20世紀数学

ヒルベル トの問題か ら見た 20世 _紀数学

杉 浦 光夫 (津 田塾 大 ⁾

はじめに

20世紀数学は、勿論 19世 紀数学を受継いで発展 して来たのであるが、 この 1∞ 年の間に、自か ら 19世 紀 数学 と異なる特色を備えるに至つた。 この発展の相を、 1900年 に発表 された ヒルベル トの23の 問題の内の い くつかについて、具体的に明らかに したいというのが本稿の目標である。時間の制約から、ここでは第

1、 2、 5、 9問 _{題のみ を取上げる。}

第 5問 題 ヒルベル トの提出 した第 5間 _超は、

① リーの AL続 変換 :Iの ^Jll論 を、 1年 のわ (":1,び に作用を定義する関数の微分可能性または解析性の仮 定な しで、連続性のみを仮定 して展 ,Hす ることができるか」というものであった。

これに対し、フォン・ノイマンは、 1933年 に、実数の加法群が平面に、連続ではあるが微分可能でな い仕方で作用 し得ることを示 して、上の形の第 5問 題は否定的に解決されたのである。そ してそれ と同時 にフォン・ノイマンは当時導入されたばか りの位相辞の概念を用いて第 5問 題を次のように新 しく定式化 した。

② 位相リー群 G(位 _{相多様体である位相群 )は} 、傷 析的)リ ー群か」

そ して Gが コンパク トであるとき、この問題に肯定的な答を出した。ポン トリャーギン、シュヴァレー は、 Gが _{アーベル群、口 T解} 群のときも肯定的であることを示 した。

後 1948〜 49年 頃岩澤拠古とグリースンは、視野を広げ、局所コンパク ト群全体の中での リー群の位置 と 特徴付けを求める‖ ‖題として第 ^5‖ 1題 をとらえ直した。彼等の立てた問題は、次の形のものであつた。

③ 局所コンパク ト lFFCで 、小さい (jr規 )部 分群を合まないものは リー群である。」

④ 任意の局所コンパク ト群 Gは 、   リー lrの 射影極限となる開部分群を合むか」

③、④は 1952〜 53に グリースンと山辺英彦によつて肯定的に解決された。

②は③の一部と他の結果を合わせて、モンゴメリー・ジピンによつて 52年 に解決 した。

③に関し、   リー祥と対躊的な位置にあるのが、 p進 体 のような完全不連結な局所コンパ ク ト群で、単 位元の任意の近傍 は、 bll正 規部分群を合む。 ^1964年 にセールは、任意の完備付値体 ^k上 の解析的 リー群の 理論を作 り、このような lrに もリー環が定義され、 リー理論が成 り立つことを示 した。

これは、アルキメデス付 111と 非アルキメデス付値に共通なリー群論が存在することを示 したものであ り、

第 5問 題におけるリー irの 41F徴 付けとは別の視点を示 した点において注目に値する。

第 9問 題

第 9問 題は、 「代数体において、高次犠剰余相互法則を証明せよ Jと いう問題である。これはガウス以 来 ^19世 紀の代数的整数論の発展を推進 した問題であつた。それは適当に纂剰余記号を定義すれば、平方剰 余相互法則 と類似の形で高次幕剰余相互法則が成 り立つことを予想するものである。ヒルベル トは、代数 体 kの 絶対類体 (最 大不分岐アーベル拡大体 )Kの 存在を示 し、その基本的性質 を証明することによつて 相互法貝 1が 証明されることを予想 した。そ してこの路線に沿つて、フル トヴェングラーは、任意の奇素数

pに 対し、  1の p乗 根を合む代数体 kにおいて、p零濶除 相互法 11の 証明に成功 したのであつた (1909● )。

一方高木貞治は分岐する場合を も合む代数体の、アーベル拡大の一般論を、類体論という形で建設 した (1920年 )。 高本は類体の基本性質の一つとして次の同型定理をとらえていた。

代数体 kの 有限アーベル拡大体 Kの ガロア群 G=Gal(Klk)は 、 Kに 対応する合同イデアル類群 Hと _同型

である」   この ￨]型 定理‖ を フロベニ ウス ト

典を ^jllい 具 1/r的 に 与えた のが 、ア ルテ インの一般 相互 法員 ¹ (1∞ 7年 )で あ り、それか ら任意の 自然数 nに 対す る n幕 剰余相互法11が 直 ちに導かれる。 こ うして歴 史 的経緯か ら重要視 されて来た幕千」 余相互法則 は、アルテインの手に よつて構造的な一般相互法則の形に定 式化 され、代数体のアーベル拡大の]!論 機 ^i体 諭 )の 基本定理 とな った。 さらに類体論は、有限体上の 一 変数代数函数体で も成 り立つ ことが1930年 代に知 られた。

