【論 文 】
UDC :624
.
e74.
42日本建築学会構造系論文 報告集 第43且号
・
1992年1月journal of Struct
.
.
Constr.
Engng,
AIJ,
No.
431,
Jan,
,
1992異
方 張 力 曲
面
の
有
限要
素法
に
よ
る
形 状 解析
SHAPE
ANALYSIS
OF
DIFFERENTLY
STRESSED
SURFACE
BY
THE
FINITE
ELEMENT
METHOD
鈴 木
俊 男
*,
半 谷 裕 彦
* *
Toshio
SUZUKI
andYasuhiko
翩」
VGAI
The paper presents an numerical analysis Qf surfaces stressed by different tentions
in
the twodirection
fQr
membrane structure,
Thebasic
differentiai
equations with three unknown coordinatefunctions
arederived
from
the equilibrium conditiQn of infinitesimal eLement.
The variational equationfor
surface stressedby
different
tentionsin
the twodirection
aredefined
by
using theseequations
.
The
finite
eLement method andRitz
method are used for the numerical analysis , and catenoiCl and wave suTface are numerically analyzed.
「
Kegtoortts:membrane stntcture
, shaPe analysis
,
dzfferently
stressed surface,
minimal surface,
4uasi−
linear
Partial
differential
eeuation膜 構 造, 形 状 解 析, 異 方 張 力 曲 面, 極 小 曲面, 準線形偏 微分方程 式
1.
序 論 1.
1 は じめに 本 論 文は, 膜 構 造の曲 面 形 状 を 決 定す る方 法と して張 力が方 向に よ り 異 なる異方張力 曲面 を 求 め る 解 析手 法に つ い て報告す る もので あ る。
膜 構 造の設 計で は等張 力 曲面が よ く用い られ る。
等 張 力 曲面 では せん 断 力 が 存 在 せず,
曲 面 上のすべ て の部分 で あ ら ゆ る方向に対して等しい面内張力 が存在す る とい う性 質 を もっ て お り,
力 学 的に最も バ ランス が と れ た曲 面と言え る。
また,
こ の曲 面は自然界で は石鹸 膜によっ て.
作り出される曲 面とし て知ら れ て い るが, そ の形 状を 求め る問 題は数 学で はプラ トー
問 題と呼ば れ古く か ら著 名な数 学 者 達が興 昧を惹い た テー
マ1)で あっ た。
最 近で は, 等 張 力 曲 面 形 状 を求め る 数 値解法2)』
7)が研 究さ れて い る。
一
方,
膜 構 造の構 造 設 計の立場 か ら す る と等張 力曲面 の形状は境界 が定ま る と一
義 的に決定 さ れ る た めに,
境 界を変えずに膜面 形状を変化さ せ る とい う要 求に対して 等張力 曲面では対応で きな いとい う問 題が生じ る。
たと え ば膜 構 造の設 計で支 配 的な荷 重で ある風圧力と雪 荷 重 に対して抵 抗さ せ る ための曲 面 形 状はサグ が比 較 的 大 き な曲 面が 必要と な る が,
所 与の境 界に対し て得られる等 張 力曲面で は 適 当でない場 合 が あ る。
ま た 意 匠 設 計 上か ら も, 与え ら れ た境界に対し て デザイ ナー
の希望す る曲 面に できるだ け近 似し た曲 面 を 作 成す ることが求め ら れ る。 し か も,
そ れ ら の曲 面は力 学 的に無 理の ない曲 面と する必 要がある。本 報 告で は
,
こ のような設 計 外 力ない しはデザ イン上 の要 求に対応で きる曲 面とし て,
二 方 向に異な る張力を 持ち,
かつ 力 学 的 性 質が明 確な異 方 張 力 曲面 を提案し,
そ の基礎方程 式と変分 式 を導く。
ま た回転 曲 面 と波 面を
有 限 要 素法 と リッ ツ法に よっ て数 値 解析する ことによ り,
異 方 張 力 曲 面の妥 当 性 を検 討する・
。1,
2
既往の研 究と本 研 究の方 法 等 張力曲面の 研 究が数 多く な さ れて い る の に対して異 方 張力曲面に関す る研 究は非 常 に 少な く,
こ こ では次の 三つ の文 献 を 紹 介す ること に す る。 まず, 膜 曲 面で はな くザイルネッ ト構造 (二 方 向ケー
ブル構 造 )の曲 面につ い てOtto
andTrostel8
)の研 究がある。 こ こ で は各 ケ
ー
ブル張 力 を指 定し た時の曲面を デ カ ル ト座 標 系を用い て次式で定 義 して い る。
疇
・聯
一
・・
…一 …・
・
一 ・
・
一
ω、
こ こ に,
z は直 交 座 標 系0 −xyz
に お け る 曲 面 を 表 す変数 z=
z(x,
y ),
冗エ と ny は そ れ ぞ れ x,
y 方向の ケー
ブル張 力で あ る。
式 (1
)はZ
に関し て線形微分 方 程 式であ りい くつ かの解 が導か れている。
た と え ば解 の形式 を z; /(x)+g〔y}お よ び z=
f
(x)g(y)と仮 定 し ・,
双鹹 物面 ・一一
傷)
… +(
hy2)
y・ ・P
波 面 Z−
・ cos α 即・
sinh β〃等の異 方 張 力 曲面を 示 して いる。
ま た,
* フ ジ タ 技術研究所 主 任 研究 員 ** 東 京 大 学 生 産 技 術 研 究 所 教 授・
工博Technical Research Institute Fujita Cotporation
他の文 献 と しては石井の著書9,が ある 。 その中で式 (
1
) の 解と して鞍 形曲面を z; (alx2 + azx + a3){b
,y’+b
,y +b
,)と表 し,
係 数 al−
as,b
,−
b,を指 定す るこ とに より種々の曲面をつ く り出せ ることを示してい る。 さ ら にHaug5
}は異方 張 力 を 初 期 張 力と み な し て そ れ がグ リー
ンひずみ に対し て なすエ ネルギー
を 汎 関 数 と した有 限 要素解析を行っ て い る。 解 析例と して は矩 形 境 界に内 圧 を作 用 させ た空 気 膜曲面を,
張 力 比 を1.
