遺伝子発現のオン・オフ

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科研費特定領域研究「情報統計力学の深化と展開」平成年度研究成果発表会

遺伝子発現の確率ダイナミクス

笹井理生

名古屋大学大学院工学研究科計算理工学専攻

はじめに

細胞はメゾスコピックなシステムであり，細胞１個に含まれるは１分子程度，転写制御蛋白質は１種類当たり分子程度と数少ない．このため細胞内の化学反応は確率的ゆらぎを伴い，細胞はノイズに満ちたシステムとなっていると思われる．例えば，原核生物の遺伝子発現はにリプレッサー，アクチベーターなどの転写制御蛋白質が結合・解離することによって制御されているが，最近の実験技術の進歩はこの遺伝子発現は大きな揺らぎを伴う確率的現象であることを定量的に明らかにした．細胞は大きい揺らぎにどのように耐えているか，あるいはどのように揺らぎを利用しているかという生命科学の基本問題が浮き彫りになろうとしている．そして，このノイズに溢れたシステムで如何に生理機能がコントロールされているかを解明することは，統計物理学の重要な問題でもある．本稿では，１）遺伝子発現のオン・オフに伴う確率ダイナミクスを捉える理論について，すなわち少数の遺伝子からなる回路のスイッチングについて考えた後，２）遺伝子と蛋白質の作る比較的大きな生体分子ネットワークの確率ダイナミクスの安定性について議論したい．

遺伝子発現のオン・オフ

細胞が持つから個程度の遺伝子のうち，どれがオンになり，どれがオフになっているか？つまり，に転写され蛋白質に翻訳されるのはどの遺伝子か？という遺伝子発現の問題は細胞の分化，適応，

異常などを理解する上で欠かせない本質的な問題である．図と図には比較的単純な場合について，遺伝子発現制御の概略が示されている．ポリメラーゼと呼ばれる蛋白質複合体は遺伝子の近くのプロモーター領域と呼ばれるの領域に結合することができる．ポリメラーゼは分子モーターの一種であり，を消費しながらの２重らせんをほどいて移動して遺伝子の内容を転写したを合成する．

しかし，ポリメラーゼのプロモーターへの結合効率は，他の蛋白質がプロモーターにいかに結合しているかによって大きく変化する．例えば，リプレッサーと呼ばれる蛋白質はオペレーターと呼ばれる領域に結合するが，オペレーターはプロモーターと重なった領域であることが多く，オペレーターにリプレッサーが結合していると邪魔になってポリメラーゼはプロモーターに結合しにくくなり，転写の頻度は下がる．また，アクチベーターと呼ばれる蛋白質がプロモーター領域に結合するときもある．アクチベーターはプロモーター領域に結合するドメインのほかに，ポリメラーゼと結合するドメインを持つため，ポリメラーゼはアクチベーターに引き寄せられて，より高い確率でプロモーターに結合して転写の頻度が上昇する．このように，ある遺伝子が発現するかどうか，すなわち，遺伝子のスイッチがオンになるかオフになるかは，の調節領域にどのような蛋白質が結合しているか，あるいは，していないかで決められている．

このような機構をモデル化して理論的に扱うことが必要になったのは，遺伝子を大腸菌に組み込み，その発現の度合いを定量的に測定する実験が可能になったからである．大腸菌は細胞質中にプラスミドと呼ばれる短いのリングを持っている．このプラスミドに，人工的に設計された遺伝子回路を組み込んで

½

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図原核生物における遺伝子発現制御の機構．ポリメラーゼは上のプロモーター領域に結合して遺伝子のへの転写を開始する上図）．リプレッサーがオペレーター領域に結合して邪魔すると，

ポリメラーゼはプロモーター領域に結合できなくなり，遺伝子発現が抑制される（下図）．

図原核生物における遺伝子発現制御の機構その２．アクチベーターがプロモーター領域に結合すると

ポリメラーゼがリクルートされて遺伝子発現が活発化する．

大腸菌に注入し，その動作を観察するのである．その結果，同じ環境で生長する同じ遺伝子を持つ大腸菌の集団においても，個々の細胞の発現量にはかなりのばらつきがあることが定量的に示された．すなわち，