一方アルテインは、代数体 kの 任意のガ ロア拡大体Kと 、ガ ロア群 G=Gal(K/k)の 表現 fに 対 してアル ティンの L函 数 L(s、 K/k、 3を ^{定義 した。} K/kが アーベ ル拡大の とき、 Gの 既 約表現 χは1次 元で、 G

の指標に他な らない。 一般相互法則 1に よ り、  /は ^kに 対応す る合同イデアル類群 Hの 指標 と見な される の で この場合には、アルテ ィン

函数 1(s、 K/k、 χ )は 、  kに おけるヘ ッケの L函 数に等 しい。 これが一般 相互法則の解析的な表現である。

K/kが アー ベル拡大でな い ときの、ア ルテ ィン L函 数の これに対 応す る解析的 表現を求める こ とは、

1960年 後半か ら、 ラングランゾによる広大な研究 プ ログラムの 中で研究 されている。 こ うして ヒルベル ト の第 9問 題は、 ヒルベ ル トの予想 した枠を越 えて発展 した。

第 ^1、 2問 題

第 1問 題は、カ ン トールの集合論が残 した 」 1つ の 「り地、川 ^lち 「連続体仮説」 と「整列可能問題」の解 決 を問題 とす る。

1904年 ツェル メ ロは、選択公メ‖ (∧

)を 導入 して、任意の集合が整 列可能な ことを証明 した。逆に 整 列集合では、選択函数が 直ちに構成できるか ら、整列￢ r能 定■ 11と 選択公理は同値な命題である。 1908年 集 合論の公■ u系 が ツェル メロに よつて導人 され   の ちフレンケルに よつて置換公理が補われ、 ツェル メロ、

フレンクル (Z FC)集 合 論の公理系が成 立 した。 以下では ZFCか ら ACを 除いた ものを ZF集 合論 と い う。

1940年 ゲーデル は 「 ZF集 合論が無矛盾 な らば、それ は選択公理 また は一般連続 体仮説 (GCH)を 添 加 した体系 も無矛盾である」 ことを証り lし た。 さらに1964年 に、 コーエ ンは 「 ZF集 合論に対 し、 AC及

び GCHは 独立である」 ことを強制法によつて証明 した。 こ うして連続 体仮説 の正否 は、 ZF集 合論 を越 えた問題である ことが明 らかにな り、以後集合論の新 しい公■ lの 探求が盛んになつた。

第 ^2「 1題 は、 「突数論の無矛 ^llFl‖ :を 出 [り lせ よ」 とい う問題である。 ヒルベル トは、数学の各部門が公 理 系に よつて基礎付 けられ る と考え、その公理系の無矛盾性 を、いわゆる有限の立場に基いて証明す るこ と に よつて、数学の磁密なり It礎 付 けがで きる と信 じていた。

これに対 し、 ^1931年 ゲーデルは、不完全性定劇 ^!「 自然数論を合 むよ うな昴納的公理系 Tが _{無矛盾な らば、}

Tに おける閉論理式 1)で あ って、 Pも Pの 否定 も T内 では証明不可能であるよ うな ものが存在する」こ と を証明 した。 これ は誰 も予想 しなか つた意外な結果であつた。 これか ら導かれ る第二不完全性定理は、 無 矛盾性の証明に大きな原」 ^ll的 制約を訪 ^tす ものである。不完全性定理は公理化された数学の性格に対する深 い洞察に基づ くもので、数学本礎論に大きな形響を与えた。

まとめ

以上の Jllで もわかるよ うに、 ヒルベル トの F響 題には、 11:題 者の意図を越えた新 しい展開を示 した ものが

何題 もある。 これは 2()1世 紀になつて新たに発ル (し た新 しい分

(例 えば位相幾何学、多変数関数論、非線

型問題、確率過程論、大 ^llt解 析学、Ⅲ ^l純 祥の分野 i問 題等等 )と 共に、 20世 紀数学が、いかに 19世 紀数学か

ら離れてきたかを具体

lに 示 しているのである。