25と して解 析し てい る。
こ の よ うに既 往の文 献にお け る異方 張 力 曲 面の研 究と して はデカル ト座 標系で表さ れ た線 形 微 分 方 程 式か ら求 め る曲面の研 究とひずみ エ ネルギー
を 用い た有 限 要 素 解 析に関す る若 干の研 究に限ら れ て お り, 筆者の知る限り 異方 張 力 曲 面 を厳 密に表 現し た非線形 微 分 方 程 式の誘 導 と その数値解 析に関する研 究は行わ れてい ない。
本 報告 で は, 異 方 張 力 曲 面の 微 小部分の 力の釣 合 式か らX ,
Y,
Z の三座 標 関数に関す る微 分 方 程 式を導き,
こ の微 分 方 程 式と境 界条件を考 慮して異 方 張 力曲面の変分式 を 求め る。 つ ぎに こ の変 分 式を用い て有 限 要素法と リッツ 法の定式化を行 う。
また両 解 析 法を2
つの数値 解 析 例に 適 用 し,
解の比 較 を行う と ともに,
異方 張 力 曲面の性 質 を検討す る。
な お本 論 文の一
部は文 献10)に発表し ている が, 本 論文の文 献10)に対 する主な相 違点は次の4
点で あ る。
第 1 点は有限要 素法の定 式 化におい て,
要 素座標 系と し て直交座標系で なく斜 交 座 標 系を採 用し解析法の拡張を 行っ たこと。
第 2点は リッツ法の定式化におい て x,
y の2
次 元領 域の定式化を追 加し た こと。 第 3点は解 析 例 に おいて,
リッ ツ法の未 定 係 数の項 数を多く と り,
有限 要素解 との比 較を完 全に行っ たこと。
第 4点は曲 面パ ラ メー
タ曲 線が直 交しない例と して波 面を解 析し, 異 方 張 力 曲 面の特 徴を明確に し たこと である。
2.
異 方 張 力 曲面 の基 礎 式2.
1 .
異方張力 曲 面の基 礎 方 程 式 本 論文で は,
異方 張 力 曲 面 として次の定 義を採 用す る。
「異 方 張力曲面 と は, 曲 面の パラメー
タ曲線に沿っ て切 り と ら れ た微小要 素の 切断面に作 用 す る応 力の方 向が そ れ ぞれ の切 断 面に直交し,
応 力の大き さ が異なる曲 面の こと をい うQ」 これを,
図一
1を用い て示す と, 切 断 面 を 曲 面の パラ メー
タ yi,
プ に沿っ て と る場 合,
異 方 張 力 nl,
ガ は,
ガ,y
’ 曲線に対し て直 交す る応 力とな る。
異 方 張力曲面の基 礎 方 程 式 を求める た め に
,
曲面の 微 小 部 分の力の釣 合い を考え る。 曲面上の点P
を デ カ ル ト 座標系 (エ 酷 τ3)で表す。 点P
の位置ベ ク トルOP
はOP =
r=
xiei (i=
1,
3
)……・
一 ………・
−t
(2)一 48 一
et じ諮
・・ 図一
1 異方張力 曲 面の 力の釣り合い dy‘
Cly:
と な る。 こ こ に eiは デ カル ト座 標 系の基 本ベ ク トル で あ る。上 式を基に し て以下の様な曲面の諸 量 を定 義 する。 9a :基本計量ベ ク トルー
竒
一 ・・』・ ・ (・一
… )・
・
・
・
…一
(・) 9aβ :基本計量テン ソ ル9αβ= 9
α
9β・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(4 ) g3:単位 法 線ベ ク トル
9…
7i
(9i
・9・)…………・
…………一 …・
・
(・) こ こに9
=det
(9an)=
911922−
gl2・
・
・
……一 ………
(6
)ds
:微 小 部 分の面 積ds
=
fg
dyidl
/2・
…
r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(7 ) ga:反 変 基 本 計 量ベク トル
ga= εPα(9,×9
ρ
) (α,
P=
1,
2
>……・
……・
…・
(8
) こ こ に epaは曲 面の 2次 元 座 標に対す る交 代テン ソ ル で,
エ デ ィン トン の交 代 記 号 ερ α を用い て次 式で表 され る。
epa
一
素
避一 ……一 ・
一 …一 ・
一 …
(・) 式 (8
)を基 本ベ ク トル etで表 す と’
一
毒
齲
)
er……一 ・
・
………・
・
…・
…
(1
・) こ こ にi
につ い て総 和 を とることにする。
gOS:反 変 基 本計量テ ン ソ ル gas=
9α 9β………・
7・
・
…・
…・
…
………・
………
(11) ま た面内合応 力を単 位 長さ当た りの応 力N9 (α ,β=
1,2) と す る と a は 応 力の作用 す る面 (gaと直 交する面 ) を,
βは応 力の作 用方 向 (σβの方 向 )を表す。
