ランダム・データをメッシュ・データに変換する一方法

4

7

ラ ン ダ ム @ デ ー タ を メ ッ シ ユ @ デ ー タ に 変 換 す る 一 方 法

日

置

伸

-ーホ

A Method f

o

r

Transforming Randam Data t

o

Mesh Data

S

h

i

n

i

c

h

i

HIOKI

計算機で各種の情報処理を行なう際，その内容は二次元または三次元の問題を扱う事が多くなって来てい

る.即ち，一次元の数値ではなくパターンを処理する事が極めて多い.

パターンを処理する場合

p

そのデータはメッシュ状になっていると扱い易い場合が多いが， これ等のデー

タ(計算結果を含めて)はメッシュ状になっていない場合が多い.

本文では，メッシュ状になっていないデータをメッシュ(じする一方法について述べるもので，格子点の近

傍の

4

データからほぼ線形的な補聞をするものであり，作成したプログラムは計算時聞をメッシュ数にのみ

に比例するような配慮をした.

1

まえがき

工学的分野に計算機を用いた場合，その計算結果を図

形として出力する場合が多くなって来ている.これは，

人聞にとって莫大な震の数字のリストよりも図形の方が

より望ましい場合が多い為と思われる.

通常，一変数の場合にはグラフが用いられ，二変数の

場合には等高線図か立体図が用られるのが普通で，三変

数以上の場合には或る変数をパラメータとして等高線図

.立体図を用いる.

等高線図や立体図を描く場合，そのデータ(二変数の

一価関数

Z

ニ

f(x，

y

)

)は格子点上で与えられると等高

線図・立体図が描き易いが，工学的問題に限らず必ずし

も格子点上のデータ(計算結果)が得られるとは限らな

い.この場合，参考文献(

1

)

の

J

慌に格子状になっていない

データ(計算結果)をそのまま処理して図形出力する事

も行なわれているが，一般的にはその処理が大変な場合

が少なくなし計算結果を次の計算処理の入力として用

いる場合などにはやはり格子点上のデータとして与える

万が好ましい場合が多い.

そこで筆者は，格子状になっていないデータ(これぞ

ランダム・データと仔ぶことにする〉を格子状のデータ

(メッシュ・データと呼ぶことにする)に変換する方法

を試みた.

一例をあげると，或る電極系での電位分布を計算する

時，等角写像、法を利用すると，とてもきれいな等電位線

を得る事ができるが当然そのデータ(計算結果)はメッ

*電子工学科

シュ状になっていないので乙のデータから立体図を描く

のは容易では芯いのが普通である.また，地形などは地

図をはじめ航空測量等によって等高線図は得やすいが，

ζ

れをメッシュ状のデータとして得る事は困難である.

計算機で二次元の情報与を扱って何等かの処理をする場合

には，そのデータがメッシュ状にと

r

っていると都合のよ

い場合が多い.

或る一つの格子点上の値

(Zm

二

f(Xm

，

Ym) ;

Xm

，

y

皿は

規則的な値をとる

xm=n

x 0

L

1

x

，

Ym=ny

d

L

1

y

，

n

X

，

ny

整数)を計算するには，入力されたランダム・デ{タの

一部又は全部を用いる事になるが，筆者は格子点を囲む

4

点のランダム・データ任用いて計算するのが適当で、あ

ろうという結果を得た，ただし，当然の結果として変換

されたデータには滑めらかさという点に難点が残る.

以下 ，

I

I

で格子点を囲む

4

点を用いるに至った過程を

述べ，

m

でそのプログラムについて述べる.また，

I

Vで

適用例を示す.

I

I

-格子点の値を得るために用いるデータ数

2

.

1

概 要

格子点上の値;a計算するのに用いるデータの数をどれ

程にするのが適当かということは，非常に重要な問題で

これによってランダム・データをメッシュ・デ}タに変

換する方法の性格が決定してしまうほどであるといって

過言でない.

データの数について考える前に，まず，ランダム・デ

ータ及び変換法について次の様l

ζ設定する.

(

1

)

ランダム・データ:ランダム・データとは，一様

乱数のように全く一様な分布をしているデータと

いう事ではと

Z

く，分布の様子に相当な偏りのある

ものも含める.即ち，メッシュ状にはなっていな

いデータという意味とする.

