字□文一変イ

字□

文 一変イ

式

合の扱

の

いに関連 して 一

A Study on Using Letter Formulas Concerned with the Rate of Change

in Lower Secondary School

国 宗

Susumu KuNIMUNE

(平成7年10月 2日受理

)

I 

文字 や文字式 を使 ってある命題 が成 り立つ ことを一般的に証明す る ことにつ いて の学 習 は、

中学校数学科 での学習指導 において、またそれ以降の学習指導 において、重要 な位置を 占めて いる。それは、中学校第^2、 第3学年 での「 文字式 の利用」の項 で、文字式 によ り思考 を進 め て い く場面 で重点的 に取 り扱 われ、また、方程式や関数 の場面で も取 り扱 われ る。 この よ うな 学習指導 が総合的に行 われ ることによ って、子 ど もの文字式 の活用能力を育成す ることがで き

る もの と考 え られ る。

筆者 はこれまでに、 グループを組 んで「文字式 による論証」の場面での子 どもの文字式 の活 用能力 の育成 につ いて追究 して きた

^1)。

特 に「 変化 の割合」につ いての学習場面 における文字式 の活用能力 について検討す る。

今 日、中学校第2学_{年 での}

1次

y=ax+bに

^2)。

ここで、中学校第2学年 での学習指導全体 を眺 めてみ ると、「 文字式 による論証」 や「 図形 の論証」の学習では、ある命題が成 り立つ ことを主張す るには、どんな場合 で も一般 的 に成 り 立 つ ことを証明す ることの必要性 が強調 されている。だが、本稿 で取 り上 げる「

1次

また、上 で述 べたよ うな今 日の指導 によって、生徒 は

1次

を、変化 の割合 とい う観点か らどのよ うにとらえているのか、そ もそ も「 変化の割合」 を どの よ うに とらえて いるのであろ うか。

以上 のよ うな問題意識 に基 づいて、本稿 では、次の ことを 目的 とす る。

1)中学校数学科 における「 変化の割合」の取 り扱 いの歴史的変遷を明 らかにす る。

国 宗   ^進

2)「変化 の割合」が一定であることを証明す るのに、中学生 がどのよ うに文字式 を使 お う とす るか、また、「変化の割合」が一定ではないことを どのよ うな方法 によ って説 明 しよ うとす るか、その実態を調査 によって明 らかにす る。

3)2)の

Ⅱ 研究の内容

1 

ここでは、中学校数学科での関数学習における「変化の割合」の取 り扱 いの変遷 につ いて、

文部省学習指導要領や教科書での記述、および実践報告等に基づいて検討す る。

(1・

このいわゆる生活単元の学習指導要領 (試案)3)での指導内容 は、指導内容一覧表 の形 で示 されていて、「生活経験」「理解および能力」「用語」の3点か ら記述 されている。そ こでの 関数指導に関連す る内容 は、次の通 りである。 ^(丸番号 は「生活経験」の欄、

0は

び能力」の欄の記述である。)

第2学_年

⑥ 自然現象や社会現象の中に比例の関係を見いだ したり、また、その関係を用いて、 日 常の問題を解決 したりする。

第3学年

③ 自然や社会における現象を理解 したり、問題を解決 したりするのに、比例や反比例 を 用いる。

O具

・ 比例関係を式に表わ したり、その式を用いて問題を解いたりす る。

・ 比例定数 と、比例を表わす グラフの直線のこうばいとの関係を知 ったり、これを用 い た りす る。

⑦ 自然や社会におけるいろいろな現象を理解するのに、関係概念を用いる。

0具

・ 具体的な二つの変量 に関連 して対応の観念を理解す る。

・ いくつかの変化す る具体的な量の間に関係を予想 し、これを見 いだすために、 これ ら を表に表わ したり、グラフにかいたりす る。

O表

0‑次式で表わされる関係をグラフに示す と、直線になることを知 り、 これを用 いる。

・ 関係ある二つの変数について、一つの変数がわずかに変化 した場合 に、他 の変数 は、

だいたい前者に比例 して変化することを知 り、これを用いる。

用語 としては、他の項 目で「一次式」「下次方程式」が示されているが、一次関数 は見 られ ない。

一覧表に続 く「第Ⅳ章中学校数学科の指導内容の説明」のⅡ.数量関係の「C.数量関係 の 指導」では、一次式で表 されるような関係については、次のようなことが理解 されれればよい