先に述べ た 異 方 張 力の定 義か ら,
張 力は応 力の作 用 面 と 直交す る方 向の成 分しか存在せず,
そ れ ら を n’
,
n2 と す る とN9
は次の よ うにな る。Nl =
nl,
Nl =
n2,
N
;=Nl =
O・
…・
……・
・
…
(12) こ こ で yi、
ヅ 曲 線に よっ て切 り取 ら れ た曲 面の 微 小 部分に作用する力の釣 合 式を求め る。(
ガ砺
躍渉
回
・(
ガ偏
曜渉
厨
=
O……・
・
……・
…・
…………・
…・
…一
・
…………
(13)こ こ・( ド
寄
・裁 ま 脇 げ と・間・ は9匸」
咢
・ ・響
・
一 ・
……一 ・
・
……一 ・
(14) という関係が ある の で, こ れ らを (13)に代入 す る と,〔ni
Fg
g” )J 十(n2V
’Tg
g2),
2=
0・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
…
(15) さ らに (10) を代入 すると
(
・齏
・・転
・(
・蒙
或
一
・・
…・
一
・16・ し た がっ て eiに関する係 数 をとると(
,∂羸 n ∂xfL)
,
1 +(
標
)
t
: 一 ・…・
………・
…
(17・ す な わ ち,
上 式が異方張 力 曲面の デ カ ル ト座標 系に お け るi
方向 (艀1,
3
)に関す る釣 合 式である。
2.
2 異 方 張 力曲面の変分式 式 (17
)の各項に そ れ ぞ れ座 標の変 分 6t t をかけた項 と境界条件 項を加え た式 を曲 面 全 体で積 分して変 分 式を つ く る。μ
1
(
巉
諏
・(
嶋
激
}
蜘 1・〃・・
鳥
(7
−
・・t)・・’Vliffdy
’・
」
に
。(ア ー
cii)…VOt
;dy2
− ・・
……一
(・8)た だ し,
i
につ い て は1か ら3 まで の総 和を と る。ここに nltは境 界 Yi
=
ゴに おける境 界 反 力 nt のi
方 ・・分力・
c2噺 面 ・瀞
嚇 鹹 分・ あ る・ す な わ ち ;Σ (n!t )2
;
n2……・
…・
…・
……一 …・
・
…一
(19
) t=
1・2E
一
潟 軣
…・
一 一 ・
…一 ………・
(… ∵ ・2…一
・・
k
: 一 ・磊
毒
(
誓
の
一
活
孃
・…・
・
…・
………一 ・
…
(21)こ こ で, (18>に部分積 分 を施 し
,
境 界条 件と して幾 何学 的境界条 件 を考えると境 界 上の座 標 変 分axi
は0と な る か ら結局 次式 となる。f
。、
fyi
[
(
瑠
岡
・薯
)
δコ匚12
]
醐=0 『
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
←
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
・
・
…
(22)本報告は上 式 を 異 方 張 力 曲面の変 分 式と す る
。
この式 は等張 力 曲 面の よ うに汎 関 数と し て表 現さ れて いない が,
リッツ法お よ び有 限 要 素 法 等の離散化手法 を適用 す る場 合の基 本 式と見なすこと ができ る。
ま たこの式は弾 性 論における仮 想 仕事式に相 当す る式である。
次に微分方程式 (17)の解の形 式とし て文 献7),
10) 図一
2 異方張力 曲 面 を表す未 知 量a と その方 向 余弦 で用いた もの と 同 じ式 を採 用 する。xi
=
λ‘ (運ノ1,!ノ 2 )・
α(!ノ1,
yt)十ユ活〔yigyt)・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(
23
>こ こ に
,
α(yi,yt)は未 知 量,
λ t,
x9 は積分定 数で あ る。
上 式の 幾何 学的 意 味は図一
2で示さ れ る よ うに,
鋭 を 初 期仮定 曲 面 とし,
λ‘ と a をそれ ぞ れ初 期 仮定曲面で 設定 さ れ た未知 量ベ ク トル の向き (方向余弦 )と大き さ と し た と き,
異方 張力 曲 面 を 表 す 座ee
xi は,
初 期仮 定 曲面 上の座標xl と未 知 量ベ ク トル の成 分λ‘a の和と し て求め られ る ことで ある。
未 知 量ベ ク トル の設 定に際し ては, 求まる異 方 張 力 曲面が任 意の 2節 点で指 定し た未 知 量ベ クトル の交 点と初 期 仮 定 曲 面との間に存 在するよ うに選ぱな け れ ばな ら な いとい う制 約がある。
異 方 張 力 曲 面の変 分式 (22
)に上 式の解 (23)を代入 する。 こ の結 果,
異方張力曲面を表す未 知 量は一
変 数 α とな る。3.