例えば，等高線図の等高線をある間隔でサンプ

リングしたようなデータもランダム・データの一

種と考える.

(

2

)

変換法:変換された結果は，その格子点のまわり

の数個のデータの最大値より大きくなったり，そ

れらの最小値よりも小さくなったりする事は望ま

しくないものと仮定する.

上の設定を考慮して，データ数として次の

4種を考え

る.

(

1

)

全てのデータを用いる

(M1)

(

2

)

半径

r

以内のデータを用いる

(M2)

(

3

)

格子点を囲む 3点のデータを用いる (M3)

(

4

)

格子点を囲む

4点のデータを用いる (M4)

変換法

(M1，M2，

M3，

M4) を評価する為に次の二

つの例題を設定する

ζ

とにした.これだけで正当な評価

が出来るとはいえないが，筆者は一応の目安と考えてい

る.

<EX-1>

Xi=O.O

から

1

0

0

.

0までの一様乱数

Yi=O.O

から

1

0

0

.

0までの一様乱数

Zi=Xi

X

iとれの初期値はおのおの別の値とし，

i

は

1

'

"

2

0

0とする. (Fig.2-1)

y

(

1

0

0

，

1

0

0

)

@

)

e

0 @ w

o

0 110 @ @ @ @ @ @

o @

)

@ @ @ @ @ @ 8 0 @ @

6

>

8 @ @

E

@ @ @ _{0 0} @ @ @ @ @ @

Z

;

_

(

決

ぷ

j

@ @

o

0

_o

fi!> @ @ @ @ @ @ @ 阜 @ @ @ @ @ @ @ @ @ fi!>

e

@ @ @

X

(0

，

0)

(

1

0

0

，

0

)

F

i

g

.

2

-

1

<EX-2>

y

(

0

，

1

0

0

)

1

0

.

0

(0

，

0)

10.0

1

0

.

0

F

i

g

.

2-2

己主

1

0

0

)

1

0

.

0

x

(

1

0

0

，

O

J

X-Y平面の (

0，0

) ， (

1

0

0，

0

)， (

1

0

0，

1

0

0

)

，

(

0， 1

0

0

)を結ぶ四辺形を値が 1

0

.

0(z=10.0)の等高線

で

，

(

3

0，

4

0

)， (

6

0，

4

0

)， (

6

0，

7

0

)， (

3

0，

7

0

)

を給ぶ四辺形を値が

1

0

0

.

0の等高線と考えて， 3

"

'

5

間隔

にサンプリングした値

(

X

i，Y

i>

Z

i

) を入力データとす

る.

(Fig.2-2)

o

も

)

2

.

2

全てのデータを用いる

(M

1)

@ @ @ @ @ @ @ L

ー

ー

ー

」

ー

ー

ー

-

-

'

-y

@ @

，

:

i

/

@

IY

Z

"

I

fi!> @ @ @

(

x

"

J

F

i

g

.

2

-

3

L

-

J

i

@

炉

@

a

z=f (

x，

y

)

で表わされるこ変数一価関数を

(

X，

y

，

z

)

の直角座標系に対応させると，

Fig.2-3の⑧印がランダ

ム・データの

X-Y座標を表わし，各点がz=f(x，

y)

t

:

I

.

る値;をもっている.

zo=f(xo，

Y

o

)の値を計算するとき，与えられたデ{

X

るので

(Xl

，Y

1

，

Z

l

)

，

(X2

，

Y2

，

Z2)

，

(Xd

，

Ya

，

za)

含む平面から

(Xo

，

Yo

，

zo)

を求めれば，平面的に一次

補間した事になる.

乙の場合

Xo

，

Yo

は既知であるので

Zo

は式

(

2

-

3

)

によ

って容易に求める事ができる.

1

1

1

1

4

9

ランダム・データをメッシュ・データに変換する一方法

Ri :

(XO

，

Yo)

と

(X

，

r

Yi)

との距離

(2-

1

)

タを全て用いて，

土

三

L

i=1

.1.

'

-

i

Zo =一一一一一ー

ム

1

"

--~1 Ri '

(

2

-

3

)

=

0

n υ

司 自

由 。

a o o

z

z

z

z

n U 噌 ム o a q u

y

y

y

y

n υ 噌 ム n a

。

。

x

z

x

z

ところが，乙の方法の最大の難点は，多くの入力データ

の中から格子点を囲み最小の三角形を構成する三つのデ

ータを選択する事の困難さにある.計算時簡を考慮する

と

，

ζ

の方法は最適とはいえない.この問題に対処する

為に

2

.