と して いる。

「(2)一次 の関係で は、変化率 が変 らないこと。

(3)一次 の関係 は、 グラフに表 わす と直線 にな り、比例定数 によ って、直線 の傾 きが決 ま ること。」

以上 のよ うに、 この試案 では、自然 や社会 における現象を理解す る もの と して関係概 念 を位 置付 けて いる。その対象 は

1次

昭和33(1958)年版

このいわゆ る系統学習の指導要領で は、「C数量関係」の内容 と して次 のよ うに記述 されて いる。

第2学年

(1)座標 や式 の グラフの概念 を理解 させ、簡単 な関数関係 を グラフに表 わ し、関数 関係 を 明確 にす る。

ア

 y=ax y=ax+bお

イ

(2)比例関係および一次 の関係 の特徴を式 の形 や計算 を通 して明 らかに し、 これ を用 い る ことがで きるよ うにす る。

第3学年

(1)簡単 な二次関数 の グラフにつ いての理解を深 め、 これを用 いることがで きるよ うにす る。

ァ

 y=ax2 

 y=ax2+bの

イ

ウ

工

また、文部省指導書^4)では、上 の第2学年 の

(1)イ

「 aは直線 の方 向を決 め るもので、

aの

け増加す るかが、

aの

第3学_{年 の}

_(1)ウ

「 一次関数 と二次関数 との値 の変化の しかたの違 いにつ いて理解 させ る。 この場 合 、 お もに、Xがいろいろな値を とったときの、yがとる値 の範囲 につ いての違 いや、Xが_{増 加}

す るとき、yの増減 の しかたの違 いなどが考 え られ る。」

以上 のよ うに、一次関数 とともに二次関数 も考察 の対象 とな り、値の変化 につ いて は、Xの

値 が増加す るときのyの増加量 を調べ ることが明言 されている。だが、平均変化率 に関 す る記 述 は見 あた らない。

昭和44(1969)年_版

いわゆ る現代化の指導要領では、「B関数」の内容 として次 のよ うに記述 されて いる。

第2学_年

(2)一次関数 の特徴 につ いて理解 させ、それを用 いる能力を伸 ばす。

68 国 宗   進

ア

イ

ウ

第3学_年

(1)簡単 な二次関数 などの特徴 について理解 させ る。

ア

y=ax2,y=aX3(数_{係数 の場合。)}

イ

また、文部省指導書^5)では、第2学年 の(2)イ について、次 のよ うに述べている。

「 変数Xの とる値 の変化 に伴 って、yのとる値 がどのよ うに変化す るかのとらえ方 として、

増加す るか減少す るかのほか に、対応す る変数 の とる値 の変化 の割合 について考察 させ る。

…、 この とき、変化 の割合 (y2 yl)/(x2 Xl)は 、常 に一 定 でaにな って い る ことが わか る。」

「 この ことか ら、Xの_係数aは_、変数Xの_とる値が

_1だ

加す るかを示 した ものであ り、さ らに、Xの_{増加 に対 して、}yがどれだ け増加 す るか が、

aの値 を もとに して求 め られ ることを理解 させ る。」

以上 のよ うに、現代化指導要領 の もとで、「対応す る変数 の とる値 の変化 の割合」 とい う表 現 、および単 に「 変化 の割合」 とい う表現が、指導要領 に初 めて登場 して いる。X, yの_増加

