形

内角の和＞１８０°

a

b

c

a=c

∴a²=c² a²+b²>c²

ピタゴラスの定理が成り立たない！

一つの星が２つ見える！？

★

★

★

リーマン幾何学

• 「空間が曲がっている」

• 三角形の内角の和が１８０°にならない。

• 面積＝底辺×高さ÷２が成り立たない。

• なぜ、空間が曲がるのか？

• 重力によって空間が曲がる。

ベクトル場の微分は、テンソルか？

2

( ) ' ' ( ') ( )

' '

( ) ( )

' ' ' '

x x

A x A x A x

x x x

x x x

A x A x

x x x x

λ ρ

ν μ ν μ ν λ μ ρ

λ ρ ρ

λ ρ ρ

ν μ μ ν

⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

∂ → ∂ = ∂ ∂ ⎜⎝ ∂ ⎟⎠

⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ + ⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎠

おつりが出てしまう。

クリストッフェルの三指標記号 Γ^λ_μν

1 2

g g g

g x x x

ρν μρ μν

λ λ λρ

μν νμ μ ν ρ

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞

Γ = Γ = ⎜⎝ ∂ + ∂ − ∂ ⎟⎠

Γは、リーマン接続係数、アフィン係数という。

g 0

g g g

x

μν σ σ

λ μν λ μσ νλ νσ μλ

∇ = ∂ − Γ − Γ =

∂

解く 定義

共変微分

( ) ( )

A x A x ^λ A

ν μ ν μ μν λ

∇ ≡ ∂ − Γ

反変ベクトルの共変微分

Γは、リーマン接続係数、アフェイン係数という。

( ) ( )

A x^μ A x^{μ μ} A^σ

ν ν σν

∇ ≡ ∂ + Γ

の条件

2

' ' ( ') ( ) ( )

' ' ' '

x x x

A x A x A x

x x x x

λ ρ ρ

ν μ ν μ λ ρ μ ν ρ

⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

∂ = ∂ ∂ ∂ + ⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎠

' 2 '

' ( ') ( )

' ' ' '

x x x x x

x x

x x x x x x

σ ρ λ σ λ

λ τ

μν ν μ τ ρσ μ ν σ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Γ = Γ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

λμν

Γ _恒等式

テンソルの条件

{ }

{ }

' ' ( ) ( )

' '

' ' ( ') ' ' ( ) ( )

' '

x x

A x A x

x x

x x

A x A A x A x

x x

σ ρ

ν μ ν μ σ ρ

σ ρ

λ τ

ν μ μν λ ν μ σ ρ ρσ τ

∂ ∂

∇ = ∇

∂ ∂

∂ ∂

∂ − Γ = ∂ − Γ

∂ ∂

計量テンソル

( ) ( )

2

, 2

,

( )

ds dx dx

ds g x dx dx

μ ν

μ ν μν

μ ν

μ ν μν

η

=

=

∑

∑

' ' '

x x

g g g

x x

λ ρ

μν μν μ ν λρ

∂ ∂

→ =

∂ ∂

特殊相対論では、ηは定数。

計量テンソルの共変微分

• リーマン幾何学上での平行移動：

• 平行移動ではベクトルのスカラー積は不変：

( ) ( ) ( ) ( )

A x^μ +Δ =x _& A x^μ −Δ Γx^{ν μ}_λν x A x^λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g_μν x + Δx A x^μ + Δx A x_& ^ν + Δx _& = g_μν x A x A x^{μ ν}

g 0

g g g

x

μν σ σ

λ μν λ μσ νλ νσ μλ

∇ = ∂ − Γ − Γ =

∂

導く

曲率

x^{μ x x}

μ + Δ μ

x^μ + Δy^{μ xμ + Δ + Δxμ yμ}

経路：A→B→D

D C

B A

経路：A→C→D

( ) ( ) ( )

A x_μ + Δx _& = A x_μ + Δ − Δ ∇x x^ν _{ν μ}A x

( ) ( ) ( )

