名前 ( ）
例題
集合の要素の個数
集合の要素の求め方
ただし， は全体集合
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) n(A ) = n(U ) − n(A)
U全体集合を
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}n(U )
とし，
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 7, 8}
その部分集合を
n(A ∪ B)
(1) UAA BBn(A) + n(B) − n(A ∩ B)
UAAAA BBB
n(A ∩ B) n(A ) n(U ) − n(A)
UA UA
UA UAUA
とするとき，次の各問いに答えなさい。
解
数字が 10 個あるので， n(U ) = 10
UA B 45 12
3 7
8
69 10
(2)
n(A )
(3)n(A ∩ B)
(1)
(2)
全体集合 の中で，部分集合 では ない集合。つまり，
U A
n(A ) = n(U ) − n(A) = 10 − 5 = 5
UA A
(3)
A, B の共通の数字が {4, 5} なので，
例題３
n(A∩ B)
例題２
n(A∪B)
集合の要素の個数
全体集合を
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}とし，
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 7, 8}
その部分集合を
を求めなさい。
とするとき，
全体集合を
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}とし，
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 7, 8}
その部分集合を
を求めなさい。
とするとき，
名前 ( ）
解
UA B
45 12
3 7
8
69 10
解
UA B
45 12 3
7 8
69 10
なので，
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}
よって，
A ∪ B = U − A ∪ B = {6, 9, 10}
n(A ∪ B) = 3
なので，
A = {6, 7, 8, 9, 10}, B = {4, 5, 7, 8}
よって，
A ∩ B = {7, 8}
n(A ∩ B) = 2
例題１
倍数の個数
1
〜100 までの自然数のうち， 3 の倍数の集合を ， 5 の倍数の集合を とするとき，次の個数を求めな さい。
A B
名前 ( ）
(1) (2)
n(A )
(3)n(A ∩ B)
解
n(U )
(1) U は全体の集合なので，1 〜100までの数の個数になる。
n(U) = 100
(2)
全体集合 の中で，部分集合 ではない集合。
まず， の集合の個数（ 3 の倍数の個数 ）を求める。
U A
A
n(A) = 33
あまり なので，
100 ÷ 3 = 33 1
n(A) = n(U)−n(A) = 100−33 = 67
よって，
(3) n(A ∩ B) は 3 の倍数かつ 5 の倍数なので，
集合の要素の求め方
ただし， は全体集合
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) n(A ) = n(U ) − n(A)
Un(A ∪ B)
UAA BB
n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
UAAAA BBB
n(A ∩ B) n(A ) n(U ) − n(A)
UA UA
UA UAUA
例題２ 例題３
倍数の個数
名前 ( ）1
〜100 までの自然数のうち， 3 の倍数の集合を ， 5 の倍数の集合を とするとき， を求め なさい。
A B n(A ∩ B)
1
〜100 までの自然数のうち， 3 の倍数の集合を ， 5 の倍数の集合を とするとき， を求め なさい。
A B n(A ∪ B)
なので， を求める。
n(A∪B) = n(U)−n(A ∪B) n(A ∪B) n(A∪B) = 33 + 20 −6 = 47
よって，
n(A∪B) = n(A) +n(B)−n(A ∩B)
解 解
n(A∪B) = 100− 47 = 53
よって，
（例題１より）
なので， を求める。
n(A ∩B) = n(U)−n(A ∩B) n(A ∩B) n(A ∩B) = 6
n(A ∪B) = 100− 6 = 94
例題
集合の応用
あるクラスの生徒 42 人に，学校への通学方法のアンケート をおこなった。すると，徒歩の人が 17 人，バスの人が 13
人，徒歩とバスの両方の人が 6 人いた。このとき，徒歩もバ スでもない人は何人いるか求めなさい。
名前 ( ）
解
ド・モルガンの法則 このクラスの生徒の集合を ，徒歩の人の集合を ，U A
バスの人の集合を とすると，B
n(U) = 42, n(A) = 17, n(B) = 13, n(A ∩B) = 6
徒歩もバスでもない人は A ∩ B
すなわち，
A∪B n(A∪B) = n(A∩B)
なので， を求める。
A∪B = n(U)−n(A∪B) n(A ∪B) n(A∪B) = 17 + 13−6 = 24
n(A∪B) = n(A) +n(B)−n(A∩B) よって，
ド・モルガンの法則
UAA BB U
A B
n(A ∪ B) = n(A ∩ B ) , n(A ∩ B) = n(A ∪ B )
n(A ∪ B)
UAA BB UAA BB UAA BB
n( A ∩ B )
n(A ∩ B)
UA B U
A B
UA B U
A BB UA
A BB A
n( A ∪ B )
UAA BB
UA B
