A
2 5 7
名前 ( ）
集合と要素
１
集合に関する語句
例題
素数の全体集合を とする。このとき，次の□
に適する記号 または を入れなさい。
A
∈ ∉
例
・物や数の集まり …（ ）集合
・集合の中の文字や数字 …（ ）
・ある数や文字が集合の要素であること …（ ） 要素
属 が集合 に属している(要素である)ことを
x A
A x
y
x
イン∈ A
が集合 に属していない(要素でない)ことを
y A
y
ノットイン∉ A
集合：
要素：
A
2, 5, 7
は集合 の要素なので，
2 A
2 ∈ A
は集合 の要素ではないなので，
9 A
9 ∉ A
(3)
(1)
5 □ A
(2)2 □ A − 3 □ A
記
記
素数 … １またはその数でしか割れない数のこと 解
（例）2，3，5，7，11，13，…
(3)
(1)
5 □ ∈ A
(2)2 □ ∈ A − 3 □ ∉ A
A
2 5
7 3 11
−
2
−
10 1
3
5
1
2 A
練習問題１ 練習問題２
集合と要素
１
整数の全体集合を とする。このとき，次の□
に適する記号 または を入れなさい。
A
∈ ∉
(1)
8 □ A
(2)□
(3)0 □ A
− 6 A
奇数の全体集合を する。このとき，次の□に 適する記号 または を入れなさい。
A
∈ ∉
(1)
3 □ A
(2)□
(3)0.3 □ A
名前 ( ）
整数 … ０に１を次々と加えたり，引いたりしてで きる数
解
（例）⋅ ⋅ ⋅, −2, −1,
0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅
(1)
8 □ ∈ A
(2)1 2 □ A
A
−
2
−
4 10 0 5
0.6
−
1.5 1
3
0 □ A
(3)
∈
∉
奇数 … 整数の範囲で 2 で割り切れない数 解
（例）⋅ ⋅ ⋅, −3, −1, 1, 3, ⋅ ⋅ ⋅
A
3 1
−
3
−
7
−
2 6 3
8
− 6 A
(1)
3 □ ∈ A
(2)□ ∉
(3)0.3 □ ∉ A
集合の表し方
２
２通りの集合の表し方
例題
次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。
集合をAとする
(2)
⟹
（ ）A = { }
(1) ｟ パターン１｠集合の要素を( )書き並べるすべて A = {◯, ◯, ◯, ◯, ⋅ ⋅ ⋅}
｟ パターン２｠
要素の( )を書く
A = {x|x }
例
満たす条件
を満たす条件
集合を「嵐」とし，
その要素を「大野，櫻井，松本，二宮，相葉」とする
｟ パターン１｠嵐 ＝ { 大野，櫻井，松本，二宮，相葉 }
｟ パターン２｠嵐 ＝ { x | x 嵐のメンバー }
36 の正の約数全体の集合 A A
= {x
|xは10以下の正の奇数}
記
記
名前 ( ）
解
(1) 36 の正の約数全体の集合 A は，
A = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }
(2) A
= {x
|xは10以下の正の奇数}
A = { 1, 3, 5, 7, 9 }名前 ( ）
練習問題１ 練習問題２
２ 集合の表し方
次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。
(2)
(1) 24 の正の約数全体の集合 A A
= {2x + 1
|x= 1, 2, 3, 4, 5}
次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。
(2)
(1) 20 以下の正の奇数全体の集合 A A
= {x
|xは10以下の正の偶数}
解
(1) 24 の正の約数全体の集合 A は，
A = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
(2)
A = { 3, 5, 7, 9, 11 }
x = 1, 2, 3, 4, 5 をそれぞれ 2x + 1 に代入する 解
(1) 20 以下の正の奇数全体の集合 A
A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }
(2)
A = { 2, 4, 6, 8, 10 }
10 以下の正の偶数は，2, 4, 6, 8, 10 なので，
名前 ( ）
部分集合
３
部分集合と空集合
例題１
(2) (1)
A ⊂ B
例
嵐 ＝ { 大野，櫻井，松本，二宮，相葉 }(3)
・ある集合の中にある集合 …（ ）部分集合
記 B
A
・要素が一つもない集合 …（ ）空集合
ϕ
記
※ 空集合もある集合の部分集合の一つになる
＝どんな集合も必ず( )を含む空集合
ユニット ＝ { 大野，櫻井 }
⊂
嵐ユニット
嵐
ユニット 大野 櫻井 松本二宮
相葉
(1)
(2) ユニットの部分集合は，
ϕ
，{大野}，{櫻井}，{大野，櫻井}のとき，次の□に適する A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 6},
C = {x|xは 6 の正の約数}
記号 ， ， のいずれかを入れなさい。⊂ ⊃
=
□
A B B
□
C C□
Aイン
解
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 1, 2, 3, 6 }, C = { 1, 2, 3, 6 }
(2)
(1) A
□ ⊃
B B□ =
C (3) C□ ⊂
A例題１
A = { 1, 2, 3 }
の部分集合を答えなさい。
,
{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
ϕ 解
名前 ( ）
練習問題１ 練習問題２
３
次の集合の部分集合を，すべて書きなさい。
(2)
(1)
{a,
b, c}各問いの２つの集合関係のとき，次の□に適する
(2) (1)
部分集合
記号 ， ， のいずれかを入れなさい。
⊂ ⊃ =
A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅, 10}
□
A B
P = {2, 4, 8}, Q = {x|xは 16 の正の約数 }
□
P Q
{1, 5}
解
(1) A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
□
A ⊂ B
(2) P = {2, 4, 8}, Q = {1, 2, 4, 8, 16}
□
P ⊂ Q
解
(1)
(2)
,