量 とともに、変化 の割合 に着 目 して値 の変化を とらえ ることが明確 に位置付 け られた とい うこ とがで きる。

昭和52(1977)年版、平成元 (1989)年 版

これ らの学習指導要領^6)での変化 の割合 に関す る記述 は、現代化 の指導要領 でのそれ とほ と ん ど変 わ らない。現代化 の時の「 変化の割合」の位置付 けが、その後現在 まで続 いている。

(2)教科書 の記述 と実践事例

前項 で、「 変化 の割合」 は現代化 の学習指導要領以降、それを取 り上 げることが明確 に記述 され、現在 に至 って いることが明 らかになった。そ こで、 ここでは、その前後 の あ る教科書

⁷⁾

現代化以前 の教科書 の記述

昭和37(1962)年度版 の教科書 は、第2学_{年 で、}y=2x+3に_{つ いて、「}Xの_{値 が1増す と、}

yの_{値 は、いつ も2だ}け増す」 ことを確認 した後、次のよ うに記述 して いる。

「 もし、Xが 0から

kま

_0の

_3か

=(2k+3)‑3/k=2と

1増

_2に

Xの_{値 が}

_1ず

_0か

_kま

_1ず

文字kを使 って、少 しで も一般的 に記述 しよ うとす る意図が うかがえ る。

第3学年 での「 二次関数 と変化 の割合」で は、y=x2に_{つ いて、「}yの_{変化 と}Xの_{変 化 との}

比 の値」を調 べた後、

「yの値 が増加す るところでは、yの値の変化 の割合 は正 であ り、yの値 が減少 す る と こ ろで は、yの値 の変化 の割合 は負である。」

とま とめて いる。さ らに、「y=3x2+12,y=3x2,y=3x2‑12に _{お いて は、}Xの_{同 じ範 囲}

の値 に対す るyの変化 の割合 は、いつ も等 しい」 ことを調べ、まとめて いる。

昭和30年代 の著作 であ りなが ら、文字kを使 って一般的な説明を している点、また、値 の変 化 を「 変化 の割合」の語 を使 って記述 している点が、大 きな特徴である。

昭和41(1966)年度版 の教科書 で は、第2学年での「 一次関数 の値 の変化 とグラフ」で、

「 一次関数

y=ax+b 

_1増

その グラフは直線 になる。」

とまとめて いる。第3学年 で も、選択 の内容で はあ るが、次 のよ うにま とめている。

「一次関数 で は、Xの_{値 が}

_1増

このよ うに、Xの

_1ず

現代化 当時の実践事例

ここでは、昭和30年代後半 頃の「 変化 の割合」の扱 いに関連す る実践事例をい くつ か取 り上 げ、変化 の割合 の取 り扱 いの程度 や位置付 けにつ いて考え る。

現代化 に先立 って、山梨大学附属中学校 で は、変化 の割合 を文字式 を使 って調べ るとい う授 業 を行 って いる

^8)。

y=

ax+bにお いて、

aを

やや消極的 なま とめにな っている。

山崎昇 は、一次関数 に関す る学習内容 と指導上 の留意点 の 1つ と して、「 一次関数

y=ax+

bの性質 と して、変化率一定、aがその値 であることを理解す る。」 ことをあげてい る。 そ し て、それにつ いて、「 グラフと表か らXの_増分、yの増分 の意味を理解 させ、それ らを求 め る 練習問題 を行 って、変化率=yの増分/Xの増分=一定

^9)。

第3学_{年 で、}2次関数 の平均変化率を どこまで どのよ うに取 り扱 うか につ いての実験 的 な研 究 も、当時の文献 に見受 け られ る。

小野良高 は、2次関数 の グラフが曲線 にな ることを説明す るのに平均変化率が重要 であ る と し、「 また微分 につなが るために変化率を考え るときに も、極限に持 ってい く補助手段 と して も、重要 な性質 を もつ ものであ る」 と して いる。だが、その指導 の実際 は、Xの_{値 が具体 的 な} 数値 の場合 の平均変化率 をい くつか計算 し、それを調べて い くとい うものである。また、平均 変化率 と同時 に「増分 の割合」 といういい方 もしている。。