異 方 張力曲面 の有限 要 累 法によ る数 値 解 析こ こ では 3 角形要素を
用
い る。
図一
3に初 期仮 定曲面 と 異方 張 力 曲 面 上の座 標お よび 節 点にお け る未知量ベ ク トルを示す。
要素 座 標 系は斜 交 座 標 系 (ξ,
η),
座標は(x,
y,
z>で表す。
こ こ に x。i,
y
。t,
z。t :初 期仮定 曲面 上の節 点 iの座 標 Xe,
y。,
z。:初 期 仮 定 曲 面 上の要 素 内 部の座 標 x[,
yi,
Zt:異 方 張 力 曲 面 上の節 点i
の座 標x
.
y,z :異 方 張 力 曲 面上の要 素 内部の座標λ‘,μt,Vl :節 点
i
にお け る未 知量 ベ ク トル の方向余弦 at :節 点ip
こお け る未 知 量ベ ク トル の大き さ また次の記 号を定義す る。
Xo 。; tlXOiXo2 Xo3 Yel YOt Yo3201 Zo2 z。31
・
・
・
・
…
『
・
7・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(24−
1) Xoニ
『πo Yo 2eトtS−・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(24−
2) Xe=
=
tlXl x: Xs Yi y2 Yi Zl z2 z,e
−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
P・
・
・
・
・
・
…
一
(24−
3) x=
tlx 望ノ z卜.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
(24−
4)A
・一
・
医 ]
・
舮[
μ1”
「
μ2’
”
μ3]
・
一 49 一
A
・=:
[
翔
・
一
一
一
嚠 a。=
『α、 a2 asl・
………・
・
…・
…………・
(26) また異 方 張 力 曲 面 上の節 点 座Sk
Xe は初 期 仮 定 曲 面上 の 節 点 座 標 x。e と節点距 離 a。とに より次の よ うに表す こと がで き る。 Xe=
∠じoε十!1・
α e…………・
……・
………・
・
…・
・
(27
) こ こ に欄
一
一
一
・一
(28
・ ま た 図一
3に よ り要 素 内 部の座 標 x は要 素 節 点 座 標 Xe で表すこ と が で き る。
A
・一[
ilikilli
]
[
W
e
=U
(ξ,η)・
Xe;U ・
(Xee−
←A・
ae)・
・
・
・
…
一
・
…
(29) 上 式が異 方 張 力 曲 面上の要 素 内 部の座de
x を節 点 距 離 ae で表し たもの で,
今 後 第 1基 本 計 量を計 算 する と きの基 本と な る も のであ る。
異 方 張力曲面上の位置ベ ク トル は r :x(ξ,
η)ex+3ノ(ξ ,η)ey+ 2(ξ,η》ez・
・
・
・
・
・
・
…
(30 ) で表さ れ る か ら第1
基本計 量は次式と な る。
9ee−
(
壁
∂ξ)
t +(
劉
+(
湊
)
1・
…・
一 一
(31−
1)・nn−
(
璽 ∂η)
2 +(
寄
)
2 +(
霧
)
1…・
……・
…
(31−
2)9・n
一
誰 莠
・{
鶏
・{
驚
・
……・
…
(31−
3) ま た式 (29
)か ら 書 ξ ξ 匹 写 Z 認 ξ 9 ξ 9 ξ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂一
嬰
・滅 …一 …・
(32−
1) 曲 面の要素∴
e 2) 図一
3 三角 形 要素に よる曲 面 表 示一
50
一
レ 3) η η η ∬ 写 Z 迦 ∂η 璽 ∂η 壷 ∂η一
器
・一
嘸…・
…・
・
(・2−
2) 上式を
式 (31 )に代入 す る と 9ee=
tx 暮UeUeXe ”鹽
’
”鹽
’
’
”一
’
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(33−
1 ) gη η=
tx2 {ノ 』こ 』じ e・
・
…
t−・
・
・
…
一…
一…
一・
・
・
…
(33−2
)9en= tx2UeVnXe
’
’
’
’
”鹽
…’
’
’
”・
・
“
”・
…
t・
…
:
…
(33
−
3) ま た,
第工基 本 計量のベ ク トル表 示 を示す。
9=
’igee
gnngen
}・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(34) つ ぎ に要素の変分式 を 式 (22 )か ら次の ように定 義す る。
・・le
−∬∬[
ne〈
∂霊
幟 +∂霧
・Ye・ ∂霧
・Ze)
・nn
(
∂存
∂v79
∂》
歹
∂、,。 6:n+ ∂y。
δyn+ ∂。。 δ乞・)
]
・鋤=
0・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
7・
・
・
・
…
(35) こ こ に,
ηe は ξ方 向の張 力を表 す。 上式に式 (32),
(33)を代入 して tδa の任 意 性 を 考 慮 す る と停 留 式は次 式と な る。tAf [n。 ・ 鯣 伽 。 …n・ ・
u
・U・X ・i
《・etu・
U
・X・+・・ “ ・… X・)](
7tr
・)