{1}, {5}, {1, 5}
ϕ
ϕ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}
部分集合には, 必ず空集合(φ)
が含まれる
名前 ( ）
共通部分と和集合
４
共通部分と和集合の考え方と表し方
例題
(1) (2)
例
・ある集合とある集合のどちらにも属する集合
共通部分
記
（ ）
A B
重なった部分
A
かつ (キャップ)∩ B
・ある集合とある集合の少なくとも一方に属する集合
記
（ ）
A B
合わせた部分
または (カップ)
和集合
A ∪ B
A B
1 2 A ∩ B = {3}
A ∩ B = {1, 2, 3}
3
について，次の A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}
集合を求めなさい。
A ∩ B A∪B
A B
A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}
(1)
解
(2)
2 6
1 3
5
9 7
= {1, 3}
A ∩ B
= {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}
A ∪ B
名前 ( ）
練習問題１ 練習問題２
４ 共通部分と和集合
(1) (2)
A = {1, 2, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, C = {1, 3, 5}
について，次の集合を求めなさい。
A∩ B A∪B (3) B∩C
は実数 ， は 実数 について，次の集合を求めなさい。
A = {x|0 < x < 2, x } B = {x|1 ≦ x ≦ 4, x }
(1) A ∩ B (2) A∪B
解
A = {1, 2, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, C = {1, 3, 5}
A 7 B
8
1 2
3 5
4 6
B 2 C
4 1
6 5 3
(2) (1)
A ∩ B A ∪ B
(3)
= {1, 2}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1 2 x
0
解
3 4
A
B
(2) (1)
A ∩ B A ∪ B
= { x | 1 ≦ x < 2, x は実数}
= { x | 0 < x ≦ 4, x は実数}
名前 ( ）
補集合
５
補集合の考え方と表し方そして性質
例題
・すべての要素を含む集合
記
（ ）
U
A A∪B・ある集合 A に属さない集合
（ ） 全体集合
補集合
記
A
U A A
集合 以外の集合A
【 補集合の性質 】
[１] [２]
[３] [４]
U A
A ∩ A = ϕ
A 共通部分
(重なり)がない
A∪ A = U
U A A 合わせた部分
が全体になる
A = A
U A A
ではない集合 A
A ⊂ B ⇒ A ⊃ B
UB A のほうが
より大きくなる
A B
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2) A∪B (3)
(1)
U A
5 13
4 2
解
A B
A B
(1) (2)
(3)
U
U
B 6
A = {2, 4, 6} A ∪ B = {4}
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
5 13
4 2
6
5 13
4 2
6
名前 ( ）
練習問題１ 練習問題２
補集合
５
A∩ B A∩ B
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2) A∪B (3)
B A ∩B (1)
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2) A ∩ B (3)
(1)
U A
5
4
2 A B
A B
(1) (2)
(3)
U
U
B 6
A ∩ B = {2, 4, 5, 6} A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
5
4 2
6
5 13
4 2
6 U
A
5 13
4
2 A B
A B
(1) (2)
(3)
U
U
B 6
B = {4, 5} A ∩ B = {4}
5 13
4 2
6
5 13
4 2
6
解 解
13
13
ド・モルガンの法則
UAA BB U
A B
A ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B
A∪B
UAA BB UAA BB UAA BB
A B∩
A∩ B
UA B U
A B
UA B
A B∪
UA B
名前 ( ）
ド・モルガンの法則
６
例題
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2) (3)
(1) A∪B A∩ B A∩ B (4)
逆 逆
逆 逆
A∪ B
UAA BB A B
(1) U
A ∪ B = {4}
5
4 2
1 6 3 解
A B
(3) U
A ∩ B = {2, 4, 5, 6}
5
4 2
1 6 3
(2)
(4)
ド・モルガンの法則より,
A ∪ B = A ∩ B ,
よって,
A ∩ B = {4}
ド・モルガンの法則より,
A ∩ B = A ∪ B ,
よって,
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
名前 ( ）
練習問題１ 練習問題２
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2) (3)
(1) A∪B A ∩ B A∩ B (4) A∪ B
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2) (3)
(1) A∩ B A∪B A∪ B (4) A ∩B
ド・モルガンの法則
６
A B
(1) U
A ∪ B = {4}
5
4 2
1 6 3
A B
(3)
U
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
5
4 2
1 6 3
(2)
(4)
ド・モルガンの法則より,
A ∩ B = A ∪ B ,
よって,
A B
(1) U
A ∩ B = {4}
5
4 2
1 6 3
A B
(3) U
5
4 2
1 6 3
(2)
(4)
ド・モルガンの法則より,