国 宗

菱澄雄 は、中学校 での関数指導 の問題点を 5つ をあげ、その内の 1つ と して、「 関数 の変 化 の量的 な把握 は変化率を通 して、つ まり、変化率を関数指導の柱 に して中学校か ら微分 の指導 がで きれば、最大最小 の指導 も容易 にな って来 る。」 と述 べて いる。そ して、実際の指導では、

「

X,yの

また、平均変化率が曲線上 の2点を結ぶ直線 の傾 きを表 していること、第2階差が一定 で あ る も指導 して いる。。取 り扱 いの姿勢 が明確 でその程度 も高 いが、あ る性質 が成 り立つ ことを文 字式 を使 って一般的 に説明 してい くとい う扱 いは見受 け られない。

酒井昭夫 は、y=x2に_ついて、Xの_{値 が}1,2,3,…か らそれぞれpだけ増加 した ときの平均 の変化 の割合 を計算 させた後、「Xが_{ある値か ら}^pだけ増 え るとき、平均 の変 化 の割合 は 2x +p」 であ ることを学 級全体 で確認 す るとい う授業 を報告 して い る。授 業後 の研究討議 で は

「pを固定 してた とえば 1に して、Xの値 がふえ るに したが って変化 の割 合 もふ え る」 とい う 程度 の扱 いがよいであろ うとまとめて いる②。

以上 のよ うに、当時 は「 変化の割合」をどのよ うに取 り扱 うか とい う議論 の中で、文字 式 を 使 って一般的 に説明す るとい う実践や、「 平均変化率」 とい う用語 を使 って調べ るとい う実 践 等 がいろいろ行 われた ことは明 らかである。だが、文字式 を使 って説 明す る ことにつ いて は、

子 どもの理解 が困難 であろ うとい う理 由で後退 し、また、平均変化率 の用語 は、議論 が形式 に 流 れ ることを危惧 した結果、「 変化 の割合」の語 がよ り広範 に使われ るよ うにな った もの と考 え られ る。なお、その表現 の仕方 につ いて は、植松茂暢が「Xが

Xlか

一方 、変化 の割合 の扱 い方 につ いて、平岡忠 は、「 なまの形で提示す るので はな く、 その必 然性 こそが問題 なのである。」 と指摘す る。そ して、「 要 は、最初 か ら △y/△xと い うわ り 算 で定式化 しないことである。」 と主張す るの。具体 を背後 に もたない形式的 な指導 に対 す る 警鐘 であ り、それ は今 日の実践 に もあて はまる指摘である。

現代化以後 の教科書 の記述

現代化 の学習指導要領 に基づ いて作 られた昭和50(1975)年度版 の教 科書 は、第 2学年 で、

「 一次関数 の値 の変化 とグラフ」のま とめ として、次 のよ うに記述 して いる。

「

^1。

_1増

2。

3。

第3学_{年 で は、「}Xの_{値が同 じ}2だ_{け増す場合で も、}Xがどの値か ら増すかによ って、関数

y=x2の値 の変化 の割合 は異 な る。」 ことを調べた後、次のよ うにまとめている。

「 一次関数y=axで_は、yの値 の変化の割合が いつ も一 定 で あ るが、二 次 関数y=ax2,

二次関数y=ax3で_は、yの値 の変化の割合 は一定でな く、Xの値 と、 その値 か らのXの

値 の増 し高 とによって、いろいろに変わ る。」

当時の学習指導要領 に規定 されているか ら当然 の ことではあるが、「yの値 の変化 の割 合 」 とい う表現 によ って、値 の変化 を明確 に記述 している点が特徴的である。