5

の方法をとることにした.

(

F

i

g

.

2-4)

申

y

式 (2-1)で計算することが考えられるが，次の点で有

用性は少ない.

(

1

)

(xo

，

Yo)

を中心として，

(X

，

r

Yi)

，

i=1

r v

n

が

一様に分布する事は一般には期待できない.

計算時間が入力データ数

n

と格子点数の積に比例

する為に，大きな問題に不向きになる.

(

1

)

と関連して，入力デーメの分布している中心部

以外には計算結果の信頼性が低い. (データの分

布に偏りがある場合には中心部でも信頼性は低

この適用例を

F

i

g

.4-1 I

L

示す.

式

(2-1)

を変形して，

n:

データの全個数

(

2

)

(

3

)

@ @ @

(

2

-

2

)

(m>

1

.

0

)

丸 一 一

三

1

一 一

r

a

Z

三

n

Z

戸

Z

X

@

Z

4

﹁ ￨ ￨ ￨ ﹂

一

心

一

-小

F

一

寸

t

b

為 一

一回由る一

-e h M 企 E

-一

iz

-お

お

ム

一

一ぱはは一

一

五

有

為

一

一

角

角

弘

一

↑

1

-7

﹄ワム一

↑

ム

ム

ム

一

﹁

illl

﹂ @ @ @ @

式

(

2

ーののようにして，

m

=

2

，

3

，

4

，・・…. (整数値

にする必要はない，

m >

1

.

0

)

として計算すると，式 (

2

-1)の場合よりは結果の矛盾(乙

ζ

で、結果の矛盾、

とは

2

. 1

の (

2

)

の変換法の仮定がくずれた場合の事をい

う.しかし，これは本質的に矛盾しているかどうかとい

う乙とは別問題である. )が少なくなるが，

m>8

ぐら

いになると，ただ

(XO

，

Yo)

に最も近いデータを選択す

る事

I

r.近づく.

この例として

m=8

の場合を

F

i

g

.4-2

，

3

1

乙示す.

2

-

4

2

.

5

格子点を囲む

4

点を用い Q

(M4)

Fig.2-5

で格子点を原点として，

X-Y

座標系で四つ

F

i

g

.

/

子

1

回

国

@

ア

@

x

@

z

。

2

-

5

F

i

g

.

Z 2 / /

与

ι

ーー-Z

3

回

@

閉

山

半径r

以内のデータを用いる

(M

2

)

式 (2-1)で計算に用いるデータを，

Ri

ム

rを満足す

るもののみを選訳して計算する方法で，式 (2-2) のm

をある程度大きくしたものに似た結果になると考えられ

る.この場合には rの大きさをどれ程にするかが問題と

なり，又計算結果にはまだ矛盾が残る.

この例を

Fig.4-4

1

乙示す.

2

.

3

格子点を囲む

3

点を用い Q (M

3

)

一つの格子点

(XO

，

Yo)

囲みかっ最小の三角形を構成

する三つのランダム・データを

Zl

，

Z2

，

Zs

(

各

X-Y

摩 擦

は

(Xl

，

Yl)

，

(X2

，

Y2)

，

(Xa

，

Ya))

とするとき

，

Zl

，

Z2

，

za

から

Zo

を計算すれば、結果の矛盾、を無くする事

ができる.

一般に平面は，一直線上にない

3

点によって決定され

の象限

(

1

工

¥

¥

1

1

1

1

]

[

1

J

!

'

l

l

)を考えて，各象限の中で原点

((Xo

，

Yo)

の格子点)と最も近い

Z

i (Xi

，

y;)

奇 選 択

して，この4点 (

F

i

g

'2-5では

Zl

，

Z2

，

Z3

，

z

<1，)を用い

れば

p

乙の4

点 は 必 ず は

0

，

Yo)

を囲むことになる.

しかし

p

一般には

4点を含むような平面は存在しない

ので一次補間する事はできなくなる.そこで何らかの工

夫が必要となり，筆者は次の様な手段をとった.

y

-T

i

一

4

﹁

L

h

-1

1

1

旬

レ

む

F

r

L

L

吉

岡

山

日 出

回

F

i

g

.