A x_μ + Δy _& = A x_μ + Δ − Δ ∇y y^ν _{ν μ}A x

曲率

{ }

{ }

{ }

{ }

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

A x x y A x x y x A x y

y A x x x A x

A x x y x y A x A x

y x A x A x x A x

A x x y x y A x

x y y x A x y x A x

μ μ ν ν μ

λ λ ν

μ ν μ

ν λ

μ ν λ μ μ

λ σ ν

λ σ μ μ ν μ

ν ν

μ ν μ

ν λ ν λ λ ν

λ ν μ λ ν μ

+ Δ + Δ = + Δ + Δ − Δ ∇ + Δ

− Δ ∇ + Δ − Δ ∇

= + Δ + Δ − Δ ∇ Δ ∂ +

−Δ ∇ Δ ∂ + − Δ ∇

= + Δ + Δ − Δ + Δ ∇

− Δ Δ + Δ Δ ∂ ∇ + Δ Δ ∇ ∇

&

経路：A→B→D

曲率

経路：A→C→D

{ }

{ }

{ }

{ }

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

A x y x A x y x y A x y

x A x y y A x

A x y x y x A x A x

x y A x A x y A x

A x y x y x A x

y x x y A x x y A x

μ μ ν ν μ

λ λ ν

μ ν μ

ν λ

μ ν λ μ μ

λ σ ν

λ σ μ μ ν μ

ν ν

μ ν μ

ν λ ν λ λ ν

λ ν μ λ ν μ

+ Δ + Δ = + Δ + Δ − Δ ∇ + Δ

− Δ ∇ + Δ − Δ ∇

= + Δ + Δ − Δ ∇ Δ ∂ +

−Δ ∇ Δ ∂ + − Δ ∇

= + Δ + Δ − Δ + Δ ∇

− Δ Δ + Δ Δ ∂ ∇ + Δ Δ ∇ ∇

&

曲率

( )

( ) ( ) ( )

A x_μ + Δ + Δx y _& − A x_μ + Δ + Δy x _& = Δ Δx^ν y^λ ∇ ∇ − ∇ ∇_{λ ν ν λ} A x_μ

(^{∇ ∇ − ∇ ∇}_{λ ν ν λ} ) ^{A x}_μ ^{( ) ≡ −R}_{μνλ σ}^{σ A x( )}

R_μνλ^σ

曲率テンソル

R_μνλ^σ ≡ ∂ Γ − ∂ Γ + Γ Γ − Γ Γ_{λ μν}^σ _ν ^σ_μλ ^σ_{ρλ μν}^{ρ σ}_ρν ^ρ_μλ

A→B→D A→C→D

リッチのテンソル

R_μν ≡ g ^ρσ R_σμρν = R_μρν^ρ = R_νμ

スカラー曲率

g R^μν _μν g g^{μν ρσ} R_σμρν

≡ =

R

アインシュタイン・テンソル

1

G_μν = R_μν − 2 g R_μν

ビアンキ恒等式

0 G ^μν

∇μ =

エネルギー運動量テンソル

( ) _matt ( ) _EM ( ) T ^μν x = T ^μν x + T ^μν x

0

1 1

( ) 4

TEM^μν x F F^μλ _λ^ν g F F^{μν λρ} _λρ

μ ^{⎛ ⎞}

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

4 1

1 ( ) ( )

( ) ( ( ))

det[ ]

N

i i i i

matt i i i i

i i i

dx dx

T x m c d x x

d d

g

μ ν

μν τ τ τ δ τ

τ τ

=

= −

− ∑ ∫

電磁テンソル

0 / / /

/ 0

/ 0

/ 0

x y z

x z y

y z x

z y x

E c E c E c

E c B B

F E c B B

E c B B

μν

⎛ ⎞

⎜ − − ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ − − ⎟

⎜ − − ⎟

⎝ ⎠

F ^μν

( _x , _y , _z ) E = E E E JG

( _x , _y , _z ) B = B B B JG

電場 磁束密度

マクスウェルの方程式

0 0

2 0 0

0 0 0

( , )

0

F j c j

divE c

divB rot E B

t rot B j E

t

μν ν

μ μ μ ρ

ρ μ ρ ε

μ μ ε

∂ = − = −

⎧ = =

⎪⎪

⎪ =

⎪⎨ = − ∂

⎪ ∂

⎪⎪ = − + ∂

⎪ ∂

⎩

G JG

JG JG JG

JG G JG

ガウスの法則 ガウスの法則 ファラデーの法則

アンペール・

マクスウェルの法則

連続の式

保存の式）

( ) 0 T ^μν x

∇μ =

E 0 t

∂ =

∂

P 0 t

∂ =

∂ JG

エネルギーの保存

運動量の保存

重力方程式を作ろう。

• 時空間を決めるテンソル：

アインシュタイン・テンソル

• ビアンキ恒等式

• 物理的な保存の法則

0 G^μν

∇μ =

材料

1

G_μν = R_μν − 2 g R_μν

( ) 0 T ^μν x

∇μ =

もしかして・・・

等価原理

• 重力場で自由落下する系は、重力場のない 系と同じ物理法則がなりたつ。

• フリーホール：ボックスの外を見ることができ なければ、どの方向に落下しているのかわか らない。

等価原理

• 慣性質量と重力質量は本来同一のもので、

加速度によって生じる見かけの力と重力とは 原理的に区別できないものである。

• 適当な基準系を採用すれば、任意の世界点 の近傍のごく小さい領域で重力の影響を消し 去ることができる。

等価原理

• 全ての物理法則は、任意の座標系において、いつも 同じ形で表される。

重力のない系とある系

• 重力のない系（局所慣性系）

• 重力のある系 ( , , )x y z

( ', ', ')x y z

2

' ' ' 1

2 '

x x

y y

z z gt

t t

⎧ =

⎪ =

⎪⎨ = +

⎪⎪

⎩ =

2

' ' ' 1

2 '

x x

y y

z z gt

t t

⎧ =

⎪ =

⎪⎨ = +

⎪⎪

⎩ =

' ' '