基礎

0基

現代化 の指導要領 と変 わ って いない。その もとで作 られた昭和62(1987)年_{度版 の教科書では、}

第2学年 で、次 のよ うにまとめている。

「

1次

変化 の割合=yの増加量/Xの増加量=a」

また、第3学年 では次 のよ うにま とめている。

「 関数y=a x2においては、その変化 の割合 は、

1次

この教科書 で は、それ以前 までは「Xの値 の変化 に対す るyの値の変化 の割合」 とい う表現 を使 って いたが、 ここで初 めて単 に「 変化 の割合」 という表現が使われ、それ以降現行版 まで この使 い方 は変 わ らない。Xの変域 を ことさ ら記述す ることな く、「 変化 の割合」が多用 され て いる。

現行版教科書 の記述

現行 の平成5(1993)年度版教科書 につ いて は、すべての中学校数学教科書 6種 ^)の_{展 開 の}

仕方を見 ることにす る。

6種中の

4つ

値 をい くつか調 べ、その後「 変化 の割合」を定義す る。次 に、

y=̲3x+2の

1次

他 の 1つ のA教科書 で は、上記 の展開 に近 い ものではあるが、Xの_係数aが_{負 の場合 を調 べ} ることな しに

1次

残 る 1つ のB教科書 で は、最 もて いねいな記述 にな っている。まず、y=2x+3に _{つ いて変}

化 を調 べ、問 いで

y=3x‑5,y=x+6,y=̲2x+4を

加 す るときのyの_{増加量 が}aでぁ ることをまとめる。続 いて、変化の割合を定義 し、さらに

y=

4x+3,y=̲3x+1に _{つ いて調べて、「}

1次

A教科書 では、Xの_係数aが_{正 である}

_1次

_2つ

6つ

1次

以上 (1)で検討 して きた内容 は、次 のよ うにまとめることがで きる。

「 変化 の割合」の取 り扱 いに関 して は、主 に^1970年代 にいろいろと議論 されたが、現 代化 の 学習指導要領以後、平均変化率ではな く「 変化 の割合」 とい う語を使 い、

1次

このよ うに、「 変化の割合」はここ^20数年間 ほど、関数 の値 の変化を とらえ る上 で中心 的 な 役割 を果 た して きて いるが、で は、それを生徒 はどのよ うに理解 して いるのであろ うか。次 の 項 で は、それにつ いての理解を、性質 を得 るのに文字 を使 って一般的 に説明 しよ うとして い る か とい う点 を中心 に、調査 を通 して検討す る。

国 宗   進

2 

(1)目^的

「 変化 の割合」に関す る中学生 の文字式 の活用能力 につ いての現状 を明 らか にす る。

(2)方法

・ 調査対象

1校

・ 調査時期

 1995年

・ 調査方法

O調

[問題

]変

[1],[2]に

ただ し、変化 の割合 とは次 の値 の ことです。

yの_増加量 Xの_増加量

[1]「

1次

この ことが らが成 り立つ ことを証 明 しなさい。

[2]「関数y=3x2では、その変化の割合 は [一定である0‑定_{でない]」}

(1)上の文で、 [ ]の中のどち らか正 しいと思 うほうに○ をつ けなさい。

[一定 であ る 。一定でない

]

(2)(1)の

0調

[問題

1];1次

特 に、文字式 を使 って一般的に説明 しよ うとす るかを とらえ る。なお、問題 文 で は意 図的 に「 証明」 とい う表現を使 っている。

[問題

2];関

[問題 1]と [問題2]の関連 ;一般的に説明す るには文字 が使 われ、成 り立 た な い こと を説明す るには反例 を 1つ あげればよいとい う、数学学習 にお ける推論 の進 め方 の原 理 を理解 して いるかを とらえ る。また、「 変化 の割合」の意味を的確 にと らえて い る かを とらえ る。