同じ遺伝子が同じ環境で発現しているにもかかわらず，遺伝子発現のゆらぎのために個々の細胞には個性が現れるのである．

図に単純化された遺伝子発現モデルが示されている．合成された蛋白質の個数をとし，リプレッサー蛋白質の個数をと書く．リプレッサーがオペレーターに結合する速度をの関数としてと書き，オペレーターから解離する速度をと書く．リプレッサーがオペレーターに結合している状態をと書き，結合していない状態をと書く．遺伝子が読み取られてが合成される速度をとするとである．ただし，１回が転写されると，平均個の蛋白質がバースト的に合成されると考える．に結合する蛋白質がリプレッサーでなくてアクチベーターであるときもモデルは全く同じで

と考えればよい．蛋白質が分解される速度は蛋白質の個数に比例しである．

時刻において状態がであり，細胞質中の蛋白質個数がである確率をとしてベクトルを考える．の変化が過程であるとすると，次のマスター方程式が成り立つ．

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図遺伝子発現のモデル．リプレッサー蛋白質の個数をとするとき，の関数という頻度でリプレッサーはプロモーターに結合する．

大腸菌のような原核生物では遺伝子スイッチのしくみが簡単である．このため転写因子のへの結合，解離も単純であり，蛋白質の個数が変化するより充分速いと考えてもよいかもしれない．この仮定のもとではの変化は非常に速いため，他の反応が進む以前に平衡に達しているとし，式をに関するマスター方程式に還元することができる．図のモデルにおけるパラメータとによって定数を考えると，では状態の変化が充分速いと仮定する断熱近似が妥当であると思われる．

のときは断熱極限とは逆の極限であり，の状態の変化が充分遅く，蛋白質の個数の変化は

状態の変化に追随する．のときは，リプレッサーが結合して遺伝子の発現が抑えられているときと，解離して遺伝子の発現が活発なときを別々に扱うことができる．前者では，蛋白質の個数の分布関数

は平均

のまわりに分布しており，後者では，蛋白質の個数の分布関数は平均

のまわりに分布しているであろう．熱力学のアナロジーを利用して，

および，という具合に，を定義すると，，は，を頂点として下に凸の形をした曲線となるはずである．，が図に模式的に描かれている．

，は物性物理や化学物理におけるポテンシャルエネルギー面に似た関数である．のときは，

細胞は蛋白質個数の増減とともに曲面の上，または曲面の上のどちらかを動いているが，リプレッサーがに結合する，またはから解離するとき，細胞は曲面から曲面へ，あるいは，逆に

曲面から曲面へ遷移する．一方，のときは，蛋白質の個数の増減より曲面間の遷移のほうが頻繁に生じるため，図のように曲面と曲面が混ざった平均のポテンシャル曲面を考えるべきである．こうして，の断熱極限との非断熱極限では，蛋白質の個数ゆらぎは異なった仕方で現れる．

これまで理論的に研究されてきたほとんどの遺伝子発現のモデルは断熱極限を仮定した理論であったが，

実際のバクテリアの中で断熱極限が成り立っているという保証はない．また，さらに複雑な染色体のダイナミクスを伴う真核生物の遺伝子発現ではの状態変化が遅く，むしろ非断熱的になっていると考えられる．断熱極限でもなく，非断熱極限でもない非平衡確率過程を表す数学的理論は未発達であり，本稿でも後

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図遺伝子発現の動作を表現するポテンシャル．横軸は合成された蛋白質の個数．のときは，

蛋白質個数の増減とともにシステムは曲面の上，または曲面の上のどちらかを動き，リプレッサーがに結合する，またはから解離するとき，システムはからへ，あるいは，逆にから

へ遷移する．のときは，蛋白質の個数の増減より曲面間の遷移のほうが頻繁に生じるため，

とは混ざって平均のポテンシャル曲面が作られる．

にこれを問題にしたい．

２遺伝子スイッチ回路

ここで，断熱極限から離れることによって遺伝子発現の様子が変わる例をひとつ紹介しておこう．図のモデルを拡張して図のような２遺伝子回路のモデルを考えることができる．遺伝子１のつくる蛋白質１の個数を，遺伝子２のつくる蛋白質２の個数をと書く．蛋白質１と蛋白質２の両方とも２量体になってからリプレッサーとしてプロモーターに結合するとすれば，蛋白質１がプロモーター２に結合する速度は