ded
・一
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
…
噛
』
…
一一…
(36
) こ の式が釣 合 式と な る。 こ の方 程 式は非 線 形 方 程 式で あ り,
こ こ で はNewton−Raphson
法を用い て数値 解析 する。
その た め, a。の修 正 量 をd
α。とし, ae+da
。 の 状 態か ら, α。の状 態 を 引くことにより,
dae
に関 する 方 程 式 を 求める。
得 ら れ た方 程 式 を da,に関 し て線 形 化すると次 式の方 程 式が得られる。 この方 程 式は,
不 釣 合量d
跨 と そ れ に対す る修正量dae
の関係を表し, こ こで は,dae
をae に対す る増分量と考え,
増 分 方 程 式 と呼ぶ。
K ・
dae=df
彦・
・
tt・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
…
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(37) こ こ に K;
K,十Kパ…・
・
……・
・
・
………・
…・
・
…・
・
……
(38) 漏一
tAf[
・孤 Un(
素
… t)
i
・〜
叫
毒
・
9・ η)
i
−
(・〜聯 ・漁(
lva’
9・n)
]
・・…・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
∴・
・
…
《39 ) 髭= ・A∫
[耐 鳳 ・ ・…・〜照 ・・ …一
@ 〜{な鵲工θ+nη tUn
UtXe
)]・
(
一
歩
・taV +k
・)
鵬一 ・
一
(・・)df
:一一
可
[・繊 俶 ・…n・ ・u
・U
・Xe …一
嘸 嘱 +嵐 幗(
1 羸 9)
劇 ・・
…
∵・
……・
・
…………・
一 …
(41}・
→
fg
・
(・,,+ ・一一
・9,n)…・
…………一 ・
(・・) また V は dg;
VdXe・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
『
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(43) で表さ れ る 量であ る。
計 算は釣 合 式 (
3の
に解を代入 し た時の不 釣 合 量d
礎が0
に近く な る まで反 復さ せ る。
4.
異 方張 力曲面の リッ ツ法による定式化 4.
1 回転 曲面 円柱 座 標 系 (r,
θ,
z)と し た時,
曲 面パ ラメー
タ と座 標関数
ゴ を次の よ う に定め る。
曲 面パ ラ メー
タ : yi= θ , yZ= 2・
・
…
t−・
・
tt−tt・
tttS
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t…
(44 ) 座標 関数 : ニガニ
cos θ・
α,
xz=
sin θ・
α,
x3=
z……
(45 ) こ こ に,
a は未 知 変 数で あ り,
回転 軸か ら曲 面までの 半 径方向の距離であ る。
ま た, 式 (6)か らV〆
す=
αv〆i
:F
房・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
」
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(46) こ こ ・
,
・’{
鶏
であ ・。 式 (44)一
(46)を式 (22 )に代入 す る と岬
・∫
毒
[n・a・・1
・ ・… +n・a2az ・a・・z=0 ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
・
…
9・
・
…
99・
(47) こ こ に,
nL= ne , n2= nz と し た。
上式が軸対称の異 方 張 力 曲 面の変 分 式である。
い ま,
リッ ツ法 を適 用す る た め に,
未 知 変 数 αを 次 の よ う な関 数列で置き 換え る。
mα
=
φo(9)十Σコα【φ‘(2)・
・
…
一・
・
一・
一・
・
・
・
・
・
…
9・
・
…
(48 ) f
=
1t
’
こ に,
φ。〔匂 は初 期 仮定 曲面を表す関 数 φ‘(2)は基 底 関 数 列 (i=
1,m ) al は未 定 係 数 列 (i= 1,
m ) い ま,
φ‘(z)と atの 関数 列 を 次の よ うに ベ ク トル表 示 する。 φ=
tlφ,φ2…
gbml・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
.
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
(49 ) α= 『α1α、…
aml・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…一
・
…………
(50)式 (48 )
〜
(50 )を用いて変分 式 (47 )に代入 すると飼
毒
陬 ・・L
+1
・φ・n・a ・ a…s
・d
・一 ・・
・
・
…
一・
・
tt・
・
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(51 ) とな り,.