'

dx dx dy dy

dz dz gtdt dt dt

⎧ =

⎪ =

⎪⎨ = +

⎪⎪ =

⎩

固有時の微分：ｄτ， 原点付近（x’，y’，z’)＝（０，０，０） ∴ｚ’＝０，

1 2 2

2 ,

z gt t z

= − = − g

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

' ' ' '

2 1

ds dx dy dz c dt

dx dy dz gtdt c dt

dx dy dz gtdzdt g t c dt

c

= + + −

= + + + −

⎛ ⎞

= + + + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

を代入すれば、

２次形式

2 2 2 2

2 2 2

1

( , , ) 1 ,

1

L x y z axy byz czx

a c x

x y z a b y

c b z

= + + + + +

⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2 2

1 0 0 0 0 1 0 0 ( , , , )

0 0 1 0 0 0 0 1

c c t x y z

ct ct x y z x

y z τ

− = − + + +

⎛ − ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )^{2 2 2 2 2 2}₂ ² ( )²

2 2 2

2

2 1

1 0 0

0 1 0 0

( , , , )

0 0 1 0

0 0 1 2

1 2 0 0

0 1 0 0

( , , , )

0 0 1 0

2 0 0 1

ds dx dy dz gtdzdt g t c dt

c

g t gt

c c cdt

cdt z y z x

y gt z

c

gz gz

c c cdt

cdt z y z x

y gz z

c

⎛ ⎞

= + + + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜− + ⎟⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛− − − ⎞

⎜ ⎟⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜ − ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎟⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

計量テンソル(メトリック)：ｇ^μν

Φは、単位質量当たりの重力ポテンシャル

( )^{2 3 3}

2

0 0

2 0

1 2 3

2 2

1 0 0

0 1 0 0

, .

0 0 1 0

2 0 0 1

c d g dx dx

gz gz

dx cdt

c c

dx dx

g dx dy

dx dz gz

c

μ ν

μ ν μν

μν

τ

= =

− =

⎛ − ⎞

⎜ − − ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎝ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎠ = ⎝ ⎟⎟⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑∑

00 2 2

2 2

1 gz 1

g c c

= − − = − − Φ

00 00 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1

2 2 ( 1) 2

R g R c c

c κ ρ c κ ρ

− ≈ − ∇ Φ − − = − ∇ Φ +

R κ ρc2

∴ ≈

比例定数κの決定

1

G^μν = R^μν − 2 g R^μν = κT ^μν

00 2 2 2

00 00 2 2

1 1 2 1

( ) ( 1 )

2 2

R R g

c c

≈ ≈ ∇ = ∇ − − Φ = − ∇ Φ

1 2

g_μν ^⎛⎜⎝ R^μν − 2 g R^{μν ⎞}⎟⎠ = −R R = κ g T_μν ^μν

00 2

,

T ≈ c ρ

他は、ほとんど０．

00 2

T c

κ ≈ κ ρ

2 4π ρG

∇ Φ =

万有引力のポアソン方程式：

4

8 G c κ = − π

2 2 2

2

1 1

2 c c

c κ ρ κ ρ

∴− ∇ Φ + =

4 2

2

c κρ

∴∇ Φ = −

アインシュタインの重力方程式

4

1 8

2

R g R G T

c

μν μν π μν

− = −

計量テンソルを決定する方程式＝重力方程式

4

1 8

2

:

R g R g G T

c

g T

R R

μν μν μν μν

μν μν

μν

− − Λ = π

Λ

：メトリック、 ：エネルギー運動量テンソル、

：リッチ・テンソル、 リッチ・スカラー、

：宇宙定数

( )

4 4 1

1 1 4

1 4 1

1

, .

1 2

R R R g R

R x x

g g

g g

x x x

μν αμνα μν μν

α μ ν

α α α α σ α σ

βμν μ νβ ν μβ μσ νβ νσ μβ

σ

βν αβ

μ να

αβ μν β α ν

ν

−

= =

=

−

=

⎡ ⎤

≡ ≡ ⎣ ⎦

∂ ∂

≡ Γ − Γ + Γ Γ − Γ Γ

∂ ∂

∂ ∂

⎛ ∂ ⎞

⎡ ⎤

Γ ≡ ⎣ ⎦ ⎜⎝ ∂ + ∂ − ∂ ⎟⎠

∑ ∑∑

∑

∑

４

＝１

−

重力方程式の解

• 一つの解として、「ブラック・ホール」解がある。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

重力方程式の解

• 特別な解として、「ブラック・ホール」解

• 宇宙が膨張するか収縮するかを予想

→ 膨張する宇宙

→ ビッグバン

宇宙の年齢（１３７億年）

インフレーション宇宙（佐藤理論）

• 宇宙は、無限なのか有限なのかを予想

→ 閉じた宇宙