，蛋白質２がプロモーター１に結合する速度は

である．ここで簡単のために，

２つのプロモーターは同じ性質を持っていると考える．は蛋白質の個数の程度を表

図２遺伝子によるスイッチ回路のモデル．この回路は実際に大腸菌に埋め込まれ，双安定スイッチとしての機能を果たすことが示された．

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す量である．が大きいほど個数ゆらぎの効果は小さく，が小さいほど個数ゆらぎの効果が大きいと予想される．

図に対応するマスター方程式を数値的に扱うためには，!"##$"アルゴリズムが便利であり^%，図はその計算例である^&．との値に応じて，この遺伝子回路は様々な振る舞いを示すことが見てとれる．

が大きくてが小さい場合，とはほぼ同じ値をとりスイッチとしての役割を果たさない（図．

が大きくてが大きい場合，との２状態が安定になりシステムはその２状態をスイッチ的に移り変わる動作を示す（図．が小さくて非断熱的効果が効く場合，システムは３状態の間を遷移する複雑な動きを示す（図^'⁽．細胞は環境や自らの状況に応じてやをコントロールすることにより，多様な状態間の遷移を行っている可能性がある．

図２遺伝子スイッチ回路のシミュレーションで得られたトラジェクトリの例．を黒，をグレーの実線で表している．横軸は時間．それぞれのトラジェクトリの下に描かれた曲線は，対応するの分布を表す． ^' ⁽ ．文献^&より転載．

遺伝子発現ダイナミクスの理論

上記の数値シミュレーションで示されたような蛋白質個数の増減や状態変化のダイナミクスを見通しのよい理論で扱うことができれば有用であろう．現在までにつくられた理論のほとんどは，細胞ごとの遺伝子発現の静的なばらつきを記述する理論であった．細胞ごとの遺伝子発現ダイナミクスを追跡するための理論はほとんど未発達である．とりわけ，非断熱効果を正しく扱う見通しのよい理論はまだ存在しない．そこでこの課題に挑むために，最も簡単な例として，合成した蛋白質がその遺伝子にとってのリプレッサーである，という１遺伝子のネガティブフィードバック回路を取り上げて考えることから始めてみたい

) ．に結合せずに細胞質中に存在する蛋白質の個数をとするとき，マスター方程式は以下のよ

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うになる．

以降では，断熱パラメータと蛋白質個数の目安

の他に，

Æ

という具合にスケールした変数を扱うことにする．

式を扱うためには，蛋白質の個数の増減を生成消滅演算子と^Ý で表す方法を使うのが見通しが良い．と ^Ý は交換関係

Ý

を満たしている．この方法は土井によって拡散反応過程を扱うのに用いられ，文献によって遺伝子発現の問題に拡張された．この方法では，時刻の状態を

で表す．ここでは^Ý ，となる基底ベクトルであり，はの母関数として時刻におけるすべての情報を持っている．

*であるので

と規格化されている．この表現を用い，

さらにをとスケールし，ベクトル⁺

を定義すると，式はスピノール型の,-"#./"/01を用いて

+ 1+

と^2'34^("/5方程式に似た形で表現できる．ただし¹は

1

Æ

Ý

という演算子である．強い非平衡過程を考えていることに対応して，¹は非^-".型の演算子である．

時間順序積の演算子を用いて，

1

+ を考えると，の変分により２時間相関関数や応答関数など様々な期待値を計算することができる．量子力学のアナロジーを進めると，

を経路積分で表現することができる．

£

ここで，^£ ^£および^£はそれぞれ独立な時間の関数である．,65/5"/0は次のような関数となる．

£

Æ

£

Æ

£

式の経路積分のうち，最も重要な経路は変分^ÆÆ^ÆÆ^£^ÆÆ ^ÆÆ^£ を解いて得られる．これは^£ そして^£ というタイプの解をもち，とは次の式を満たす．