δα の任意 性か ら∫
か
・α・・…+1・φ・n・a 「a ・eA
・d
・一 ・一
(52
) 上式が リッ ツ法を用い た時の釣合式である。
また,
ニ ュー
トンラフ ソ ン法に よる非 線 形 計 算 を 行 う た めの増 分 式は次 式と な る。
Kda=
df*・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(53) こ こ に,
・
−
f
(・’
・ u ・E)・・一
一 …・
…一………・
(54)b
= n θα(aZ十1
) tdi十nta2 αziPg…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(55>a
− 一
瀞
・〔1
+・:)t・… ’・2eM
−
−
!
56)1
[nθ1
(αS
十1)φ t φ十2aaziptφ』E =
羸
十 nzl2 aazdi. ’ φ→−
a2ip. t φM
}・
…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
…
(57
)・’…
場
畷 +1>φ… a2a・e2d2
−…
tt・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tS・
・
・
・
・
…
(58 ) で あ る。 式 (53
)が各ス テップの増 分 方 程 式,
式 (58)は不 釣 合 量 を表す。
計 算はdf
* が0に 近く な る まで反 復さ せ る。
4.
2z=
z(x, y)で表 され る曲 面 デ カル ト座 標 系 (x,
y,
z)と し た時t 曲 面パ ラメー
タ と座 標 閧 数xt を次のよ うに定 め る。
曲 面パ ラ メー
タ :y’一 鐙
,
y2』y−
…
∴:…tt…・
………
(59
) 座 標 関 数 : x’
= x,
x’= y,
x3=
α……・
…・
・
………・
・
(60> こ こ に, α は未知変 数であ り, xy 平面
か ら曲 面まで の 垂直方向の距離と な る。
ま た,
式 (6 )か ら4
す;
1+α島+か…・
…・
・
…
:一 一 ・
・
…・
(61 ) こ こ に ・x一
器
で あ る. 式 (59 )〜
(61 )を 式 (22)に代入 する と’
陸∬∬
毒
[n・
ax ・a・・・… s・・]・・dy
=0−・
・
一 ・
・
・
・
………・
・
……・
…………・
・
一 ・
(62 ) こ こ に,
nl=
nx,
ガ=
ny と し た。 上 式が デ カル ト座標 系の異方 張 力 曲 面の 変 分 式で あ る。 い ま,
リッ ツ法を適用す る た め に未知 変数α を次の ような関 数 列で置き換え る。 nt n α=
φo(x,
y )十Σ Σawipw(x , y)……・
・
………
(63
) i”
w”
1こ
g
に,
φ。(x,
y)は初 期像
定 曲 面を表 す 関 数 φ‘,(x,
y)は基 底関数 列 (i
; 1,
m,
」=
1,
n)一
51
一
a、, は未定係 数 列 (∫
;
1,
m,
ゴ;
1,
n )いま
,
φ‘,(x,
Y
)と aijにつ い て,
次の ベ ク トル表 示 を用い る。
φ
=
t[φ11ip:1…
iPml
φ」2φ2ゼ・
・
iPm2
−・
iPmn
]・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(64) a=
=
z[allα:1…
αml α12α22…
am2…
amri]……・
…
(65) 式 (63)〜
(65 )を用い て,
変分 式 (62)に代 入 すると剛
毒
(n・a・・1
・・磁 )d
・dy
− ……
(・6) と なり, δa の任 意 性か ら∬
か
磁 ・ny・融 吻 一 ……・
一
(67 > 上式が リッ ツ法を用いた時の釣 合 式で あ る。 また,
ニ ュー
トン ラ フ ソ ン法による非 線形計 算を行う ための増 分 式は次式と な る。Kda =
(オf
“…………・
……・
……・
……・
…・
・
…
(68
} こ こ に,
K
−∬
(b
・u+E}・珈・
……・
……・
一 一
(・・)6=
π。α論 + n。a。φポ・
一 ・
…・
……・
………・
・
(70 ) u− 一
(k
,,(a・・i
・・a・Pt
>一 …・
…・
・
………・
(71 )・
一
毒
・脇 ・麟 ・・
……・
・
…一 …
(・・)…
一一
∬
毒
〔膈 ・鳳 〕・珈…
(・3) である。
式 (68)が各ステップの増 分 方 程 式,
式 (73)は不 釣 合 量 を表 す。 計 算はdf
* が0
に 近 く な る まで反 復さ せ る。
5.
数イ直解ヰ斤i
列5,
] 回転曲面 異 方 張 力 曲 面の解析 例と して回 転 曲 面を解 析す る (図一
4 ) 。 この曲面は,
等張 力曲面の場合に は解析 解が得ら れ てい る。
有限要 素分割 数は 周方 向24,
高さ方向10
と する。
初 期 仮 定 曲 面は文 献7)で 求めた等張力 曲面, 未 知 量ベ ク トル は半 径 方 向と する。
リッツ法の試 行 関 数は L/ L/一 52T
! 三 2: RY4 rX 図一
4 回 転 懸 垂 曲 面の概 形 図 n 5冒
n委
一 次 式と す る。
di
・(2)一
(
4L2)
(1−
・}・t+・…・
一 ……一 …
(・4) ¢、(・)一
・・s(
(2≒
1
)π ・)
・
・
・
………・
・
(・5
) こ こ に c=
0.