2-6

Fig.2-6の

4

設に，

Zl

と

Z2

を結んだ線分と

y

軸

(X=

XO)

との交点を

U1 (xo

，

Yo

十

R1)

として，

Zl

と

Z2

から

一次補聞によってその値を求める。同様にして

U2

，

U3

，

U4

を求めて‘

U1

，

U2

，

U3

，

U4

から

Zo

を求めるように

する.

この様t

こすれば，

Zl

，

Z2

，

Z3

，むの自由度

4から自由

度

3

の

U1

，

U2

，

U3

，

U4

となり，

(xo

，

Yo

十

R1

，

U1)

，

(xo-R2

，

Yo

，

U2)

，

(Xo

，

Yo-R3

，

U3)

を含む平面は

必 ず は

o

十

R4

，

Yo

，

U4!

を含むので

Zo

の値を

U1

，

U2

，

U3

，

U4

から一次補間する事ができる島

(

式2-4)

~+主主 主

2

十

_

1

I

4_

土

U

i

lh

Rs

R2

R4

-

;

-

:

;

:

1

R

Zo

了

一

1-=

1

_L了=工」子

(2-4)

R1 'R3

R2

R4

:

8

R i

i=l

この方法の特徴(;1:，

Zo

の値が

Zl

，

Z2

，

Z3

，

Z4

の最小値

より小さくなったり，

Zl

，

Z2

，

Z3

，

Z4

の最大値より大き

くなったりしと

E

い事と，

U1

，

U3

を結ぶ直線

(y

軸)と

U

2

，

U

，>を結ぶ直線

z

軸〕が直交していて偏微分方程式

を差分法で解く場合の五点差分と同じパターンになって

Zl

，

Z2

，

Z3

，

Z4

の、エ

F

ョ均の平均、という事ができること

の

2点と，その見返りとして， もう少し広い範囲の格子

点の周囲との滑らかさが犠牲になるヨきである.

適用例を

F

i

g

.4-5， 6

，

7

(こ示す.

E

プログラムと計算時間

3

.

1

計算時間について

二次元以との問題を扱う場合

p

ミ数の多さ、が常

t

こ問

題となる.民

J

I

ち

，

10XI0

が

1

0

0

であるのに対して

100x

1

0

0

が

1

0

0

0

0

にもなり計算時聞に対する考慮を十分する

必要がある.

ランダムーデータをメッシュ・データに変換する場合

には，大量な数とはメッシュ・データの数とランダム・

データの数であるが，メッシューデータは得たいデータ

なのでこれを減らすのは別の問題として考えなければと

E

らない. (ここでは考えないことにする)

X

ランダム圃データの数を

l

l

"

メッシュ・データの数

を

l

l

m

とするとき，計算時聞が

l

l

r

X

日 田

ζ

l

比例する

(

c

.

n

r

.

il

m)

事は避けなければならない

l

l

m

だけに比例す

る様な工夫が必要で、あわ計算時間が

α+

戸

X

l

lm

となる

として，

α

，，

8

を小さくする事が重要となる.

T

ょ叩

e

"

'

-

C

・

'

)

1

.

干

.

'

1

¥

帆

r

:

J

十日

'11m

相 川 刷 ハ ノ γ ι 市 川

F

.

i

g

‘

3-1

ここで，

l

l

r

，

l

l

m

について考えると，

l

l

r

は

1

0

0

から

1

0

0

0

前後が普通であるが，

n m は 1000~10000

(又はこれ以上

)にと

E

る事が多いので例えば

l

l

r:

5

0

0

，

II

囚:5

0

0

0

とし

て計算時聞を

l

l

r

・

l

l

m

=

2

5

0

0

0

0

0

に比例させる事は避ける

べきで，

α

が多少大きくと

E

つでも

l

l

m:

5

0

0

0

(乙比例させ

るべきである.しかし)

n

r，

n

m

が小さい時には不利に

なる事は避けられない . (Fig.3-1)

3

.

2

プログラムの流れ

このプログラムでは，多量のランダム・データの中か

ら格子点を原点として，四つの象限から原点

l

こ最も近い

データ

Zl

，

Z2

t

Z3

，

Z4

を抽出する司王l

こ多くの計算時間

を要するので次の各点を考慮、した.