Æ

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Æ

%

ただし，およびであり，は状態がオンである確率，は状態がオフである確率，は状態がまたはであるときの細胞質中の蛋白質個数の期待値，と解釈することができる．この解釈のもとでとすれば，式^%は１遺伝子回路のモデルを表現する決定論的な（つまりゆらぎを無視した）化学反応速度論の方程式に帰着する．

ここでは，１遺伝子回路が定常的な振る舞いを示す状況を考え，式^%のの解として時間に依存しない解を採用する．さらに，この状況での動的な確率的ゆらぎを取り入れるために，定常解のまわりのゆらぎを⁷^!⁷ ^£⁷^!⁷ ⁷ ^£ ⁷^£ と取り入れることにする．

7と⁷^!は状態のゆらぎを表現する量であり，⁷ と⁷^£は蛋白質個数のゆらぎを表現する量である．式を⁷ ^!⁷ ⁷ および⁷^£ の２次まで展開することにより，式を最も確率の高い経路のまわりのガウス的ゆらぎで近似することができる．上に述べたように．⁷^!⁷ ⁷ および⁷^£を無視すれば，ゆらぎのない通常の化学反応速度理論に帰着するが，⁷と^!⁷を無視して⁷ と⁷^£を取り入れるのが，これまでの多くの遺伝子発現の理論で採用されてきた断熱極限の近似である．このときガウス型の経路積分は蛋白質個数の変動を表す^6/5"/方程式に変形できる．非断熱効果である⁷と^!⁷の効果が重要なときは単純な^6/5"/

方程式に帰着しない．⁷ と⁷^£は蛋白質個数が大きいとき，すなわちが大きいときに無視できると考えられ，⁷と^!⁷は断熱極限に近いとき，すなわちが大きいときに無視できると考えられる．従って，ここで採用している展開はとが大きい状況でよい近似となっている展開である．多体問題における多くの平均場近似がそうであるように，ここでの近似も定量的に信頼できるのは展開の正しさが保証されている

とが大きい領域であるが，この領域を超えてあるいはが小さい領域でも，定性的な問題について多くの予言を行うことができる．例えば，何らかの異常が生じて質的に異なった現象が起きうることについて，理論的な見通しを与えることができると期待される．

図^%は蛋白質個数のゆらぎの分散⁸蛋白質個数の平均で表されたゆらぎの強さについて，上記の方法で計算した結果と式を!"##$"アルゴリズムによって数値的に解いた結果を比較した図である．ゆらぎの強さの絶対値にはずれがあるが，２つの計算はともに付近でピークを持つ強いゆらぎが現れることを示している．

このガウス展開の方法を用いて種々の多時間相関関数や応答関数を計算することができる．蛋白質個数

図 ^% 分散⁸平均で表現した１遺伝子ネガティブフィードバック回路における蛋白質個数ゆらぎの強さ．経路積分をガウス近似して得られるゆらぎの強さ（左）とマスター方程式を数値的に計算して得られるゆらぎの強さ（右）．

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図^& １遺伝子ネガティブフィードバック回路における蛋白質個数ゆらぎの２時間相関関数から得られた緩和時間．単位は．経路積分をガウス近似して得られる緩和時間（左）とマスター方程式を数値的に計算して得られる緩和時間（右）．

のゆらぎの２時間相関関数を計算すると広いパラメータ範囲で相関関数は単一の指数関数で表現できるが，

とが小さい領域では振動成分を含む複雑な緩和を示し，緩和時間も非常に大きくなる．図^&は蛋白質個数の２時間相関関数を用いて定義された緩和時間についてガウス展開の方法による結果と!"##$"アルゴリズムによる数値計算の結果を比較した図である．ともに，とが小さい領域で異常があることを示している．

遺伝子数が増えて遺伝子回路の規模が大きくなると，!"##$"アルゴリズムによる計算は急速に難しくなる．ここで考えられた理論的な方法はそうした場合も含め，数値シミュレーションだけでは得られない見通しを与え，特に非断熱効果の及ぼす質的影響についての理解を助けると期待される．ここでその試みを紹介したような，平衡から遠く離れた非平衡条件下で非断熱効果を正しく取り入れる数学的理論は未発達である．しかし，遺伝子発現に留まらず，シグナル伝達など細胞内での非平衡プロセスでは異なるタイプの変数が非線形にカップルした反応機構により確率的に情報が処理されており，非断熱効果を適切に取り入れる理論の必要性が高いと思われる．