(3)結果 と考察

1)問題 1に ついて

[問題 1]に対す る生徒 の解答 を、次 のよ うに分類 した。

aタ イプ

さ らに これ らは次 の

3つ

al;問

y=ax+bと

a2; Xの_{値 が}^pか らqま で変化す るとし、求 め る変化 の割合が2であ ることを一般 的 に導 いて いる もの。

(解答例

1)X=aの

これか ら変化 の割合を求 めると、

2a+3‑2b‑3    2a‑2b    2(a― b)

a― b    a― b   a― b

よ って、変化の割合 は一定 (2)であることがいえ る。

a3; Xの_{値 が}^pか _ら^p tt qま で変化す るとし、求 め る変化 の割合 が2であ ることを一 般 的 に導 いて いるもの。

bタ

(解答例2)Xの値 がpか_らp+1ま _{で (あ るいは}pか_ら2pまで)変化す る場 合 の変化 の割合を計算 し、それが

2で

(解答例3)Xの値 がaか_らa+2ま _で、

a+2か

Cタ イプ

(解答例4)X=1の とき

y=5…

^y=7…

…      ,  X=10の ときy=23000③

①か ら②のとき、①か ら③のとき、②か ら③のときと変化の割合を調べ ると、

①か ら② 2/1=2,①か ら③ 18/9=2,②か ら③ 16/8=2

上のようにどれ も変化の割合が 2と なるので、「

1次

y=2x+3で

化の割合 は一定である。」 ことがいえる。

dタ

1ず

(解答例5)(対応表をつ くってXの_値が

_1ず

^yも

(解答例6)(対応表をつ くった後)Xの値が

1ず

eタ イプ 何 らかの説明を しようとしているが、不的確なもの。

fタ イプ 無解答の もの。

各 タイプ別の解答率 は、表 1の 通 りである。

表1 問題 1の タイプ別解答率       数値 は%

[問題 1]に対す る生徒 の解答か ら、

1次

ア)aタイプの解答 は、Xの変域を文字 を使 って表 し、その もとで変化 の割合 △y/△xの

値 を計算 して、それが定数 にな ることを示す ものであ り、文字式 の もつ一般性を使 った的確 な 証 明である。

この aタ イプの解答 は中

2で

今回の調査対象生徒 はいずれ も授業時 において、 この解答のよ うな文字式を使 った証明を と り 学年＼ タイフ・ _{al a2 a3} b ^C d ^e 計

中² 中³

０   １

４   ２０

１   ８

３   ９

43 41

・８  

・２ ２３

９ ８   ０

100 100

74 国 宗

あげて いるが、中

2で

3で

文字式 による論証 や図形 の論証 の学習 によって、証明の もつ一般性 に着 目 してい る生徒が増 え て いる結果 であると考え られ る。

なお、 alタ イプの解答 はわずか 1名 であ ったが、初 めか ら考 察対象 の 1次関数 を一 般 的 な

y=ax+bと

y=2x+3に

与 え られた命題 につ いて証明す るにとどま らず、よ リー般的な場 で証明 してい こうとい う態度 が身 につ いていることの現れであ る。

イ)bタ イプの解答 には、文字式を使 って説明 しよ うとい う構 えがみ られ る。上 に示 した解 答例

2の

p+1, p+2や

2pまで変化す ると した点で、やや一般性 に欠 けた ものになっている。また、解答例 3のよ う に、文字 を使 って はいるが、 Cタ イプの帰納的 な説明 との折衷案 のよ うな もの もあ る。

この タイプの解答 は、 このよ うな不十分 さはあるものの、

1次

ウ)Cタ イプの解答 は、い くつかの具体的な変域 の場合 に変化 の割合 を計算 し、それ らが一 致す ることを調 べて帰納的 に結論づ けるものであ り、中

2の

3の

2の

1次

その一方 で、「 文字式 による論証」や「 図形 の論証」の学習場面で は一般的に証 明す る ことが 強調 されて いる。同一 の学習者 にとって は整合性 の欠 けた もの と映 るので はなか ろ うか。帰納 的 な方法 によるこの解答 を大切 に しなが らも、 aタ ィプのよ うな文字を使 った解答 に も日を向 けさせ る必要 がある。