(

1

)

ランダム。データをxについて

Sorting

する.

(

l

l

r

が大きい場合には分割処理をする必要がある. )

(

2

)

メッシュ

a

データは

XoC

結子点のx座標)を 0から

Xmax (XQ

の最大値)へ向って計算し，おのおの

の

XO

に対して

Yo

(格子点の

y

座標〉を

Q"-"Ymax

と

して

Zo

C

メッシュ・データ〕を計算する，

ランダム・データをメッシュ・データ

ζ

t

変換する一方法

(

3

)

Z1

，

Z2

，

Za

，

Z4

を拍出する時，

ランダム・デー

タを参照する回数(ランダム・データの全てを

1

回参照する場合を1.

0回とする)を最大1.0聞とし

て，できる限り

<1.0とする.

a

)

参照の出発点をソートされたランダム・デ{タ

の

Xo

として，

X

の小さい方に向って

Z2

，

Zg

を

さがし，

X

の大きい方に向って

X1

，む を き が

す.

b

)

参照毎に

(Xo

，

Yo)

との距離を計算して，その

値の最小値を

Tmin

として，

fxo-xd

が

Tmin

よ

り大きくなったらランダム・データの参照を停

止する.

(

3

)

の

b)

によって，ランダム・データが一様な分布をし

ていれば計算時間は

n

r

には比例しなくなる.また，一

様な分布をしていなくても参照回数はくく1

.

0となり

n

r

と

はほとんど関係なくなる.しかし，

E

l

r

が大きい場合(

1

0

0

0をはるかに越えるような場合)にはその Sortingに

相当芯時閣を要するので，メッシュ領域をいくつかに分

割して，一つの領域に含まれるランダム・データだけで

その領域のメッシュでの計算をするようにする(ランダ

ム・データの境界をメッシュ・データの境界よりやや大

きくとる必要はある)事によって

3

.

1

の

α

を小さく保つ

ことができる.即ち， αは SortingK要する時聞に相

当する.

3

.

3

フロー・チャート

このプログラムのフローチャートを Fig.3-2に示す.

Fig.3-3はその中のぬと

Z3

を抽出するルーチンを示し

ている.

フローチャート中に記入していない

U1

，

U2

，

U3

，

U4

及び

Tl

，

T2

，

ra

，

ねの計算式は次の通りである.

U1=Z1 + (Z2-Z1)

・

Xo

ご主主

X2-X1

r1=Y1十 (Y2- Y1)

・2

旦二茎主-

Yo

X2-X1

U2=Z2+ (

Z

3

- Z

2

)

・

1旦三~

Y3-Y2

r2=xO-x2

ー

(X3-X2)

・

YO-Y2

Y3-Y2

U3=Zg十 (Z4- Z3)

・

Xo

二主主

X4-Xg

rg= Yo-Ya

一

(Y4-yg)

・2

旦二三旦

X4-Xg

U 4 =

Z4

+

(Z1

ー

Z4)

・

_

l

T

_

Q

_

二

E

生-Y1-Y4

Cafcu L

a

t

e

:

U

1

，

r1) U

2

，

'

T

2

，

U

3

1

'

T

JJ

U4

J

f

4

v

，

ち

r

:

戸

も

ら

4737q+

材

calcufate: Z

。

Pj~

Z

o

F

i

g

.

3-2

FLOWCHART

5

1

r4=

X4

+

(XI-X4)

・

_

r

Q

_

二

Y4 _ Xo

YI-Y4

各変数名は，次に示す通りである.

n:

ランダム・デ{タ数

(Xo

，

YO)

:メッシュの原点

1

日

l

y :

X

方向.

Y

方向のメッシュの間隔

n

x

，

ny.メッシュ数

Xi

，

Yi

，

Z

i

ランダム・データの

X-Y

座標とその値

Xp

，

yp:

格子点の

X-Y

座標

Zl

，

Z2

，

Z3

，

Z4

格子点1

1:近い

4個のデータ

(本文

I

I

.

2

.

5

参照〉

Ul

，

U2

，

Ua

，

U4

:本文

I

I

. 2

.

5参照

rr: (XO

，

yo)

と

(Xi

，

Yi

i

の距離の

2乗

実際のソース・フ。ログラムの一例を最後に示す.