生体分子ネットワーク

ある遺伝子は他の遺伝子の発現を制御する蛋白質をコードしており，その遺伝子も別の遺伝子にコードされた蛋白質によって制御されている．このように，遺伝子はネットワークをつくっている．遺伝子ネットワークは細胞の分化を決定し，さらに分化した後の細胞の環境への適応を可能にし，細胞分裂のタイミングやその他の細胞リズムをコントロールしている．また，蛋白質どうしの相互作用も重要な制御の仕組みである．ある蛋白質は別の蛋白質をリン酸化し，その蛋白質を活性化したり不活性化したりするスイッチの役割を果たす．また，蛋白質どうしが複合体をつくったり解離するのもスイッチ的動作のひとつである．

さらに真核生物は，蛋白質をユビキチン化することによって分解を加速することもスイッチ制御の方法として利用している．こうした多様な相互作用ネットワークをモデル化した仕事を紹介したい．

ここで考えるのは，出芽酵母の細胞周期をコントロールするネットワークである．細胞周期とは，細胞が成長すると染色体の複製をつくり，分裂してふたつの細胞になるという周期的なプロセスである．図⁾に細胞周期の概要が説明されている．細胞は長く^!期で過ごすが，^2..と書かれた時点をすぎると細胞分裂を準備する²期に入り後戻りできない．²期ではの複製が行われる．その後，^!期を経て，期には２つの娘細胞への分裂が起き，分裂してできた細胞は^!期に移行して安定化する．各段階における重

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図 ⁾ 出芽酵母の細胞周期．^2..と書かれた時点を過ぎると安定な^!期を脱して細胞分裂のための準備が始まる．²期ではの複製が起こる．^!期と呼ばれる染色体の変動が比較的小さい時期を過ぎて期に入ると，染色体の整列と分離が起こり，細胞分裂を起こして^!期に戻る．

要なプロセスにはチェックポイントがあって，分子的な検閲が働くと考えられている．たとえば²期の終わりには，複製が完了したかというチェックが分子によって行われ，このチェックがないと²期から^! 期へ移行できない．そこで，これらのチェックポイントを⁹^9:: などと名づけることにする．

細胞周期をコントロールしている蛋白質と遺伝子については実験データが蓄積している．こうしたデータを要約して蛋白質と遺伝子の相互作用ネットワークとして表したのが図である．この図のように，リン酸化，脱リン酸化，ユビキチン化，複合体形成などの作用を及ぼしあって，蛋白質は互いに相手の活性や個数をコントロールしている．いくつかの蛋白質は転写因子として他の蛋白質の個数を制御している．また，チェックポイントの通過によりこのネットワークの一部が変更を受け，ある時期にのみ働く相互作用があると考えられる．このネットワークに含まれるの遺伝子および種類の，そして対応する蛋白質の個数と状態を変数として，それらの時間変化を追跡するモデルを考える．図に従ってこれらの遺伝子，，蛋白質どうしの反応の確率過程を，対応するマスター方程式で記述する．個々の変数はガウス分布に従ってゆらいでいると仮定し２次のキュムラントで切断すると，マスター方程式は蛋白質の個数，およびの個数のガウス分布を特徴付ける分散と平均の従う連立微分方程式となる．このモデルは多くのパラメータを持つが，モデルの目的は実験データを詳細に再現することではない．細胞周期の安定性の原因についての論理を見つけるためである．そこで，パラメータとしては反応のタイプごとに共通の値に揃えた値を用い，これらを微細に調節することはしない．むしろ，モデルの中でパラメータを大きく変化させて，それでも変わらない性質に着目することにする．

このモデルでは，チェックポイントの通過，の複製，細胞分裂など図より範囲の大きな細胞全体に関わるイベントは自律的に変動する力学変数としてではなく，微分方程式の外から与える条件として扱っている．例えば，解くべき連立微分方程式は，チェックポイントを通過するたびにその時期に特有な相互作用を含むように，少しずつ異なった項を持つと考えているので，モデルの作成者が与えたタイミングでシステムがチェックポイントを通過すると各分子の個数の平均と分散はそのたびに少しずつ異なった運動の仕方で変化するようになる．従って，チェックポイントを通過するタイミングと微分方程式に従った運動のつじつまがあっていなければ，細胞は安定な周期運動を続けることができない．