A ∪ B = A ∩ B ,
よって,
A ∪ B = {4}
ド・モルガンの法則より,
A ∩ B = A ∪ B ,
よって,
解 解
ド・モルガンの法則より,
A ∪ B = A ∩ B ,
よって,
確認テスト
１
２
３
４
Tー１
(1) (2)
確認テスト
名前 ( ）素数の全体集合を とする。このとき，次の□
に適する記号 または を入れなさい。
A
∈ ∉
(3)
(1)
5 □ A
(2)2 □ A
− 3 □ A
次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。
(2)
(1) 36 の正の約数全体の集合 A A
= {x
|xは10以下の正の奇数}
(3)
(1) (2)
(1) (2)
(3)
のとき，次の□に適する A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 6},
C = {x|xは 6 の正の約数}
記号 ， ， のいずれかを入れなさい。
⊂ ⊃ =
□
A B B
□
C□
C A
(1) (2) (3)
A = {1, 2, 3}の部分集合を答えなさい。
∈
∈
∉
A
= {1, 3, 5, 7, 9}
A
= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
⊃
=
⊂
,
{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
ϕ
確認テスト
５
６
７
Tー１
(1) (2)
確認テスト
名前 ( ）(1) (2) (3) (2)
(1)
について，次の A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}
集合を求めなさい。
A∩ B A∪B
A
A∪B
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2)
(3)
A∪B
(1)
(1) (2) (3)
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2)
(3) (1)
A ∩B (4)
A∪B A ∩B
A∪B
(4)
{1, 3}
{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}
{2, 4, 6}
{4}
{2, 4, 5, 6}
{4}
{4}
{2, 4, 5, 6}
{2, 4, 5, 6}
確認テスト
１
２
３
４
(1) (2)
確認テスト
名前 ( ）奇数の全体集合を する。このとき，次の□に 適する記号 または を入れなさい。
A
∈ ∉
(3)
(1) (2)
のとき，次の□に適する
記号 ， ， のいずれかを入れなさい。
⊂ ⊃ =
A = {1, 5} の部分集合を答えなさい。
Tー２
− 6 A
□
3 A □
□
0.3 A
20 以下の正の奇数全体の集合 A A
= {x
|xは10以下の正の偶数}
次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。
(2) (1) (3) (1) (2)
A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅, 10}
A □ B
∈
∈
∉
A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 } A = { 2, 4, 6, 8, 10 }
⊂
,
{1}, {5}, {1, 5}
ϕ
確認テスト
５
６
７
(1) (2)
確認テスト
名前 ( ）(1) (2) (3) (2)
(1)
について，次の集合を求めなさい。
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2)
(3) (1)
(1) (2) (3)
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2)
(3) (1)
(4) A ∩B A∪ B A ∩ B
A∪B
(4)
Tー２
A = {1, 2, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, C = {1, 3, 5}
A∪B B∩C
B
A ∩B A∩ B
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
{1, 3, 5}
{4, 5}
{4}
{2, 6}
{4}
{4}
{2, 4, 5, 6}
{2, 4, 5, 6}
確認テスト
１
２
３
４
(1) (2)
確認テスト
名前 ( ）整数の全体集合を とする。このとき，次の□
に適する記号 または を入れなさい。
A
∈ ∉
(3)
(1) (2)
のとき，次の□に適する
記号 ， ， のいずれかを入れなさい。
⊂ ⊃ =
の部分集合を答えなさい。
次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。
(2) (1) (3) (1) (2)
Tー３
1
2 A
□
8 A □
□
0 A
24 の正の約数全体の集合 A A
= {2x + 1
|x= 1, 2, 3, 4, 5}
P = {2, 4, 8}, Q = {x|x は 16 の正の約数}
□
P Q
{a,
b, c}∈
∉
∈
A
= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24,}
A
= {3, 5, 7, 9, 11}
⊂
ϕ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}
確認テスト
５
６
７
(1) (2)
確認テスト
名前 ( ）(1) (2) (3) (2)
(1)
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2) (1)
(1) (2)
であるとき，次の集合を求めなさい。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 6}
(2)
(3) (1)
(4)
A ∩ B A∪B
A ∩B A∪B
(4)
Tー３
は実数 ，
は実数 について，次の集合を 求めなさい。
A
= {x
|0 <
x< 2,
x}
B= {x
|1
≦ x ≦4,
x}
A ∩ B A∪B
A∩ B A∪B
{x|1 ≦ x < 2, x は実数}
{x|0 < x ≦ 4, x は実数}