(

付

記)

(

作

Se

引

l

e

吋

G

t

z

石

2

a

n

d

Z

石

3

Ro

似

ωu

凶

j

F

i

g

.

3

-

3

N

適 用 例

M

，

l

M2，

M4をEX-1

及び

EX-2

へ適用した例と一

つの実例を以下に示す.

(

1

)

M1 EX-1

→

Fig.4-1

(

め

Ml

'

m=8

，

E

X-1→ Fig.4-2

EX-2→Fig.4-3

(

3

)

M2 r=16.5

，

EX-1→ Fig.4-4

μ

)

M4 EX-1

→

Fig.4-5

EX-2→ Fig.4-6

EX-2の結果を立体図として表現した

図 →

Fig.4

ー

7

(

5

) 実例 或る地形をその等高線図から約 4

5

0個のデ

J

タをランダム・データとして与え，

4

3

2

0

個のメッシュ・データを得たものを立体図

として表わしたもの.

(Fig.4-8)

Fig.4-5で出力データが-1

0

0

.

0とあるのは， M4で

その格子点を囲む

4

{

闘のランダム・データ

Zl

，

Z2

，

Z3

，

h

のいずれかが存在したtい場合を表わしている.

このプログラム

(M4) で

，

EX-2を

SOR

法で解く場

合の初期値として用いると，

21X21のメッシュの場合に

反復回数を

1

2回減らす事ができ， 41X41のメッシュの場

合には

4

7回減らす事ができた.乙の様l

己反復回数はメッ

シュ数

i

乙比例して減らす事ができるので，比較的大きな

問題には

SOR

法の初期値を求める為に用いても有効と

なる.

V

あとカ

t

き

一変数の場合，あるイ直を近似するのに大きく分けて，

最小二乗法と補間法の

2種類が用いられるが， M1・M2

は前者に近く，

M3・M4は後者

l

乙近い.

しかし，

M4では

Ul

，

U2

，

Ua

，

U4

を含む平面はす

でに

Z1

，

Z2

，

za

，

Z4

を含むとは限らないので補間法の

性格がうすくと

E

っている

. ζ

の点，参考文献

(

2

)

の双一次

曲面の適用はより有効な手段となる可能性が強いと考え

られる.

筆者の方法

(M4) では入力データの性質については

何も判っていえ

E

いという仮定をして，伸縮自在のゴム膜

に方眼の目盛をつけて入力データ

(Xi

，

Y

，

;

Zi)

からゴ

ム膜の点

(X

，

;

Yi)

を

Z

i

の高さになる様にした場合に

全体がどの様にたEるかという事を想定した.

結果としては，比較的少ない入力データからメッシュ

・データを得る事が可能であった. (メッシュ・データ

数の数分の日〉ら

1

0の1

位でも大きな矛盾はとZい

〉

入力デ{タの性格が全く判らないという事は比較的少

なし結果の滑めらかさが必要な場合も多いと考えられ

るので，乙の点を克服する事が今後の課題となるが，こ

れは数種類の変換プログラムを作りそれぞれに変換の仕

方に性格を与えて，使い分けるのがよいと考える.

ラ ン ダ ム ・ デ ー タ を メ ッ シ ュ ・ デ { タ

ζ

l

変 換 す る 一 方 法 、《 E18.nち6.' 14.6 l'L8ち5.9 1 ' ¥ ヲ 明8ヲ7.1 円a {

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Fig.4-2

5

3

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Flg.4-4

ラ ン ダ ム 固 デ ー タ を メ ッ シ ュ ・ デ ー タ に 変 換 す る 一 方 法

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参 考 文 献

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)

川西・永井他:等高線作図の一方法，情報処理.

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1

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(

1

9

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3

)

，

No. 1

2

，

P916~924

(

2

)

戸川隼人著:微分方程式の数値計算，オーム杜

(

1

9

7

3

)

，

P166

F

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.

4

- 8

(

3

)

秦野和郎:ニ変数関数の表示(その 1

)

基本的な

表示法一，名古屋大学大型計算機センター・ニュ

ース，

v

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.

4

No. 4

(

19

7

3

.

8

)，

P288~310

ランダム・データーをメッシュ・データーに変換する一方法

5

7

付 記