ただし，実際の細胞ではチェックポイントの通過の仕方は細胞ごとに異なり，大きくゆらいでいる可能性がある．そこでモデルにおいても，チェックポイントを通過するタイミングはある幅でゆらいでいると仮定する．このような確率的に変動するタイミングでチェックポイントを通過しても，それでもなおつじつまのあった仕方でネットワークの運動が続いてゆくかどうかがモデルを使って調べたいことである．また，細胞分裂の際にや蛋白質は２つの娘細胞に分配されるのであるが，その順番とタイミングも確率的にゆらいでいると考える．すなわち，このモデルではネットワークに含まれる確率過程としての化学反応による

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図出芽酵母の細胞周期を制御する生体分子ネットワーク．図中の丸は遺伝子とそれを転写して得られる，翻訳して得られる蛋白質をまとめて表している．丸の間の線はリン酸化，脱リン酸化，ユビキチン化，そして複合体形成などの作用を表している．濃い実線は転写制御作用である．線の先が矢印になっている作用は，相手を活性化させる作用．先が小丸になっている作用は相手を不活性化させる作用である．

点線はあるチェックポイントからあるチェックポイントの間だけ限定的に働く作用．文献から修正して転載．

内在的なゆらぎとともに，ネットワークを超えた細胞レベルのゆらぎを含んでおり，前者をマスター方程式の近似計算により取り扱い，後者をチェックポイントの到来する時間，複製におけるタイミング，細胞分裂の際の分配の仕方のゆらぎとして取り扱っている．

図は，このモデルに含まれる蛋白質のうち３つに注目して，その平均個数の時間変化を追跡した図である．大きく異なる初期値から出発してもトラジェクトリは狭い領域に吸引され，ほぼ周期的に変動する．

すなわち，このモデルで表される細胞周期のサイクルは非常に安定で，大きく周期からはずれるようなことがあってもトラジェクトリは１周期のうちに，もとの振る舞いに戻る．また，実験データから想像される値を中心に各パラメータを１けたほど値を変えても，定性的な振る舞いに変化がない．このように，このモデルにおける概周期的な運動は非常に安定であり，パラメータの値の変化に敏感でないことが示された．

このような安定性と頑健性はどこに起因するのであろうか？これは，計算の中で意図的にチェックポイントの到来を遅らせると明らかになる．各時期でチェックポイントの到来が遅れると，細胞レベルの確率的ゆらぎによりばらけていたトラジェクトリは収束し，各分子の個数およびその分布の分散はそれぞれの時期に固有な定常値に接近する．チェックポイントを通過して異なる時期に入ると相互作用の様式が変更を受け，

方程式の形が変化してそれまでの定常点は不安定化し，新しい定常点が現れる．トラジェクトリはその新しい定常点に向かって動き出す．こうした定常点への収束と定常点の移動が次々に生じて，周期的な運動が実現しているのである．定常点が広い吸引領域を持つため周期運動も安定であり，定常点の安定性がパラメータ変化に対して頑健であるため運動も頑健である．ネットワークの構造がこうした安定な収束を可能にしていると思われる．

本稿では，前半で１遺伝子，２遺伝子からなる小さな回路の確率ゆらぎの特性を定量的に扱う理論を紹介し，後半では１３遺伝子の比較的大きな回路の安定性を扱う理論を考えた．統計力学の方法や知識と分子生物学の技術的な革新が相俟って，これから魅力的な新しい分野が展開してゆくと予想される．

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図細胞周期に伴う蛋白質個数の変動．モデルの中で区別された３つの蛋白質の平均個数の変化のトラジェクトリ．初期値の異なる１０本のトラジェクトリが重ねて描かれている．白丸が初期値．異なる初期値から出発しても，トラジェクトリは図中央のドーナツ状の領域に吸引され，ほぼ周期的に振動する．文献

から転載．

参考文献

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