なお、 Cタ イプの解答を した生徒 が、い くつの変化の割合 を調 べて帰納的に結論 づ けて い る かを調 べてみ ると、表

2の

2の *の

_1ず

している。

表2 Cタ イプの解答 の分類 数値 は

%

学年＼個数 ^{6 5 4 3 2 *} 学年合計

中2

中³

2 ^７

３ ８   ８

10 15

３   ３

13 11

３   １ ４   ４

2つ

その変化 の割合 は一定である。」 と結論づ けて いるものが中

2で

3で

Cタ

1次

2つ

と認 めて しま うことは、小学校 での算数学習 な らば ともか く、数学学習上大 きな問題 が あ る と 考 え る。

その一方 で、

3つ

2で

2つ

ることが不安 だ ったのであろ うか。

子 ど もは「 命題が成 り立つ ことを一般的に説明す ること」をどのよ うにとらえているのかを、

解 明す る必要 がある。

工)dタイプの解答 は、Xの値が一定量ずつ増加す るときのyの増加量 が一定 であ る ことは 指摘 しているが、変化 の割合 についての記述 が見 られない ものであ り、「 変化 の割合 」 が何 を 意味 して いるかを十分 に とらえていない もの と考え られ る。

なお、 この タイプには、Xの_{値 が}

_1ず

オ)eタイプの解答 は、中2で23%,中 3で9%あった。不的確 で はあるが説 明 しよ うと し て いる意欲 は十分 に評価す る必要がある。

この タイプの解答 の中 には、次 のよ うな ものが複数 み られた。

「 y=2x+3を y=2xと _{して考え る。}y=2x→ _y/Ж

=2,分

yも

このよ うな解答 は、調査対象生徒 の授業者 の話か らす ると、

1次

1次

「y‑3は 2xに 比例 して いる」 とみ ることがで きる等 のよ うに、

1次

ととらえて いるもの もいる。

一方、次 のよ うに結果 だけを丸暗記 しているのではないか と考 え られ る解答 もあ った。

「 変化 の割合 は

y=ax+bの _aに

「y=2x+3の _2が変化の割合 だか ら一定。」

「 グラフに表す と直線 になる。Xの_係数

_2に

「 グラフは直線。

1本

このよ うな解答を した生徒 には問題 の意味が伝わ らなか ったであろ う。「変化の割合」概念 の学習の難 しさが現 れて いる。

ここで、以上 のよ うな解答 の結果 を、筆者 らが設定 した「 文字式 による論証能力の発達段階」

に対応 させて考 えてみ る。

「 文字式 による論証能力 の発達段階」 は次の通 りであ る。

<水準0>  無解答、あるいは、問題文を繰 り返 していたり、説明になっていない。

<水準I>  文字式を使わずに、具体的な数値をあげたり、ことばで説明 しようとす る。

<水準 Ⅱ>  文字式を使 うが、不適切 な使い方をす る。

<水準 Ⅲ>  文字式を使 って正 しく説明す る。

これは「文字式による論証」に対する能力の段階 として設定 したものであるが、関数 の内容 に関す る上の [問題1]の解答に対 して、その段階判定の基準 (詳細 につ いて は文献0参_照)

を援用 して考えてみると、以下のようにみなす ことができる。

aタ イプは水準Ⅲ^, bタ イプは水準 Ⅱ^,

C,d, eタ _{イプは水準}I,

国 宗

これ に基 づ いて、 [問題1]の解答 の学年別、段階別分布 を調べてみ ると、表3を得 る。 ま た、その推移 を図で表す と、図 1を 得 る。

表3「論証能力」の学年別分布

%

学年＼水準 ^{Ⅱ Ⅲ}

中² 中³

２     ２ ９     ６

３     ９

５   ２９

図1 発達段階別 の推移 表3から明 らかなように、中 2と 中 3と の分布の差には歴然 としたものがある。

「文字式による論証能力」に関す る既に実施 した調査結果めによれば、中

3の

3で

今回の [問題1]は関数 についてのものであり、それだけで難易度が増 していると考 え られ る か ら、その調査結果より正答率が低 くなるのは当然の結果である。それにもかかわ らず、水準