84834 (等 張 力 曲 面の面 積 汎 関 数が,
極 小 値を とる時の解すなわ ち安 定 解),
O.
23510 (同,
極大 値 をと る時の解 すな わ ち不 安 定 解 ),
採 用 波 数は8波で あ る。 張 妣 ・一驚
は…,
1・
・・
… の ・ ケー
ス と す ・・
図一
5に中心軸を含む平 面で 切 っ た断面図の上半分 を示 す。
安 定解お よび不 安 定 解の数 値 解 析 上の判 別は,式 (38) と (54
)で表され た係 数マ トリッ クスの行 列 式の符 号が 正値お よ び負値か によっ て行う。
n がユ.
0よ り大き い と, 等 張 力 曲 面と比 較し て安 定 解では外 側に, 不 安 定 解で は 内 側に はら むことがわ か る。
表一
1と2は 二つ の解 析 法 に よ る解析結果を示し た もの であ るが両者の値は非 常に よ く一
致し てい ること が わ か る。 図一6
に安定解の場 合 の有限要素法に よ る透 視図を示す。
o.
5 一 o.
3O 配 \ N o.
1 0.
4、
0、
8 1、
O r/R 図一
5 回 転 懸 垂 面の断面 図 (FEM 解と リッツ解,
UR =
1.
O) 表一
1 異 方 張 力曲面の数 値 解析 結果 (回 転懸垂曲面LIR=
1.
o,
安 定 解 ) 張 力 比 n ./ne O.
8 1。
2Z/R Ritz解 FEM 解 Ritz解 FEM 解
030724 015087 098877 100000 053179 015187 098877 100000 000000 000000 543210 OOOOOO 1
.
OOO 1.
000 0.
957 0■
955 0.
924 0.
922 0.
900 0.
89S O.
886 0■
884 0.
e81 0.
879 表一
2 異 方 張 力 曲 面の数 値 解 析 結 果 (回 転懸垂 曲面L/R=
LO,
不 安定解) 張 力 比 n.
/ne O.
8 1.
2Z/R Ritz解 FEM 解 Ritz解 FEM 解
0
.
5000.
4000.
3000.
2000.
1000.
000 1.
OOOo.
7270.
5980.
5220.
4BOO.
455 1.
0000.
7300.
5990.
5210.
4780.
464 1.
oeoO.
7TBO.
5570.
3400、
13SO.
042 063399 065323 075310 100000L
L
図一
6.
1 回転 懸 垂 曲 面の透 視 図1 (FEM 解,
L/R=
1.
O,
n=
O.
8) 図一6.2
回転 懸垂 曲 面の透視図 2 {FEM 解,
LIR=
1.
o,
n= 1.
2> β lv) 図一
7 波 面の概 形 図 0,
50,
4 o.
3N O.
20.
)
v 0 図一
8,
15.
2
波 面 0炉
2 0r 4 0_
・
5 0_
8 1_
O Y 波 面の断面図 1 (FEM 解 と リッ ッ解,
ZtOp;
0.
5,
X=
O) 波面と呼ばれ る曲 面S)・
9) を解 析する。
こ の曲 面の概 形 図を図一7
に示す。 直線部の境 界は 三 辺と もz=
・
O平 面 上 にあ り,
曲線 部の境界はz=bcos
(ax }sinh (fily
)のN 1
.
・・
o.
O.
o.
O Y 図・一
一
8.
2 波 面の断 面図2 〔FEM 解と リッ ツ解,
ZtOp=
1.
O,
X=
O) 図一
9.
1 波 面の透視図 1 (FEM 解,
Z。
。
e=
0.
5,
n=
2.
0)匸
図一
9.
2 波 面の透視図 2 〔FEM 解, Zt。p・
=
1,
0,
n≡
2.
0) 形 状であ る。 本 解析で用いた定数は ら=
ユ.
O, 1。=
1.
0,α=
β=
3.
14。
有 限 要素分割数はX ,y
方 向 共に 10。
初 期 仮 定 曲 面は 文献7)の方 法に よ り 求 め た等 張 力 曲 面と する。
すな わ ち初 期 値と してxy
平 面を と り, y=
1.
