数学入門 No.7 2010.11. 16
2. 集合 数の集合，実数とは
担当：市原• 数（かず、すう） と 数字
数・・・数量などを表す為に用いられる [ ] 数字・・・数を表すのに用いる[ ]
注意）
おなじ「数」（概念）を表すにも、いろいろな数字（表し方）がある。
（[ ]と[ ]、分数と小数）
数学教育における「数」の機能のちがい（[ ]と[ ]）
• 自然数の定義（[ ]の公理（1891））
次の条件を満たす集合Nを、「自然数の集合」とよび、その要素を自然数という。
(1) 1 という要素が存在する
(2) 各要素 n に対して「次の要素」と呼ばれる要素 n0 がただ一つ存在する (3) 任意の要素 n に対して、n0 6= 1 である
(4) n0 =m0 ならば n=m である (5) 部分集合 M について、
1∈M かつ「n ∈M ⇒n0 ∈M」が成り立つならば、M は全体集合である
• 実数の定義（１）[デデキントの切断（1872）] Nから「四則演算（＋ − × ÷）」を使って、
「整数の集合Z」および「有理数の集合Q」が定義される その有理数の集合Qの部分集合で、
A∪B =Q, A∩B =∅，∀a∈A,∀b ∈B ⇒a < b を満たす A と B の組（順序対）の集合
{ (A, B) | A と B は上の条件を満たす }
を実数の集合といい、その要素を 実数という。
このような集合の組を[ ]という
• 実数の定義（２）[上限と下限の存在]
四則演算と順序（不等号）が定義された集合Sを考える。
集合S の部分集合 A に対して
x∈S s.t. ∀a ∈A, x=a となる x を S の上界という。
上界の最小値を[ ]といい、[ ]で表す。
同様に、下界と下限（infA）を定義する。
四則演算と順序（不等号）が定義された集合Sの部分集合 A に対して Aの上界が ∅でない ⇒ ∃supA
Aの下界が ∅でない ⇒ ∃infA がいつでも成り立つとき、
Sを実数の集合といい、その要素を実数という。
• 実数の定義（３）[ ]
有理数の集合から、[ ]をつかって、実数を定義する方法も ある。
次を満たす数列{an} を[ ]という。
∀ε >0に対して、
∃N ∈N s.t. ∀n, ∀m > N ⇒ |an−am|< ε 詳しくは、微分積分学で・・・