Ⅱ以上の中3生_徒が40%近 くもいるのであるか ら、変化の割合に関 して帰納的な考察だけで終 えている現在の中2での学習指導のあり方を再考す る意義 はあるものと考える。

2)問題

2に

[問題2]に対す る生徒の解答を、次のように分類 した。その内のA〜

Eタ

Aタ イプ い くつかの反例をあげて説明 しているもの。

Bタ

(解答例1)Xの値がpからqま で変化す るとして、変化の割合を計算すると、

3q2̲3p2̲3(q2̲p2) q̲p q̲p

よって、変化の割合 はpゃ qの値によって変わるか ら一定でない。

Cタ

Dタ イプ Xの値が

1ず

Eタ

Fタ

Gタイプ 無解答。

各 タイプ別の解答率 は、表4の通 りである。

表

4 

2の

%

学年＼ タイプ

A

C

G

中² 中³

23    2     1     31    17 49    32    6     7     2

・９

３ ７   １

100 100

[問題2]に対す る生徒 の解答か ら、関数y=3x2では変化 の割合が一定 でない ことを説 明 す る方法 につ いて、次 の ことが指摘 で きる。

_ 3(q+pXq-p)

- ^g(p+q)

q-p

ア)Aタイプの解答 は、反例をあげて命題が成 り立 たない ことを示す ものであ り、 [問題

2]

の解答 と して最 も的確 な方法 として位置付 けることがで きる。 このタイプの解答 は中

2で

い くつの変化 の割合を計算 して反例 としているかを調べてみると、表

5の

表5 Aタ イプの解答 の分類 数値 は

%

学年＼個数 7 6 5 4 3 2 学年合計

中² 中3

2 2 ^４ 

２

4 13

・ｌ   Ｍ

２３   ４９

最低限の反例 を挙 げて いる もの、つ ま り、

2つ

3で 34%と

また、

3つ

は、わずかであ るが

7つ

2つ

「 ある命題 が成 り立 たない ことを示す には反例 を 1つ 挙 げればよい」 とい う数学 での議論 の 進 め方 を、 もっと前面 に出 した指導 を明確 に位置付 ける必要がある。

イ)Bタ イプの解答 は、上 の (解答例 1)で示 したよ うに、Xの_値がpか _ら

qま

p+qま

2%,中

32%がこの解答 である。 [問題 1]に対す る解答 と同様 にまず文字式 を使 って変化 の割 合 を計 算 して、一定 であ るか ど うかを判断 した もの と考 え られ るが、成 り立 たない ことを示す に は

A

タイプの解答 のよ うな反例を挙 げればよい とい う点 につ いて、的確 には理解 して いない者 もい ると考 え られ る。

この

Bタ

%)は、文字式 を使 って説明す る一方 で、具体的な数値 で反例 を挙 げ る説 明 も併記 して い る。

これ らの生徒 の うち、計算 した変化 の割合 の個数が2個, 3個,4個であ った ものは、 それ ぞ れ

8%, 2%, 2%で

なお、

Bタ

ウ)Cタイプの解答 は、 グラフ上 で直観的に説明 しよ うと しているものである。 この解答 の 中 には、 グラフ上 で変化 の割合 の意味を説明 しているもの、つま り直角三角形 をか いてXの_増

加量 とyの増加量を示 しているもの と、単 に「 グラフが曲線 (放物線)だか ら」 と述 べ て い る だ けの ものがあ った。その割合 は、中

3で

2ではみ られなか ったが、まだ学習 して いなか ったか らであろ う。

なお、他 の タイプに分類 された解答 で はあるが、 グラフも使 って説明 していた者 が中2で14

%,中 3で30%いた。中3では、学習が進 み多面的な考察が可能 にな って いることを示 して い る もの と考 え られ る。