0断 面の境 界を一 53 一
遭 視 図 投 影図 (YZ 面) 役髟図 (xz 面) 投 影図 (XY 面} 採用 し た 要 素座 標 系 斜 交 座 標 未知 量ベ ク トル の方 向
Z
軸 方 向 Case 透 複 図 般影 図 〔YZ 面) 投 影 図 {XZ 百》 投 影図 (XY 面) 直交座 標Z
軸 方 向Case2
透 概 図 投 影 医 (YZ 面) 般 影図 〔XZ 面} 投 影 図 (XY 面) 直 交 座 標 法 線ガ
向CaSe
3
図一
10 解 析 条件の違い による曲 面の変 化一
一54 一
表
一
3 解 析 条 件の違いによる曲面の変化解折条 件 Case l Case2 Case3
採 用 した 要 素 座 標 系 未知 量ベ ク トル の方 向 斜 交 座 標 直交座標 直 交 座 標 z 軸 方 向 z軸 方 向 法 線 方 向 曲 面の性 状 良好 不良 良 好 所 定の位 置 (Z,。。
=
O.
5 また は 1.
0 )まで強制移動させ た後, 内 部 節点に お け る未 知 量ベ ク トル をZ 方 向に設 定す ることによ り等 張 力曲面を得る。
要 素 座 標 系の ξ,
η軸 (図一
3参照)は曲 面が変 形 し て もそれ ら の軸 をxy
平 面に投 影し た時,
常にX ,
Y
軸に平 行と な る軸と す る。
し た がっ て,
要素座標 系は斜交座 標系とな る。 リッ ッ法の試 行関 数 は 次 式 と す る。 φ。(x,
y)= c・
cOS αxsinh β雪…
………・
(76)・u・… )一 ・ ・s (2 ‘
云
ユ)π ・・s・・………
(・7) 採用波数はx 方 向に3
波,
y方 向に 10波である。 張 力 比 n一
幕
は …,
…,
… の ・ ケー
ス とする・ 噺 し た ライズは y= 1,
0断面での最大高さZti、。=
0,
5,
1.
0の 2ケー
スで あ る。 図一8
に本 解 析 解の x=
0における断 面 図 を示す。 この図か ら張 力比が高々0.
5〜2.0
の違い であっ て も,
曲面位置の差 異が大きい こと が わか る。
ま た有限 要 素 解と リッ ツ解はほ ぼ等 しい こ とが確 認さ れ る。
図一9
に張 力比 n=2.0,
ライ ズZt。 。=
O.
5,
LO の 場 合の有限要素解に よ る 透視 図を示す。 図 中,
要 素 重 心 位置に引か れた長短 2本の実 線は張 力の 方 向と大きさを 表 して い る。
図一
ユ0と 表一
3は要 素 座 標 系 と 未 知 量ベ ク トル の 方 向 の違 い による曲 面の相違 を示した もの である。 張 力方向 を定め る要 素 座 標 系は Case ユ で は先と同 様の斜 交 座 標 系と す る。Case
2
では ξ軸』
は曲 面が変 形 して もをれをxy
平 面に投 影 し た時 常に X 軸に平 行とな る軸と し, η 軸はそれ に直 角な軸 方 向 (直 交 座 標 系 ) と する。Case
3
で は初 期仮定 曲面の要 素 座 標 系の と り方はCase
2と 同じであ る が,
曲 面の変 形に従っ て ξ, η軸は直交関 係 を保 ちな がら逐 次 変 化 す る。
ただし ξ軸は要素の一
辺 に固 定さ せ る。
未 知 量ベ ク トル はCase
1とCase
2で はZ
軸 方 向,
Case 3で は 曲面の法線 方 向とす る。
解析は n=
・
2.
0,
Zt。p=
1.
0とする。 要 素 座 標 系の違い による影響を検討し た
Case
1
とCase
2
との比 較か ら,
Case
ユ で は曲面 全 体が鞍 形 曲 面 と な るの に対 して,
Case 2の 曲 面は曲面の一
部が凸 と な る 工学的に不 良な曲 面と な る ことが わか る。
未 知 量ベ ク トル の方 向の違い によ る影 響 を検 討し たCase
2とCase
3との比 較か ら,
未 知 量ベ ク トル を曲 面の法 線 方 向に とっ たCase
3で はCase
2より も 良 好な曲 面が得ら れる ことがわか る。
6,
ま と め 異 方 張 力 曲 面 形 状を求め る だ めの数 値 解 析 手 法につ い て検 討し た。
本手法は異 方 張 力曲面の基 礎 式とし て,
曲 面の微 小 部 分に おけ る力の釣 合い か ら求め た微 分 方程式 とその変 分 式 を用い て い る。 そ し て数 値 計 算 法 として有 限要素法と リッ ツ法を適 用 し,
回転 曲 面と波 面を解 析す ることによ り,
本 解 析 法の妥 当 性を確 認し た。
謝 辞 本 報 告を ま とめ る にあた っ て貴重な ご意 見を頂い た名 古 屋 大 学 助 教 授 大 森 博 司 博士 並 びに テク ノ イン ター
フェ イス株式会社 粉川 牧博士 に深く感謝致し ます。 ま た有意義な ご示唆と原稿作成に協力 して頂いた株式会 社フ ジ タ 萩 原伸幸 氏 と 孟 令樺 博 士 に厚 く御 礼申し上 げま す。
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